متعدد الوجوه المنتظم ذو 7 أوجه

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 90 صور
الموسوعة الحرة
رسوم بيانية لثلاثة متعددات وجوه منتظمة ومتعددات وجوه منتظمة ذات صلة
7-simplex7-simplex المعدل7-simplex مختصر
كانتيليتد 7-سيمبلكسرونشينيتد 7-سيمبلكس7-simplex مستر
خماسي 7-بسيطسداسي 7-بسيط
7-أورثوبلكس7-أورثوبلكس المختصر7-أورثوبلكس المعدل
كانتيليتد 7-أورثوبلكسرونشينيتد 7-أورثوبليكس7-أورثوبليكس مستر
خماسي الأضلاع 7-أورثوبليكسمكعب سداسي الشكل مكون من 7 مكعباتمكعب خماسي الأضلاع ذو 7 أضلاع
مكعب ستيريكاتيد 7مكعب ذو سبعة أجزاء مزخرفةمكعب 7 محفور
مكعب 7مكعب سباعي مقطوعمكعب مُعدَّل 7
7-نصف مكعبكانتيك 7-مكعبرونسيك 7 مكعبات
مكعب ستيريك سباعيبنتيتيك 7 مكعباتمكعب سداسي الشكل مكون من 7 أجزاء
3 212 311 32

في الهندسة ذات الأبعاد السبعة ، يُعرف متعدد السطوح ذو 7 أوجه بأنه متعدد سطوح مُحاط بأوجه ذات 6 أوجه. ويشترك كل نتوء ذي 5 أوجه في وجهين فقط من أوجه متعددة السطوح ذات 6 أوجه .

المضلع المنتظم ذو 7 أضلاع هو مضلع تكون مجموعة التناظر فيه متعدية على الرؤوس وتكون أوجهه مضلعات منتظمة ذات 6 أضلاع .

متعددات الوجوه المنتظمة ذات 7 أوجه

يتم تمثيل الأشكال متعددة الأوجه المنتظمة ذات 7 أوجه بواسطة رمز Schläfli {p,q,r,s,t,u} مع u {p,q,r,s,t} أوجه متعددة الأوجه ذات 6 أوجه حول كل وجه رباعي.

يوجد ثلاثة أشكال متعددة الوجوه منتظمة محدبة من النوع 7 بالضبط :

  1. {3,3,3,3,3,3} - 7-simplex
  2. {4,3,3,3,3,3} - مكعب سباعي
  3. {3,3,3,3,3,4} - 7-orthoplex

لا توجد متعددات وجوه منتظمة غير محدبة من النوع 7.

صفات

تُحدد طوبولوجيا أي متعدد الوجوه ذي 7 أبعاد بواسطة أعداد بيتي ومعاملات الالتواء الخاصة به . [ 1 ]

لا يمكن تعميم قيمة خاصية أويلر المستخدمة لوصف المجسمات متعددة الأوجه بشكل مفيد إلى الأبعاد الأعلى، بغض النظر عن بنيتها الطوبولوجية الأساسية. وقد أدى هذا القصور في خاصية أويلر في التمييز بدقة بين البنى الطوبولوجية المختلفة في الأبعاد الأعلى إلى اكتشاف أعداد بيتي الأكثر تطوراً. [ 1 ]

وبالمثل، فإن مفهوم قابلية توجيه متعدد السطوح غير كافٍ لتوصيف التواءات سطح متعددات السطوح الحلقية، وقد أدى ذلك إلى استخدام معاملات الالتواء. [ 1 ]

متعددات الوجوه المنتظمة ذات 7 عناصر بواسطة مجموعات كوكسيتر الأساسية

يمكن توليد متعددات الوجوه المنتظمة ذات التناظر الانعكاسي من خلال مجموعات كوكسيتر الأربع هذه، والتي يتم تمثيلها بتباديل حلقات مخططات كوكسيتر-دينكين :

8مجموعة كوكسيترالأشكال المنتظمة وشبه المنتظمةعدد موحد
17​[3 6 ]71
2ب 7[4,3 5 ]127 + 32
3د 7[3 3,1,1 ]95 (0 فريد)
4E 7[3 3,2,1 ]127

عائلة A 7

تتمتع عائلة A 7 بتناظر من الرتبة 40320 ( عامل 8 ).

يوجد 71 شكلاً (64 + 8 - 1) مبنية على جميع تباديل مخططات كوكسيتر-دينكين التي تحتوي على حلقة واحدة أو أكثر. جميع هذه الأشكال الـ 71 مُدرجة أدناه. كما تم ذكر أسماء الاختصارات التي وضعها نورمان جونسون ، بالإضافة إلى أسماء باورز واختصاراتها للرجوع إليها.

انظر أيضًا إلى قائمة متعددات الوجوه A7 للحصول على رسوم بيانية مستوية متناظرة من نوع Coxeter لهذه متعددات الوجوه.

عائلة B 7

تتمتع عائلة B 7 بتناظر من الرتبة 645120 (7 مضروب × 2 7 ).

توجد 127 صيغة مبنية على جميع تباديل مخططات كوكسيتر-دينكين التي تحتوي على حلقة واحدة أو أكثر. وقد تم ذكر أسماء باورز واختصاراتها للرجوع إليها.

انظر أيضًا إلى قائمة متعددات الوجوه B7 للحصول على رسوم بيانية مستوية متناظرة من نوع Coxeter لهذه متعددات الوجوه.

عائلة D 7

تتمتع عائلة D 7 بتناظر من الرتبة 322560 (7 مضروب × 2 6 ).

تحتوي هذه العائلة على 95 متعدد وجوه منتظم من نوع Wythoffian، تم توليدها بتحديد عقدة واحدة أو أكثر من مخطط Coxeter-Dynkin D7 . من بين هذه المتعددات، 63 متعدد وجوه (2 × 32 - 1) مكررة من عائلة B7، و 32 متعدد وجوه فريدة لهذه العائلة، وهي مدرجة أدناه. تم ذكر أسماء Bowers واختصاراتها للرجوع إليها.

انظر أيضًا قائمة متعددات الوجوه D7 للحصول على رسوم بيانية مستوية من نوع Coxeter لهذه متعددات الوجوه.

عائلة E 7

حصلت مجموعة E 7 Coxeter على طلبية رقم 2,903,040.

توجد 127 صيغة مبنية على جميع تباديل مخططات كوكسيتر-دينكين التي تحتوي على حلقة واحدة أو أكثر. وقد تم ذكر أسماء باورز واختصاراتها للرجوع إليها.

انظر أيضًا إلى قائمة متعددات الوجوه E7 للحصول على رسوم بيانية مستوية متناظرة من نوع Coxeter لهذه متعددات الوجوه.

خلايا نحل منتظمة وموحدة

مخطط كوكسيتر-دينكين يوضح التطابقات بين العائلات والتناظر الأعلى داخل المخططات. تمثل العقد ذات اللون نفسه في كل صف مرايا متطابقة. أما العقد السوداء فهي غير نشطة في التطابق.

هناك خمس مجموعات كوكسيتر أساسية من نوع أفيني وست عشرة مجموعة موشورية تولد تبليطات منتظمة وموحدة في الفضاء ذي الستة أبعاد:

8مجموعة كوكسيترمخطط كوكسيترالنماذج
1أ~6{\displaystyle {\tilde {A}}_{6}}[3 [7] ]17
2ج~6{\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}[4,3 4 ,4]71
3ب~6{\displaystyle {\tilde {B}}_{6}}h[4,3 4 ,4] [4,3 3 ,3 1,1 ]95 (32 جديد)
4د~6{\displaystyle {\tilde {D}}_{6}}q[4,3 4 ,4] [3 1,1 ,3 2 ,3 1,1 ]41 (6 جديدة)
5هـ~6{\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}[3 2,2,2 ]39

تشمل الأشكال الهندسية المنتظمة والموحدة ما يلي:

  • أ~6{\displaystyle {\tilde {A}}_{6}}17 نموذجًا
  • ج~6{\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}، [4،3 4،4 ]، 71 شكلاً
  • ب~6{\displaystyle {\tilde {B}}_{6}}، [3 1,1 ،3 3 ،4]، 95 نموذجًا، 64 منها مشتركة معج~6{\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}32 جديد
  • د~6{\displaystyle {\tilde {D}}_{6}}، [3 1,1 ،3 2 ،3 1,1 ]، 41 تبديلًا حلقيًا فريدًا، معظمها مشترك معب~6{\displaystyle {\tilde {B}}_{6}}وج~6{\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}و6 منها جديدة. ويطلق كوكسيتر على الأولى اسم " قرص العسل ربع المكعب 6" .
    • =
    • =
    • =
    • =
    • =
    • =
  • هـ~6{\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}: [3 2,2,2 ], 39 شكلاً
    • خلية نحل منتظمة 2 22 : ممثلة بالرموز {3,3,3 2,2 }،
    • قرص العسل المنتظم t 4 (2 22 ): 4r{3,3,3 2,2 },
    • خلية نحل منتظمة 0 222 : {3 2,2,2 },
    • موحد t 2 (0 222 ) قرص العسل: 2r{3 2,2,2 },
المجموعات المنشورية
8مجموعة كوكسيترمخطط كوكسيتر-دينكين
1أ~5{\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 [6] ,2,∞]
2ب~5{\displaystyle {\tilde {B}}_{5}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3,3 1,1 ,2,∞]
3ج~5{\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3 3 ,4,2,∞]
4د~5{\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 1,1 ,3,3 1,1 ,2,∞]
5أ~4{\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 [5] ,2,∞,2,∞,2,∞]
6ب~4{\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3,3 1,1 ,2,∞,2,∞]
7ج~4{\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3,3,4,2,∞,2,∞]
8د~4{\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 1,1,1,1 ,2,∞,2,∞]
9F~4{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3,4,3,3,2,∞,2,∞]
10ج~3{\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3,4,2,∞,2,∞,2,∞]
11ب~3{\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3 1,1 ,2,∞,2,∞,2,∞]
12أ~3{\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 [4] ,2,∞,2,∞,2,∞]
13ج~2{\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,4,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
14ح~2{\displaystyle {\tilde {H}}_{2}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[6,3,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
15أ~2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 [3] ,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
16أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[∞,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]

خلايا نحل زائدة منتظمة وموحدة

لا توجد زمر كوكسيتر زائدية متراصة من الرتبة 7، وهي زمر قادرة على توليد أشكال قرص العسل ذات أوجه محدودة وشكل رأس محدود . مع ذلك، توجد ثلاث زمر كوكسيتر زائدية شبه متراصة من الرتبة 7، تولد كل منها أشكال قرص العسل المنتظمة في الفضاء السداسي كبدائل لحلقات مخططات كوكسيتر.

P¯6{\displaystyle {\bar {P}}_{6}}= [3,3 [6] ]:سؤال¯6{\displaystyle {\bar {Q}}_{6}}= [3 1,1 ,3,3 2,1 ]:S¯6{\displaystyle {\bar {S}}_{6}}= [4,3,3,3 2,1 ]:

ملاحظات حول بناء Wythoff للمضلعات المنتظمة ذات 7 أوجه

تُبنى متعددات الوجوه المنتظمة العاكسة ذات الأبعاد السبعة باستخدام عملية بناء Wythoff ، وتُمثل بمخطط Coxeter-Dynkin ، حيث يُمثل كل عقدة مرآة. وتُمثل المرآة النشطة بعقدة محاطة بحلقة. كل تركيبة من المرايا النشطة تُولد متعدد وجوه منتظمًا فريدًا. تُسمى متعددات الوجوه المنتظمة نسبةً إلى متعددات الوجوه المنتظمة في كل عائلة. بعض العائلات لها مُنشئان منتظمان، وبالتالي يمكن تسميتها بطريقتين صحيحتين على حد سواء.

فيما يلي العوامل الأساسية المتاحة لإنشاء وتسمية متعددات الوجوه المنتظمة ذات 7 أبعاد.

يمكن للأشكال المنشورية والرسوم البيانية المتشعبة استخدام نفس تدوين فهرسة الاقتطاع، ولكنها تتطلب نظام ترقيم صريح على العقد من أجل الوضوح.

