قوانين كيبلر لحركة الكواكب

جزء من سلسلة عن
ديناميكا الفضاء
ميكانيكا المدارات
العناصر المدارية أبسيس حجة الحضيض غرابة الميل متوسط ​​الشذوذ العقد المدارية المحور شبه الرئيسي شذوذ حقيقي
أنواع مدارات الجسمين حسب الانحراف مدار دائري مدار إهليلجي مدار النقل ( مدار نقل هوهمان مدار نقل ثنائي الإهليلجي مدار مكافئ مدار زائدي مدار شعاعي مدار متدهور
المعادلات الاحتكاك الديناميكي سرعة الهروب معادلة كيبلر قوانين كيبلر لحركة الكواكب الفترة المدارية السرعة المدارية الجاذبية السطحية الطاقة المدارية النوعية معادلة فيس-فيفا
ميكانيكا سماوية
التأثيرات الجاذبية مركز الثقل كرة التل الاضطرابات مجال النفوذ
مدارات الجسم N نقاط لاغرانج ( مدارات الهالة ) مدارات ليساجوس مدارات ليابونوف
الهندسة والكفاءة
هندسة ما قبل الطيران نسبة الكتلة جزء الحمولة نسبة كتلة الدافع معادلة صاروخ تسيولكوفسكي
تدابير الكفاءة مساعدة الجاذبية تأثير أوبيرث
المناورات الدفعية المناورة المدارية إدخال المدار
ف ت هـ

في علم الفلك ، تصف قوانين كيبلر لحركة الكواكب ، التي نشرها يوهانس كيبلر بدون القانون الثالث في عام 1609 وبشكل كامل في عام 1619، مدارات الكواكب حول الشمس. حلت هذه القوانين محل المدارات الدائرية والمدارات الدائرية في نظرية مركزية الشمس لنيكولاس كوبرنيكوس بمدارات إهليلجية وشرحت كيف تختلف سرعات الكواكب. تنص القوانين الثلاثة على ما يلي: ^{[1] [2]}

1. مدار الكوكب عبارة عن قطع ناقص تكون الشمس عند إحدى البؤرتين .
2. يقوم الخط المستقيم الواصل بين كوكب والشمس بمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية.
3. مربع الفترة المدارية للكوكب يتناسب مع مكعب طول نصف المحور الرئيسي لمداره.

تم تحديد المدارات الإهليلجية للكواكب من خلال حسابات مدار المريخ . ومن هذا، استنتج كبلر أن الأجسام الأخرى في النظام الشمسي ، بما في ذلك تلك البعيدة عن الشمس، لها أيضًا مدارات إهليلجية. ينص القانون الثاني على أنه عندما يكون الكوكب أقرب إلى الشمس، فإنه يسافر بشكل أسرع. ينص القانون الثالث على أنه كلما كان الكوكب بعيدًا عن الشمس، كلما كانت فترة مداره أطول.

أظهر إسحاق نيوتن في عام 1687 أن العلاقات مثل علاقات كيبلر يمكن تطبيقها في النظام الشمسي كنتيجة لقوانينه الخاصة بالحركة وقانون الجاذبية الكونية .

تم العثور على نهج تاريخي أكثر دقة في Astronomia nova و Epitome Astronomiae Copernicanae .

لقد أدت قوانين يوهانس كيبلر إلى تحسين نموذج كوبرنيكوس . فوفقًا لكوبرنيكوس: ^{[3] [4]}

1. المدار الكوكبي عبارة عن دائرة تحتوي على دوائر دائرية.
2. تقع الشمس تقريبًا في مركز المدار.
3. سرعة الكوكب في المدار الرئيسي ثابتة.

على الرغم من صحة قوله بأن الكواكب تدور حول الشمس، إلا أن كوبرنيكوس كان مخطئًا في تحديد مداراتها. وبتقديم تفسيرات فيزيائية للحركة في الفضاء تتجاوز مجرد الهندسة، حدد كيبلر مدار الكواكب بشكل صحيح على النحو التالي: ^{[1] [2] [5] : 53–54}

1. المدار الكوكبي ليس دائرة بها دوائر دائرية، بل هو عبارة عن قطع ناقص .
2. الشمس ليست في المركز بل في نقطة محورية للمدار الإهليلجي.
3. لا تكون السرعة الخطية ولا السرعة الزاوية للكوكب في المدار ثابتة، ولكن سرعة المساحة (المرتبطة ارتباطًا وثيقًا تاريخيًا بمفهوم الزخم الزاوي ) ثابتة.

