تكافؤ الكتلة والطاقة

في الفيزياء ، تكافؤ الكتلة والطاقة هو العلاقة بين الكتلة والطاقة في إطار سكون النظام ، حيث تختلف الكميتان فقط من خلال ثابت مضاعف ووحدات القياس. ^{[1] [2]} يتم وصف المبدأ بواسطة صيغة الفيزيائي ألبرت أينشتاين:  E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} . ^[3] في إطار مرجعي حيث يتحرك النظام، تخضع طاقته النسبية وكتلته النسبية (بدلاً من كتلة السكون ) لنفس الصيغة.

تحدد الصيغة طاقة الجسيم E في إطار سكونه على أنها حاصل ضرب الكتلة ( م ) في سرعة الضوء مربع ( جـ 2 ⁾ . ولأن سرعة الضوء عدد كبير بوحدات القياس اليومية (حوالي 300000  كم/ثانية أو 186000  ميل/ثانية)، فإن الصيغة تعني أن كمية صغيرة من الكتلة تقابل كمية هائلة من الطاقة.

الكتلة الساكنة، والتي تسمى أيضًا الكتلة الثابتة ، هي خاصية فيزيائية أساسية للمادة ، لا تعتمد على السرعة . الجسيمات عديمة الكتلة مثل الفوتونات لها كتلة ثابتة صفرية، لكن الجسيمات الحرة عديمة الكتلة لها كل من الزخم والطاقة.

يشير مبدأ التكافؤ إلى أنه عندما يتم فقدان الكتلة في التفاعلات الكيميائية أو التفاعلات النووية ، سيتم إطلاق كمية مماثلة من الطاقة. يمكن إطلاق الطاقة إلى البيئة (خارج النظام قيد النظر) كطاقة إشعاعية ، مثل الضوء ، أو كطاقة حرارية . يعد المبدأ أساسيًا للعديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك الفيزياء النووية وفيزياء الجسيمات .

نشأت نظرية تكافؤ الكتلة والطاقة من النسبية الخاصة كمفارقة وصفها العالم الفرنسي هنري بوانكاريه (1854-1912). ^[4] كان أينشتاين أول من اقترح تكافؤ الكتلة والطاقة كمبدأ عام ونتيجة لتناظرات المكان والزمان . ظهر المبدأ لأول مرة في "هل يعتمد قصور الجسم على محتواه من الطاقة؟"، إحدى أوراقه العلمية annus mirabilis ، والتي نُشرت في 21 نوفمبر 1905. ^{[5] [6]} تم تطوير الصيغة وعلاقتها بالزخم، كما هو موضح بعلاقة الطاقة بالزخم ، من قبل فيزيائيين آخرين.

النسبية الخاصة
مبدأ النسبية نظرية النسبية تركيبات
الأسس فرضيات أينشتاين الإطار المرجعي بالقصور الذاتي سرعة الضوء معادلات ماكسويل تحويلات لورنتز
عواقب تمدد الزمن انكماش الطول الكتلة النسبية تكافؤ الكتلة والطاقة نسبية التزامن تأثير دوبلر النسبي تقدم توماس القرص النسبي مفارقة سفينة الفضاء بيل مفارقة إيرنفست
الزمكان زمكان مينكوفسكي مخطط الزمكان خط العالم مخروط الضوء
ديناميكيات الوقت المناسب الكتلة المناسبة أربعة زخم
تاريخ السلائف النسبية الجليلية التحول الجليلي نظريات الأثير
الناس اينشتاين سومرفيلد ميشلسون مورلي فيتزجيرالد هيرجلوتز لورنتز بوانكاريه مينكوفسكي فيزو إبراهيم وُلِدّ بلانك فون لاوي إيرينفيست تولمان ديراك
بوابة الفيزياء  فئة
ف ت هـ

تنص نظرية تكافؤ الكتلة والطاقة على أن جميع الأجسام التي لها كتلة ، أو الأجسام الضخمة ، لها طاقة جوهرية مقابلة، حتى عندما تكون ثابتة. في إطار سكون الجسم، حيث يكون ثابتًا بحكم التعريف وبالتالي ليس له زخم ، تكون الكتلة والطاقة متساويتين أو تختلفان فقط بعامل ثابت، وهو سرعة الضوء مربع ( c ² ). ^{[1] [2]} في ميكانيكا نيوتن ، لا يمتلك الجسم الساكن طاقة حركية ، وقد يحتوي أو لا يحتوي على كميات أخرى من الطاقة المخزنة الداخلية، مثل الطاقة الكيميائية أو الطاقة الحرارية ، بالإضافة إلى أي طاقة كامنة قد يمتلكها من موضعه في مجال القوة . تميل هذه الطاقات إلى أن تكون أصغر بكثير من كتلة الجسم مضروبة في c ² ، والتي تكون في حدود 10 ¹⁷  جول لكتلة كيلوغرام واحد. وبسبب هذا المبدأ، تكون كتلة الذرات التي تخرج من التفاعل النووي أقل من كتلة الذرات التي تدخله، ويظهر الفرق في الكتلة على هيئة حرارة وضوء بنفس الطاقة المكافئة للفرق. وفي تحليل هذه الأحداث المتطرفة، يمكن استخدام صيغة أينشتاين مع E كطاقة منبعثة (مُزالة)، و m كتغير في الكتلة.

في النسبية ، تساهم كل الطاقة التي تتحرك مع جسم (أي الطاقة كما تم قياسها في إطار سكون الجسم) في الكتلة الكلية للجسم، والتي تقيس مقدار مقاومته للتسارع . إذا كان صندوق معزول من المرايا المثالية يمكن أن يحتوي على ضوء، فإن الفوتونات عديمة الكتلة بشكل فردي ستساهم في الكتلة الكلية للصندوق بمقدار يساوي طاقتها مقسومة على c 2. ^{[ 7]} بالنسبة للمراقب في إطار السكون، فإن إزالة الطاقة هي نفسها إزالة الكتلة وتشير الصيغة m = E / c ² إلى مقدار الكتلة المفقودة عند إزالة الطاقة. ^[8] بنفس الطريقة، عند إضافة أي طاقة إلى نظام معزول، فإن الزيادة في الكتلة تساوي الطاقة المضافة مقسومة على c ^{2. [9} ]

يتحرك الجسم بسرعات مختلفة في إطارات مرجعية مختلفة ، اعتمادًا على حركة المراقب. وهذا يعني أن الطاقة الحركية ، في كل من ميكانيكا نيوتن والنسبية، "تعتمد على الإطار"، بحيث تعتمد كمية الطاقة النسبية التي يتم قياسها على الجسم على المراقب. تُعطى الكتلة النسبية للجسم من خلال الطاقة النسبية مقسومة على c 2. ^{[ 10]} نظرًا لأن الكتلة النسبية تتناسب تمامًا مع الطاقة النسبية، فإن الكتلة النسبية والطاقة النسبية مترادفتان تقريبًا ؛ والفرق الوحيد بينهما هو الوحدات . تُعرف كتلة السكون أو الكتلة الثابتة للجسم بأنها الكتلة التي يمتلكها الجسم في إطار سكونه، عندما لا يتحرك بالنسبة للمراقب. يستخدم الفيزيائيون عادةً مصطلح الكتلة ، على الرغم من أن التجارب أظهرت أن كتلة الجاذبية للجسم تعتمد على طاقته الكلية وليس فقط كتلة سكونه. ^{[ بحاجة لمصدر ]} كتلة السكون هي نفسها لجميع الإطارات القصورية ، لأنها مستقلة عن حركة المراقب، فهي أصغر قيمة ممكنة للكتلة النسبية للجسم. وبسبب التجاذب بين مكونات النظام، والذي ينتج عنه طاقة كامنة، فإن كتلة السكون لا تكون مضافة أبدًا تقريبًا ؛ بشكل عام، كتلة الجسم ليست مجموع كتل أجزائه. ^[9] كتلة السكون للجسم هي الطاقة الكلية لجميع الأجزاء، بما في ذلك الطاقة الحركية، كما لوحظت من مركز إطار الزخم، والطاقة الكامنة. تتراكم الكتل فقط إذا كانت المكونات في حالة سكون (كما لوحظت من مركز إطار الزخم) ولا تجتذب أو تتنافر، بحيث لا تحتوي على أي طاقة حركية أو كامنة إضافية. ^{[ملاحظة 1]} الجسيمات عديمة الكتلة هي جسيمات ليس لها كتلة سكون، وبالتالي ليس لديها طاقة جوهرية؛ طاقتها ترجع فقط إلى زخمها.