عمليةرمز شلافلي الموسعمخطط كوكسيتر- دينكينوصف
أحد الوالدينt 0 {p,q,r,s,t,u}أي متعدد الوجوه منتظم مكون من 7
تم تصحيحهt 1 {p,q,r,s,t,u}تم اقتطاع الحواف بالكامل إلى نقاط مفردة. يحتوي المضلع ذو السبعة أوجه الآن على الوجوه المدمجة للمضلع الأصلي والمضلع الثنائي.
ثنائي التصحيحt 2 {p,q,r,s,t,u}يؤدي التوجيه الثنائي إلى اختزال الخلايا إلى نظائرها .
مختصرt 0,1 {p,q,r,s,t,u}يتم قطع كل رأس أصلي، ويملأ الفراغ وجه جديد. للقطع درجة حرية واحدة، ولها حل واحد يُنشئ متعدد وجوه سباعي مُقطع بشكل منتظم. يحتوي متعدد الوجوه السباعي على أوجهه الأصلية مُضاعفة في الأضلاع، ويحتوي على أوجه المجسم الثنائي.
مختصرةt 1,2 {p,q,r,s,t,u}يقوم Bitrunction بتحويل الخلايا إلى اقتطاع مزدوج.
ثلاثي الأجزاءt 2,3 {p,q,r,s,t,u}يحوّل الاقتطاع الثلاثي الوجوه ذات الأربعة أوجه إلى اقتطاعها المزدوج.
مُقَنَّطt 0,2 {p,q,r,s,t,u}إضافةً إلى اقتطاع الرؤوس، يتم شطف كل حافة أصلية مع ظهور وجوه مستطيلة جديدة مكانها. ويُعدّ التشكيل المنتظم في منتصف المسافة بين الشكل الأصلي والشكل الثنائي.
ثنائي الزخرفةt 1,3 {p,q,r,s,t,u}إضافةً إلى اقتطاع الرؤوس، يتم شطف كل حافة أصلية مع ظهور وجوه مستطيلة جديدة مكانها. ويُعدّ التشكيل المنتظم في منتصف المسافة بين الشكل الأصلي والشكل الثنائي.
مُسننt 0,3 {p,q,r,s,t,u}يؤدي التفتت إلى تقليل عدد الخلايا وإنشاء خلايا جديدة عند الرؤوس والحواف.
ثنائي السنt 1,4 {p,q,r,s,t,u}يؤدي التفتت إلى تقليل عدد الخلايا وإنشاء خلايا جديدة عند الرؤوس والحواف.
ستيريكاتيدt 0,4 {p,q,r,s,t,u}يؤدي التفتيت إلى تقليل الأوجه ذات الأربعة أوجه وإنشاء أوجه جديدة ذات أربعة أوجه عند الرؤوس والحواف والأوجه الموجودة في الفجوات.
خماسي الأضلاعt 0,5 {p,q,r,s,t,u}يؤدي التفرع إلى تقليل الأوجه الخماسية وإنشاء أوجه خماسية جديدة عند الرؤوس والحواف والأوجه والخلايا في الفجوات.
هيكسيكاتt 0,6 {p,q,r,s,t,u}تُقلل عملية السداسي من عدد الأوجه السداسية وتُنشئ أوجهًا سداسية جديدة عند الرؤوس والحواف والأوجه والخلايا، بالإضافة إلى أوجه رباعية في الفراغات. ( عملية توسيع للمضلعات ذات 7 أوجه)
مقطوع بالكاملt 0,1,2,3,4,5,6 {p,q,r,s,t,u}يتم تطبيق جميع العمليات الست، وهي: القطع، والتقسيم، والتقسيم، والتقسيم، والتقسيم السداسي، والتقسيم السداسي.

مراجع

  1. 1 2 3 ريتشسون، د.؛ جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وولادة علم الطوبولوجيا ، برينستون، 2008.
  • تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ، رسول الرياضيات ، ماكميلان، 1900
  • أ. بول ستوت (1910). "الخصم الهندسي للشبه المنتظم من متعددات الأسطح العادية وحشوات الفضاء" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . الحادي عشر (1). أمستردام: يوهانس مولر. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 29 أبريل 2025.
  • HSM Coxeter :
    • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins und JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1954
    • إتش إس إم كوكسيتر، الأشكال المتعددة المنتظمة ، الطبعة الثالثة، دوفر، نيويورك، 1973
  • كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
    • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
    • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
  • كليتزينغ، ريتشارد. "متعددات الوجوه المنتظمة ذات الأبعاد السبعة (polyexa) مع الاختصارات" .
  • v
  • ت
  • هـ
المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلةأن​ب نI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
مضلع منتظممثلثمربعبي-جونمسدسالبنتاغون
متعدد السطوح منتظمرباعي الأوجهثماني الأوجه • مكعبمكعب ديميكيوبالمجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بولي كلورون موحدبنتاشورون16 خلية • تيسيراكتديميتسيراكت24 خلية120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم5-simplex5-أورثوبليكس • 5-كيوب5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم6-simplex6-أورثوبليكس • 6-كيوب6-نصف مكعب1 22 • 2 21
متعدد الوجوه المنتظم ذو 7 أوجه7-simplex7-أورثوبليكس • 7-كيوب7-نصف مكعب1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه8-simplex8-أورثوبليكس • 8-كيوب8-نصف مكعب1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس9-simplex9-أورثوبليكس • 9-كيوب9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء10-simplex10-أورثوبليكس • 10-كيوب10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع nn - سيمبلكسن - أورثوبليكس • ن - كيوبن - نصف مكعب1 k2 • 2 k1 • k 21متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه