اختبار مربع كاي بيرسون

يتم تقريب التوزيع الصفري لإحصاء بيرسون مع j صف و k عمود بواسطة توزيع مربع كاي مع ( k  − 1)( j  − 1) درجات حرية. ^[12]

ينشأ هذا التقريب كتوزيع حقيقي، في ظل الفرضية الصفرية، إذا تم إعطاء القيمة المتوقعة بواسطة توزيع متعدد الحدود . بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة، تقول نظرية الحد المركزي أن هذا التوزيع يميل نحو توزيع طبيعي متعدد المتغيرات معين .

في الحالة الخاصة حيث يوجد خليتين فقط في الجدول، تتبع القيم المتوقعة توزيعًا ثنائيًا ،

${\displaystyle O\ \sim \ {\mbox{Bin}}(n,p),\,}$

أين

ص = الاحتمال، تحت الفرضية الصفرية،

n = عدد الملاحظات في العينة.

في المثال أعلاه، الاحتمال المفترض لملاحظة ذكر هو 0.5، مع 100 عينة. وبالتالي نتوقع ملاحظة 50 ذكرًا.

إذا كان n كبيرًا بدرجة كافية، فيمكن تقريب التوزيع الثنائي أعلاه بواسطة توزيع غاوسي (طبيعي)، وبالتالي فإن إحصاء اختبار بيرسون يقترب من توزيع مربع كاي،

${\displaystyle {\text{Bin}}(n,p)\approx {\text{N}}(np,np(1-p)).\,}$

ليكن O ₁ هو عدد الملاحظات من العينة الموجودة في الخلية الأولى. يمكن التعبير عن إحصاء اختبار بيرسون على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {(O_{1}-np)^{2}}{np}}+{\frac {(n-O_{1}-n(1-p))^{2}}{n(1-p)}},}$

والتي يمكن التعبير عنها بدورها على النحو التالي

${\displaystyle \left({\frac {O_{1}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)^{2}.}$

بالتقريب الطبيعي لثنائي الحدين، يكون هذا هو مربع متغير طبيعي قياسي واحد، وبالتالي يتم توزيعه على هيئة مربع كاي بدرجة حرية واحدة. لاحظ أن المقام هو انحراف معياري واحد للتقريب الغاوسي، لذا يمكن كتابته

${\displaystyle {\frac {(O_{1}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

وبما يتفق مع معنى توزيع مربع كاي، فإننا نقيس مدى احتمالية العدد الملحوظ للانحرافات المعيارية بعيدًا عن المتوسط ​​تحت التقريب الغاوسي (وهو تقريب جيد لقيمة n الكبيرة ).

يتم بعد ذلك دمج توزيع مربع كاي على يمين القيمة الإحصائية للحصول على القيمة P ، والتي تساوي احتمال الحصول على إحصائية مساوية أو أكبر من الإحصائية الملاحظة، بافتراض الفرضية الصفرية.

عندما يتم تطبيق الاختبار على جدول طوارئ يحتوي على صفين وعمودين، يكون الاختبار معادلاً لاختبار Z للنسب. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

تؤدي الحجج المشابهة بشكل عام لما سبق إلى النتيجة المرجوة، على الرغم من أن التفاصيل أكثر تعقيدًا. قد يطبق المرء تغييرًا متعامدًا للمتغيرات لتحويل المجاميع المحدودة في إحصائية الاختبار إلى مربعات أقل من المتغيرات العشوائية الطبيعية القياسية المستقلة. ^[13]

دعونا الآن نثبت أن التوزيع يقترب بالفعل بشكل مقارب من التوزيع عندما يقترب عدد الملاحظات من اللانهاية. ${\displaystyle \chi ^{2}}$

ليكن عدد الملاحظات وعدد الخلايا واحتمال وقوع ملاحظة في الخلية رقم i، لـ . نشير إلى التكوين حيث لكل i توجد ملاحظات في الخلية رقم i. لاحظ أن ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq m}$${\displaystyle \{k_{i}\}}$${\displaystyle k_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n\qquad {\text{and}}\qquad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1.}$

لتكن إحصاءة الاختبار التراكمية لبيرسون لمثل هذا التكوين، وليكن توزيع هذه الإحصاءية. سنبين أن الاحتمال الأخير يقترب من التوزيع بدرجات الحرية، كما يلي:${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})}$${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle n\to \infty .}$

لأي قيمة تعسفية T:

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)=\sum _{\{k_{i}\}|\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T}{\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}{p_{i}}^{k_{i}}}$

سنستخدم إجراءً مشابهًا للتقريب في نظرية دي موافر-لابلاس . المساهمات من الصغيرة تكون من مرتبة أدنى في وبالتالي بالنسبة للكبيرة يمكننا استخدام صيغة ستيرلنغ لكليهما وللحصول على ما يلي: ${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle k_{i}!}$

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)\sim \sum _{\{k_{i}\}|\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})>T}\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {np_{i}}{k_{i}}}\right)^{k_{i}}{\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}}$

عن طريق الاستعاضة عن

${\displaystyle x_{i}={\frac {k_{i}-np_{i}}{\sqrt {n}}},\qquad i=1,\cdots ,m-1,}$

يمكننا تقريب المجموع الكبير على تكامل على . مع ملاحظة أن: ${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle k_{m}=np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i},}$

وصلنا إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)&\sim {\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}\int _{\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}\left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)^{-(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i})}\left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)^{-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)}\right\}\\&={\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}\left(2\pi np_{i}+2\pi {\sqrt {n}}x_{i}\right)}}}\int _{\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\times \\&\qquad \qquad \times \left\{\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-\left(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i}\right)\ln \left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)\right]\exp \left[-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)\ln \left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)\right]\right\}\end{aligned}}}$

من خلال توسيع اللوغاريتم وأخذ المصطلحات الرائدة في ، نحصل على ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)\sim {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{m-1}\prod _{i=1}^{m}p_{i}}}}\int _{\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dx_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {x_{i}^{2}}{p_{i}}}-{\frac {1}{2p_{m}}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}\right)^{2}\right]}$

كاي بيرسون، ، هو بالضبط حجة الأس (باستثناء -1/2؛ لاحظ أن الحد الأخير في حجة الأس يساوي ). ${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})}$${\displaystyle (k_{m}-np_{m})^{2}/(np_{m})}$

يمكن كتابة هذه الحجة على النحو التالي:

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j},\qquad i,j=1,\cdots ,m-1,\quad A_{ij}={\tfrac {\delta _{ij}}{p_{i}}}+{\tfrac {1}{p_{m}}}.}$

${\displaystyle A}$هي مصفوفة متماثلة منتظمة ، وبالتالي يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية . وبالتالي، من الممكن إجراء تغيير خطي للمتغيرات في للحصول على متغيرات جديدة بحيث: ${\displaystyle (m-1)\times (m-1)}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \{y_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j}=\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}.}$

يؤدي هذا التغيير الخطي للمتغيرات إلى ضرب التكامل بثابت جاكوبي ببساطة ، وبالتالي نحصل على:

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})>T)\sim C\int _{\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}>T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dy_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}\right)\right]}$

حيث C ثابت.

هذا هو احتمال أن يكون المجموع التربيعي للمتغيرات المستقلة الموزعة بشكل طبيعي ذات المتوسط ​​الصفري والتباين الوحدوي أكبر من T، أي أن يكون مع درجات الحرية أكبر من T. ${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle m-1}$

لقد أظهرنا بذلك أنه عند الحد الذي يقترب فيه توزيع كاي بيرسون من توزيع كاي بدرجات الحرية. ${\displaystyle n\to \infty ,}$${\displaystyle m-1}$