تعتمد الكتلة النسبية على حركة الجسم، بحيث يرى المراقبون المختلفون في الحركة النسبية قيمًا مختلفة لها. تكون الكتلة النسبية لجسم متحرك أكبر من الكتلة النسبية لجسم ساكن، لأن الجسم المتحرك لديه طاقة حركية. إذا تحرك الجسم ببطء، تكون الكتلة النسبية مساوية تقريبًا لكتلة السكون وكلاهما يساوي تقريبًا الكتلة القصورية الكلاسيكية (كما يظهر في قوانين نيوتن للحركة ). إذا تحرك الجسم بسرعة، تكون الكتلة النسبية أكبر من كتلة السكون بمقدار يساوي الكتلة المرتبطة بالطاقة الحركية للجسم. للجسيمات عديمة الكتلة أيضًا كتلة نسبية مستمدة من طاقتها الحركية، تساوي طاقتها النسبية مقسومة على c ² ، أو m _rel = E / c ^{2. [11] [12]} تكون سرعة الضوء واحدة في نظام يتم فيه قياس الطول والزمن بوحدات طبيعية وتكون الكتلة والطاقة النسبية متساويتين في القيمة والأبعاد . نظرًا لأنه مجرد اسم آخر للطاقة، فإن استخدام مصطلح الكتلة النسبية غير ضروري ويخصص الفيزيائيون عمومًا الكتلة للإشارة إلى كتلة السكون أو الكتلة الثابتة، على عكس الكتلة النسبية. ^{[13] [14]} إحدى نتائج هذا المصطلح هي أن الكتلة ليست محفوظة في النسبية الخاصة، في حين أن الحفاظ على الزخم والحفاظ على الطاقة كلاهما قوانين أساسية. ^[13]

إن الحفاظ على الطاقة هو مبدأ عالمي في الفيزياء وينطبق على أي تفاعل، جنبًا إلى جنب مع الحفاظ على الزخم. ^[13] على النقيض من ذلك، يتم انتهاك الحفاظ الكلاسيكي على الكتلة في بعض المواقف النسبية. ^{[14] [13]} وقد تم إثبات هذا المفهوم تجريبياً بعدة طرق، بما في ذلك تحويل الكتلة إلى طاقة حركية في التفاعلات النووية والتفاعلات الأخرى بين الجسيمات الأولية . ^[14] في حين أن الفيزياء الحديثة قد تجاهلت تعبير "حفظ الكتلة"، في المصطلحات القديمة يمكن أيضًا تعريف الكتلة النسبية على أنها تعادل طاقة نظام متحرك، مما يسمح بالحفاظ على الكتلة النسبية . ^[13] ينهار الحفاظ على الكتلة عندما يتم تحويل الطاقة المرتبطة بكتلة الجسيم إلى أشكال أخرى من الطاقة، مثل الطاقة الحركية أو الطاقة الحرارية أو الطاقة الإشعاعية . ^[13]

الجسيمات عديمة الكتلة لها كتلة سكون تساوي صفرًا. تُعطى علاقة بلانك-أينشتاين لطاقة الفوتونات بالمعادلة E = hf ، حيث h هو ثابت بلانك و f هو تردد الفوتون . هذا التردد وبالتالي الطاقة النسبية يعتمدان على الإطار. إذا ابتعد مراقب عن فوتون في الاتجاه الذي يسافر فيه الفوتون من مصدر، ولحق به، يرى المراقب أنه يمتلك طاقة أقل مما كان عليه عند المصدر. كلما كان المراقب أسرع بالنسبة للمصدر عندما يلحق الفوتون، كلما قلت طاقة الفوتون. عندما يقترب المراقب من سرعة الضوء بالنسبة للمصدر، يزداد انزياح الفوتون نحو الأحمر ، وفقًا لتأثير دوبلر النسبي . تقل طاقة الفوتون ومع ازدياد الطول الموجي بشكل تعسفي، تقترب طاقة الفوتون من الصفر، بسبب طبيعة الفوتونات عديمة الكتلة، والتي لا تسمح بأي طاقة جوهرية.

بالنسبة للأنظمة المغلقة المكونة من أجزاء عديدة، مثل النواة الذرية أو الكوكب أو النجم، فإن الطاقة النسبية تُعطى بمجموع الطاقات النسبية لكل جزء، لأن الطاقات مضافة في هذه الأنظمة. إذا كان النظام مقيدًا بقوى جاذبة، وتم إزالة الطاقة المكتسبة التي تزيد عن العمل المنجز من النظام، فإن الكتلة تُفقد مع هذه الطاقة المزالة. كتلة النواة الذرية أقل من الكتلة الكلية للبروتونات والنيوترونات التي تتكون منها. ^{[15] هذا الانخفاض في الكتلة يعادل أيضًا الطاقة المطلوبة لتفكيك النواة إلى بروتونات ونيوترونات فردية. يمكن فهم هذا التأثير من خلال} النظر إلى الطاقة الكامنة للمكونات الفردية. تمتلك الجسيمات الفردية قوة تجذبها معًا، وإجبارها على الانفصال يزيد من الطاقة الكامنة للجسيمات بنفس الطريقة التي يحدث بها رفع جسم على الأرض. هذه الطاقة تساوي العمل المطلوب لتقسيم الجسيمات. كتلة النظام الشمسي أقل قليلاً من مجموع كتلها الفردية.

بالنسبة لنظام معزول من الجسيمات التي تتحرك في اتجاهات مختلفة، فإن الكتلة الثابتة للنظام هي نظير كتلة السكون، وهي نفسها لجميع المراقبين، حتى أولئك الذين هم في حركة نسبية. يتم تعريفها على أنها الطاقة الكلية (مقسومة على c ² ) في مركز إطار الزخم . يتم تعريف إطار مركز الزخم بحيث يكون للنظام زخم كلي يساوي صفرًا؛ يُستخدم مصطلح إطار مركز الكتلة أيضًا في بعض الأحيان، حيث يكون إطار مركز الكتلة حالة خاصة لإطار مركز الزخم حيث يتم وضع مركز الكتلة في الأصل. مثال بسيط لجسم به أجزاء متحركة ولكن زخم كلي يساوي صفرًا هو حاوية غاز. في هذه الحالة، تُعطى كتلة الحاوية من خلال طاقتها الكلية (بما في ذلك الطاقة الحركية لجزيئات الغاز)، نظرًا لأن الطاقة الكلية للنظام والكتلة الثابتة هما نفس الشيء في أي إطار مرجعي حيث يكون الزخم صفرًا، ومثل هذا الإطار المرجعي هو أيضًا الإطار الوحيد الذي يمكن فيه وزن الجسم. وعلى نحو مماثل، تفترض نظرية النسبية الخاصة أن الطاقة الحرارية في جميع الأجسام، بما في ذلك المواد الصلبة، تساهم في كتلها الكلية، على الرغم من أن هذه الطاقة موجودة كطاقات حركية وطاقات كامنة للذرات في الجسم، ولا تُرى (على نحو مماثل للغاز) في كتل السكون للذرات التي يتكون منها الجسم. ^[9] وعلى نحو مماثل، حتى الفوتونات، إذا تم حبسها في حاوية معزولة، فإنها ستساهم بطاقتها في كتلة الحاوية. ومن الناحية النظرية، يمكن وزن هذه الكتلة الزائدة بنفس الطريقة التي يتم بها وزن أي نوع آخر من كتلة السكون، على الرغم من أن الفوتونات الفردية ليس لها كتلة سكون. إن الخاصية التي تضيف الطاقة المحاصرة بأي شكل كتلة قابلة للوزن إلى الأنظمة التي ليس لها زخم صافٍ هي إحدى عواقب النسبية. وليس لها نظير في الفيزياء النيوتونية الكلاسيكية، حيث لا تظهر الطاقة أبدًا كتلة قابلة للوزن. ^[9]

للفيزياء مفهومان للكتلة، الكتلة الجاذبية والكتلة القصورية. الكتلة الجاذبية هي الكمية التي تحدد قوة المجال الجاذبي الذي يولده جسم، وكذلك القوة الجاذبية المؤثرة على الجسم عندما ينغمس في مجال جاذبية ينتجه أجسام أخرى. من ناحية أخرى، تحدد الكتلة القصورية مقدار تسارع الجسم إذا تم تطبيق قوة معينة عليه. يشير تكافؤ الكتلة والطاقة في النسبية الخاصة إلى الكتلة القصورية. ومع ذلك، في سياق الجاذبية النيوتونية، تم طرح مبدأ التكافؤ الضعيف : الكتلة الجاذبية والكتلة القصورية لكل جسم هي نفسها. وبالتالي، فإن تكافؤ الكتلة والطاقة، جنبًا إلى جنب مع مبدأ التكافؤ الضعيف، يؤدي إلى التنبؤ بأن جميع أشكال الطاقة تساهم في المجال الجاذبي الذي يولده جسم. هذه الملاحظة هي أحد ركائز نظرية النسبية العامة .

لقد خضع التنبؤ بأن جميع أشكال الطاقة تتفاعل جاذبيًا لاختبارات تجريبية. تم إجراء إحدى الملاحظات الأولى لاختبار هذا التنبؤ، والتي تسمى تجربة إدينجتون ، أثناء كسوف الشمس في 29 مايو 1919. [ ^{16] [17]} أثناء الكسوف، لاحظ عالم الفلك والفيزياء الإنجليزي آرثر إدينجتون أن الضوء القادم من النجوم التي تمر بالقرب من الشمس منحني. يرجع التأثير إلى الجاذبية للضوء من الشمس. أكدت الملاحظة أن الطاقة التي يحملها الضوء تعادل بالفعل كتلة الجاذبية. تم إجراء تجربة أخرى رائدة، تجربة باوند-ريبكا ، في عام 1960. ^[18] في هذا الاختبار، تم انبعاث شعاع من الضوء من أعلى برج وتم اكتشافه في الأسفل. كان تردد الضوء المكتشف أعلى من الضوء المنبعث. تؤكد هذه النتيجة أن طاقة الفوتونات تزداد عندما تسقط في مجال الجاذبية للأرض. إن طاقة الفوتونات، وبالتالي كتلتها الجاذبية، تتناسب طرديا مع ترددها كما هو منصوص عليه في علاقة بلانك.

في بعض التفاعلات، يمكن تدمير جسيمات المادة وإطلاق الطاقة المرتبطة بها إلى البيئة كأشكال أخرى من الطاقة، مثل الضوء والحرارة. ^[1] يحدث أحد أمثلة هذا التحويل في تفاعلات الجسيمات الأولية، حيث تتحول طاقة السكون إلى طاقة حركية. ^[1] تحدث مثل هذه التحويلات بين أنواع الطاقة في الأسلحة النووية، حيث تفقد البروتونات والنيوترونات في النوى الذرية جزءًا صغيرًا من كتلتها الأصلية، على الرغم من أن الكتلة المفقودة لا ترجع إلى تدمير أي مكونات أصغر. يسمح الانشطار النووي بتحويل جزء صغير من الطاقة المرتبطة بالكتلة إلى طاقة قابلة للاستخدام مثل الإشعاع؛ في تحلل اليورانيوم ، على سبيل المثال، يُفقد حوالي 0.1٪ من كتلة الذرة الأصلية. ^[19] من الناحية النظرية، يجب أن يكون من الممكن تدمير المادة وتحويل كل طاقة السكون المرتبطة بالمادة إلى حرارة وضوء، لكن لا توجد أي من الطرق المعروفة نظريًا عملية. إحدى الطرق لتسخير كل الطاقة المرتبطة بالكتلة هي إفناء المادة بالمادة المضادة . المادة المضادة نادرة في الكون ، ومع ذلك، تتطلب آليات الإنتاج المعروفة طاقة قابلة للاستخدام أكثر مما يمكن إطلاقه في الفناء. قدرت سيرن في عام 2011 أن هناك حاجة إلى أكثر من مليار مرة من الطاقة لإنتاج وتخزين المادة المضادة مما يمكن إطلاقه في الفناء. ^[20]

نظرًا لأن معظم الكتلة التي تتكون منها الأجسام العادية توجد في البروتونات والنيوترونات، فإن تحويل كل طاقة المادة العادية إلى أشكال أكثر فائدة يتطلب تحويل البروتونات والنيوترونات إلى جسيمات أخف وزنًا، أو جسيمات ليس لها كتلة على الإطلاق. في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات ، يكون عدد البروتونات بالإضافة إلى النيوترونات محفوظًا تقريبًا تمامًا. وعلى الرغم من ذلك، أظهر جيرارد ت هوفت أن هناك عملية تحول البروتونات والنيوترونات إلى إلكترونات مضادة ونيوترينوات . ^[21] هذه هي لحظة SU (2) الضعيفة التي اقترحها الفيزيائيون ألكسندر بيلافين وألكسندر ماركوفيتش بولياكوف وألبرت شوارتز ويو إس تيوبكين. ^[22] يمكن لهذه العملية من حيث المبدأ تدمير المادة وتحويل كل طاقة المادة إلى نيوترينوات وطاقة قابلة للاستخدام، لكنها بطيئة بشكل غير عادي عادةً. وقد تبين لاحقًا أن هذه العملية تحدث بسرعة عند درجات حرارة عالية للغاية والتي لم يتم الوصول إليها إلا بعد فترة وجيزة من الانفجار العظيم . ^[23]

تحتوي العديد من امتدادات النموذج القياسي على أحاديات أقطاب مغناطيسية ، وفي بعض نماذج التوحيد الكبير ، تحفز هذه الأحاديات اضمحلال البروتون ، وهي العملية المعروفة باسم تأثير كالين-روباكوف. ^[24] ستكون هذه العملية تحويلًا فعالًا للكتلة والطاقة في درجات الحرارة العادية، لكنها تتطلب صنع أحاديات الأقطاب وأقطاب أحادية مضادة، ومن المتوقع أن يكون إنتاجها غير فعال. تستخدم طريقة أخرى لإبادة المادة تمامًا المجال الجاذبي للثقوب السوداء. وضع الفيزيائي النظري البريطاني ستيفن هوكينج نظرية ^[25] مفادها أنه من الممكن إلقاء المادة في ثقب أسود واستخدام الحرارة المنبعثة لتوليد الطاقة. ومع ذلك، وفقًا لنظرية إشعاع هوكينج ، فإن الثقوب السوداء الأكبر تشع أقل من الثقوب السوداء الأصغر، بحيث لا يمكن إنتاج الطاقة القابلة للاستخدام إلا بواسطة الثقوب السوداء الصغيرة.

