فلسفة الرياضيات

يتطلب الاستدلال الرياضي دقةً متناهية . وهذا يعني أن تكون التعريفات واضحة لا لبس فيها، وأن تكون البراهين قابلة للاختزال إلى سلسلة من تطبيقات القياس المنطقي أو قواعد الاستدلال ، ^{[ أ ]} دون أي استخدام للأدلة التجريبية أو الحدس . ^{[ ب ] [ 6 ]}

وضع الفلاسفة اليونانيون القدماء قواعد الاستدلال الدقيق تحت مسمى المنطق . لا يقتصر المنطق على الرياضيات، ولكن في الرياضيات، يكون مستوى الدقة أعلى بكثير مما هو عليه في أي مجال آخر.

لعدة قرون، كان المنطق، رغم استخدامه في البراهين الرياضية، يُعتبر من صميم الفلسفة ولم يكن محل دراسة خاصة من قبل علماء الرياضيات. ^{[ 7 ]} في أواخر القرن التاسع عشر تقريبًا، أثارت عدة مفارقات تساؤلات حول الأساس المنطقي للرياضيات، وبالتالي حول صحة الرياضيات برمتها. وقد أُطلق على هذه الظاهرة اسم " الأزمة التأسيسية للرياضيات" . تتضمن بعض هذه المفارقات نتائج تبدو متناقضة مع الحدس الشائع، مثل إمكانية بناء هندسات غير إقليدية صحيحة يكون فيها مسلمة التوازي خاطئة، ودالة فايرشتراس المتصلة ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي نقطة ، ودراسة جورج كانتور للمجموعات اللانهائية ، والتي أدت إلى النظر في عدة أحجام للانهائية ( الأعداد الأصلية اللانهائية ). والأكثر إثارة للدهشة، أن مفارقة راسل تُظهر أن عبارة "مجموعة جميع المجموعات" متناقضة في حد ذاتها.

طُرحت عدة طرق لحل هذه المشكلة عن طريق تغيير الإطار المنطقي، مثل الرياضيات البنائية والمنطق الحدسي . وبشكل عام، تتمثل الطريقة الأولى في اشتراط أن تقدم كل نظرية وجود مثالاً صريحاً، بينما تستبعد الطريقة الثانية من الاستدلال الرياضي قانون الوسط المرفوع وحذف النفي المزدوج .

تتميز هذه المنطقيات بقواعد استدلال أقل من المنطق الكلاسيكي. من جهة أخرى، كان المنطق الكلاسيكي منطقًا من الدرجة الأولى ، ما يعني تقريبًا أنه لا يمكن تطبيق المُكمِّمات بحرية على المجموعات اللانهائية. وهذا يستلزم عدم إمكانية تعريف مجموعة الأعداد الحقيقية في المنطق الكلاسيكي، وعدم إمكانية إثبات نظرية القيمة المتوسطة . وقد أدى ذلك إلى ظهور المنطقيات من الرتب العليا ، والتي تُستخدم حاليًا على نطاق واسع في الرياضيات.

تم حل مشكلات أسس الرياضيات في نهاية المطاف مع ظهور المنطق الرياضي كفرع جديد من فروع الرياضيات. في هذا الإطار، تتألف النظرية الرياضية أو المنطقية من لغة رسمية تُعرّف العبارات الصحيحة ، ومجموعة من العبارات الأساسية تُسمى البديهيات ، ومجموعة من قواعد الاستدلال التي تسمح بإنتاج عبارات جديدة من عبارة واحدة أو عدة عبارات معروفة. تُعرَّف نظرية هذه النظرية إما بأنها بديهية أو عبارة يمكن استنتاجها من نظريات معروفة مسبقًا بتطبيق قاعدة استدلال. تُعد نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار ، والتي تُعرف اختصارًا بـ ZFC ، منطقًا من الرتبة العليا أُعيدت فيه صياغة جميع الرياضيات؛ وهي تُستخدم ضمنيًا في جميع كتب الرياضيات التي لا تُحدد صراحةً الأسس التي تستند إليها. علاوة على ذلك، يمكن نمذجة ودراسة الأسس الأخرى المقترحة ضمن ZFC.

يترتب على ذلك أن مفهوم "الدقة" لم يعد ذا صلة في الرياضيات، إذ أن البرهان إما صحيح أو خاطئ، وأن "البرهان الدقيق" ليس إلا حشوًا . ويبرز مفهوم خاص للدقة في الجوانب الاجتماعية للبرهان. فعلى وجه الخصوص، نادرًا ما تُكتب البراهين بتفصيل كامل، وتُعتبر بعض خطوات البرهان بديهية أو سهلة أو مباشرة ، وبالتالي تُترك للقارئ. وبما أن معظم أخطاء البراهين تحدث في هذه الخطوات المُتجاوزة، فإن أي برهان جديد يتطلب التحقق منه من قِبل متخصصين آخرين في المجال، ولا يُمكن اعتباره موثوقًا إلا بعد قبوله من قِبل مجتمع المتخصصين، وهو ما قد يستغرق عدة سنوات. ^{[ 8 ]}

كذلك، قد يظل مفهوم "الدقة" مفيداً لتعليم المبتدئين ما هو البرهان الرياضي. ^{[ 9 ]}

تُستخدم الرياضيات في معظم العلوم لنمذجة الظواهر ، مما يسمح بالتنبؤات المستندة إلى القوانين التجريبية. ^{[ 10 ]} إن استقلال الحقيقة الرياضية عن أي تجربة يعني أن دقة هذه التنبؤات تعتمد فقط على مدى ملاءمة النموذج. ^{[ 11 ]} إن التنبؤات غير الدقيقة، بدلاً من أن تكون ناتجة عن مفاهيم رياضية غير صحيحة، تشير إلى ضرورة تغيير النموذج الرياضي المستخدم. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، لم يكن من الممكن تفسير ترنح حضيض عطارد إلا بعد ظهور نظرية النسبية العامة لأينشتاين ، التي حلت محل قانون نيوتن للجاذبية كنموذج رياضي أفضل. ^{[ 13 ]}

لا يزال الجدل الفلسفي قائمًا حول ما إذا كانت الرياضيات علمًا أم لا. مع ذلك، عمليًا، يُصنَّف علماء الرياضيات عادةً ضمن فئة العلماء، وتتشابه الرياضيات كثيرًا مع العلوم الفيزيائية. فمثلها، قابلة للتفنيد ، ما يعني أنه في الرياضيات، إذا كانت نتيجة أو نظرية ما خاطئة، يُمكن إثبات ذلك بتقديم مثال مضاد . وكما هو الحال في العلوم، غالبًا ما تُستخلص النظريات والنتائج (المبرهنات) من خلال التجربة . ^{[ 14 ]} في الرياضيات، قد تتضمن التجربة إجراء حسابات على أمثلة مختارة أو دراسة الأشكال أو غيرها من تمثيلات الكائنات الرياضية (غالبًا ما تكون تمثيلات ذهنية دون دعم مادي). على سبيل المثال، عندما سُئل غاوس عن كيفية توصله إلى مبرهناته، أجاب ذات مرة "durch planmässiges Tattonieren" (من خلال التجريب المنهجي). ^{[ 15 ]} مع ذلك، يؤكد بعض المؤلفين أن الرياضيات تختلف عن المفهوم الحديث للعلم في عدم اعتمادها على الأدلة التجريبية. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

الرأي القائل بأن الرياضيات هي مزيج جمالي من الافتراضات، ثم يزعم أيضاً أنها فن . ومن أشهر علماء الرياضيات الذين تبنوا هذا الرأي البريطاني جي إتش هاردي . ففي كتابه " اعتذار عالم رياضيات" ، يرى هاردي أن تعريف الرياضيات أقرب إلى المزيج الجمالي للمفاهيم. ^{[ 34 ]}

تتجاوز فرضية ماكس تيغمارك عن الكون الرياضي (أو النزعة الرياضية ) الأفلاطونية في تأكيدها على أن جميع الكائنات الرياضية لا وجود لها فحسب، بل لا وجود لأي شيء آخر. وتتلخص فرضية تيغمارك الوحيدة في أن جميع البنى الموجودة رياضياً موجودة أيضاً مادياً . أي بمعنى أنه "في تلك العوالم المعقدة بما يكفي لاحتواء بنى فرعية واعية بذاتها، فإنها ستدرك وجودها ذاتياً في عالم مادي حقيقي". ^{[ 35 ] [ 36 ]}

المنطقانية هي الفرضية القائلة بأن الرياضيات قابلة للاختزال إلى المنطق، وبالتالي فهي ليست سوى جزء منه. ^{[ 37 ] : 41} يرى المنطقيون أن الرياضيات يمكن معرفتها قبليًا ، لكنهم يشيرون إلى أن معرفتنا بالرياضيات ليست سوى جزء من معرفتنا بالمنطق عمومًا، وبالتالي فهي تحليلية ، ولا تتطلب أي ملكة خاصة من الحدس الرياضي. من هذا المنظور، يُعد المنطق الأساس الصحيح للرياضيات، وجميع العبارات الرياضية حقائق منطقية ضرورية .

يقدم رودولف كارناب (1931) أطروحة المنطق في جزأين: ^{[ 37 ]}

1. يمكن استخلاص مفاهيم الرياضيات من المفاهيم المنطقية من خلال تعريفات صريحة .
2. يمكن استخلاص نظريات الرياضيات من البديهيات المنطقية من خلال الاستدلال المنطقي البحت .

كان غوتلوب فريجه مؤسس المنطق. في كتابه الرائد Die Grundgesetze der Arithmetik ( القوانين الأساسية للحساب )، بنى الحساب من نظام منطقي بمبدأ عام للفهم، أطلق عليه اسم " القانون الأساسي الخامس " (بالنسبة للمفهومين F و G ، فإن امتداد F يساوي امتداد G إذا وفقط إذا كان لكل كائن a ، فإن Fa يساوي Ga )، وهو مبدأ اعتبره مقبولاً كجزء من المنطق.

كان بناء فريجه معيبًا. اكتشف برتراند راسل أن القانون الأساسي الخامس غير متسق (وهذه هي مفارقة راسل ). تخلى فريجه عن برنامجه المنطقي بعد ذلك بوقت قصير، لكن راسل ووايتهيد واصلا العمل عليه . عزيا المفارقة إلى "الاستدارة المفرغة" وبنيا ما أسمياه نظرية الأنواع المتفرعة للتعامل معها. في هذا النظام، تمكنا في النهاية من بناء جزء كبير من الرياضيات الحديثة، ولكن بصورة معدلة ومعقدة للغاية (على سبيل المثال، كانت هناك أعداد طبيعية مختلفة في كل نوع، وكان هناك عدد لا نهائي من الأنواع). كما اضطرا إلى تقديم العديد من التنازلات لتطوير جزء كبير من الرياضيات، مثل " بديهية الاختزال ". حتى راسل نفسه قال إن هذه البديهية لا تنتمي في الواقع إلى المنطق.

عاد علماء المنطق المعاصرون (مثل بوب هيل وكريسبين رايت ، وربما غيرهم) إلى برنامج أقرب إلى برنامج فريجه. فقد تخلوا عن القانون الأساسي الخامس لصالح مبادئ التجريد، مثل مبدأ هيوم (عدد العناصر التي تندرج تحت المفهوم F يساوي عدد العناصر التي تندرج تحت المفهوم G إذا وفقط إذا أمكن وضع امتداد F وامتداد G في تناظر أحادي ). اشترط فريجه أن يكون القانون الأساسي الخامس قادرًا على تقديم تعريف صريح للأعداد، لكن يمكن استنباط جميع خصائص الأعداد من مبدأ هيوم. لم يكن هذا كافيًا لفريجه لأنه (بتعبير آخر) لا يستبعد احتمال أن يكون العدد 3 هو يوليوس قيصر. إضافةً إلى ذلك، فإن العديد من المبادئ المُخففة التي اضطروا إلى تبنيها لاستبدال القانون الأساسي الخامس لم تعد تبدو تحليلية بشكل واضح، وبالتالي منطقية بحتة.

يرى المنهج الشكلي أن العبارات الرياضية يمكن اعتبارها عباراتٍ حول نتائج قواعد معينة لمعالجة السلاسل. فعلى سبيل المثال، في "لعبة" الهندسة الإقليدية (التي تُعتبر مكونة من سلاسل تُسمى "البديهيات"، و"قواعد استدلال" لتوليد سلاسل جديدة من سلاسل مُعطاة)، يُمكن إثبات صحة نظرية فيثاغورس (أي يُمكن توليد السلسلة المُقابلة لنظرية فيثاغورس). ووفقًا للمنهج الشكلي، فإن الحقائق الرياضية لا تتعلق بالأعداد والمجموعات والمثلثات وما شابهها، بل إنها في الواقع لا تتعلق بأي شيء على الإطلاق.

يُعرف شكل آخر من أشكال الشكلية بالاستنتاجية . ^{[ 38 ]} في الاستنتاجية، لا تُعتبر نظرية فيثاغورس حقيقة مطلقة، بل حقيقة نسبية، إذا ما استُنتجت استنتاجياً من البديهيات المناسبة. وينطبق الأمر نفسه على جميع العبارات الرياضية الأخرى.

لا يعني المنهج الشكلي بالضرورة أن الرياضيات ليست سوى لعبة رمزية لا معنى لها. يُؤمل عادةً وجود تفسير ما تُطبَّق فيه قواعد اللعبة. (قارن هذا الموقف بالبنيوية ) . ولكنه يسمح للرياضي العامل بمواصلة عمله وترك مثل هذه المشكلات للفيلسوف أو العالم. ويرى كثير من الشكليين أن أنظمة البديهيات التي ينبغي دراستها عمليًا ستُقترح بناءً على متطلبات العلوم أو غيرها من مجالات الرياضيات.

كان ديفيد هيلبرت من أوائل الداعمين البارزين للمنهج الشكلي ، وقد سعى برنامجه إلى وضع نظام بديهي كامل ومتسق لجميع فروع الرياضيات. ^{[ 39 ]} هدف هيلبرت إلى إثبات اتساق الأنظمة الرياضية انطلاقًا من افتراض أن "الحساب المنتهي" (وهو نظام فرعي من الحساب المعتاد للأعداد الصحيحة الموجبة ، تم اختياره ليكون غير مثير للجدل فلسفيًا) متسق. إلا أن أهداف هيلبرت المتمثلة في إنشاء نظام رياضي كامل ومتسق قد قُوضت بشكل خطير بسبب نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل ، والتي تنص على أن أنظمة البديهيات المتسقة والمعبرة بشكل كافٍ لا يمكنها أبدًا إثبات اتساقها. وبما أن أي نظام بديهي من هذا القبيل سيحتوي على الحساب المنتهي كنظام فرعي، فإن نظرية غودل تعني أنه سيكون من المستحيل إثبات اتساق النظام بالنسبة إلى ذلك النظام (لأنه سيثبت حينها اتساقه، وهو ما أثبت غودل استحالته). وبالتالي، من أجل إثبات أن أي نظام رياضي بديهي متسق في الواقع، يحتاج المرء أولاً إلى افتراض اتساق نظام رياضي يكون أقوى بمعنى ما من النظام المراد إثبات اتساقه.

كان هيلبرت في البداية من أنصار المنهج الاستنتاجي، لكن كما يتضح مما سبق، فقد اعتبر أن بعض الأساليب ما وراء الرياضية تُفضي إلى نتائج ذات معنى جوهري، وكان واقعيًا فيما يتعلق بالحساب المحدود. لاحقًا، تبنى رأيًا مفاده أنه لا توجد رياضيات أخرى ذات معنى على الإطلاق، بغض النظر عن التفسير.

اعتبر بعض علماء الشكلانية الآخرين، مثل رودولف كارناب وألفريد تارسكي وهاسكل كاري ، أن الرياضيات هي دراسة أنظمة البديهيات الشكلية . يدرس علماء المنطق الرياضي الأنظمة الشكلية، لكنهم غالباً ما يكونون واقعيين بقدر ما هم شكليين.

يتسم أصحاب المنهج الشكلي بتسامح نسبي وانفتاح على المناهج الجديدة في المنطق، وأنظمة الأعداد غير القياسية، ونظريات المجموعات الجديدة، وما إلى ذلك. وكلما زاد عدد الألعاب التي ندرسها، كان ذلك أفضل. مع ذلك، في الأمثلة الثلاثة المذكورة، يستمد الدافع من اهتمامات رياضية أو فلسفية قائمة. وعادةً ما تكون "الألعاب" غير اعتباطية.

يتمثل النقد الرئيسي للمنهج الشكلي في أن الأفكار الرياضية الفعلية التي تشغل بال الرياضيين بعيدة كل البعد عن ألعاب التلاعب بالسلاسل المذكورة آنفًا. ولذلك، يتجاهل المنهج الشكلي مسألة أي أنظمة بديهيات ينبغي دراستها، إذ لا يوجد نظام أكثر أهمية من غيره من وجهة نظر شكلية.

اقترح بعض علماء الرياضيات الشكليين مؤخرًا ترميز جميع معارفنا الرياضية الشكلية بشكل منهجي في صيغ قابلة للقراءة بواسطة الحاسوب ، وذلك لتسهيل التحقق الآلي من البراهين الرياضية واستخدام البرهان التفاعلي للنظريات في تطوير النظريات الرياضية وبرامج الحاسوب. ونظرًا لارتباطها الوثيق بعلوم الحاسوب ، يتبنى هذه الفكرة أيضًا علماء الرياضيات الحدسيون والبنائيون في تقليد "الحوسبة" .

كان عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه من أوائل من صاغوا وجهة نظر تقليدية . وقد أقنعه استخدامه للهندسات غير الإقليدية في عمله على المعادلات التفاضلية بأن الهندسة الإقليدية لا ينبغي اعتبارها حقيقة مطلقة . ورأى أن بديهيات الهندسة يجب اختيارها بناءً على النتائج التي تُنتجها، لا على مدى توافقها الظاهري مع الحدس البشري حول العالم المادي.

في الرياضيات، تُعدّ الحدسية برنامجًا لإصلاح المنهجية، شعاره "لا توجد حقائق رياضية غير مُجرَّبة" ( لي. إي. جيه. براور ). انطلاقًا من هذا المبدأ، يسعى الحدسيون إلى إعادة بناء ما يعتبرونه الجزء القابل للتصحيح في الرياضيات، وفقًا لمفاهيم كانط عن الوجود، والصيرورة، والحدس، والمعرفة. وقد رأى براور، مؤسس هذه الحركة، أن الكائنات الرياضية تنشأ من الأشكال القبلية للإرادات التي تُشكّل إدراك الكائنات التجريبية. ^{[ 40 ]}

كان ل. إ. ج. براور أحد أبرز الداعمين للمذهب الحدسي ، إذ رفض جدوى المنطق الرسمي بجميع أشكاله في الرياضيات. وقد افترض تلميذه أرند هيتينغ منطقًا حدسيًا يختلف عن المنطق الأرسطي الكلاسيكي ؛ فهذا المنطق لا يتضمن قانون الوسط المرفوع ، وبالتالي يرفض البراهين بالتناقض . كما يُرفض مبدأ الاختيار في معظم نظريات المجموعات الحدسية، مع أنه يُقبل في بعض الصيغ.

في المذهب الحدسي، لا يُعرَّف مصطلح "البناء الصريح" تعريفًا دقيقًا، مما أدى إلى انتقادات. وقد بُذلت محاولات لاستخدام مفاهيم آلة تورينج أو الدوال القابلة للحساب لسد هذه الثغرة، مما أدى إلى الادعاء بأن الأسئلة المتعلقة بسلوك الخوارزميات المحدودة فقط هي ذات مغزى ويجب دراستها في الرياضيات. وقد أدى ذلك إلى دراسة الأعداد القابلة للحساب ، التي قدمها آلان تورينج لأول مرة . ولذا، فليس من المستغرب أن يرتبط هذا النهج في الرياضيات أحيانًا بعلم الحاسوب النظري .