إن انحراف مدار الأرض يجعل الوقت من الاعتدال الربيعي إلى الاعتدال الربيعي حوالي 186 يومًا، غير مساوٍ للوقت من الاعتدال الربيعي إلى الاعتدال الربيعي حوالي 179 يومًا. إن القطر من شأنه أن يقطع المدار إلى أجزاء متساوية، ولكن المستوى الذي يمر عبر الشمس الموازي لخط استواء الأرض يقطع المدار إلى قسمين بمساحتين بنسبة 186 إلى 179، وبالتالي فإن انحراف مدار الأرض يكون تقريبًا

${\displaystyle e\approx {\frac {\pi }{4}}{\frac {186-179}{186+179}}\approx 0.015,}$

وهو قريب من القيمة الصحيحة (0.016710218). تتطلب دقة هذا الحساب أن يكون التاريخان المختاران على طول المحور الأصغر للمدار الإهليلجي وأن تكون نقاط المنتصف لكل نصف على طول المحور الرئيسي. ونظرًا لأن التاريخين المختارين هنا هما الاعتدالان، فسيكون هذا صحيحًا عندما يقع الحضيض ، وهو التاريخ الذي تكون فيه الأرض أقرب إلى الشمس، في الانقلاب الصيفي . والحضيض الحالي، بالقرب من 4 يناير، قريب إلى حد ما من الانقلاب الصيفي في 21 أو 22 ديسمبر.

استغرق الأمر ما يقرب من قرنين من الزمان حتى تتخذ الصياغة الحالية لعمل كبلر شكلها المستقر. كان كتاب فولتير Eléments de la philosophie de Newton ( عناصر فلسفة نيوتن ) لعام 1738 أول منشور يستخدم مصطلحات "القوانين". ^{[6] [7]} تنص الموسوعة السيرية للفلكيين في مقالها عن كبلر (ص 620) على أن مصطلحات القوانين العلمية لهذه الاكتشافات كانت حديثة على الأقل منذ زمن جوزيف دي لالاند . ^[8] كان عرض روبرت سمول في كتابه An account of the astronical discoverys of Kepler (1814) هو الذي شكل مجموعة القوانين الثلاثة، بإضافة القانون الثالث. ^[9] كما ادعى سمول، ضد التاريخ، أن هذه كانت قوانين تجريبية ، تستند إلى الاستدلال الاستقرائي . ^{[7] [10]}

علاوة على ذلك، فإن الاستخدام الحالي لـ "قانون كبلر الثاني" هو تسمية خاطئة إلى حد ما. كان لدى كبلر نسختان، مرتبطتان بمعنى نوعي: "قانون المسافة" و"قانون المساحة". "قانون المساحة" هو ما أصبح القانون الثاني في مجموعة الثلاثة؛ لكن كبلر نفسه لم يعطه امتيازًا بهذه الطريقة. ^[11]

نشر كبلر أول قانونين له حول حركة الكواكب في عام 1609، ^[12] بعد أن وجدهما من خلال تحليل الملاحظات الفلكية لتيكو براهي . ^{[13] [14] [15] [5] : 53} نُشر قانون كبلر الثالث في عام 1619. ^{[16] [14]} كان كبلر يؤمن بنموذج كوبرنيكوس للنظام الشمسي، والذي دعا إلى مدارات دائرية، لكنه لم يستطع التوفيق بين ملاحظات براهي الدقيقة للغاية والملاءمة الدائرية لمدار المريخ - المريخ لديه مصادفة أعلى درجة انحراف من بين جميع الكواكب باستثناء عطارد. ^[17] يعكس قانونه الأول هذا الاكتشاف.

في عام 1621، لاحظ كبلر أن قانونه الثالث ينطبق على ألمع أربعة أقمار لكوكب المشتري . ^{[ملاحظة 1]} كما أدلى جودفري ويندلين بهذه الملاحظة في عام 1643. ^{[ملاحظة 2] وقد طعن} نيكولاس ميركاتور في القانون الثاني، في شكل "قانون المساحة"، في كتاب من عام 1664، ولكن بحلول عام 1670 كانت معاملاته الفلسفية لصالحه. ^{[18] [19]} ومع تقدم القرن أصبح مقبولًا على نطاق واسع. ^[20] تغير الاستقبال في ألمانيا بشكل ملحوظ بين عام 1688، وهو العام الذي نُشر فيه كتاب نيوتن " المبادئ" والذي اعتُبر أساسًا كوبرنيكوسيًا، وعام 1690، وهو الوقت الذي نُشر فيه عمل جوتفريد لايبنيز عن كبلر. ^[21]