على عكس طاقة النظام في إطار القصور الذاتي، تعتمد الطاقة النسبية ( ) للنظام على كل من كتلة السكون ( ) والزخم الكلي للنظام. يتم إعطاء امتداد معادلة أينشتاين لهذه الأنظمة بواسطة: ^{[26] [27] [ملاحظة 2]}${\displaystyle E_{\rm {rel}}}$${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rm {rel}}^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}&=m_{0}^{2}c^{4}\\E_{\rm {rel}}^{2}-(pc)^{2}&=(m_{0}c^{2})^{2}\end{aligned}}}$

أو

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rm {rel}}={\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}}\,\!\end{aligned}}}$

حيث يمثل المصطلح مربع المعيار الإقليدي (طول المتجه الكلي) لمتجهات الزخم المختلفة في النظام، والذي يُختزل إلى مربع مقدار الزخم البسيط، إذا تم اعتبار جسيم واحد فقط. تسمى هذه المعادلة علاقة الطاقة بالزخم وتُختزل إلى عندما يكون مصطلح الزخم صفرًا. بالنسبة للفوتونات حيث ، تُختزل المعادلة إلى . ${\displaystyle (pc)^{2}}$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=mc^{2}}$${\displaystyle m_{0}=0}$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=pc}$

باستخدام عامل لورنتز ، γ ، يمكن إعادة كتابة الطاقة-الزخم على النحو التالي: E = γmc ² وتوسيعها على هيئة سلسلة قوى :

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{6}+\ldots \right].}$

بالنسبة للسرعات الأصغر بكثير من سرعة الضوء، تصبح الحدود ذات الترتيب الأعلى في هذا التعبير أصغر وأصغر لأنف/ج⁠ صغير. بالنسبة للسرعات المنخفضة، يمكن تجاهل كل المصطلحات باستثناء المصطلحين الأولين:

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}.}$

في الميكانيكا الكلاسيكية ، يتم تجاهل كل من حد m ₀ c ² والتصحيحات عالية السرعة. القيمة الأولية للطاقة تعسفية، حيث لا يمكن قياس سوى التغير في الطاقة وبالتالي يتم تجاهل حد m ₀ c ² في الفيزياء الكلاسيكية. في حين تصبح الحدود ذات الترتيب الأعلى مهمة عند السرعات الأعلى، فإن معادلة نيوتن هي تقريب عالي الدقة للسرعة المنخفضة؛ وإضافة الحد الثالث يعطي:

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\left(1+{\frac {3v^{2}}{4c^{2}}}\right)}$.

الفرق بين التقريبين يعطى بواسطة ، وهو رقم صغير جدًا للأشياء اليومية. في عام 2018 أعلنت وكالة ناسا أن مسبار باركر الشمسي هو الأسرع على الإطلاق، بسرعة 153454 ميلاً في الساعة (68600 م/ث). ^[28] الفرق بين التقريبين لمسبار باركر الشمسي في عام 2018 هو ، والذي يمثل تصحيحًا للطاقة بمقدار أربعة أجزاء لكل مائة مليون. على النقيض من ذلك، فإن ثابت الجاذبية لديه عدم يقين نسبي قياسي يبلغ حوالي . ^[29]${\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}}$${\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}\approx 3.9\times 10^{-8}}$${\displaystyle 2.2\times 10^{-5}}$

طاقة الربط النووية هي الحد الأدنى من الطاقة المطلوبة لتفكيك نواة الذرة إلى أجزائها المكونة. ^[30] كتلة الذرة أقل من مجموع كتل مكوناتها بسبب جاذبية القوة النووية القوية . ^[31] يُطلق على الفرق بين الكتلتين عيب الكتلة ويرتبط بطاقة الربط من خلال صيغة أينشتاين. ^{[31] [32] [33]} يُستخدم المبدأ في نمذجة تفاعلات الانشطار النووي، ويعني أنه يمكن إطلاق كمية كبيرة من الطاقة بواسطة تفاعلات الانشطار النووي المتسلسلة المستخدمة في كل من الأسلحة النووية والطاقة النووية .

إن وزن جزيء الماء أقل بقليل من وزن ذرتي هيدروجين حرتين وذرة أكسجين. والفرق الضئيل في الكتلة هو الطاقة اللازمة لتقسيم الجزيء إلى ثلاث ذرات فردية (مقسمة على c ² )، والتي انطلقت على شكل حرارة عندما تشكل الجزيء (هذه الحرارة لها كتلة). وعلى نحو مماثل، فإن قطعة الديناميت تزن نظريًا أكثر بقليل من الشظايا بعد الانفجار؛ وفي هذه الحالة فإن الفرق في الكتلة هو الطاقة والحرارة التي تنطلق عندما ينفجر الديناميت. وقد يحدث مثل هذا التغيير في الكتلة فقط عندما يكون النظام مفتوحًا، ويُسمح للطاقة والكتلة بالهروب. وبالتالي، إذا تم تفجير قطعة ديناميت في غرفة محكمة الغلق، فإن كتلة الغرفة والشظايا والحرارة والصوت والضوء ستظل مساوية للكتلة الأصلية للغرفة والديناميت. وإذا تم وضعها على ميزان، فلن يتغير الوزن والكتلة. من الناحية النظرية، قد يحدث هذا أيضًا حتى مع القنبلة النووية، إذا كان من الممكن الاحتفاظ بها في صندوق مثالي بقوة لا نهائية، والذي لا يتمزق أو يمرر الإشعاع . ^{[ملاحظة 3]} وبالتالي، فإن 21.5  كيلوطن (تنتج القنبلة النووية (9 × 10 ¹³  جول ) حوالي جرام واحد من الحرارة والإشعاع الكهرومغناطيسي، ولكن كتلة هذه الطاقة لن تكون قابلة للكشف في قنبلة منفجرة في صندوق مثالي موضوع على ميزان؛ بدلاً من ذلك، سيتم تسخين محتويات الصندوق إلى ملايين الدرجات دون تغيير الكتلة والوزن الإجماليين. إذا تم فتح نافذة شفافة تمر فقط بالإشعاع الكهرومغناطيسي في مثل هذا الصندوق المثالي بعد الانفجار، وتم السماح لشعاع من الأشعة السينية وأشعة أخرى منخفضة الطاقة بالهروب من الصندوق، فسيُكتشف في النهاية أن وزنه أقل بجرام واحد مما كان عليه قبل الانفجار. سيحدث فقدان الوزن وفقدان الكتلة هذا عندما يتم تبريد الصندوق بهذه العملية، إلى درجة حرارة الغرفة. ومع ذلك، فإن أي كتلة محيطة تمتص الأشعة السينية (و"الحرارة" الأخرى) ستكتسب هذا الجرام من الكتلة من التسخين الناتج، وبالتالي، في هذه الحالة، فإن "فقدان" الكتلة سيمثل مجرد نقلها.

استخدم أينشتاين نظام وحدات السنتيمتر-الجرام-الثانية (cgs)، لكن الصيغة مستقلة عن نظام الوحدات. في الوحدات الطبيعية، يتم ضبط القيمة العددية لسرعة الضوء على 1، وتعبر الصيغة عن مساواة القيم العددية: E = m . في النظام الدولي للوحدات (التعبير عن النسبة ⁠هـ/مبالجول لكل كيلو جرامباستخدام قيمة c بالمتر في الثانية ): ^[35 ]

⁠هـ/م= ج ² = (299 792 458  م/ث ) ² = 89 875 517 873 681 764  جول/كجم (≈ 9.0 × 10 ¹⁶ جول لكل كيلوجرام).

لذا فإن الطاقة المكافئة لكيلوغرام واحد من الكتلة هي

• 89.9  بيتاجول
• 25.0  مليار كيلووات ساعة (≈ 25000  جيجاوات ساعة )
• 21.5  تريليون كيلو كالوري (≈ 21 Pcal) ^{[ملاحظة 4]}
• 85.2 تريليون وحدة حرارية بريطانية ^{[ملاحظة 4]}
• 0.0852 كواد أو الطاقة المنبعثة من احتراق ما يلي:
• 21500  كيلوطن من الطاقة المكافئة لمادة تي إن تي (≈ 21 ميجا طن) ^{[ملاحظة 4]}
• 2 630 000 000 لتر أو695 000 000 جالون أمريكي من البنزين للسيارات

في أي وقت يتم فيه إطلاق الطاقة، يمكن تقييم العملية من منظور E = mc ^2. على سبيل المثال، كانت القنبلة ذات الطراز "gadget" المستخدمة في اختبار ترينيتي وقصف ناغازاكي ذات عائد انفجاري يعادل 21 كيلو طن من مادة TNT. ^[36] انقسم حوالي 1 كجم من حوالي 6.15 كجم من البلوتونيوم في كل من هذه القنابل إلى عناصر أخف وزناً بإجمالي أقل تقريبًا بجرام واحد بالضبط، بعد التبريد. حمل الإشعاع الكهرومغناطيسي والطاقة الحركية (الطاقة الحرارية وطاقة الانفجار) المنبعثة في هذا الانفجار جرام الكتلة المفقود.

عندما تتم إضافة الطاقة إلى نظام ما، يكتسب النظام كتلة، كما هو موضح عند إعادة ترتيب المعادلة:

• تزداد كتلة الزنبرك كلما تعرض للضغط أو الشد. وتنشأ زيادة كتلته من زيادة الطاقة الكامنة المخزنة بداخله، والتي ترتبط بالروابط الكيميائية (الإلكترونية) الممتدة التي تربط الذرات داخل الزنبرك .
• إن رفع درجة حرارة الجسم (زيادة طاقته الحرارية ) يؤدي إلى زيادة كتلته. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك معيار الكتلة الأساسي العالمي للكيلوغرام، المصنوع من البلاتين والإيريديوم . إذا سُمح لدرجة حرارته بالتغير بمقدار 1 درجة مئوية، فإن كتلته تتغير بمقدار 1.5 بيكوغرام (1 بيكوغرام = 10 ...1 × 10 ⁻¹²  جم ). ^{[ملاحظة 5]}
• الكرة الدوارة لها كتلة أكبر مما كانت عليه عندما لا تدور. إن زيادة كتلتها تعادل تمامًا كتلة طاقة الدوران ، والتي هي في حد ذاتها مجموع الطاقات الحركية لجميع الأجزاء المتحركة للكرة. على سبيل المثال، الأرض نفسها أكثر كتلة بسبب دورانها، مما كانت لتكون عليه بدون دوران. طاقة دوران الأرض أكبر من 10 ²⁴ جول، أي أكثر من 10 ⁷ كجم. ^[37]

في حين كان أينشتاين أول من استنتج بشكل صحيح صيغة تكافؤ الكتلة والطاقة، إلا أنه لم يكن أول من ربط الطاقة بالكتلة، على الرغم من أن جميع المؤلفين السابقين تقريبًا اعتقدوا أن الطاقة التي تساهم في الكتلة تأتي فقط من المجالات الكهرومغناطيسية. ^{[38] [39] [40]} بمجرد اكتشافها، تمت كتابة صيغة أينشتاين في البداية بالعديد من التدوينات المختلفة، وتم تطوير تفسيرها وتبريرها في عدة خطوات. ^{[41] [42]}

تضمنت نظريات القرن الثامن عشر حول ارتباط الكتلة والطاقة تلك التي ابتكرها العالم الإنجليزي إسحاق نيوتن في عام 1717، والذي تكهن بأن جسيمات الضوء وجسيمات المادة قابلة للتحويل إلى بعضها البعض في "السؤال 30" من كتاب البصريات ، حيث سأل: "ألا يمكن للأجسام الكبيرة والضوء أن يتحولا إلى بعضهما البعض، وألا تتلقى الأجسام الكثير من نشاطها من جسيمات الضوء التي تدخل في تركيبها؟" ^[43] افترض العالم واللاهوتي السويدي إيمانويل سويدنبورج في كتابه المبادئ لعام 1734 أن كل المادة تتكون في النهاية من نقاط بلا أبعاد من "الحركة النقية والكاملة". ووصف هذه الحركة بأنها خالية من القوة أو الاتجاه أو السرعة، ولكنها تتمتع بإمكانية القوة والاتجاه والسرعة في كل مكان داخلها. ^{[44] [45]}

خلال القرن التاسع عشر، كانت هناك عدة محاولات تخمينية لإظهار أن الكتلة والطاقة متناسبتان في نظريات الأثير المختلفة . ^[46] في عام 1873، أشار الفيزيائي والرياضي الروسي نيكولاي أوموف إلى وجود علاقة بين الكتلة والطاقة للأثير في شكل Е = kmc ² ، حيث 0.5 ≤ k ≤ 1. [ ^47] قدمت كتابات المهندس الإنجليزي صمويل تولفر بريستون ، ^[48] وورقة عام 1903 للصناعي والجيولوجي الإيطالي أولينتو دي بريتو ، ^{[49] [50]} علاقة الكتلة والطاقة. لاحظ عالم الرياضيات والمؤرخ الرياضي الإيطالي أومبرتو بارتوتشي أنه لا توجد سوى ثلاث درجات من الفصل تربط دي بريتو بأينشتاين، وخلص إلى أن أينشتاين ربما كان على علم بعمل دي بريتو. ^{[51] [52]} تصور بريستون ودي بريتو، متبعين الفيزيائي جورج لويس لو سيج ، أن الكون مليء بأثير من الجسيمات الصغيرة التي تتحرك دائمًا بسرعة c . كل من هذه الجسيمات لها طاقة حركية mc ² حتى عامل عددي صغير. لم تتضمن صيغة الطاقة الحركية غير النسبية دائمًا العامل التقليدي ⁠1/2⁠ ، منذ أن قدم عالم الرياضيات الألماني جوتفريد لايبنتز الطاقة الحركية بدونها، و⁠1/2⁠ تقليدي إلى حد كبير في الفيزياء ما قبل النسبية. ^[53] من خلال افتراض أن كل جسيم له كتلة هي مجموع كتل جسيمات الأثير، استنتج المؤلفون أن كل مادة تحتوي على كمية من الطاقة الحركية إما معطاة بواسطة E = mc ² أو 2 E = mc ² اعتمادًا على الاتفاقية. كان يُنظر إلى جسيم الأثير عادةً على أنه علم تخميني غير مقبول في ذلك الوقت، ^[54] وبما أن هؤلاء المؤلفين لم يصوغوا النسبية، فإن منطقهم مختلف تمامًا عن منطق أينشتاين، الذي استخدم النسبية لتغيير الإطارات.

في عام 1905، وبشكل مستقل عن أينشتاين، تكهن عالم الرياضيات الفرنسي غوستاف لوبون بأن الذرات يمكن أن تطلق كميات كبيرة من الطاقة الكامنة، مستندًا إلى فلسفة فيزيائية نوعية شاملة . ^{[55] [56]}

كانت هناك محاولات عديدة في القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين - مثل محاولات الفيزيائيين البريطانيين جيه جيه تومسون في عام 1881 وأوليفر هيفيسايد في عام 1889 وجورج فريدريك تشارلز سيرل في عام 1897 والفيزيائيين الألمان فيلهلم وين في عام 1900 وماكس أبراهام في عام 1902 والفيزيائي الهولندي هندريك أنطون لورنتز في عام 1904 - لفهم كيفية اعتماد كتلة الجسم المشحون على المجال الكهروستاتيكي . ^[57] أطلق على هذا المفهوم الكتلة الكهرومغناطيسية ، وكان يُعتبر أنه يعتمد على السرعة والاتجاه أيضًا. أعطى لورنتز في عام 1904 التعبيرات التالية للكتلة الكهرومغناطيسية الطولية والعرضية:

${\displaystyle m_{L}={\frac {m_{0}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

أين

${\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}$

كانت هناك طريقة أخرى لاستنتاج نوع من الكتلة الكهرومغناطيسية تعتمد على مفهوم ضغط الإشعاع . في عام 1900، ربط عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه طاقة الإشعاع الكهرومغناطيسي بـ "سائل وهمي" له زخم وكتلة ^[4]

${\displaystyle m_{em}={\frac {E_{em}}{c^{2}}}\,.}$

من خلال ذلك، حاول بوانكاريه إنقاذ نظرية مركز الكتلة في نظرية لورنتز، على الرغم من أن معالجته أدت إلى مفارقات الإشعاع. ^[40]

أظهر الفيزيائي النمساوي فريدريش هاسنورل في عام 1904 أن إشعاع التجويف الكهرومغناطيسي يساهم في "الكتلة الظاهرية"

${\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}$

إلى كتلة التجويف. وقد زعم أن هذا يعني اعتماد الكتلة على درجة الحرارة أيضًا. ^[58]

لم يكتب أينشتاين الصيغة الدقيقة E = mc ² في ورقته البحثية Annus Mirabilis لعام 1905 بعنوان "هل يعتمد قصور الجسم على محتواه من الطاقة؟"؛ ^[5] بل تنص الورقة البحثية على أنه إذا أطلق الجسم طاقة مقدارها L عن طريق إصدار الضوء، فإن كتلته تقل بمقدارل/ج ²⁠ . لا تربط هذه الصيغة إلا بين تغير Δ m في الكتلة وتغير L في الطاقة دون الحاجة إلى العلاقة المطلقة. أقنعته العلاقة بأن الكتلة والطاقة يمكن اعتبارهما اسمين لنفس الكمية الفيزيائية الأساسية المحفوظة. ^[59] وقد صرح بأن قوانين حفظ الطاقة وحفظ الكتلة "واحدة ومتشابهة". ^[60] أوضح أينشتاين في مقال له عام 1946 أن "مبدأ حفظ الكتلة ... أثبت عدم كفايته في مواجهة نظرية النسبية الخاصة. لذلك تم دمجه مع مبدأ حفظ الطاقة - تمامًا كما تم دمج مبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية مع مبدأ حفظ الحرارة [الطاقة الحرارية] قبل حوالي 60 عامًا. يمكننا القول إن مبدأ حفظ الطاقة، بعد أن ابتلع سابقًا مبدأ حفظ الحرارة، شرع الآن في ابتلاع مبدأ حفظ الكتلة - ويحتفظ بالمجال وحده ". ^[61]

في تطوير النسبية الخاصة ، وجد أينشتاين أن الطاقة الحركية لجسم متحرك هي

${\displaystyle E_{k}=m_{0}c^{2}(\gamma -1)=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right),}$

مع v هي السرعة ، و m ₀ هي الكتلة الساكنة، و γ هو عامل لورنتز.

لقد أدرج المصطلح الثاني على اليمين للتأكد من أنه بالنسبة للسرعات الصغيرة فإن الطاقة ستكون هي نفسها كما في الميكانيكا الكلاسيكية، وبالتالي تلبية مبدأ المراسلة :

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+\cdots }$

بدون هذا المصطلح الثاني، سيكون هناك مساهمة إضافية في الطاقة عندما لا يتحرك الجسيم.

استخدم أينشتاين، متبعًا لورنتز وأبراهام، مفاهيم الكتلة المعتمدة على السرعة والاتجاه في ورقته البحثية في الديناميكا الكهربائية عام 1905 وفي ورقة بحثية أخرى عام 1906. ^{[62] [63]} في أول ورقة بحثية لأينشتاين عام 1905 حول E = mc ² ، تعامل مع m على أنها ما يُطلق عليه الآن كتلة السكون ، ^[5] وقد لوحظ أنه في سنواته الأخيرة لم يحب فكرة "الكتلة النسبية". ^[64]

في المصطلحات الفيزيائية القديمة، تُستخدم الطاقة النسبية بدلاً من الكتلة النسبية ويُخصص مصطلح "الكتلة" للكتلة الساكنة. ^[13] تاريخيًا، كان هناك جدال كبير حول استخدام مفهوم "الكتلة النسبية" وربط "الكتلة" في النسبية بـ "الكتلة" في ديناميكيات نيوتن. وجهة نظر واحدة هي أن كتلة السكون فقط هي مفهوم قابل للتطبيق وهي خاصية للجسيم؛ بينما الكتلة النسبية هي تكتل من خصائص الجسيمات وخصائص الزمكان. وجهة نظر أخرى، تُنسب إلى الفيزيائي النرويجي كجيل فوينلي، هي أن مفهوم نيوتن للكتلة كخاصية للجسيم والمفهوم النسبي للكتلة يجب أن يُنظر إليهما على أنهما مدمجان في نظرياتهما الخاصة وليس لهما اتصال دقيق. ^{[65] [66]}

لقد استنتج أينشتاين في بحثه النسبي "حول الديناميكا الكهربائية للأجسام المتحركة" التعبير الصحيح للطاقة الحركية للجسيمات:

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$.

الآن بقي السؤال مفتوحًا بشأن الصيغة التي تنطبق على الأجسام الساكنة. وقد تناول أينشتاين هذا في ورقته البحثية "هل تعتمد عزم القصور الذاتي للجسم على محتواه من الطاقة؟"، إحدى أوراقه البحثية في Annus Mirabilis . هنا، استخدم أينشتاين V لتمثيل سرعة الضوء في الفراغ و L لتمثيل الطاقة التي يفقدها الجسم في شكل إشعاع. ^[5] وبالتالي، لم تُكتب المعادلة E = mc ² في الأصل كصيغة ولكن كجملة باللغة الألمانية تقول أنه "إذا أطلق الجسم الطاقة L في شكل إشعاع، فإن كتلته تقل بمقدارل/الإصدار ²" . أشارت ملاحظة وضعت أعلاه إلى أن المعادلة تم تقريبها عن طريق إهمال "أحجام المرتبة الرابعة والأعلى" للتوسع التسلسلي . [ ^{ملاحظة 6]} استخدم أينشتاين جسمًا يصدر نبضتين ضوئيتين في اتجاهين متعاكسين، له طاقات E ₀ قبل و E ₁ بعد الانبعاث كما هو موضح في إطار سكونه. كما يُرى من إطار متحرك،تصبح E ₀ H ₀ وتصبح E ₁ H _1. حصلأينشتاين، في التدوين الحديث، على:

${\displaystyle \left(H_{0}-E_{0}\right)-\left(H_{1}-E_{1}\right)=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$.

ثم زعم أن H − E لا يمكن أن يختلف عن الطاقة الحركية K إلا بثابت إضافي، مما يعطي

${\displaystyle K_{0}-K_{1}=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$.

إهمال التأثيرات الأعلى من الدرجة الثالثة فيف/جبعد توسيع سلسلة تايلور للجانب الأيمن من هذا نحصل على:

${\displaystyle K_{0}-K_{1}={\frac {E}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{2}}.}$

وخلص أينشتاين إلى أن الانبعاث يقلل من كتلة الجسم بمقدارهـ/ج ²وأن كتلة الجسم هي مقياس لمحتواه من الطاقة.

انتقد الفيزيائي النظري الألماني ماكس بلانك في عام 1907 صحة استنتاج أينشتاين لعام 1905 لـ E = mc ² ، حيث زعم أنه صالح فقط للتقريب الأول. صاغ الفيزيائي الأمريكي هربرت إيفز في عام 1952 والفيزيائي الإسرائيلي ماكس جامر في عام 1961 انتقادًا آخر، مؤكدين أن استنتاج أينشتاين يعتمد على التوسل بالسؤال . ^{[41] [67]} زعم علماء آخرون، مثل الفيلسوفين الأمريكيين والتشيليين جون ستاتشيل وروبرتو توريتي ، أن انتقادات إيفز كانت خاطئة، وأن استنتاج أينشتاين كان صحيحًا. ^[68] وافق الكاتب الفيزيائي الأمريكي هانز أوهانيان في عام 2008 على انتقاد ستاتشيل/توريتي لإيفز، على الرغم من أنه زعم أن استنتاج أينشتاين كان خاطئًا لأسباب أخرى. ^[69]

مثل بوانكاريه، خلص أينشتاين في عام 1906 إلى أن قصور الطاقة الكهرومغناطيسية هو شرط ضروري لثبات نظرية مركز الكتلة. في هذه المناسبة، أشار أينشتاين إلى ورقة بوانكاريه عام 1900 وكتب: "على الرغم من أن الاعتبارات الشكلية البحتة، والتي سنحتاجها للإثبات، موجودة بالفعل في الغالب في عمل لـ H. Poincaré ² ، من أجل الوضوح لن أعتمد على هذا العمل." ^[70] في وجهة نظر أينشتاين الأكثر فيزيائية، على عكس وجهة نظره الشكلية أو الرياضية، لم تكن هناك حاجة إلى كتل وهمية. يمكنه تجنب مشكلة الحركة الدائمة لأنه، على أساس تكافؤ الكتلة والطاقة، يمكنه إظهار أن نقل القصور الذاتي الذي يصاحب انبعاث وامتصاص الإشعاع يحل المشكلة. يمكن تجنب رفض بوانكاريه لمبدأ الفعل ورد الفعل من خلال معادلة أينشتاين E = mc ² ، لأن قانون الحفاظ على الكتلة يظهر كحالة خاصة لقانون الحفاظ على الطاقة .

كان هناك العديد من التطورات الأخرى في العقد الأول من القرن العشرين. في مايو 1907، أوضح أينشتاين أن تعبير الطاقة ε لنقطة كتلة متحركة يأخذ أبسط شكل عندما يتم اختيار تعبيره لحالة السكون ليكون ε ₀ = μV ² (حيث μ هي الكتلة)، وهو ما يتفق مع "مبدأ تكافؤ الكتلة والطاقة". بالإضافة إلى ذلك، استخدم أينشتاين الصيغة μ = ⁠هـ ₀/الإصدار ²⁠ ، حيث E ₀ هي طاقة نظام من نقاط الكتلة، لوصف زيادة الطاقة والكتلة في هذا النظام عندما تزداد سرعة نقاط الكتلة المتحركة بشكل مختلف. ^[71] أعاد ماكس بلانك كتابة علاقة الكتلة والطاقة لأينشتاين على النحو التالي: M = ⁠E ₀ + pV ₀/ج ²في يونيو 1907، حيث p هو الضغط و V ₀ هو الحجم للتعبير عن العلاقة بين الكتلة وطاقتها الكامنة والطاقة الحرارية الديناميكية داخل الجسم. ^[72] بعد ذلك، في أكتوبر 1907، تمت إعادة كتابة ذلك على النحو التالي: M ₀ =هـ ₀/ج ²وقد قدم الفيزيائي الألماني يوهانس ستارك تفسيرًا كميًا لهذا ، حيث افترض صحته وصلاحيته. ^[73] في ديسمبر 1907، عبر أينشتاين عن التكافؤ في الشكل M = μ +هـ ₀/ج ²وخلص إلى أن "الكتلة μ تعادل، فيما يتعلق بالقصور الذاتي، كمية من الطاقة μc ² . [...] يبدو من الطبيعي أكثر أن نعتبر كل كتلة بالقصور الذاتي مخزنًا للطاقة". ^{[74] [75] استخدم} الكيميائيان الفيزيائيان الأمريكيان جيلبرت ن. لويس وريتشارد سي . تولمان نسختين مختلفتين من الصيغة في عام 1909: م =هـ/ج ²و م 0 =_​​هـ ₀/ج ²⁠ ، حيث E هي الطاقة النسبية (طاقة الجسم عندما يتحرك)، و E ₀ هي طاقة السكون (الطاقة عندما لا يتحرك)، و m هي الكتلة النسبية (كتلة السكون والكتلة الإضافية المكتسبة عند الحركة)، و m ₀ هي كتلة السكون. ^[76] استخدم لورنتز نفس العلاقات في تدوين مختلف في عامي 1913 و1914، على الرغم من أنه وضع الطاقة على الجانب الأيسر: ε = Mc ² و ε ₀ = mc ² ، حيث ε هي الطاقة الكلية (طاقة السكون بالإضافة إلى الطاقة الحركية) لنقطة مادة متحركة، و ε ₀ هي طاقة سكونها، و M هي الكتلة النسبية، و m هي الكتلة الثابتة. ^[77]

في عام 1911، قدم الفيزيائي الألماني ماكس فون لاوي دليلاً أكثر شمولاً على أن M ₀ = ⁠هـ ₀/ج ²من موتر الإجهاد والطاقة ، ^[78] والذي تم تعميمه لاحقًا بواسطة عالم الرياضيات الألماني فيليكس كلاين في عام 1918. ^[79]

عاد أينشتاين إلى هذا الموضوع مرة أخرى بعد الحرب العالمية الثانية ، وهذه المرة كتب E = mc ² في عنوان مقالته ^[80]، وكان المقصود من ذلك توضيح القارئ العام عن طريق القياس. ^[81]

تم اقتراح نسخة بديلة من تجربة أينشتاين الفكرية من قبل الفيزيائي النظري الأمريكي فريتز رورليش في عام 1990، والذي استند في استدلاله على تأثير دوبلر . ^[82] مثل أينشتاين، اعتبر جسمًا ساكنًا بكتلة M. إذا تم فحص الجسم في إطار يتحرك بسرعة غير نسبية v ، فإنه لم يعد ساكنًا وفي الإطار المتحرك يكون له زخم P = Mv . ثم افترض أن الجسم يصدر نبضتين من الضوء إلى اليسار وإلى اليمين، تحمل كل منهما كمية متساوية من الطاقة ⁠هـ/2في إطار سكونه، يظل الجسم ساكنًا بعد الانبعاث لأن الشعاعين متساويان في القوة ويحملان زخمًا متعاكسًا. ومع ذلك، إذا تم النظر في نفس العملية في إطار يتحرك بسرعة v إلى اليسار، فإن النبضة التي تتحرك إلى اليسار تتحول إلى اللون الأحمر ، بينما تتحول النبضة التي تتحرك إلى اليمين إلى اللون الأزرق . يحمل الضوء الأزرق زخمًا أكبر من الضوء الأحمر، وبالتالي فإن زخم الضوء في الإطار المتحرك غير متوازن: يحمل الضوء بعض الزخم الصافي إلى اليمين. لم يغير الجسم سرعته قبل أو بعد الانبعاث. ومع ذلك، فقد في هذا الإطار بعض الزخم الأيمن للضوء. الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يفقد بها الزخم هي فقدان الكتلة. هذا يحل أيضًا مفارقة إشعاع بوانكاريه. السرعة صغيرة، لذا فإن الضوء المتحرك إلى اليمين يتحول إلى اللون الأزرق بمقدار يساويعامل إزاحة دوبلر غير النسبي 1 −ف/ج. زخم الضوء هو طاقته مقسومة على c ، ويزداد بعامل ⁠ف/ج. لذا فإن الضوء المتحرك إلى اليمين يحمل زخمًا إضافيًا Δ P يعطى بالعلاقة:

${\displaystyle \Delta P={v \over c}{E \over 2c}.}$

يحمل الضوء المتحرك إلى اليسار زخمًا أقل قليلاً، بنفس المقدار Δ P . لذا فإن الزخم الأيمن الكلي في كل من نبضتي الضوء هو ضعف Δ P . وهذا هو الزخم الأيمن الذي فقده الجسم.

${\displaystyle 2\Delta P=v{E \over c^{2}}.}$

يتم تقليل زخم الجسم في الإطار المتحرك بعد الانبعاث إلى هذا المقدار:

${\displaystyle P'=Mv-2\Delta P=\left(M-{E \over c^{2}}\right)v.}$

لذا فإن التغير في كتلة الجسم يساوي إجمالي الطاقة المفقودة مقسومًا على c ^2. ونظرًا لأن أي انبعاث للطاقة يمكن أن يتم من خلال عملية من خطوتين، حيث يتم أولاً انبعاث الطاقة على شكل ضوء ثم يتم تحويل الضوء إلى شكل آخر من أشكال الطاقة، فإن أي انبعاث للطاقة يكون مصحوبًا بفقدان الكتلة. وبالمثل، من خلال النظر في الامتصاص، فإن اكتساب الطاقة يكون مصحوبًا باكتساب الكتلة.

لقد لوحظ سريعًا بعد اكتشاف النشاط الإشعاعي في عام 1897 أن إجمالي الطاقة الناتجة عن العمليات الإشعاعية أكبر بحوالي مليون مرة من تلك التي تنطوي عليها أي تغير جزيئي معروف، مما أثار التساؤل حول مصدر الطاقة. بعد استبعاد فكرة امتصاص وانبعاث نوع ما من جسيمات الأثير ليساجيان، اقترح الفيزيائي النيوزيلندي إرنست رذرفورد والكيميائي الإشعاعي البريطاني فريدريك سودي في عام 1903 وجود كمية هائلة من الطاقة الكامنة، المخزنة داخل المادة. اقترح رذرفورد أيضًا أن هذه الطاقة الداخلية مخزنة داخل المادة العادية أيضًا. استمر في التكهن في عام 1904: "إذا كان من الممكن التحكم في معدل تفكك العناصر المشعة حسب الرغبة، فيمكن الحصول على كمية هائلة من الطاقة من كمية صغيرة من المادة". ^{[83] [84] [85]}

لا تفسر معادلة أينشتاين الطاقات الكبيرة المنبعثة في الاضمحلال الإشعاعي، ولكن يمكن استخدامها لقياسها. التفسير النظري للاضمحلال الإشعاعي يقدمه القوى النووية المسؤولة عن تماسك الذرات، على الرغم من أن هذه القوى كانت لا تزال غير معروفة في عام 1905. كان رذرفورد قد قاس سابقًا الطاقة الهائلة المنبعثة من الاضمحلال الإشعاعي وكان قياسها أسهل بكثير من التغير الطفيف في الكتلة الإجمالية للمواد نتيجة لذلك. يمكن لمعادلة أينشتاين، من الناحية النظرية، أن تعطي هذه الطاقات عن طريق قياس فروق الكتلة قبل وبعد التفاعلات، ولكن في الممارسة العملية، كانت هذه الفروق في الكتلة في عام 1905 لا تزال صغيرة جدًا بحيث لا يمكن قياسها بالجملة. قبل ذلك، كان يُعتقد أن سهولة قياس طاقات الاضمحلال الإشعاعي باستخدام مقياس السعرات الحرارية من المحتمل أن تسمح بقياس التغيرات في فرق الكتلة، كاختبار لمعادلة أينشتاين نفسها. يذكر أينشتاين في ورقته البحثية عام 1905 أنه ربما يمكن اختبار تكافؤ الكتلة والطاقة من خلال الاضمحلال الإشعاعي، والذي كان معروفًا بحلول ذلك الوقت أنه يطلق طاقة كافية لـ "وزنه" عند فقده من النظام. ولكن يبدو أن النشاط الإشعاعي كان يتقدم بوتيرته غير القابلة للتغيير، وحتى عندما أصبحت التفاعلات النووية البسيطة ممكنة باستخدام القصف بالبروتونات، فقد ثبت أن فكرة إمكانية تحرير هذه الكميات الهائلة من الطاقة القابلة للاستخدام حسب الرغبة وبأي قدر من التطبيق العملي، فكرة صعبة الإثبات. وفي عام 1933، أعلن رذرفورد أن هذه الطاقة لا يمكن استغلالها بكفاءة: "إن أي شخص يتوقع مصدراً للطاقة من تحول الذرة لا يعدو أن يكون هراءً ". ^[86]

تغير هذا المنظور بشكل كبير في عام 1932 مع اكتشاف النيوترون وكتلته، مما سمح بحساب فروق الكتلة للنويدات المفردة وتفاعلاتها بشكل مباشر، ومقارنتها بمجموع كتل الجسيمات التي تشكل تركيبها. في عام 1933، سمحت الطاقة المنبعثة من تفاعل الليثيوم 7 زائد البروتونات مما أدى إلى ظهور جسيمين ألفا ، باختبار معادلة أينشتاين بخطأ ±0.5٪. ^[87] ومع ذلك، ما زال العلماء لا يرون مثل هذه التفاعلات كمصدر عملي للطاقة، بسبب تكلفة الطاقة لتسريع جزيئات التفاعل. بعد العرض العام للطاقات الضخمة المنبعثة من الانشطار النووي بعد القصف الذري لهيروشيما وناجازاكي في عام 1945، أصبحت المعادلة E = mc ² مرتبطة بشكل مباشر في نظر الجمهور بقوة وخطورة الأسلحة النووية. ظهرت المعادلة في الصفحة الثانية من تقرير سميث ، وهو التقرير الرسمي الذي أصدرته الحكومة الأمريكية عام 1945 حول تطوير القنبلة الذرية، وبحلول عام 1946 ارتبطت المعادلة ارتباطًا وثيقًا بعمل أينشتاين لدرجة أن غلاف مجلة تايم ظهر بشكل بارز بصورة لأينشتاين بجوار صورة سحابة عيش الغراب مزينة بالمعادلة. ^[88] لم يكن لأينشتاين نفسه سوى دور ثانوي في مشروع مانهاتن : فقد شارك في التوقيع على رسالة إلى رئيس الولايات المتحدة في عام 1939 يحث فيها على تمويل الأبحاث في مجال الطاقة الذرية، محذرًا من أن القنبلة الذرية ممكنة نظريًا. أقنعت الرسالة روزفلت بتخصيص جزء كبير من ميزانية الحرب للأبحاث الذرية. بدون تصريح أمني، كانت المساهمة العلمية الوحيدة لأينشتاين هي تحليل طريقة فصل النظائر من الناحية النظرية. كان الأمر غير ذي أهمية، نظرًا لعدم إعطاء أينشتاين معلومات كافية للعمل بشكل كامل على المشكلة. ^[89]

في حين أن E = mc ² مفيدة لفهم كمية الطاقة التي يمكن إطلاقها في تفاعل الانشطار، إلا أنه لم يكن من الضروري تمامًا تطوير السلاح، بمجرد معرفة عملية الانشطار وقياس طاقتها عند 200  ميجا إلكترون فولت (وهو ما كان ممكنًا بشكل مباشر، باستخدام عداد جايجر الكمي ، في ذلك الوقت). لاحظ الفيزيائي والمشارك في مشروع مانهاتن روبرت سيربر أنه بطريقة ما "ترسخ المفهوم الشائع منذ فترة طويلة بأن نظرية النسبية لأينشتاين، وخاصة معادلته E = mc ² ، تلعب دورًا أساسيًا في نظرية الانشطار. كان لأينشتاين دور في تنبيه حكومة الولايات المتحدة إلى إمكانية بناء قنبلة ذرية، لكن نظريته النسبية ليست مطلوبة في مناقشة الانشطار. نظرية الانشطار هي ما يسميه الفيزيائيون نظرية غير نسبية، مما يعني أن التأثيرات النسبية صغيرة جدًا بحيث لا تؤثر على ديناميكيات عملية الانشطار بشكل كبير." ^{[ملاحظة 7]} هناك وجهات نظر أخرى حول أهمية المعادلة للتفاعلات النووية. في أواخر عام 1938، استخدم الفيزيائيان النمساويان السويديان ليز مايتنر وأوتو روبرت فريش — أثناء نزهة شتوية حلوا خلالها معنى نتائج هان التجريبية وقدموا الفكرة التي ستسمى الانشطار الذري — معادلة أينشتاين بشكل مباشر لمساعدتهم على فهم الطاقة الكمية للتفاعل الذي تغلب على القوى "الشبيهة بالتوتر السطحي" التي تربط النواة معًا، وسمح لشظايا الانشطار بالانفصال إلى تكوين يمكن لشحناتها من خلاله أن تجبرها على الانشطار النشط . للقيام بذلك، استخدموا كسر التعبئة ، أو قيم طاقة الربط النووي للعناصر. هذا، جنبًا إلى جنب مع استخدام E = mc ² سمح لهم بإدراك على الفور أن عملية الانشطار الأساسية ممكنة من الناحية الطاقية. ^[90]

وفقًا لمشروع أوراق أينشتاين في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا والجامعة العبرية في القدس ، لم يتبق سوى أربع نسخ معروفة من هذه المعادلة كما كتبها أينشتاين. إحدى هذه النسخ هي رسالة مكتوبة باللغة الألمانية إلى لودفيك سيلبرشتاين ، والتي كانت في أرشيفات سيلبرشتاين، وبيعت في مزاد مقابل 1.2 مليون دولار، وفقًا لما ذكرته دار RR للمزادات في بوسطن بولاية ماساتشوستس في 21 مايو 2021. ^[91]

• أينشتاين عن القصور الذاتي للطاقة – MathPages
• فيلم أينشتاين يوضح تكافؤ الكتلة والطاقة
• الكتلة والطاقة – محادثات حول العلوم مع الفيزيائي النظري مات ستراسلر
• تكافؤ الكتلة والطاقة – مدخل إلى موسوعة ستانفورد للفلسفة
• ميريفيلد، مايكل؛ كوبلاند، إد؛ باولي، روجر. "E=mc2 – تكافؤ الكتلة والطاقة". ستون رمزًا . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .