تاريخ المنطق

قدمت الجاينية مساهمتها الفريدة في هذا التطور السائد للمنطق من خلال انشغالها أيضًا بالقضايا المعرفية الأساسية، وتحديدًا تلك المتعلقة بطبيعة المعرفة، وكيفية اشتقاق المعرفة، وبأي طريقة يمكن القول إن المعرفة موثوقة.

لدى الجاينيين مذاهب نسبية تُستخدم في المنطق والاستدلال:

• Anekāntavāda – نظرية التعددية النسبية أو التنوع؛
• سيادفادا – نظرية الإسناد المشروط و؛
• نايافادا – نظرية المواقف الجزئية.

لقد ساهمت هذه المفاهيم في فلسفة الجاينية مساهمات مهمة في الفكر، وخاصة في مجالات الشك والنسبية.^{[ 15 ]}

مع ذلك، يُقال أحيانًا أن ديغناغا (حوالي 480-540 ميلاديًا) قد طوّر قياسًا منطقيًا رسميًا، ^{[ 16 ]} وبفضله وبفضل خليفته، دارماكيرتي ، بلغ المنطق البوذي ذروته؛ ويُثار جدلٌ حول ما إذا كان تحليلهما يُشكّل نظامًا قياسيًا رسميًا بالفعل. وعلى وجه الخصوص، تمحور تحليلهما حول تعريف علاقة تُبرّر الاستدلال، " فيابتي "، والمعروفة أيضًا بالتزامن الثابت أو الانتشار. ^{[ 17 ]} ولتحقيق هذه الغاية، طُوّر مذهب يُعرف باسم "أبوها" أو التمايز. ^{[ 18 ]} وقد تضمّن هذا ما يُمكن تسميته بإدراج واستبعاد الخصائص المُحدِّدة.

تُعدّ "عجلة العقل" الشهيرة لديغناغا ( هيتوكرا ) طريقةً لتحديد متى يُمكن اعتبار شيءٍ ما (كالدخان مثلاً) دليلاً قاطعاً على شيءٍ آخر (كالنار)، إلا أن الاستدلال غالباً ما يكون استقرائياً ويستند إلى الملاحظة السابقة. ويشير ماتيلال إلى أن تحليل ديغناغا يُشبه إلى حدٍ كبير منهج جون ستيوارت ميل المشترك للاتفاق والاختلاف، وهو منهج استقرائي. ^{[ 19 ]}

استُخدم الاستدلال المنطقي السليم في جميع مراحل التاريخ البشري. ومع ذلك، يدرس علم المنطق مبادئ الاستدلال المنطقي السليم، والاستنتاج، والبرهان. من المحتمل أن فكرة إثبات نتيجة ما نشأت لأول مرة في سياق الهندسة ، التي كانت تعني في الأصل "قياس الأرض". ^{[ 20 ]} اكتشف المصريون القدماء الهندسة ، بما في ذلك صيغة حجم الهرم المقطوع . ^{[ 21 ]} كما برع البابليون القدماء في الرياضيات. استند كتاب "دليل التشخيص الطبي" لإساجيل كين أبلي في القرن الحادي عشر قبل الميلاد إلى مجموعة منطقية من البديهيات والافتراضات، ^{[ 22 ]} بينما استخدم علماء الفلك البابليون في القرنين الثامن والسابع قبل الميلاد منطقًا داخليًا ضمن أنظمتهم الكوكبية التنبؤية، وهو إسهام هام في فلسفة العلوم . ^{[ 23 ]}

بينما اكتشف المصريون القدماء بعض حقائق الهندسة تجريبياً، كان الإنجاز العظيم للإغريق القدماء هو استبدال الأساليب التجريبية بالبرهان القاطع . ويبدو أن كلاً من طاليس وفيثاغورس ، من فلاسفة ما قبل سقراط، كانا على دراية بالأساليب الهندسية.

حُفظت أجزاء من البراهين المبكرة في أعمال أفلاطون وأرسطو، ^{[ 24 ]} وربما كانت فكرة النظام الاستنتاجي معروفة في المدرسة الفيثاغورية والأكاديمية الأفلاطونية . ^{[ 21 ]} تُعد براهين إقليدس الإسكندري نموذجًا للهندسة اليونانية. أما المبادئ الأساسية الثلاثة للهندسة فهي كالتالي:

• يجب قبول بعض القضايا على أنها صحيحة دون الحاجة إلى إثباتها؛ وتُعرف هذه القضية باسم بديهية الهندسة.
• يجب إثبات أن كل قضية ليست من بديهيات الهندسة تتبع بديهيات الهندسة؛ يُعرف هذا الإثبات باسم البرهان أو "الاشتقاق" للقضية.
• يجب أن يكون البرهان شكليًا ؛ أي أن اشتقاق القضية يجب أن يكون مستقلاً عن الموضوع المحدد قيد البحث. ^{[ 21 ]}

يُستدل على اهتمام المفكرين اليونانيين الأوائل بمبادئ الاستدلال من خلال مقطع يُسمى "dissoi logoi" ، والذي كُتب على الأرجح في بداية القرن الرابع قبل الميلاد. ويُعد هذا المقطع جزءًا من نقاش مطوّل حول الصدق والزيف. ^{[ 25 ]} وفي حالة المدن اليونانية الكلاسيكية، حفّزت أنشطة البلاغيين والسفسطائيين الاهتمام بالجدال، حيث استخدموا الحجج للدفاع عن أطروحة أو دحضها، سواء في السياقات القانونية أو السياسية. ^{[ 26 ]}

فيثاغورس

قبل عام 520 قبل الميلاد، ربما يكون فيثاغورس قد التقى طاليس، الذي كان يكبره بنحو 54 عامًا،  خلال إحدى زياراته إلى مصر أو اليونان . ^{[ 33 ]} ويبدو أن الدراسة المنهجية للبرهان قد بدأت مع مدرسة فيثاغورس (أي الفيثاغوريين) في أواخر القرن السادس قبل الميلاد. ^{[ 21 ]} في الواقع، كان الفيثاغوريون، لاعتقادهم بأن كل شيء هو عدد، أول الفلاسفة الذين ركزوا على الشكل بدلًا من المادة . ^{[ 34 ]} 

هيراقليطس وبارمنيدس

كانت كتابات هيراقليطس (حوالي 535 - حوالي 475 قبل الميلاد) أول مكان حظي فيه مصطلح " اللوغوس" باهتمام خاص في الفلسفة اليونانية القديمة، ^{[ 35 ]} فقد رأى هيراقليطس أن كل شيء يتغير وأن كل شيء نار وأضداد متضاربة، لا يوحدها ظاهريًا إلا هذا اللوغوس . وهو معروف بأقواله الغامضة.

هذا المنطق قائمٌ دائمًا، لكن البشر يعجزون دائمًا عن فهمه، سواء قبل سماعه أو بعد سماعه. فمع أن كل شيء يسير وفقًا لهذا المنطق ، إلا أن البشر كغير المتمرسين حين يختبرون مثل هذه الكلمات والأفعال التي سأذكرها، فيميزون كلًا منها بحسب طبيعته ويصفونه كما هو. أما الآخرون فلا يلاحظون ما يفعلونه في اليقظة، كما ينسون ما يفعلونه في النوم.

— ديلز-كرانز ، 22B1

على النقيض من هيراقليطس، رأى بارمنيدس أن الكل واحد ولا شيء يتغير. ربما كان فيثاغورسيًا معارضًا، إذ خالف فكرة أن الواحد (العدد) هو الذي يُنتج الكثير. ^{[ 36 ]} إن عبارة "س ليس موجودًا" يجب أن تكون خاطئة أو عديمة المعنى دائمًا. ما هو موجود لا يمكن بأي حال من الأحوال ألا يكون موجودًا. إن إدراكنا الحسي، بما فيه من ملاحظة التكوين والفناء، يقع في خطأ فادح. بدلًا من الإدراك الحسي، دعا بارمنيدس إلى استخدام المنطق كوسيلة للوصول إلى الحقيقة. وقد لُقِّب بمكتشف المنطق، ^{[ 37 ] [ 38 ]}

لأن هذا الرأي، القائل بأن ما ليس موجودًا موجود، لا يمكن أن يسود أبدًا. يجب عليك أن تمنع فكرك من هذا المسار في البحث، وألا تدع التجربة العادية بتنوعها تجبرك على سلوك هذا المسار، أي السماح للعين، وهي عمياء، والأذن، وهي مليئة بالصوت، واللسان، بالسيطرة؛ بل يجب عليك أن تحكم بواسطة العقل ( اللوغوس ) في البرهان الذي كثر الجدل حوله والذي شرحته.

— ب 7.1–8.2

كان زينون الإيلي ، تلميذ بارمنيدس، صاحب فكرة نمط حجاجي معياري في منهج البرهان المعروف باسم " البرهان بالخلف" . وهو أسلوب يقوم على استخلاص نتيجة خاطئة بشكل واضح (أي "عبثية") من فرضية ما، مما يُثبت خطأ تلك الفرضية. ^{[ 39 ]} ولذلك، يُعتبر زينون ومعلمه أول من طبّق فن المنطق. ^{[ 40 ]} يُصوّر حوار بارمنيدس لأفلاطون زينون وهو يدّعي تأليف كتاب يُدافع فيه عن وحدة الوجود عند بارمنيدس، مُبرهناً على النتيجة العبثية لافتراض وجود التعدد. وقد استخدم زينون هذا الأسلوب ببراعة لتطوير مفارقاته في حججه ضد الحركة. وقد شاع هذا النوع من الاستدلال الجدلي لاحقاً، وأُطلق على أتباع هذه المدرسة اسم "الجدليين" (من كلمة يونانية تعني "المناقشة").

أفلاطون

لا يدخل هنا من يجهل الهندسة.

— نُقش فوق مدخل أكاديمية أفلاطون.

لا تتضمن أي من الأعمال الباقية للفيلسوف العظيم أفلاطون (428-347 قبل الميلاد) أي منطق صوري، ^{[ 41 ]} لكنها تتضمن إسهامات مهمة في مجال المنطق الفلسفي . يطرح أفلاطون ثلاثة أسئلة:

• ما الذي يمكن وصفه بشكل صحيح بأنه صحيح أو خاطئ؟
• ما طبيعة العلاقة بين افتراضات الحجة الصحيحة ونتيجتها؟
• ما هي طبيعة التعريف؟

يطرح السؤال الأول في حوار ثيائيتيتوس ، حيث يُعرّف أفلاطون الفكر أو الرأي بالحديث أو الخطاب ( اللوغوس ). ^{[ 42 ]} أما السؤال الثاني فهو نتيجة لنظرية المُثُل عند أفلاطون . فالمُثُل ليست أشياءً بالمعنى المعتاد، ولا هي أفكارٌ ذهنيةٌ بالمعنى الدقيق، بل هي تُقابل ما أسماه الفلاسفة لاحقًا بالكليات ، أي كيانٌ مُجرّدٌ مشتركٌ بين كل مجموعةٍ من الأشياء التي تحمل الاسم نفسه. في كلٍّ من الجمهورية والسفسطائي ، يُشير أفلاطون إلى أن الصلة الضرورية بين مُسلّمات الحجة الصحيحة ونتيجتها تُقابل صلةً ضروريةً بين "المُثُل". ^{[ 43 ]} أما السؤال الثالث فيتعلق بالتعريف . تتناول العديد من حوارات أفلاطون البحث عن تعريفٍ لبعض المفاهيم المهمة (كالعدل، والحقيقة، والخير)، ومن المُرجّح أن أفلاطون قد تأثر بأهمية التعريف في الرياضيات. ^{[ 44 ]} يكمن وراء كل تعريف مُثُلٌ أفلاطونية، وهي الطبيعة المشتركة الموجودة في مختلف الأشياء الجزئية. وهكذا، يعكس التعريف الهدف النهائي للفهم، وهو أساس كل استدلال صحيح. وقد كان لهذا تأثير كبير على أرسطو، تلميذ أفلاطون ، ولا سيما مفهوم أرسطو عن جوهر الشيء. ^{[ 45 ]}

كان لمنطق أرسطو ، ولا سيما نظريته في القياس المنطقي ، تأثير هائل على تاريخ المنطق والفكر الغربي عمومًا. ^{[ 46 ]} كان أرسطو أول منطقي يحاول إجراء تحليل منهجي للبنية المنطقية ، وللاسم (أو المصطلح )، وللفعل. وكان أول منطقي صوري ، إذ برهن على مبادئ الاستدلال باستخدام المتغيرات لإظهار الشكل المنطقي الكامن وراء الحجة. ^{[ 47 ]} سعى أرسطو إلى إيجاد علاقات التبعية التي تميز الاستدلال الضروري، وميّز بين صحة هذه العلاقات وصحة المقدمات. وكان أول من ناقش صراحةً مبدأي عدم التناقض والوسط المرفوع . ^{[ 48 ]}

الأورغانون

تُعدّ مؤلفاته المنطقية، المعروفة باسم " الأورغانون "، أقدم دراسة رسمية للمنطق وصلت إلينا في العصر الحديث. ورغم صعوبة تحديد تواريخ كتابتها، إلا أن الترتيب الأرجح لكتابة مؤلفات أرسطو المنطقية هو:

• التصنيفات ، دراسة لأنواع المصطلحات الأولية العشرة.
• المواضيع (مع ملحق بعنوان " حول الردود السفسطائية ")، وهي مناقشة للجدل.
• حول التفسير ، تحليل القضايا الفئوية البسيطة إلى مصطلحات بسيطة، والنفي، وعلامات الكمية.
• التحليلات السابقة ، وهو تحليل رسمي لما يجعل القياس المنطقي (حجة صحيحة، وفقًا لأرسطو).
• التحليلات اللاحقة ، وهي دراسة في البرهان العلمي، تحتوي على آراء أرسطو الناضجة حول المنطق.

تؤثر التصنيفات على عمله في الميتافيزيقا ، والتي كان لها في حد ذاتها تأثير عميق على الفكر الغربي؛ وهو الاسم الذي اشتق منه موضوع الميتافيزيقا .

كما طور أرسطو نظرية المنطق غير الرسمي ( أي نظرية المغالطات )، والتي تم تقديمها في كتاب "المواضيع والردود السفسطائية " . ^{[ 48 ]}

يحتوي كتاب "حول التفسير" على معالجة شاملة لمفاهيم المعارضة والتحويل؛ الفصل 7 هو أصل مربع المعارضة (أو المربع المنطقي)؛ الفصل 9 يحتوي على بداية المنطق الموجه وحجة معركة البحر الشهيرة .

يحتوي كتاب التحليلات السابقة على شرحه للقياس المنطقي ، حيث تم إحراز ثلاثة تقدمات مهمة لأول مرة في التاريخ: استخدام المتغيرات، والمعالجة الشكلية البحتة، واستخدام نظام بديهي.

المدرسة الأخرى العظيمة في المنطق اليوناني هي المدرسة الرواقية . [ ^{49 ] يعود} أصل المنطق الرواقي إلى الفيلسوف إقليدس الميغاري ، الذي عاش في أواخر القرن الخامس قبل الميلاد ، وهو تلميذ سقراط ومعاصر لأفلاطون، وربما سار على نهج بارمنيدس وزينون. سُمّي تلاميذه وخلفاؤه " الميغاريين " أو "الإريستيين"، ثم لاحقًا "المجادلين". كان أبرز مجادلي المدرسة الميغاريين ديودوروس كرونوس وفيلو ، اللذان نشطا في أواخر القرن الرابع قبل الميلاد.

تبنى الرواقيون منطق ميغاريس ونظموه. وكان أبرز أعضاء هذه المدرسة خريسيبوس (حوالي 278 - حوالي 206 قبل الميلاد)، الذي كان ثالث رؤسائها، والذي وضع أسسًا رسمية لجزء كبير من المذهب الرواقي. ويُعتقد أنه كتب أكثر من 700 مؤلف، منها 300 على الأقل في المنطق، لم يبقَ منها إلا القليل. ^{[ 50 ] [ 51 ]} على عكس أرسطو، لا نملك أعمالًا كاملة للميغاريين أو الرواقيين الأوائل، وعلينا الاعتماد في الغالب على روايات (قد تكون معادية أحيانًا) من مصادر لاحقة، من أبرزها ديوجين لايرتيوس ، وسيكستوس إمبيريكوس ، وجالينوس ، وأولوس جيليوس ، وألكسندر الأفروديسي ، وشيشرون . ^{[ 52 ]}

تمثلت ثلاث إسهامات مهمة للمدرسة الرواقية في (1) شرحهم للنمطية ، (2) نظريتهم عن الشرط المادي ، و(3) شرحهم للمعنى والحقيقة . ^{[ 53 ]}

• المَمكنة . وفقًا لأرسطو، زعم الميغاريون في عصره أنه لا يوجد فرق بين الإمكانية والفعل . ^{[ 54 ]} عرّف ديودوروس كرونوس الممكن بأنه ما هو كائن أو سيكون كائنًا، والمستحيل بأنه ما لن يكون صحيحًا، والعرضي بأنه ما هو كاذب بالفعل أو سيكون كاذبًا. ^{[ 55 ]} يشتهر ديودوروس أيضًا بما يُعرف بحجته الرئيسية ، والتي تنص على أن كل زوج من القضايا الثلاث التالية يناقض القضية الثالثة:

• كل ما مضى صحيح وضروري.
• لا ينتج المستحيل من الممكن.
• ما ليس موجوداً ولن يكون موجوداً فهو ممكن.

استخدم ديودوروس معقولية المقدمتين الأوليين ليثبت أنه لا شيء ممكن إذا لم يكن صحيحًا ولن يكون كذلك. ^{[ 56 ]} في المقابل، أنكر خريسيبوس المقدمة الثانية وقال إن المستحيل يمكن أن ينتج عن الممكن. ^{[ 57 ]}

• العبارات الشرطية . كان ديودوروس وتلميذه فيلو الميغاري أول من ناقش العبارات الشرطية . وقد أشار سيكستوس إمبيريكوس ثلاث مرات إلى مناظرة بين ديودوروس وفيلو. اعتبر فيلو العبارة الشرطية صحيحة ما لم _يكن لها مقدمة صحيحة ونتيجة خاطئة . تحديدًا، لنفترض أن _T₀ و T₁ عبارتان صحيحتان، و F₀ و _{F₁ عبارتان خاطئتان؛ عندئذٍ، وفقًا لفيلو، كل عبارة} من العبارات الشرطية التالية هي عبارة صحيحة، لأنه ليس صحيحًا أن تكون النتيجة خاطئة بينما تكون المقدمة صحيحة (ليس صحيحًا أن عبارة خاطئة تتبع عبارة صحيحة).

• إذا كانت T _{تساوي 0} ، فإن T تساوي ₁
• إذا كانت F _{تساوي صفرًا} ، فإن T تساوي _صفرًا.
• إذا كانت F _{تساوي 0} ، فإن F _{تساوي 1}

لا يفي الشرط التالي بهذا الشرط، وبالتالي فهو بيان خاطئ وفقًا لفلسفة فيلو:

• إذا كانت T _{تساوي صفرًا} ، فإن F _{تساوي صفرًا.}

في الواقع، يقول سيكستوس: "بحسب [ فيلون ] ، هناك ثلاث طرق يمكن أن يكون بها الشرط صحيحًا، وطريقة واحدة يمكن أن يكون بها خاطئًا." ^{[ 58 ]} معيار فيلون للحقيقة هو ما يسمى الآن بالتعريف الوظيفي للحقيقة لعبارة "إذا ... فإن"؛ وهو التعريف المستخدم في المنطق الحديث .

في المقابل، سمح ديودوروس بصحة الجمل الشرطية فقط عندما لا تؤدي الجملة السابقة إلى نتيجة غير صحيحة. ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}

• المعنى والحقيقة . يكمن أهمّ وأبرز فرق بين المنطق الميغاروسي الرواقي والمنطق الأرسطي في أن المنطق الميغاروسي الرواقي يهتم بالقضايا، لا بالمصطلحات، وبالتالي فهو أقرب إلى منطق القضايا الحديث . ^{[ 61 ]} ميّز الرواقيون بين النطق ( phone )، الذي قد يكون ضجيجًا، والكلام ( lexis )، الذي يكون واضحًا ولكنه قد يكون بلا معنى، والخطاب ( logos )، وهو نطق ذو معنى. الجزء الأكثر أصالة في نظريتهم هو فكرة أن ما يُعبّر عنه بالجملة، والتي تُسمى lekton ، هو شيء حقيقي؛ وهذا يُقابل ما يُسمى الآن بالقضية . يقول سيكستوس إنه وفقًا للرواقيين، هناك ثلاثة أشياء مترابطة: الدال، والمدلول، والموضوع؛ على سبيل المثال، الدال هو كلمة ديون ، والمدلول هو ما يفهمه الإغريق ولا يفهمه البرابرة، والموضوع هو ديون نفسه. ^{[ 62 ]}

استندت أعمال الكندي والفارابي وابن سينا ​​والغزالي وابن رشد وغيرهم من علماء المنطق المسلمين إلى المنطق الأرسطي ، وكان لها دورٌ هام في نقل أفكار العالم القديم إلى الغرب في العصور الوسطى. ^{[ 63 ]} كان الفارابي (873-950) عالم منطق أرسطي، تناول مواضيع الاحتمالات المستقبلية ، وعدد المقولات وعلاقاتها، والعلاقة بين المنطق والنحو ، وأشكال الاستدلال غير الأرسطية . ^{[ 64 ]} كما تناول الفارابي نظريات القياس الشرطي والاستدلال القياسي ، التي كانت جزءًا من التراث الرواقي في المنطق لا الأرسطي. ^{[ 65 ]}

كتب موسى بن ميمون (1138-1204) رسالة في المنطق (بالعربية: رسالة في صناعة المنطق )، مشيرًا إلى الفارابي باعتباره "المعلم الثاني"، وكان الأول هو أرسطو.

كان ابن سينا ​​(980-1037) مؤسس المنطق الأفيسيني ، الذي حلّ محل المنطق الأرسطي كنظام منطقي سائد في العالم الإسلامي، ^{[ 66 ]} وكان له أيضًا تأثير كبير على كتّاب العصور الوسطى الغربيين مثل ألبرتوس ماغنوس . ^{[ 67 ]} كتب ابن سينا ​​عن القياس المنطقي الافتراضي ^{[ 68 ]} وعن حساب القضايا ، وكلاهما جزء من التراث المنطقي الرواقي. ^{[ 69 ]} طوّر نظرية قياس منطقي أصلية "مُوَجَّهة زمنيًا"، تشمل المنطق الزمني والمنطق الموجه . ^{[ 64 ]} كما استخدم المنطق الاستقرائي ، مثل طرق الاتفاق والاختلاف والتغير المصاحب، وهي طرق أساسية في المنهج العلمي . ^{[ 68 ]} كان لإحدى أفكار ابن سينا ​​تأثير بالغ الأهمية على علماء المنطق الغربيين، مثل ويليام الأوكامي : فقد ترجم علماء المنطق المدرسيون كلمة ابن سينا ​​التي تعني المعنى أو الفكرة ( مَا ) إلى الكلمة اللاتينية intentio ؛ وفي منطق العصور الوسطى ونظرية المعرفة ، تُشير هذه الكلمة إلى علامة في الذهن تُمثل شيئًا ما بشكل طبيعي. ^{[ 70 ]} وكان هذا الأمر حاسمًا في تطور مذهب أوكام المفاهيمي : فالمصطلح الكلي ( مثل "الإنسان") لا يدل على شيء موجود في الواقع، بل على علامة في الذهن ( intentio in intellectu ) تُمثل أشياء كثيرة في الواقع؛ ويستشهد أوكام بتعليق ابن سينا ​​على كتاب الميتافيزيقا الخامس لدعم هذا الرأي. ^{[ 71 ]}

انتقد فخر الدين الرازي (مواليد 1149) " الشخصية الأولى " لأرسطو ، ووضع نظامًا مبكرًا للمنطق الاستقرائي، مُنبئًا بنظام المنطق الاستقرائي الذي طوره جون ستيوارت ميل (1806-1873). ^{[ 72 ]} اعتبر علماء الإسلام اللاحقون عمل الرازي بمثابة بداية لاتجاه جديد في المنطق الإسلامي، نحو منطق ما بعد ابن سينا . وقد طوّر تلميذه أفضل الدين الخونجي (توفي 1249) هذا المنطق، مُبتكرًا شكلًا من أشكال المنطق يتمحور حول موضوعي التصورات والموافقات . واستجابةً لهذا التوجه، أسس ناصر الدين الطوسي (1201-1274) تقليدًا جديدًا في المنطق الأفيسيني الحديث، الذي ظل وفيًا لعمل ابن سينا ، وشكّل بديلًا لمدرسة ما بعد ابن سينا ​​الأكثر انتشارًا على مدى القرون اللاحقة. ^{[ 73 ]}

أسس شهاب الدين السهروردي (1155-1191) المدرسة التنويرية ، وهو الذي طور فكرة "الضرورة الحاسمة"، والتي تشير إلى اختزال جميع الأنماط (الضرورة، والإمكان ، والعرض ، والاستحالة ) إلى نمط واحد هو الضرورة. ^{[ 74 ]} ألف ابن النفيس (1213-1288) كتابًا في المنطق الأفيسيني، وهو شرح لكتابي ابن سينا ​​" الإشارات " و " الهداية " . ^{[ 75 ]} كتب ابن تيمية (1263-1328) كتاب "الرد على المنطق" ، حيث جادل فيه ضد جدوى القياس المنطقي ، لا بصحته، ^{[ 76 ]} ودافع عن الاستدلال الاستقرائي . ^{[ 72 ]} جادل ابن تيمية أيضًا ضد يقينية الحجج القياسية، مؤيدًا القياس ؛ إذ يرى أن المفاهيم المؤسسة على الاستقراء ليست يقينية في حد ذاتها، بل محتملة فقط، وبالتالي فإن القياس القائم على هذه المفاهيم ليس أكثر يقينًا من الحجة القائمة على القياس. وادعى كذلك أن الاستقراء نفسه قائم على عملية قياس. وقد استند نموذجه للاستدلال القياسي إلى نموذج الحجج الفقهية. ^{[ 77 ] [ 78 ]} وقد استُخدم هذا النموذج القياسي في أعمال جون ف. سوا الحديثة . ^{[ 78 ]}

يُعدّ كتاب "شرح التكميل في المنطق" الذي ألّفه محمد بن فيض الله بن محمد أمين الشرواني في القرن الخامس عشر الميلادي آخر عمل عربي رئيسي في المنطق دُرِسَ. ^{[ 79 ]} ومع ذلك، فقد كُتِبَت "آلاف مؤلفات" في المنطق بين القرنين الرابع عشر والتاسع عشر، إلا أن المؤرخين لم يدرسوا إلا جزءًا ضئيلاً من النصوص التي كُتِبَت خلال هذه الفترة، ولذا لا يُعرف إلا القليل عن الأعمال الأصلية في المنطق الإسلامي التي أُنتِجت خلال هذه الفترة اللاحقة. ^{[ 73 ]}

يشير مصطلح "المنطق القروسطي" (المعروف أيضًا باسم "المنطق المدرسي") عمومًا إلى شكل المنطق الأرسطي الذي تطور في أوروبا خلال العصور الوسطى تقريبًا بين عامي 1200 و1600. ^{[ 1 ]} ولعدة قرون بعد صياغة المنطق الرواقي، كان هذا النظام المنطقي هو السائد في العالم الكلاسيكي. وعندما استؤنفت دراسة المنطق بعد العصور المظلمة ، كان المصدر الرئيسي هو أعمال الفيلسوف المسيحي بوثيوس ، الذي كان على دراية ببعض منطق أرسطو، لكنه لم يكن على دراية تُذكر بأعمال الرواقيين. ^{[ 80 ]} وحتى القرن الثاني عشر، كانت أعمال أرسطو الوحيدة المتاحة في الغرب هي كتاب " المقولات " ، وكتاب "في التأويل" ، وترجمة بوثيوس لكتاب " إيساغوجي " لبورفيريوس ( وهو شرح لكتاب "المقولات"). عُرفت هذه الأعمال باسم "المنطق القديم" ( Logica Vetus أو Ars Vetus ). ومن أهم الأعمال في هذا السياق كتاب "Logica Ingredientibus" لبيتر أبيلارد (1079-1142). كان تأثيره المباشر محدودًا، ^{[ 81 ]} لكن تأثيره من خلال تلاميذه مثل جون سالزبوري كان عظيمًا، وقد شكّلت طريقته في تطبيق التحليل المنطقي الدقيق على اللاهوت مسار تطور النقد اللاهوتي في الفترة اللاحقة. ^{[ 82 ]} وقدّم المنطق الفرنسي ويليام من سواسون ، في القرن الثاني عشر، أول برهان لمبدأ الانفجار ، المعروف أيضًا بمبدأ سكوتس الزائف، وهو القانون الذي بموجبه يمكن إثبات أي قضية من خلال تناقضها (بما في ذلك نفيها).

بحلول أوائل القرن الثالث عشر، تم استعادة ما تبقى من أعمال أرسطو في كتابه "الأورغانون "، بما في ذلك " التحليلات الأولى" و "التحليلات الثانية" و" الردود السفسطائية " (المعروفة مجتمعة باسم " المنطق الجديد")، في الغرب. ^{[ 83 ]} وكانت الأعمال المنطقية حتى ذلك الحين في معظمها عبارة عن إعادة صياغة أو تعليق على أعمال أرسطو. ^{[ 84 ]} وشهدت الفترة الممتدة من منتصف القرن الثالث عشر إلى منتصف القرن الرابع عشر تطورات هامة في علم المنطق، لا سيما في ثلاثة مجالات كانت أصلية، ولم تستند إلا قليلاً إلى التراث الأرسطي السابق. وهذه المجالات هي: ^{[ 85 ]}

• نظرية الافتراض . تتناول نظرية الافتراض كيفية امتداد المسندات ( مثل "الإنسان") عبر نطاق من الأفراد ( مثل " جميع البشر"). ^{[ 86 ]} في القضية "كل إنسان حيوان"، هل يشمل مصطلح "الإنسان" البشر الموجودين في الحاضر فقط، أم أن نطاقه يشمل البشر في الماضي والمستقبل؟ هل يمكن لمصطلح أن يفترض وجود فرد غير موجود؟ جادل بعض علماء العصور الوسطى بأن هذه الفكرة هي مقدمة لمنطق الرتبة الأولى الحديث . ^{[ 87 ]} "تُشكل نظرية الافتراض، مع النظريات المرتبطة بها كالاقتران (القدرة الدلالية للصفات)، والتوسع (توسيع النطاق المرجعي)، والتوزيع، أحد أكثر الإنجازات أصالةً في منطق العصور الوسطى الغربي". ^{[ 88 ]}
• نظرية المصطلحات المشتركة . المصطلحات المشتركة هي مصطلحات ضرورية للمنطق، ولكنها، على عكس المصطلحات التصنيفية ، لا تدل بذاتها، بل تدل بالمشاركة مع كلمات أخرى. من أمثلة المصطلحات المشتركة: "و"، "ليس"، "كل"، "إذا"، وما إلى ذلك.
• نظرية النتائج . النتيجة هي قضية افتراضية مشروطة: قضيتان تربطهما عبارة "إذا... فإن". على سبيل المثال، "إذا ركض الإنسان، فإن الله موجود" ( Si homo currit, Deus est ). ^{[ 89 ]} يُقدّم الكتاب الثالث من كتاب " الخلاصة المنطقية " لويليام الأوكامي نظريةً متكاملةً للنتائج . هناك، يُميّز أوكام بين النتائج "المادية" و"الصورية"، والتي تُعادل تقريبًا الاستلزام المادي والاستلزام المنطقي في العصر الحديث على التوالي. وقدّم كلٌّ من جان بوريدان وألبرت الساكسوني رواياتٍ مشابهة .

آخر الأعمال العظيمة في هذا التقليد هي منطق جون بوينسوت (1589-1644، المعروف باسم جون القديس توماس )، والمناظرات الميتافيزيقية لفرانسيسكو سواريز (1548-1617)، والمنطق البرهاني لجيوفاني جيرولامو ساكيري (1667-1733).

يشير المنطق التقليدي عمومًا إلى التراث النظري الذي بدأ مع كتاب " المنطق ، أو فن التفكير" لأنطوان أرنولد وبيير نيكول ، والمعروف باسم " منطق بورت رويال" . ^{[ 90 ]} نُشر هذا الكتاب عام 1662، وكان العمل الأكثر تأثيرًا في مجال المنطق بعد أرسطو حتى القرن التاسع عشر. ^{[ 91 ]} يقدم الكتاب مذهبًا ديكارتيًا فضفاضًا (باعتبار أن القضية عبارة عن دمج أفكار وليست مصطلحات، على سبيل المثال) ضمن إطار مستمد بشكل عام من منطق المصطلحات الأرسطي والوسيط . صدرت ثماني طبعات من الكتاب بين عامي 1664 و1700، وكان له تأثير كبير بعد ذلك. ^{[ 91 ]} يُدخل كتاب " بورت رويال" مفهومي الامتداد والقصد . إنّ وصف القضايا الذي يقدمه لوك في مقالته هو في جوهره وصف بورت رويال: "القضايا اللفظية، وهي الكلمات، هي علامات أفكارنا، مجمعة أو منفصلة في جمل إيجابية أو سلبية. وهكذا تتكون القضية من جمع هذه العلامات أو فصلها، وفقًا لما إذا كانت الأشياء التي تمثلها تتفق أو تختلف." ^{[ 92 ]}

ساهم دادلي فينير في نشر المنطق الراميستي ، كرد فعل على أرسطو. ومن الأعمال المؤثرة الأخرى كتاب " نوفوم أورغانوم " لفرانسيس بيكون ، الذي نُشر عام 1620. يُترجم عنوان الكتاب إلى "الأداة الجديدة"، في إشارة إلى كتاب أرسطو المعروف باسم " الأورغانون ". في هذا الكتاب، يرفض بيكون المنهج القياسي لأرسطو لصالح منهج بديل "يجمع المعلومات من الأشياء من خلال العمل الدؤوب والمثابر، ويُوصلها إلى الفهم". ^{[ 93 ]} يُعرف هذا المنهج بالاستدلال الاستقرائي ، وهو منهج يبدأ من الملاحظة التجريبية وينتقل إلى بديهيات أو قضايا أدنى؛ ومن هذه البديهيات الأدنى، يمكن استنباط بديهيات أكثر عمومية. على سبيل المثال، عند البحث عن سبب ظاهرة طبيعية كالحرارة، ينبغي إعداد ثلاث قوائم:

• قائمة التواجد: قائمة بكل حالة يتم فيها العثور على الحرارة.
• قائمة الغياب: قائمة بكل حالة مشابهة لواحدة على الأقل من حالات قائمة الحضور، باستثناء عدم وجود حرارة.
• قائمة التباين: قائمة بكل حالة يمكن أن تتغير فيها الحرارة.

ثم، يمكن تعريف طبيعة (أو سبب) الحرارة بأنها الشيء المشترك بين كل حالة من حالات قائمة الوجود، والذي يفتقر إليه كل حالة من حالات قائمة الغياب، والذي يختلف بدرجة في كل حالة من حالات قائمة التباين.

من بين الأعمال الأخرى في هذا السياق، كتاب " المنطق: أو الاستخدام الصحيح للعقل" لإسحاق واتس ( 1725)، وكتاب "المنطق" لريتشارد ويتلي ( 1826)، وكتاب "نظام المنطق" لجون ستيوارت ميل (1843). ورغم أن الأخير كان من آخر الأعمال العظيمة في هذا السياق، إلا أن رؤية ميل القائلة بأن أسس المنطق تكمن في الاستبطان ^{[ 94 ]} أثرت في الرأي القائل بأن المنطق يُفهم على أفضل وجه كفرع من فروع علم النفس، وهو رأي هيمن على الخمسين عامًا التالية من تطوره، لا سيما في ألمانيا. ^{[ 95 ]}

أشار هيغل إلى أهمية المنطق في منظومته الفلسفية عندما اختصر كتابه الموسع " علم المنطق" إلى عمل أقصر نُشر عام 1817 كمجلد أول من موسوعته للعلوم الفلسفية. ويُعرف هذا العمل، الذي يُطلق عليه غالبًا " منطق الموسوعة"، بسلسلة من التحولات التي تقود من أكثر الفئات تجريدًا وفراغًا - حيث يبدأ هيغل بـ" الوجود الخالص" و"العدم الخالص" - إلى " المطلق "، وهي الفئة التي تحتوي على جميع الفئات التي سبقتها وتحلها. وعلى الرغم من العنوان، فإن " منطق هيغل " ليس في الحقيقة إضافة إلى علم الاستدلال الصحيح. فبدلًا من استخلاص استنتاجات حول المفاهيم من خلال الاستدلال الصحيح من المقدمات، يسعى هيغل إلى إظهار أن التفكير في مفهوم ما يستلزم التفكير في مفهوم آخر (إذ لا يمكن، كما يجادل، امتلاك مفهوم "الجودة" دون مفهوم "الكمية"). لا يُفترض أن هذا الدافع مسألة نفسية فردية، لأنه ينشأ بشكل شبه عضوي من محتوى المفاهيم نفسها. هدفه هو إظهار البنية العقلانية لـ"المطلق" - بل للعقلانية ذاتها. تُعرف الطريقة التي يُوجَّه بها الفكر من مفهوم إلى نقيضه، ثم إلى مفاهيم أخرى، بالجدل الهيغلي .

على الرغم من أن منطق هيجل لم يكن له تأثير كبير على الدراسات المنطقية السائدة، إلا أنه يمكن ملاحظة تأثيره في أماكن أخرى:

• كارل فون برانتل Geschichte der Logik im Abendland (1855–1867). ^{[ 96 ]}
• أعمال المثاليين البريطانيين ، مثل كتاب مبادئ المنطق لـ إف إتش برادلي (1883).
• الدراسات الاقتصادية والسياسية والفلسفية لكارل ماركس ، وفي مختلف مدارس الماركسية .

امتدت الفترة بين أعمال ميل وفريجه نصف قرن، عومل خلالها المنطق على نطاق واسع كعلم وصفي، ودراسة تجريبية لبنية الاستدلال، وبالتالي كفرع من فروع علم النفس . ^{[ 97 ]} فعلى سبيل المثال، ناقش عالم النفس الألماني فيلهلم فونت استنباط "القوانين المنطقية للفكر من القوانين النفسية"، مؤكدًا أن "التفكير النفسي هو دائمًا الشكل الأكثر شمولًا للتفكير". ^{[ 98 ]} وقد شاع هذا الرأي بين الفلاسفة الألمان في تلك الفترة.

• وصف تيودور ليبس المنطق بأنه "فرع محدد من فروع علم النفس". ^{[ 99 ]}
• فهم كريستوف فون سيغفارت الضرورة المنطقية على أنها متجذرة في دافع الفرد للتفكير بطريقة معينة. ^{[ 100 ]}
• جادل بينو إردمان بأن "القوانين المنطقية لا تسري إلا في حدود تفكيرنا". ^{[ 101 ]}

كانت هذه هي النظرة السائدة للمنطق في السنوات التي تلت أعمال ميل. ^{[ 102 ]} وقد رفض غوتلوب فريجه هذا النهج النفسي للمنطق . كما تعرض لنقدٍ موسعٍ وهدّامٍ من إدموند هوسرل في المجلد الأول من كتابه " تحقيقات منطقية " (1900)، وهو هجومٌ وُصف بأنه "ساحق". ^{[ 103 ]} جادل هوسرل بقوةٍ بأن تأسيس المنطق على الملاحظات النفسية يعني أن جميع الحقائق المنطقية تبقى غير مثبتة، وأن الشك والنسبية نتيجتان لا مفر منهما .

لم تُؤدِّ هذه الانتقادات إلى استئصال ما يُسمى بـ" النزعة النفسية " على الفور. فعلى سبيل المثال، ظل الفيلسوف الأمريكي جوزيا رويس ، مع إقراره بقوة نقد هوسرل، "غير قادر على الشك" في أن التقدم في علم النفس سيصاحبه تقدم في المنطق، والعكس صحيح. ^{[ 104 ]}

تعود فكرة إمكانية تمثيل الاستدلال بعملية ميكانيكية بحتة إلى ريموند لول ، الذي اقترح طريقة (غريبة نوعًا ما) لاستخلاص النتائج باستخدام نظام من الحلقات متحدة المركز. وقد أدى عمل علماء المنطق، مثل " حاسبي أكسفورد " ^{[ 109 ]} ، إلى استخدام الحروف بدلًا من كتابة العمليات الحسابية المنطقية ( calculations ) بالكلمات، وهي طريقة استُخدمت، على سبيل المثال، في كتاب "المنطق العظيم" لبولس البندقية . بعد ثلاثمائة عام من لول، اقترح الفيلسوف والمنطقي الإنجليزي توماس هوبز إمكانية اختزال المنطق والاستدلال إلى عمليتي الجمع والطرح الرياضيتين. ^{[ 110 ]} نجد الفكرة نفسها في أعمال لايبنتز ، الذي قرأ أعمال لول وهوبز، والذي جادل بإمكانية تمثيل المنطق من خلال عملية توافقية أو حساب تفاضلي وتكاملي. لكنه، مثل لول وهوبز، لم ينجح في تطوير نظام مفصل أو شامل، ولم يُنشر عمله في هذا الموضوع إلا بعد وفاته بفترة طويلة. يقول لايبنتز إن اللغات العادية عرضة لـ "غموض لا حصر له" وغير مناسبة لحساب التفاضل والتكامل، الذي تتمثل مهمته في كشف الأخطاء في الاستدلال الناجمة عن أشكال الكلمات وبنيتها؛ ^{[ 111 ]} ومن ثم، اقترح تحديد أبجدية للفكر البشري تضم مفاهيم أساسية يمكن تركيبها للتعبير عن أفكار معقدة، ^{[ 112 ]} وإنشاء حساب تفاضلي منطقي يجعل جميع الحجج "ملموسة مثل حجج علماء الرياضيات، بحيث يمكننا اكتشاف خطأنا بنظرة خاطفة، وعندما تنشأ خلافات بين الأشخاص، يمكننا ببساطة أن نقول: دعونا نحسب." ^{[ 113 ]}

قال جيرجون (1816) إن الاستدلال لا يشترط أن يكون متعلقًا بأشياء يمتلك المرء عنها أفكارًا واضحة تمامًا، إذ يمكن إجراء العمليات الجبرية دون معرفة معنى الرموز المستخدمة. ^{[ 114 ]} وقد استبق بولزانو فكرة أساسية في نظرية البرهان الحديثة عندما عرّف الاستدلال المنطقي أو "الاستنتاجية" بدلالة المتغيرات: ^{[ 115 ]}

لذا أقول إن القضايا${\displaystyle M}$،${\displaystyle N}$،${\displaystyle O}$... قابلة للاستنتاج من القضايا${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$... فيما يتعلق بالأجزاء المتغيرة${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$...، إذا كانت كل فئة من الأفكار التي يتم استبدالها بـ${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$... يجعل كل${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$... صحيح، وهذا يجعل كل شيء${\displaystyle M}$،${\displaystyle N}$،${\displaystyle O}$صحيح. أحيانًا، وبما أنه من المعتاد، سأقول إن القضايا${\displaystyle M}$،${\displaystyle N}$،${\displaystyle O}$... تتبع ، أو يمكن استنتاجها أو استنباطها ، من${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$... القضايا${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$...سأسمي المبنى ،${\displaystyle M}$،${\displaystyle N}$،${\displaystyle O}$... الاستنتاجات.

يُعرف هذا الآن باسم الصلاحية الدلالية .

يبدأ المنطق الحديث بما يُعرف بـ"المدرسة الجبرية"، التي نشأت مع بول وشملت بيرس ، وجيفونز ، وشرودر ، وفين . ^{[ 116 ]} كان هدفهم تطوير حساب لترسيخ الاستدلال في مجال الفئات، والقضايا، والاحتمالات. بدأت هذه المدرسة مع عمل بول الرائد " التحليل الرياضي للمنطق" الذي نُشر عام 1847، على الرغم من أن دي مورغان (1847) يُعدّ سلفها المباشر. ^{[ 117 ]} الفكرة الأساسية لنظام بول هي إمكانية استخدام الصيغ الجبرية للتعبير عن العلاقات المنطقية. خطرت هذه الفكرة لبول في سنوات مراهقته، عندما كان يعمل مُرشدًا في مدرسة خاصة في لينكولن، لينكولنشاير . ^{[ 118 ]} على سبيل المثال، لنفترض أن x و y يُمثلان فئتين، ولنرمز بعلامة = للدلالة على أن الفئتين لهما نفس العناصر، و xy تُمثل الفئة التي تحتوي على جميع عناصر x و y فقط، وهكذا. يُطلق بول على هذه الرموز اسم الرموز الاختيارية ، أي الرموز التي تُحدد عناصر معينة للنظر فيها. ^{[ 119 ]} يُطلق على التعبير الذي تُستخدم فيه الرموز الاختيارية اسم الدالة الاختيارية ، وتُسمى المعادلة التي تكون عناصرها دوالًا اختيارية معادلة اختيارية . ^{[ 120 ]} إن نظرية الدوال الاختيارية و"تطورها" هي في جوهرها الفكرة الحديثة لدوال الصدق والتعبير عنها في الصيغة الانفصالية العادية . ^{[ 119 ]}

يُتيح نظام بول تفسيرين، أحدهما في منطق الأصناف والآخر في منطق القضايا. ميّز بول بين "القضايا الأولية" التي تُعنى بنظرية القياس المنطقي، و"القضايا الثانوية" التي تُعنى بمنطق القضايا، وبيّن كيف يُمكن للنظام الجبري نفسه، في ظل تفسيرين مختلفين، أن يُمثّل كليهما. مثال على قضية أولية: "جميع السكان إما أوروبيون أو آسيويون". ومثال على قضية ثانوية: "إما أن جميع السكان أوروبيون أو أنهم جميعًا آسيويون". ^{[ 121 ]} يسهل التمييز بينهما في منطق المحمول الحديث، حيث يُمكن أيضًا إثبات أن الأولى تتبع الثانية، ولكن من عيوب نظام بول أنه لا توجد طريقة لتمثيل ذلك فيه. ^{[ 122 ]}

في كتابه "المنطق الرمزي " (1881)، استخدم جون فين مخططات للمناطق المتداخلة للتعبير عن العلاقات البولية بين الفئات أو شروط الصدق للقضايا. في عام 1869، أدرك جيفونز إمكانية ميكنة أساليب بول، فصنع "آلة منطقية" عرضها على الجمعية الملكية في العام التالي. ^{[ 119 ]} وفي عام 1885، اقترح آلان ماركواند نسخة كهربائية من الآلة لا تزال موجودة حتى اليوم ( صورة في مكتبة فايرستون ).

قام أتباع بول بتصحيح جميع عيوب نظامه (مثل استخدام الحرف v للقضايا الوجودية). نشر جيفونز كتابه "المنطق الخالص، أو منطق النوعية بمعزل عن الكمية " عام 1864، حيث اقترح رمزًا للدلالة على "أو الحصرية "، مما سمح بتبسيط نظام بول بشكل كبير. ^{[ 123 ]} وقد استغل شرودر هذا الأمر بشكل مفيد عندما عرض النظريات في أعمدة متوازية في محاضراته ( 1890-1905). أظهر بيرس (1880) كيف يمكن التعبير عن جميع الدوال الاختيارية البولية باستخدام عملية ثنائية أولية واحدة، " لا ... ولا ... " وبنفس القدر " ليس كلاهما ... و ... "، ^{[ 124 ]} ومع ذلك، مثل العديد من ابتكارات بيرس، ظل هذا الأمر غير معروف أو غير ملحوظ حتى أعاد شيفر اكتشافه في عام 1913. ^{[ 125 ]} كما يفتقر عمل بول المبكر إلى فكرة المجموع المنطقي التي نشأت في بيرس (1867) وشرودر (1877) وجيفونز (1890)، ^{[ 126 ]} ومفهوم التضمين ، الذي اقترحه جيرجون (1816) لأول مرة ووضحه بيرس (1870) بشكل واضح.

أشار نجاح نظام بول الجبري إلى أن كل منطق يجب أن يكون قابلاً للتمثيل الجبري، وكانت هناك محاولات للتعبير عن منطق العلاقات بهذا الشكل، وكان أكثرها طموحًا كتاب شرودر الضخم Vorlesungen über die Algebra der Logik ("محاضرات في جبر المنطق"، المجلد الثالث، 1895)، على الرغم من أن بيرس سبق الفكرة الأصلية مرة أخرى. ^{[ 127 ]}

يؤكد مؤرخ المنطق جون كوركوران، في مقدمة مبسطة لكتاب " قوانين الفكر" ، على قبول بول الراسخ لمنطق أرسطو . ^{[ 128 ]} كما كتب كوركوران مقارنة مفصلة بين كتابي " التحليلات السابقة" و "قوانين الفكر" . ^{[ 129 ]} ووفقًا لكوركوران، فقد تبنى بول منطق أرسطو وأيده تمامًا. تمثلت أهداف بول في "تجاوز منطق أرسطو من جميع جوانبه" من خلال: 1) تزويده بأسس رياضية تتضمن المعادلات، 2) توسيع نطاق المسائل التي يمكنه معالجتها - من تقييم صحة العبارات إلى حل المعادلات - 3) توسيع نطاق تطبيقاته - على سبيل المثال، من العبارات التي تتكون من حدين فقط إلى تلك التي تتكون من عدد غير محدود من الحدود.

وبشكلٍ أدق، اتفق بول مع ما قاله أرسطو ؛ أما "اختلافاته"، إن صحّ التعبير، فتتعلق بما لم يقله أرسطو. أولًا، في مجال الأسس، اختزل بول الأشكال الأربعة للمنطق الأرسطي إلى صيغٍ على شكل معادلات، وهي فكرة ثورية بحد ذاتها. ثانيًا، في مجال مسائل المنطق، أضاف بول حل المعادلات إلى المنطق، وهي فكرة ثورية أخرى، مما استلزم مذهبه القائل بضرورة استكمال قواعد الاستدلال الأرسطية (القياسات المنطقية الكاملة) بقواعد لحل المعادلات. ثالثًا، في مجال التطبيقات، استطاع نظام بول التعامل مع القضايا والحجج متعددة الحدود، بينما لم يستطع أرسطو التعامل إلا مع القضايا والحجج ثنائية الحدود المكونة من موضوع ومسند. على سبيل المثال، لم يستطع نظام أرسطو أن يستنتج "لا يوجد شكل رباعي مربع هو مستطيل معين" من "لا يوجد مربع رباعي هو معين مستطيل" أو من "لا يوجد معين مستطيل هو مربع رباعي".

بعد بول، حقق عالم الرياضيات الألماني غوتلوب فريجه إنجازات عظيمة أخرى . كان هدف فريجه هو برنامج المنطق ، أي إثبات أن الحساب هو نفسه المنطق. ^{[ 130 ]} لقد تجاوز فريجه جميع أسلافه في منهجه الصارم والرسمي للمنطق، ويُعدّ كتابه "حساب التفاضل والتكامل" أو "Begriffsschrift" ذا أهمية بالغة. ^{[ 130 ]} كما حاول فريجه إثبات إمكانية تعريف مفهوم العدد بوسائل منطقية بحتة، بحيث (إذا كان محقًا) يشمل المنطق الحساب وجميع فروع الرياضيات التي يمكن اختزالها إلى الحساب. لم يكن فريجه أول من اقترح ذلك. في عمله الرائد Die Grundlagen der Arithmetik (أسس الحساب)، الأقسام 15-17، يعترف بجهود لايبنتز، وجون ستيوارت ميل، وكذلك جيفونز، مستشهداً بادعاء الأخير بأن "الجبر هو منطق متطور للغاية، والعدد ليس سوى تمييز منطقي". ^{[ 131 ]}

يُعدّ كتاب فريجه الأول، " Begriffsschrift " (نص المفاهيم)، نظامًا منطقيًا قائمًا على بديهيات صارمة، يعتمد على رابطين فقط (النفي والشرطي)، وقاعدتين للاستدلال ( القياس المنطقي والاستبدال)، وست بديهيات. أشار فريجه إلى "اكتمال" هذا النظام، لكنه لم يتمكن من إثبات ذلك. ^{[ 132 ]} مع ذلك، كان الابتكار الأهم هو شرحه للمُكمِّم من خلال الدوال الرياضية. ينظر المنطق التقليدي إلى جملة "قيصر رجل" على أنها من نفس الشكل الأساسي لجملة "كل الرجال فانون". كانت الجمل التي تحتوي على فاعل علم تُعتبر ذات طابع عالمي، ويمكن تفسيرها على أنها "كل قيصر رجل". ^{[ 133 ]} في البداية، تخلى فريجه عن "مفهومي الفاعل والمسند" التقليديين ، واستبدلهما بالمنطق والدالة على التوالي ، معتقدًا أنهما "سيصمدان أمام اختبار الزمن" . ويتابع قائلاً إنه "من السهل إدراك كيف يؤدي اعتبار المحتوى وظيفةً للحجة إلى تكوين المفاهيم. علاوة على ذلك، فإن توضيح العلاقة بين معاني الكلمات " إذا"، و"و"، و"ليس"، و"أو"، و"يوجد"، و"بعض"، و"كل"، وما إلى ذلك، يستحق الاهتمام". ^{[ 134 ]} جادل فريجه بأن عبارة التحديد الكمي "كل الرجال" لا تحمل نفس الشكل المنطقي أو الدلالي لعبارة "كل الرجال"، وأن القضية الكلية "كل أ هو ب" هي قضية مركبة تتضمن وظيفتين ، وهما "- هو أ" و"- هو ب"، بحيث أن كل ما يحقق الأولى يحقق الثانية أيضًا. في التدوين الحديث، يُعبَّر عن ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle \forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}}$

في اللغة الإنجليزية، يُقال: "لكل x، إذا كان Ax فإن Bx". وبالتالي، فإن القضايا المفردة فقط هي التي تتخذ شكل موضوع-مسند، وهي مفردة بشكل غير قابل للاختزال، أي لا يمكن اختزالها إلى قضية عامة. أما القضايا الكلية والخاصة، على النقيض من ذلك، فلا تتخذ شكل موضوع-مسند بسيط على الإطلاق. فلو كانت عبارة "جميع الثدييات" هي الموضوع المنطقي للجملة "جميع الثدييات تعيش على اليابسة"، لكان علينا لنفي الجملة بأكملها أن ننفي المسند لنحصل على "جميع الثدييات لا تعيش على اليابسة". ولكن هذا ليس هو الحال. ^{[ 135 ]} كان لهذا التحليل الوظيفي لجمل اللغة العادية أثر كبير فيما بعد على الفلسفة واللغويات .

هذا يعني أنه في حساب التفاضل والتكامل عند فريجه، يمكن تمثيل قضايا بول "الأولية" بطريقة مختلفة عن القضايا "الثانوية". "جميع السكان إما رجال أو نساء" هي

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}}$

بينما "جميع السكان رجال أو جميع السكان نساء" هو

${\displaystyle \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}}$

كما أشار فريجه في نقده لحسابات بول:

"يكمن الفرق الحقيقي في أنني أتجنب التقسيم [البولياني] إلى جزأين... وأقدم عرضًا متجانسًا للكل. في البولياني، يسير الجزآن جنبًا إلى جنب، بحيث يكون أحدهما كصورة معكوسة للآخر، ولكن لهذا السبب بالذات لا توجد علاقة عضوية بينهما." ^{[ 136 ]}

إلى جانب توفير نظام منطقي موحد وشامل، حلّ حساب فريجه أيضًا مشكلة التعميم المتعدد القديمة . فغموض عبارة "كل فتاة قبلت فتى" يصعب التعبير عنه في المنطق التقليدي، لكن منطق فريجه يحلّ هذه المشكلة من خلال النطاق المختلف للمكممات.

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}}$

يعني ذلك أن لكل فتاة فتى (أي فتى) قامت الفتاة بتقبيله. لكن

${\displaystyle \exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}}$

يعني ذلك وجود فتى معين قبلته كل فتاة. لولا هذه الآلية، لكان مشروع المنطق موضع شك أو مستحيلاً. وباستخدامها، قدم فريجه تعريفًا للعلاقة السلفية ، وعلاقة التعدد بالواحد ، والاستقراء الرياضي . ^{[ 137 ]}

تتداخل هذه الفترة مع أعمال ما يُعرف بـ"المدرسة الرياضية"، والتي ضمت ديديكيند ، وباش ، وبيانو ، وهيلبرت ، وزيرميلو ، وهانتينغتون ، وفيبيلين ، وهيتينغ . كان هدفهم وضع أسس بديهية لفروع الرياضيات كالهندسة، والحساب، والتحليل، ونظرية المجموعات. وكان أبرزها برنامج هيلبرت ، الذي سعى إلى ربط جميع فروع الرياضيات بمجموعة محدودة من البديهيات، مُثبتًا اتساقها بوسائل "محدودة"، ومُقدمًا إجراءً يُحدد صحة أو خطأ أي عبارة رياضية. تُسمى البديهية القياسية للأعداد الطبيعية ببديهيات بيانو نسبةً إليه. حافظ بيانو على تمييز واضح بين الرموز الرياضية والمنطقية. ورغم عدم اطلاعه على أعمال فريجه، فقد أعاد بشكل مستقل بناء جهازه المنطقي استنادًا إلى أعمال بول وشرودر. ^{[ 138 ]}

تلقى مشروع المنطق ضربة قاضية تقريبًا باكتشاف مفارقة عام 1901 على يد برتراند راسل . أثبت هذا الاكتشاف أن نظرية فريجه الساذجة للمجموعات تؤدي إلى تناقض. تضمنت نظرية فريجه بديهية مفادها أنه لأي معيار رسمي، توجد مجموعة تضم جميع العناصر التي تحقق هذا المعيار. بيّن راسل أن مجموعة تحتوي تحديدًا على المجموعات التي ليست أعضاءً في نفسها ستتناقض مع تعريفها (إذا لم تكن عضوًا في نفسها، فهي عضو في نفسها، وإذا كانت عضوًا في نفسها، فهي ليست كذلك). ^{[ 139 ]} يُعرف هذا التناقض الآن بمفارقة راسل . اقترح إرنست زيرميلو إحدى الطرق المهمة لحل هذه المفارقة . ^{[ 140 ]} كانت نظرية زيرميلو للمجموعات أول نظرية مجموعات بديهية . وقد تطورت لاحقًا إلى نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) التي تُعدّ الآن نظريةً أساسيةً في هذا المجال . يمكن تلخيص مفارقة راسل رمزياً على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{ليكن }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{، إذن }}R\in R\iff R\not \in R}$

كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" الضخم ، وهو عمل من ثلاثة مجلدات حول أسس الرياضيات ، كتبه راسل وألفريد نورث وايتهيد ونُشر بين عامي 1910 و1913، تضمن أيضًا محاولة لحل المفارقة، وذلك من خلال نظام مُفصّل للأنواع : فمجموعة العناصر تختلف في نوعها عن كل عنصر من عناصرها (المجموعة ليست العنصر؛ والعنصر الواحد ليس المجموعة)، ولا يمكن الحديث عن " مجموعة جميع المجموعات ". كانت " برينسيبيا" محاولة لاستنباط جميع الحقائق الرياضية من مجموعة مُحددة جيدًا من البديهيات وقواعد الاستدلال في المنطق الرمزي .

هيمن اسما غودل وتارسكي على ثلاثينيات القرن العشرين، ^{[ 141 ]} وهي فترة حاسمة في تطور ما وراء الرياضيات - دراسة الرياضيات باستخدام الأساليب الرياضية لإنتاج نظريات فوقية ، أو نظريات رياضية حول نظريات رياضية أخرى. وقد انطلقت الأبحاث المبكرة في ما وراء الرياضيات من برنامج هيلبرت. وتُوِّج العمل في هذا المجال بعمل غودل، الذي أثبت عام 1929 أن جملة من الدرجة الأولى قابلة للاستنتاج إذا وفقط إذا كانت صحيحة منطقيًا - أي أنها صحيحة في كل بنية للغتها. وهذا ما يُعرف بنظرية اكتمال غودل . وبعد عام، أثبت غودل نظريتين مهمتين، أظهرتا استحالة تحقيق برنامج هيلبرت في شكله الأصلي. الأولى هي أنه لا يوجد نظام متسق من البديهيات، يمكن سرد نظرياته بواسطة إجراء فعال كخوارزمية أو برنامج حاسوبي ، قادر على إثبات جميع الحقائق المتعلقة بالأعداد الطبيعية . في أي نظام من هذا القبيل، ستكون هناك دائمًا عبارات صحيحة حول الأعداد الطبيعية، لكنها غير قابلة للإثبات داخل النظام نفسه. ثانيًا، إذا كان هذا النظام قادرًا أيضًا على إثبات بعض الحقائق الأساسية حول الأعداد الطبيعية، فلن يتمكن من إثبات اتساق النظام ذاته. تُعرف هاتان النتيجتان بنظريات عدم الاكتمال لغودل ، أو ببساطة نظرية غودل . لاحقًا في ذلك العقد، طوّر غودل مفهوم قابلية البناء باستخدام نظرية المجموعات ، كجزء من برهانه على أن بديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية متسقتان مع نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . في نظرية البرهان ، طوّر غيرهارد جنتزن الاستدلال الطبيعي وحساب المتتاليات . يحاول الأول نمذجة الاستدلال المنطقي كما يحدث "بشكل طبيعي" في الممارسة العملية، وهو الأنسب للتطبيق على المنطق الحدسي ، بينما صُمم الثاني لتوضيح اشتقاق البراهين المنطقية في أي نظام رسمي. منذ أعمال جنتزن، انتشر استخدام الاستدلال الطبيعي وحسابات المتتاليات على نطاق واسع في مجالات نظرية البرهان والمنطق الرياضي وعلوم الحاسوب. كما برهن جنتزن على نظريات التطبيع وحذف القطع للمنطق الحدسي والكلاسيكي، والتي يمكن استخدامها لاختزال البراهين المنطقية إلى شكلها الطبيعي. ^{[ 142 ]}

يُعرف ألفريد تارسكي ، تلميذ لوكاسيفيتش ، بتعريفه للحقيقة والنتيجة المنطقية ، والمفهوم الدلالي للإرضاء المنطقي . في عام ١٩٣٣، نشر (باللغة البولندية) كتاب " مفهوم الحقيقة في اللغات الصورية " ، حيث طرح نظريته الدلالية للحقيقة : جملة مثل "الثلج أبيض" تكون صحيحة إذا وفقط إذا كان الثلج أبيض. فصلت نظرية تارسكي بين اللغة الوصفية ، التي تُعبّر عن الحقيقة، ولغة الموضوع، التي تحتوي على الجملة التي تُؤكد صحتها، وقدّمت تطابقًا ( مخطط T ) بين عبارات لغة الموضوع وعناصر التفسير . كان لنهج تارسكي في شرح فكرة الحقيقة المعقدة تأثيرٌ دائم في المنطق والفلسفة، لا سيما في تطوير نظرية النماذج . ^{[ ١٤٣ ]} كما قدّم تارسكي أعمالًا مهمة في منهجية الأنظمة الاستنتاجية، وفي مبادئ أساسية مثل الاكتمال ، وقابلية الحسم ، والاتساق، وقابلية التعريف . بحسب أنيتا فيفرمان، فإن تارسكي "غيّر وجه المنطق في القرن العشرين". ^{[ 144 ]}

اقترح ألونزو تشيرش وآلان تورينج نماذج رسمية للحوسبة، وقدما حلولًا سلبية مستقلة لمسألة هيلبرت (Entscheidungsproblem) في عامي 1936 و1937 على التوالي. تطلبت مسألة هيلبرت إيجاد إجراء يحدد، بناءً على أي عبارة رياضية رسمية، ما إذا كانت العبارة صحيحة أم لا. أثبت تشيرش وتورينج عدم وجود مثل هذا الإجراء؛ وقد قدمت ورقة تورينج مسألة التوقف كمثال رئيسي على مسألة رياضية ليس لها حل خوارزمي.

تطوّر نظام تشرش للحوسبة إلى حساب لامدا الحديث ، بينما أصبحت آلة تورينج نموذجًا قياسيًا لأجهزة الحوسبة العامة. وسرعان ما تبيّن أن العديد من نماذج الحوسبة الأخرى المقترحة تُعادل في قدرتها تلك التي اقترحها تشرش وتورينج. أدت هذه النتائج إلى فرضية تشرش-تورينج التي تنص على أن أي خوارزمية حتمية يمكن تنفيذها بواسطة الإنسان يمكن تنفيذها بواسطة آلة تورينج. أثبت تشرش نتائج إضافية تتعلق بعدم قابلية الحسم، موضحًا أن كلًا من حساب بيانو ومنطق الرتبة الأولى غير قابلين للحسم . وفي وقت لاحق، وسّع عمل إميل بوست وستيفن كول كلين في أربعينيات القرن العشرين نطاق نظرية قابلية الحوسبة وقدّما مفهوم درجات عدم قابلية الحل .

كان لنتائج العقود القليلة الأولى من القرن العشرين تأثير أيضاً على الفلسفة التحليلية والمنطق الفلسفي ، لا سيما من الخمسينيات فصاعداً، في مواضيع مثل المنطق الموجه ، والمنطق الزمني ، والمنطق الواجبي ، ومنطق الصلة .

بعد الحرب العالمية الثانية، تفرعت المنطق الرياضي إلى أربعة مجالات بحثية مترابطة ولكنها منفصلة: نظرية النموذج ، ونظرية البرهان ، ونظرية الحوسبة ، ونظرية المجموعات . ^{[ 145 ]}

في نظرية المجموعات، أحدثت طريقة الإجبار ثورةً في هذا المجال، إذ وفرت أسلوبًا قويًا لبناء النماذج والحصول على نتائج الاستقلال. وقد قدم بول كوهين هذه الطريقة عام ١٩٦٣ لإثبات استقلال فرضية الاستمرارية وبديهية الاختيار من نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . ^{[ ١٤٦ ]} ومنذ ذلك الحين، طُبقت تقنيته، التي جرى تبسيطها وتوسيعها بعد فترة وجيزة من تقديمها، على العديد من المسائل الأخرى في جميع مجالات المنطق الرياضي.

تعود جذور نظرية الحوسبة إلى أعمال تورينج، وتشرش، وكلين، وبوست في ثلاثينيات وأربعينيات القرن العشرين. وتطورت إلى دراسة الحوسبة المجردة، والتي عُرفت بنظرية الاستدعاء الذاتي . ^{[ 147 ]} أدت طريقة الأولوية ، التي اكتشفها ألبرت موشنيك وريتشارد فريدبيرج بشكل مستقل في خمسينيات القرن العشرين، إلى تقدم كبير في فهم درجات عدم قابلية الحل والبنى ذات الصلة. وأظهرت الأبحاث في نظرية الحوسبة من الرتبة العليا صلاتها بنظرية المجموعات. وقد طُوِّرت مجالات التحليل البنائي والتحليل الحسابي لدراسة المحتوى الفعال للنظريات الرياضية الكلاسيكية؛ وقد ألهمت هذه بدورها برنامج الرياضيات العكسية . كما تم توصيف فرع منفصل من نظرية الحوسبة، وهو نظرية التعقيد الحسابي ، بمصطلحات منطقية نتيجةً للتحقيقات في التعقيد الوصفي .

تُطبّق نظرية النماذج أساليب المنطق الرياضي لدراسة نماذج نظريات رياضية محددة. وقد نشر ألفريد تارسكي العديد من الأعمال الرائدة في هذا المجال، الذي سُمّي نسبةً إلى سلسلة من الأبحاث التي نشرها تحت عنوان " مساهمات في نظرية النماذج" . وفي ستينيات القرن العشرين، استخدم أبراهام روبنسون تقنيات نظرية النماذج لتطوير حساب التفاضل والتكامل والتحليل القائم على المتناهيات في الصغر ، وهي مشكلة طرحها لايبنتز لأول مرة.

في نظرية البرهان، تم توضيح العلاقة بين الرياضيات الكلاسيكية والرياضيات الحدسية من خلال أدوات مثل طريقة التحقق التي ابتكرها جورج كرايزل وتفسير غودل للديالكتيكا . وقد ألهم هذا العمل مجال استخراج البراهين المعاصر . وبرزت مطابقة كاري-هوارد كتشابه عميق بين المنطق والحوسبة، بما في ذلك التطابق بين أنظمة الاستدلال الطبيعي وحسابات لامدا المكتوبة المستخدمة في علوم الحاسوب. ونتيجة لذلك، بدأ البحث في هذه الفئة من الأنظمة الرسمية يتناول الجوانب المنطقية والحاسوبية على حد سواء؛ وأصبح هذا المجال البحثي يُعرف بنظرية الأنواع الحديثة. كما تم إحراز تقدم في التحليل الترتيبي ودراسة نتائج الاستقلال في الحساب، مثل نظرية باريس-هارينغتون .

كانت هذه الفترة، لا سيما في خمسينيات القرن العشرين وما بعدها، فترةً بدأت فيها أفكار المنطق الرياضي تؤثر في الفكر الفلسفي. فعلى سبيل المثال، يُعدّ منطق الزمن نظامًا رسميًا لتمثيل القضايا المُحددة زمنيًا والاستدلال عليها. وقد لعب الفيلسوف آرثر براير دورًا هامًا في تطويره خلال ستينيات القرن العشرين. وتوسّع المنطق الموجه نطاق المنطق الصوري ليشمل عناصر الموجه (مثل الإمكانية والضرورة ). وكان لأفكار شاول كريپكي ، ولا سيما حول العوالم الممكنة ، والنظام الصوري المعروف الآن باسم دلالات كريپكي، أثرٌ بالغٌ في الفلسفة التحليلية . ^{[ 148 ]} ويُعدّ كتابه "التسمية والضرورة" ( 1980) أشهر أعماله وأكثرها تأثيرًا . ^{[ 149 ]} ويرتبط المنطق الواجب ارتباطًا وثيقًا بالمنطق الموجه ، إذ يسعى إلى استيعاب السمات المنطقية للالتزام والإذن والمفاهيم ذات الصلة. على الرغم من أن بولزانو قد أظهر بعض المستجدات الأساسية التي تجمع بين المنطق الرياضي والفلسفي في أوائل القرن التاسع عشر، إلا أن إرنست مالي ، وهو تلميذ ألكسيوس مينونغ ، هو من اقترح أول نظام أخلاقي رسمي في كتابه Grundgesetze des Sollens ، استنادًا إلى بناء جملة حساب القضايا لوايتهيد وراسل .

ومن الأنظمة المنطقية الأخرى التي تم تأسيسها بعد الحرب العالمية الثانية المنطق الضبابي الذي وضعه عالم الرياضيات الأذربيجاني لطفي عسكر زاده في عام 1965.