يُنسب إلى نيوتن فهم أن القانون الثاني ليس خاصًا بقانون التربيع العكسي للجاذبية، كونه نتيجة للطبيعة الشعاعية لذلك القانون، في حين تعتمد القوانين الأخرى على الشكل التربيعي العكسي للجاذبية. حدد كارل رونج وويلهلم لينز بعد ذلك بكثير مبدأ التناظر في فضاء الطور لحركة الكواكب ( المجموعة المتعامدة O(4)) والذي يفسر القانونين الأول والثالث في حالة الجاذبية النيوتونية، كما يفعل قانون الحفاظ على الزخم الزاوي من خلال التناظر الدوراني للقانون الثاني. ^[22]

النموذج الرياضي لحركية الكوكب الخاضع للقوانين يسمح بإجراء مجموعة كبيرة من الحسابات الإضافية.

ينص قانون كبلر الأول على أن:

مدار كل كوكب هو عبارة عن قطع ناقص، والشمس في إحدى البؤرتين .

من الناحية الرياضية، يمكن تمثيل القطع الناقص بالصيغة التالية:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},}$

حيث يمثل المستقيم شبه المستقيم ، وε هو انحراف القطع الناقص، و r هي المسافة من الشمس إلى الكوكب، و θ هي الزاوية بين الموضع الحالي للكوكب وأقرب نقطة له كما يُرى من الشمس. لذا فإن ( r ،  θ ) إحداثيات قطبية . ${\displaystyle p}$

بالنسبة للقطع الناقص 0 <  ε  < 1؛ وفي الحالة المحدودة ε = 0، يكون المدار عبارة عن دائرة مع الشمس في المركز (أي حيث يكون الانحراف صفرًا).

عند θ = 0°، الحضيض ، تكون المسافة في أدنى حد لها

${\displaystyle r_{\min }={\frac {p}{1+\varepsilon }}}$

عند θ = 90° وعند θ = 270° تكون المسافة مساوية لـ . ${\displaystyle p}$

عند θ = 180°، الأوج ، تكون المسافة هي الحد الأقصى (حسب التعريف، الأوج هو - دائمًا - الحضيض بالإضافة إلى 180°)

${\displaystyle r_{\max }={\frac {p}{1-\varepsilon }}}$

المحور شبه الرئيسي a هو المتوسط ​​الحسابي بين r _min و r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\max }+r_{\min }}{2}}\\[3pt]a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}\end{aligned}}}$

المحور شبه الثانوي b هو المتوسط ​​الهندسي بين r _min و r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\max }r_{\min }}}\\[3pt]b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}}$

المستقيم شبه العريض p هو المتوسط ​​التوافقي بين r _min و r _max :

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\max }^{-1}+r_{\min }^{-1}}{2}}\right)^{-1}\\pa&=r_{\max }r_{\min }=b^{2}\,\end{aligned}}}$

الانحراف ε هو معامل التباين بين r _min و r _max :

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\max }-r_{\min }}{r_{\max }+r_{\min }}}.}$

مساحة القطع الناقص هي

${\displaystyle A=\pi ab\,.}$

الحالة الخاصة للدائرة هي ε = 0، مما يؤدي إلى r = p = r _min = r _max = a = b و A = πr ² .

ينص قانون كبلر الثاني على أن:

الخط الواصل بين كوكب والشمس يمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية. ^[23]

سيتغير نصف قطر المدار والسرعة الزاوية للكوكب في المدار الإهليلجي. ويظهر ذلك في الرسوم المتحركة: يتحرك الكوكب بشكل أسرع عندما يكون أقرب إلى الشمس، ثم بشكل أبطأ عندما يكون بعيدًا عن الشمس. وينص قانون كبلر الثاني على أن القطاع الأزرق له مساحة ثابتة.

توصل كيبلر إلى هذا القانون من خلال افتراضات كانت إما صحيحة تقريبًا أو خاطئة تمامًا ويمكن تلخيصها على النحو التالي:

1. تتحرك الكواكب حول الشمس بقوة من الشمس. ويعتمد هذا الافتراض الخاطئ على الفيزياء الأرسطية غير الصحيحة التي تقول إن الجسم يحتاج إلى الدفع للحفاظ على الحركة.
2. إن القوة الدافعة من الشمس تتناسب عكسياً مع المسافة من الشمس. وقد استنتج كيبلر ذلك، معتقداً أن انتشار الجاذبية في ثلاثة أبعاد سيكون مضيعة، لأن الكواكب تسكن مستوى. وبالتالي، فإن قانون التربيع العكسي هو عكسي وليس صحيحاً.
3. ولأن كبلر كان يعتقد أن القوة تتناسب طرديًا مع السرعة، فقد نتج عن البيانين رقم 1 ورقم 2 أن السرعة تتناسب عكسيًا مع المسافة من الشمس. وهذا أيضًا مبدأ غير صحيح في الفيزياء الأرسطية.
4. نظرًا لأن السرعة تتناسب عكسيًا مع الزمن، فإن المسافة من الشمس تتناسب طرديًا مع الزمن اللازم لتغطية جزء صغير من المدار. وهذا ينطبق تقريبًا على المدارات الإهليلجية.
5. المساحة التي تم مسحها تتناسب طرديًا مع الوقت الإجمالي. وهذا صحيح تقريبًا أيضًا.
6. إن مدارات الكواكب دائرية (اكتشف كيبلر قانونه الثاني قبل قانونه الأول، الذي يتناقض مع هذا).

ومع ذلك، فإن نتيجة القانون الثاني صحيحة تمامًا، لأنها تعادل منطقيًا الحفاظ على الزخم الزاوي، وهو ما ينطبق على أي جسم يتعرض لقوة متناظرة شعاعيًا. ^[24] ويمكن إظهار دليل صحيح من خلال هذا. نظرًا لأن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يعطي مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتلك أضلاع هذين المتجهين، فإن مساحة المثلث dA التي تم مسحها في فترة زمنية قصيرة تُعطى بنصف حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهي r و dx ، لبعض الأجزاء القصيرة من المدار، dx .

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {dx}})={\frac {1}{2}}({\vec {r }}\مرات {\vec {v}}dt)}$ لقطعة صغيرة من المدار dx والوقت لتغطيتها dt .

هكذا${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {v}}).}$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{m}}{\frac {1}{2}}({\vec {r}}\times {\vec {p}}).}$

نظرًا لأن التعبير النهائي يتناسب مع الزخم الزاوي الكلي ، فإن قانون كيبلر للمساحة المتساوية سوف ينطبق على أي نظام يحافظ على الزخم الزاوي. نظرًا لأن أي قوة شعاعية لن تنتج عزم دوران على حركة الكوكب، فإن الزخم الزاوي سوف يكون محفوظًا. ${\displaystyle ({\vec {r}}\times {\vec {p}})}$

في وقت قصير، يكتسح الكوكب مثلثًا صغيرًا له خط قاعدة وارتفاع ومساحة ، لذا فإن السرعة المساحية الثابتة هي${\displaystyle dt}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\,d\theta }$${\textstyle dA={\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

المساحة التي يحيط بها المدار الإهليلجي هي . لذا فإن الفترة تلبي ${\displaystyle \pi ab}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab}$

ومتوسط ​​حركة الكوكب حول الشمس

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$

يرضي

${\displaystyle r^{2}\,d\theta =abn\,dt.}$

وهكذا،$${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {abn}{2}}={\frac {\pi ab}{T}}.}$$

مدارات الكواكب ذات الانحرافات المختلفة.

قليل	عالي
كوكب يدور حول الشمس في مدار دائري (e=0.0)	كوكب يدور حول الشمس في مدار حيث e=0.5
كوكب يدور حول الشمس في مدار حيث e=0.2	كوكب يدور حول الشمس في مدار حيث e=0.8
يدور الشعاع الأحمر بسرعة زاوية ثابتة وبنفس الفترة المدارية التي يدور بها الكوكب . ${\displaystyle T=1}$ S: الشمس في البؤرة الأساسية، C: مركز القطع الناقص، S': البؤرة الثانوية. في كل حالة، تكون مساحة جميع القطاعات الموضحة متطابقة.

ينص قانون كبلر الثالث على أن:

تكون نسبة مربع الفترة المدارية لجسم إلى مكعب نصف المحور الرئيسي لمداره هي نفسها لجميع الأجسام التي تدور حول نفس المحور الأساسي.

يلتقط هذا الشكل العلاقة بين مسافة الكواكب عن الشمس، وفتراتها المدارية.

صاغ كبلر هذا القانون الثالث في عام 1619 ^[16] في محاولة شاقة لتحديد ما اعتبره "موسيقى الكرات " وفقًا لقوانين دقيقة، والتعبير عنها من حيث التدوين الموسيقي. ^[25] لذلك عُرف باسم القانون التوافقي . ^[26] الشكل الأصلي لهذا القانون (لا يشير إلى المحور شبه الرئيسي، بل إلى "المسافة المتوسطة") ينطبق فقط على الكواكب ذات الانحرافات الصغيرة بالقرب من الصفر. ^[27]

وباستخدام قانون نيوتن للجاذبية (المنشور عام 1687)، يمكن إيجاد هذه العلاقة في حالة المدار الدائري عن طريق ضبط القوة المركزية بحيث تساوي قوة الجاذبية:

${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}$

وبعد ذلك، فإن التعبير عن السرعة الزاوية ω من حيث الفترة المدارية ثم إعادة ترتيبها يؤدي إلى قانون كبلر الثالث: ${\displaystyle {T}}$

${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\implies T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\implies T^{2}\propto r^{3}}$

يمكن إجراء استنتاج أكثر تفصيلاً باستخدام مدارات إهليلجية عامة، بدلاً من الدوائر، وكذلك الدوران حول مركز الكتلة، بدلاً من الكتلة الكبيرة فقط. يؤدي هذا إلى استبدال نصف القطر الدائري، ، بالمحور شبه الرئيسي، ، للحركة النسبية الإهليلجية لكتلة واحدة بالنسبة للأخرى، بالإضافة إلى استبدال الكتلة الكبيرة بـ . ومع ذلك، نظرًا لأن كتل الكواكب أصغر كثيرًا من الشمس، غالبًا ما يتم تجاهل هذا التصحيح. الصيغة المقابلة الكاملة هي: ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M+m}$

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}}}$

أين كتلة الشمس ، كتلة الكوكب، ثابت الجاذبية ، الفترة المدارية و نصف المحور الإهليلجي الرئيسي، الوحدة الفلكية ، المسافة المتوسطة من الأرض إلى الشمس. ${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{AU}}}$

يوضح الجدول التالي البيانات التي استخدمها كيبلر لاستنتاج قانونه تجريبياً:

البيانات المستخدمة بواسطة كيبلر (1618)

كوكب	متوسط ​​المسافة إلى الشمس (AU)	الفترة (أيام)	${\textstyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10-6 AU  3 / يوم 2 )
الزئبق	0.389	87.77	7.64
الزهرة	0.724	224.70	7.52
أرض	1	365.25	7.50
المريخ	1.524	686.95	7.50
كوكب المشترى	5.20	4332.62	7.49
زحل	9.510	10759.2	7.43

أدرك كيبلر اختراع جون نابير الأخير للوغاريتمات والرسوم البيانية اللوغاريتمية قبل أن يكتشف النمط. ^[28]

عند العثور على هذا النمط كتب كيبلر: ^[29]

اعتقدت في البداية أنني كنت أحلم... ولكن من المؤكد تمامًا أن النسبة الموجودة بين فترات زمنية لأي كوكبين هي بالضبط نسبة القوة 3/2 من المسافة المتوسطة.

—  ترجمة من كتاب انسجامات العالم لكبلر (1619)

للمقارنة، فيما يلي التقديرات الحديثة: ^{[ بحاجة لمصدر ]}

البيانات الحديثة

كوكب	المحور شبه الرئيسي (AU)	الفترة (أيام)	${\textstyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}}$ (10-6 AU  3 / يوم 2 )
الزئبق	0.38710	87.9693	7.496
الزهرة	0.72333	224.7008	7.496
أرض	1	365.2564	7.496
المريخ	1.52366	686.9796	7.495
كوكب المشترى	5.20336	4332.8201	7.504
زحل	9.53707	10775.599	7.498
أورانوس	19.1913	30687.153	7.506
نبتون	30.0690	60190.03	7.504

قام إسحاق نيوتن بحساب تسارع كوكب يتحرك وفقًا لقانوني كبلر الأول والثاني في كتابه "المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية" .

1. إتجاه التسارع هو نحو الشمس .
2. إن مقدار التسارع يتناسب عكسيا مع مربع مسافة الكوكب عن الشمس ( قانون التربيع العكسي ).

وهذا يعني أن الشمس قد تكون السبب الفيزيائي لتسارع الكواكب. ومع ذلك، يذكر نيوتن في كتابه Principia أنه ينظر إلى القوى من وجهة نظر رياضية، وليس فيزيائية، وبالتالي يتبنى وجهة نظر آلية. ^[30] وعلاوة على ذلك، فهو لا ينسب سببًا للجاذبية. ^[31]

عرّف نيوتن القوة المؤثرة على كوكب بأنها حاصل ضرب كتلته في تسارعه (انظر قوانين نيوتن للحركة ). إذن:

1. كل الكواكب تنجذب نحو الشمس.
2. القوة المؤثرة على كوكب تتناسب طرديًا مع كتلة الكوكب وتتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بينه وبين الشمس.

تلعب الشمس دورًا غير متماثل، وهو أمر غير مبرر. لذا افترض في قانون نيوتن للجاذبية الكونية :

1. جميع الأجسام في النظام الشمسي تجذب بعضها البعض.
2. القوة بين جسمين تتناسب طرديا مع حاصل ضرب كتلتيهما، وعكسيا مع مربع المسافة بينهما.

نظرًا لأن الكواكب لها كتل صغيرة مقارنة بكتلة الشمس، فإن مداراتها تتوافق تقريبًا مع قوانين كبلر. يعمل نموذج نيوتن على تحسين نموذج كبلر، ويتناسب مع الملاحظات الفعلية بشكل أكثر دقة. (انظر مشكلة الجسمين .)

فيما يلي حساب مفصل لتسارع كوكب يتحرك وفقًا لقانوني كبلر الأول والثاني.

من وجهة نظر مركزية الشمس، ضع في اعتبارك المتجه إلى الكوكب حيث هو المسافة إلى الكوكب و هو متجه وحدة يشير إلى الكوكب. ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$$${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}}$$

أين هو متجه الوحدة الذي يكون اتجاهه 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة لـ ، و هي الزاوية القطبية، و حيث تشير النقطة الموجودة أعلى المتغير إلى التمايز فيما يتعلق بالزمن. ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \theta }$

قم بتمييز متجه الموضع مرتين للحصول على متجه السرعة ومتجه التسارع: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

إذن أين التسارع الشعاعي والتسارع العرضي ؟ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$$${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}}$$$${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

قانون كبلر الثاني يقول أن هذا ثابت. $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$

التسارع العرضي يساوي صفرًا: ${\displaystyle a_{\theta }}$$${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$

وبالتالي فإن تسارع الكوكب الذي يخضع لقانون كبلر الثاني يتجه نحو الشمس.

التسارع الشعاعي هو ${\displaystyle a_{\text{r}}}$$${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

ينص قانون كبلر الأول على أن المدار يوصف بالمعادلة: $${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$

التمييز فيما يتعلق بالوقت أو$${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }}}$$$${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

التفريق مرة أخرى $${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

التسارع الشعاعي يفي بالمتطلبات ${\displaystyle a_{\text{r}}}$$${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

استبدال معادلة القطع الناقص يعطي $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

العلاقة تعطي النتيجة النهائية البسيطة ${\displaystyle b^{2}=pa}$$${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$

وهذا يعني أن متجه تسارع أي كوكب يخضع لقانوني كبلر الأول والثاني يلبي قانون التربيع العكسي حيث هو ثابت، و هو متجه الوحدة الذي يشير من الشمس نحو الكوكب، و هو المسافة بين الكوكب والشمس. ${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$ $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$$$${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle r\,}$

نظرًا لأن متوسط ​​الحركة حيث هي الفترة، وفقًا لقانون كبلر الثالث، فإن لها نفس القيمة لجميع الكواكب. لذا فإن قانون التربيع العكسي لتسارع الكواكب ينطبق على جميع أنحاء النظام الشمسي. ${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha }$

قانون التربيع العكسي هو معادلة تفاضلية . تتضمن حلول هذه المعادلة التفاضلية الحركات الكبلرية، كما هو موضح، ولكنها تتضمن أيضًا الحركات حيث يكون المدار عبارة عن قطع زائد أو قطع مكافئ أو خط مستقيم . (انظر مدار كبلر .)

وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، فإن قوة الجاذبية المؤثرة على الكوكب هي: $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}\mathbf {\ddot {r}} =-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}}$$

أين هي كتلة الكوكب ولها نفس القيمة لجميع الكواكب في النظام الشمسي. وفقًا لقانون نيوتن الثالث ، تنجذب الشمس إلى الكوكب بقوة بنفس المقدار. نظرًا لأن القوة تتناسب مع كتلة الكوكب، بموجب الاعتبار المتماثل، فيجب أن تتناسب أيضًا مع كتلة الشمس، . إذن أين هو ثابت الجاذبية . ${\displaystyle m_{\text{planet}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$$${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}}}$$${\displaystyle G}$

إن تسارع الجسم رقم i في النظام الشمسي ، وفقًا لقوانين نيوتن، هو: حيث هي كتلة الجسم j ، هي المسافة بين الجسم i والجسم j ، هي متجه الوحدة من الجسم i نحو الجسم j ، ومجموع المتجهات هو على جميع الأجسام في النظام الشمسي، باستثناء الجسم i نفسه. $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$

في الحالة الخاصة حيث يوجد جسمين فقط في النظام الشمسي، الأرض والشمس، يصبح التسارع هو تسارع حركة كبلر. لذا فإن الأرض تدور حول الشمس وفقًا لقوانين كبلر. $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}}$$

إذا كان الجسمان في النظام الشمسي هما القمر والأرض فإن تسارع القمر يصبح $${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}}$$

وبناءً على هذا التقريب، يتحرك القمر حول الأرض وفقًا لقوانين كيبلر.

في حالة الجسم الثلاثي تكون التسارعات $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}\\\mathbf {\ddot {r}} _{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}\end{aligned}}}$$

هذه التسارعات ليست مثل تسارعات مدارات كبلر، ومشكلة الأجسام الثلاثة معقدة. لكن التقريب الكبلري هو الأساس لحسابات الاضطرابات . (انظر نظرية القمر ).

استخدم كيبلر قانونيه الأولين لحساب موقع كوكب كدالة للزمن. وتتضمن طريقته حل معادلة متعالية تسمى معادلة كيبلر .

تتم عملية حساب إحداثيات القطب الشمسي ( r ، θ ) لكوكب كدالة للوقت t منذ الحضيض الشمسي ، من خلال الخطوات الخمس التالية:

1. احسب متوسط ​​الحركة n = (2 π rad)/ P ، حيث P هي الفترة.
2. احسب متوسط ​​الشذوذ M = nt ، حيث t هو الوقت منذ الحضيض.
3. احسب الشذوذ المركزي E عن طريق حل معادلة كيبلر: حيث هو الشذوذ المركزي.$${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E,}$$${\displaystyle \varepsilon }$
4. احسب الشذوذ الحقيقي θ عن طريق حل المعادلة:$${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$
5. احسب المسافة مركزية الشمس r : حيث هو المحور شبه الرئيسي.$${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E),}$$${\displaystyle a}$

يمكن الآن كتابة إحداثيات القطبية للموضع ( r ، θ ) كمتجه ديكارتي ويمكن بعد ذلك حساب متجه السرعة الديكارتي على النحو التالي ، حيث هو معامل الجاذبية القياسي . ^[32]${\displaystyle \mathbf {p} =r\left\langle \cos {\theta },\sin {\theta }\right\rangle }$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\sqrt {\mu a}}{r}}\left\langle -\sin {E},{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\cos {E}\right\rangle }$${\displaystyle \mu }$

الحالة الخاصة المهمة للمدار الدائري، ε  = 0، تعطي θ = E = M. ولأن الحركة الدائرية المنتظمة كانت تعتبر حركة طبيعية ، فإن أي انحراف عن هذه الحركة كان يعتبر شذوذًا.

والدليل على هذا الإجراء موضح أدناه.

تفترض مشكلة كيبلر مدارًا بيضاويًا وأربع نقاط:

• حول الشمس (في إحدى بؤر القطع الناقص)؛
• من الحضيض​
• ج- مركز القطع الناقص
• ص الكوكب

و

• ${\displaystyle a=|cz|,}$المسافة بين المركز والحضيض، والمحور شبه الرئيسي،
• ${\displaystyle \varepsilon ={|cs| \over a},}$الغرابة
• ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$المحور شبه الثانوي،
• ${\displaystyle r=|sp|,}$المسافة بين الشمس والكوكب.
• ${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$الاتجاه إلى الكوكب كما نراه من الشمس، الشذوذ الحقيقي .

المشكلة هي حساب إحداثيات القطب ( r ، θ ) للكوكب من الوقت منذ الحضيض،  t .

يتم حلها على مراحل، اعتبر كبلر الدائرة ذات المحور الرئيسي بمثابة قطر، و

• ${\displaystyle x,}$إسقاط الكوكب على الدائرة المساعدة
• ${\displaystyle y,}$النقطة على الدائرة حيث تكون مساحات القطاعات | zcy | و | zsx | متساوية،
• ${\displaystyle M=\angle zcy,}$متوسط ​​الشذوذ .

ترتبط مجالات القطاع بـ${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

منطقة القطاع الدائري${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

المساحة التي تم مسحها منذ الحضيض الشمسي، تتناسب مع الزمن منذ الحضيض الشمسي وفقًا لقانون كبلر الثاني. لذا فإن متوسط ​​الشذوذ، M ، يتناسب مع الزمن منذ الحضيض الشمسي، t . حيث n هو متوسط ​​الحركة . $${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$$${\displaystyle M=nt,}$$

عندما يتم حساب متوسط ​​الشذوذ M ، فإن الهدف هو حساب الشذوذ الحقيقي θ . ومع ذلك، فإن الدالة θ  =  f ( M ) ليست أولية. ^[33] حل كيبلر هو استخدام x كما يُرى من المركز، والشذوذ اللامركزي كمتغير وسيط، وحساب E أولاً كدالة لـ M عن طريق حل معادلة كيبلر أدناه، ثم حساب الشذوذ الحقيقي θ من الشذوذ اللامركزي E. فيما يلي التفاصيل. $${\displaystyle E=\angle zcx,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|\\with|scx|&={\frac {|cs|.|dx|}{2}}\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}\end{aligned}}}$$

القسمة على 2/2 تعطي معادلة ^كبلر $${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$

تعطي هذه المعادلة قيمة M كدالة لقيمة E. وتحديد قيمة E لقيمة M معينة هو المشكلة العكسية. تُستخدم الخوارزميات العددية التكرارية بشكل شائع.

بعد حساب الشذوذ اللامركزي E ، فإن الخطوة التالية هي حساب الشذوذ الحقيقي  θ .

لكن لاحظ: إحداثيات الموضع الديكارتي بالنسبة لمركز القطع الناقص هي ( a  cos  E ,  b  sin  E )

بالنسبة للشمس (بالإحداثيات ( c ,0) = ( ae ,0))، r = ( a  cos  E – ae , b  sin  E )

الشذوذ الحقيقي سيكون arctan( r _{y / r} x )، وحجم r سيكون √ r  ·  r .

لاحظ من الشكل أنه بحيث $${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|}$$$${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

القسمة على قانون كبلر الأول وإدراجه للحصول على ${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$$${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$

النتيجة هي علاقة قابلة للاستخدام بين الشذوذ اللامركزي E والشذوذ الحقيقي  θ .

يتم الحصول على شكل أكثر ملاءمة حسابيًا عن طريق الاستبدال في الهوية المثلثية : $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}.}$$

يحصل $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\[8pt]&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

الضرب في 1 +  ε يعطي النتيجة $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$

وهذه هي الخطوة الثالثة في الربط بين الزمن والموقع في المدار.

الخطوة الرابعة هي حساب المسافة مركزية الشمس r من الشذوذ الحقيقي θ وفقًا لقانون كبلر الأول: $${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}$$

باستخدام العلاقة أعلاه بين θ و E، تكون المعادلة النهائية للمسافة r هي: $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$

• تم تلخيص حياة كيبلر في الصفحات 523-627، وتمت إعادة طباعة الكتاب الخامس من عمله الضخم Harmonice Mundi ( تناغمات العالم ) في: Hawking, Stephen , ed. (2002). On the Shoulders of giants: the great works of physics and astronomy . Philadelphia: Running Press . pp. 635-732. ISBN 978-0-7624-1348-5.
• إن اشتقاق القانون الثالث لكبلر لحركة الكواكب هو موضوع قياسي في دروس ميكانيكا الهندسة. انظر على سبيل المثال: Meriam, JL (1971) [1966]. Dynamics (2nd ed.). New York: Wiley . pp. 161–164. ISBN 978-0-471-59601-1..
• موري، كارل د .؛ ديرموت، س.ف. (1999). ديناميكيات النظام الشمسي. كامبريدج؛ نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-57295-8.
• أرنولد، السادس (1997). "الفصل 2: ​​التحقيق في معادلات الحركة". الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (الطبعة الثانية). نيويورك: دار سبرينغر للنشر . رقم ISBN 978-0-387-96890-2.

• ب. سورندراناث ريدي؛ رسوم متحركة لقوانين كيبلر: برنامج صغير محفوظ في 2013-10-06 على موقع واي باك مشين
• كرويل، بنيامين، الضوء والمادة ، كتاب على الإنترنت يقدم دليلاً على القانون الأول دون استخدام حساب التفاضل والتكامل (انظر القسم 15.7)
• ديفيد ماكنمارا وجيانفرانكو فيدالي، "قانون كبلر الثاني - برنامج تعليمي تفاعلي بلغة جافا"، وهو برنامج تفاعلي يساعد في فهم قانون كبلر الثاني.
• كين، جاي (10 مايو 2010)، فريق عمل علم الفلك ، "الحلقة 189: يوهانس كيبلر وقوانينه الخاصة بحركة الكواكب"
• قسم الفيزياء والفلك بجامعة تينيسي: علم الفلك 161، "يوهانس كيبلر: قوانين حركة الكواكب"
• محاكي النظام الشمسي (أداة تفاعلية) محفوظ في 2018-12-13 على موقع Wayback Machine
• "كيبلر وقوانينه" في كتاب " من مراقبي النجوم إلى سفن الفضاء" بقلم ديفيد ب. ستيرن (10 أكتوبر 2016)
• "قوانين كيبلر الثلاثة لحركة الكواكب" على يوتيوب بواسطة جينز بول (27 ديسمبر 2023) - مقطع فيديو يشرح ويصور قوانين كيبلر الثلاثة لحركة الكواكب