المذهب النهائي

التناهي شكل متطرف من أشكال البنائية ، حيث لا يوجد كائن رياضي إلا إذا أمكن بناؤه من الأعداد الطبيعية في عدد محدود من الخطوات. في كتابها "فلسفة نظرية المجموعات" ، وصفت ماري تايلز أولئك الذين يسمحون بوجود كائنات لا نهائية قابلة للعد بأنهم متناهيون كلاسيكيون، وأولئك الذين ينكرون حتى وجود كائنات لا نهائية قابلة للعد بأنهم متناهيون صارمون.

كان ليوبولد كرونيكر أشهر مؤيدي نظرية المحدودية ، ^{[ 42 ]} الذي قال:

خلق الله الأعداد الطبيعية، وكل ما عدا ذلك فهو من صنع الإنسان.

المذهب الفائق للنهائية هو شكلٌ أكثر تطرفًا من المذهب النهائي، إذ يرفض ليس فقط اللانهائيات، بل أيضًا الكميات النهائية التي لا يمكن بناؤها عمليًا بالموارد المتاحة. ومن أشكال المذهب النهائي الأخرى الحساب الإقليدي، وهو نظامٌ طوره جون بن مايبيري في كتابه "أسس الرياضيات في نظرية المجموعات" . ^{[ 43 ]} يستلهم نظام مايبيري من أرسطو في مجمله، وعلى الرغم من رفضه القاطع لأي دورٍ للعملية أو الجدوى في أسس الرياضيات، فإنه يتوصل إلى استنتاجاتٍ مشابهة إلى حدٍ ما، مثل أن الرفع الأسي الفائق ليس دالة نهائية مشروعة.

البنيوية هي موقفٌ يرى أن النظريات الرياضية تصف البنى، وأن الكائنات الرياضية تُعرَّف بشكلٍ شاملٍ بمواقعها في هذه البنى، وبالتالي لا تمتلك خصائص جوهرية . على سبيل المثال، ترى البنيوية أن كل ما يلزم معرفته عن العدد 1 هو أنه أول عدد صحيح بعد الصفر. وبالمثل ، تُعرَّف جميع الأعداد الصحيحة الأخرى بمواقعها في بنيةٍ ما، وهي خط الأعداد . ومن الأمثلة الأخرى على الكائنات الرياضية الخطوط والمستويات في الهندسة، أو العناصر والعمليات في الجبر المجرد .

تُعدّ البنيوية رؤية واقعية من الناحية المعرفية ، إذ ترى أن للعبارات الرياضية قيمة صدق موضوعية. مع ذلك، فإنّ ادعاءها الأساسي لا يتعلّق إلا بنوع الكيان الذي يُمثّله الكائن الرياضي، وليس بنوع الوجود الذي تتمتّع به الكائنات أو البنى الرياضية (أي ليس، بعبارة أخرى، بعلم وجودها ) . من الواضح أن نوع الوجود الذي تتمتّع به الكائنات الرياضية يعتمد على وجود البنى التي تندرج ضمنها؛ إذ تُقدّم فروع البنيوية المختلفة ادعاءات وجودية متباينة في هذا الصدد. ^{[ 44 ]}

تتشابه البنية السابقة للشيء (أو ما قبل الشيء) في أنطولوجيتها مع الأفلاطونية . إذ يُفترض أن للبنى وجودًا حقيقيًا ولكنه مجرد وغير مادي. ولذلك، تواجه هذه البنية المشكلة المعرفية المعتادة المتمثلة في تفسير التفاعل بين هذه البنى المجردة والرياضيين من لحم ودم .

إن مفهوم " البنيوية في الشيء" يُعادل الواقعية الأرسطية . إذ يُفترض وجود البنى بقدر ما يُجسدها نظامٌ ماديٌّ ما. وهذا يُثير الإشكاليات المعتادة، منها أن بعض البنى المشروعة تمامًا قد لا تكون موجودةً بالصدفة، وأن العالم المادي المحدود قد لا يكون "كبيرًا" بما يكفي لاستيعاب بعض البنى المشروعة.

تُعتبر البنيوية ما بعد الواقعية ("ما بعد الشيء") مناهضة للواقعية فيما يتعلق بالبنى، على نحو يُوازي الاسمية . وكما هو الحال في الاسمية، ينكر منهج ما بعد الواقعية وجود كائنات رياضية مجردة ذات خصائص أخرى غير موقعها في بنية علائقية. ووفقًا لهذا الرأي، فإن الأنظمة الرياضية موجودة، وتتشارك في سمات بنيوية. فإذا ثبتت صحة سمة ما في بنية ما، فإنها ستثبت صحتها في جميع الأنظمة التي تُجسد تلك البنية. ومع ذلك، فإن الحديث عن "اشتراك" البنى بين الأنظمة ليس إلا وسيلةً نفعية، إذ إنها في الواقع لا وجود مستقل لها.

ترى نظريات العقل المتجسد أن التفكير الرياضي هو نتاج طبيعي للجهاز الإدراكي البشري الموجود في كوننا المادي. فعلى سبيل المثال، ينبثق المفهوم المجرد للعدد من تجربة عدّ الأشياء المنفصلة (التي تتطلب الحواس البشرية كالبصر لاكتشاف الأشياء، واللمس، والإشارات من الدماغ). ويُعتقد أن الرياضيات ليست عالمية، ولا وجود لها في الواقع إلا في أدمغة البشر. فالبشر يبنون الرياضيات، لا يكتشفونها.

تخضع العمليات المعرفية لإيجاد الأنماط وتمييز الأشياء أيضًا لعلم الأعصاب ؛ إذا اعتبرت الرياضيات ذات صلة بالعالم الطبيعي (مثل الواقعية أو درجة منها، على عكس الأنانية المطلقة ).

على الرغم من قبول مدى ارتباطها الفعلي بالواقع كتقريب موثوق (ويُقترح أيضًا أن تطور الإدراك والجسم والحواس ربما كان ضروريًا للبقاء)، إلا أنها ليست بالضرورة دقيقة تمامًا بالنسبة للواقعية الكاملة (ولا تزال عرضة لعيوب مثل الوهم ، والافتراضات (وبالتالي؛ الأسس والمسلمات التي بُنيت عليها الرياضيات من قِبل البشر)، والتعميمات، والخداع، والهلوسة ). وعلى هذا النحو، قد يثير هذا أيضًا تساؤلات حول المنهج العلمي الحديث ومدى توافقه مع الرياضيات العامة؛ فبينما هو موثوق نسبيًا، إلا أنه لا يزال محدودًا بما يمكن قياسه تجريبيًا ، والذي قد لا يكون موثوقًا كما كان يُفترض سابقًا (انظر أيضًا: المفاهيم "غير البديهية" مثل اللا موضعية الكمومية ، والتأثير عن بُعد ).

ثمة مشكلة أخرى تتمثل في أن نظامًا عدديًا واحدًا قد لا يكون بالضرورة قابلاً للتطبيق على حل المسائل. فمواضيع مثل الأعداد المركبة أو الأعداد التخيلية تتطلب تغييرات محددة في بديهيات الرياضيات الأكثر شيوعًا؛ وإلا فلن يكون من الممكن فهمها بشكل كافٍ.

بدلاً من ذلك، قد يستخدم مبرمجو الحاسوب النظام الست عشري لتمثيله "السهل" للقيم المشفرة بالثنائية ، بدلاً من النظام العشري (الملائم للعد لأن الإنسان لديه عشرة أصابع). كما أن البديهيات أو القواعد المنطقية التي تقوم عليها الرياضيات تتغير عبر الزمن (مثل اختراع الصفر وتطويره ).

بما أن الإدراكات الصادرة من الدماغ البشري عرضة للأوهام والافتراضات والخداع والهلوسات (المستحثة) والأخطاء المعرفية أو الافتراضات في سياق عام، فإنه يمكن التساؤل عما إذا كانت دقيقة أو مؤشرة بدقة على الحقيقة (انظر أيضًا: فلسفة الوجود )، وطبيعة التجريبية نفسها فيما يتعلق بالكون وما إذا كانت مستقلة عن الحواس والكون.

لا يملك العقل البشري أي حق خاص في فهم الواقع أو المناهج الرياضية لفهمه. فإذا كانت مفاهيم مثل متطابقة أويلر صحيحة، فإنها تُعدّ صحيحة كخريطة للعقل البشري والإدراك .

وهكذا يفسر منظرو العقل المتجسد فعالية الرياضيات - فقد تم بناء الرياضيات بواسطة الدماغ لتكون فعالة في هذا الكون.

يُعد كتاب "من أين تأتي الرياضيات؟" لجورج لاكوف ورافائيل إي. نونيز ، من أكثر الكتب سهولةً في الفهم، وشهرةً، وإثارةً للجدل، في تناول هذا المنظور. إضافةً إلى ذلك، تناول عالم الرياضيات كيث ديفلين مفاهيم مشابهة في كتابه "غريزة الرياضيات" ، كما فعل عالم الأعصاب ستانيسلاس ديهان في كتابه "حس الأعداد" .

برزت نظرية الخيال الرياضي عام ١٩٨٠ عندما نشر هارتري فيلد كتابه "العلم بلا أرقام " ^{[ ٥٢ ]} ، الذي رفض فيه حجة كواين حول ضرورة الرياضيات، بل وقلبها رأسًا على عقب. فبينما رأى كواين أن الرياضيات ضرورية لأفضل نظرياتنا العلمية، وبالتالي يجب قبولها كمجموعة من الحقائق التي تتحدث عن كيانات موجودة بشكل مستقل، رأى فيلد أن الرياضيات غير ضرورية، وبالتالي يجب اعتبارها مجموعة من المغالطات التي لا تتحدث عن أي شيء حقيقي. وقد فعل ذلك من خلال تقديمه نظامًا بديهيًا كاملًا للميكانيكا النيوتونية دون أي إشارة إلى الأرقام أو الدوال. بدأ فيلد بمفهوم "الوساطة" في بديهيات هيلبرت لتوصيف الفضاء دون إحداثياته، ثم أضاف علاقات إضافية بين النقاط للقيام بالعمل الذي كانت تقوم به سابقًا حقول المتجهات . هندسة هيلبرت رياضية لأنها تتحدث عن نقاط مجردة، ولكن في نظرية فيلد، هذه النقاط هي النقاط الملموسة للفضاء الفيزيائي، لذا لا حاجة إلى أي كائنات رياضية خاصة على الإطلاق.

بعد أن بيّن فيلد كيفية ممارسة العلم دون استخدام الأرقام، شرع في إعادة تأهيل الرياضيات كنوع من الخيال المفيد . أوضح أن الفيزياء الرياضية هي امتداد محافظ لفيزته غير الرياضية (أي أن كل حقيقة فيزيائية قابلة للإثبات في الفيزياء الرياضية قابلة للإثبات بالفعل من خلال نظام فيلد)، وبالتالي فإن الرياضيات عملية موثوقة، وتطبيقاتها الفيزيائية كلها صحيحة، حتى وإن كانت عباراتها نفسها خاطئة. وهكذا، عند ممارسة الرياضيات، يمكننا أن نرى أنفسنا نروي نوعًا من القصة، ونتحدث كما لو كانت الأرقام موجودة. بالنسبة لفيلد، فإن عبارة مثل "2 + 2 = 4" خيالية تمامًا مثل عبارة " عاش شرلوك هولمز في 221B شارع بيكر" - لكن كلتيهما صحيحتان وفقًا للخيالات ذات الصلة.

تُعبّر الكاتبة الروائية ماري لينغ عن هذا المنظور بإيجاز من خلال رفض أي صلة ظاهرة بين الرياضيات والعالم المادي باعتبارها "مجرد مصادفة سعيدة". هذا الرفض هو ما يميز النزعة الروائية عن أشكال أخرى من مناهضة الواقعية، التي ترى الرياضيات نفسها اصطناعية ولكنها مع ذلك مرتبطة بالواقع أو مُلائمة له بطريقة ما. ^{[ 53 ]}

بحسب هذا الرأي، لا توجد مشاكل ميتافيزيقية أو معرفية خاصة بالرياضيات. تبقى المخاوف الوحيدة هي المخاوف العامة المتعلقة بالفيزياء غير الرياضية، وبالأدب عمومًا . كان لمنهج فيلد تأثير كبير، ولكنه مرفوض على نطاق واسع. ويعود ذلك جزئيًا إلى اشتراطه وجود أجزاء قوية من منطق الرتبة الثانية لإجراء اختزاله، ولأن بيان المحافظة يبدو أنه يتطلب التكميم على النماذج أو الاستنتاجات المجردة.

ينظر البنائية الاجتماعية إلى الرياضيات في المقام الأول باعتبارها بناءً اجتماعيًا ، نتاجًا للثقافة، قابلة للتصحيح والتغيير. وكغيرها من العلوم، تُعتبر الرياضيات مسعىً تجريبيًا تُقيّم نتائجه باستمرار، وقد تُهمل. ومع ذلك، فبينما يرى أصحاب المذهب التجريبي أن التقييم نوع من المقارنة مع "الواقع"، يؤكد البنائيون الاجتماعيون أن اتجاه البحث الرياضي تحدده توجهات الجماعة الاجتماعية التي تُجريه أو احتياجات المجتمع الذي يموله. ومع ذلك، فرغم أن هذه القوى الخارجية قد تُغير اتجاه بعض البحوث الرياضية، إلا أن هناك قيودًا داخلية قوية - كالتقاليد الرياضية، والأساليب، والمسائل، والمعاني، والقيم التي يتشربها علماء الرياضيات - تعمل على الحفاظ على هذا التخصص المُحدد تاريخيًا.

يتعارض هذا مع المعتقدات التقليدية لعلماء الرياضيات العاملين، والتي ترى أن الرياضيات نقية أو موضوعية بطبيعتها. لكن البنائيين الاجتماعيين يجادلون بأن الرياضيات في الواقع قائمة على قدر كبير من عدم اليقين: فمع تطور الممارسة الرياضية ، يُثار الشك حول مكانة الرياضيات السابقة، ويتم تصحيحها بالقدر الذي يتطلبه أو يرغب فيه المجتمع الرياضي الحالي. ويتجلى هذا في تطور التحليل من خلال إعادة فحص حساب التفاضل والتكامل لليبنيز ونيوتن. ويضيفون أن الرياضيات المكتملة غالبًا ما تُمنح مكانة مبالغ فيها، بينما تُهمل الرياضيات الشعبية ، وذلك بسبب التركيز المفرط على البرهان البديهي ومراجعة الأقران كممارسات.

تتجلى الطبيعة الاجتماعية للرياضيات في ثقافاتها الفرعية . قد تُكتشف اكتشافاتٌ مهمة في فرعٍ من فروع الرياضيات وتكون ذات صلة بفرعٍ آخر، إلا أن هذه العلاقة تبقى غير مكتشفة بسبب نقص التواصل الاجتماعي بين علماء الرياضيات. يرى البنائيون الاجتماعيون أن كل تخصص يُشكّل مجتمعه المعرفي الخاص ، وغالبًا ما يواجه صعوبةً بالغة في التواصل، أو في تحفيز البحث عن فرضيات موحدة قد تربط بين مختلف مجالات الرياضيات. ينظر البنائيون الاجتماعيون إلى عملية "ممارسة الرياضيات" على أنها عملية خلق المعنى، بينما يرى الواقعيون الاجتماعيون أن قصورًا إما في قدرة الإنسان على التجريد، أو في تحيزه المعرفي ، أو في الذكاء الجماعي لعلماء الرياضيات، يحول دون فهم عالم حقيقي من الكائنات الرياضية. يرفض البنائيون الاجتماعيون أحيانًا البحث عن أسس الرياضيات باعتباره محكومًا عليه بالفشل، أو عديم الجدوى، أو حتى بلا معنى.

ساهم كلٌ من إيمري لاكاتوس وتوماس تيموتشكو في هذا التيار ، مع أنه ليس من الواضح ما إذا كان أيٌ منهما سيؤيد هذا المسمى. وفي الآونة الأخيرة، صاغ بول إرنست فلسفةً اجتماعيةً بنائيةً للرياضيات بشكلٍ صريح. ^{[ 54 ]} ويرى البعض أن أعمال بول إردوش ككل قد ساهمت في تطوير هذا الرأي (مع أنه رفضه شخصيًا) نظرًا لتعاوناته الواسعة النطاق، والتي دفعت آخرين إلى النظر إلى "الرياضيات كنشاط اجتماعي" ودراستها، على سبيل المثال، من خلال عدد إردوش . كما روّج روبن هيرش أيضًا للنظرة الاجتماعية للرياضيات، واصفًا إياها بالنهج "الإنساني"، ^{[ 55 ]} وهو نهجٌ مشابهٌ لنهج ألفين وايت، ولكنه ليس مطابقًا له تمامًا؛ ^{[ 56 ]} وقد أبدى فيليب ج. ديفيس ، أحد المؤلفين المشاركين مع هيرش ، تعاطفًا مع هذه النظرة الاجتماعية أيضًا.

يعتبر ستيفن يابلو هذه الحجة، المرتبطة بـ ويلارد كواين وهيلاري بوتنام ، واحدة من أكثر الحجج تحديًا لقبول وجود الكيانات الرياضية المجردة، مثل الأعداد والمجموعات. ^{[ 60 ]} صيغة الحجة هي كما يلي.

1. يجب أن يكون لدى المرء التزامات وجودية تجاه جميع الكيانات التي لا غنى عنها لأفضل النظريات العلمية، وتجاه تلك الكيانات فقط (يشار إليها عادة باسم "الكل والوحيد").
2. تُعدّ الكيانات الرياضية ضرورية لأفضل النظريات العلمية. لذلك،
3. يجب أن يكون لدى المرء التزامات وجودية تجاه الكيانات الرياضية. ^{[ 61 ]}

يُعدّ تبرير الفرضية الأولى الأكثر إثارةً للجدل. يستند كلٌّ من بوتنام وكواين إلى المذهب الطبيعي لتبرير استبعاد جميع الكيانات غير العلمية، وبالتالي للدفاع عن الجزء "الوحيد" من عبارة "الكل والوحيد". ويُبرَّر التأكيد على ضرورة قبول "جميع" الكيانات المفترضة في النظريات العلمية، بما في ذلك الأعداد، على أنها حقيقية، من خلال الشمولية التأكيدية . وبما أن النظريات لا تُؤكَّد بشكلٍ جزئي، بل ككلٍّ متكامل، فلا يوجد مبرر لاستبعاد أيٍّ من الكيانات المشار إليها في النظريات المؤكدة جيدًا. وهذا يضع الاسميّ الذي يرغب في استبعاد وجود المجموعات والهندسة غير الإقليدية ، ولكنه يرغب في تضمين وجود الكواركات وغيرها من الكيانات الفيزيائية غير القابلة للكشف، على سبيل المثال، في موقفٍ صعب. ^{[ 61 ]}

قدم بول بيناسيراف وهارتري فيلد " الحجة المعرفية " المناهضة للواقعية ضد الأفلاطونية . تفترض الأفلاطونية أن الكائنات الرياضية كيانات مجردة . وبحسب الاتفاق العام، لا يمكن للكيانات المجردة أن تتفاعل سببيًا مع الكيانات المادية الملموسة ("تعتمد قيم الصدق في تأكيداتنا الرياضية على حقائق تتعلق بكيانات أفلاطونية تقع في عالم خارج الزمكان" ^{[ 62 ]} ). في حين أن معرفتنا بالأشياء المادية الملموسة تستند إلى قدرتنا على إدراكها ، وبالتالي التفاعل معها سببيًا، لا يوجد تفسير مماثل لكيفية اكتساب علماء الرياضيات معرفة بالكائنات المجردة. ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]} ويمكن توضيح هذه النقطة بطريقة أخرى، وهي أنه لو اختفى العالم الأفلاطوني، فلن يؤثر ذلك على قدرة علماء الرياضيات على توليد البراهين ، وما إلى ذلك، والتي تُفسَّر بالكامل بالفعل من خلال العمليات الفيزيائية في أدمغتهم.

طوّر فيلد آراءه إلى مذهب الخيال . كما طوّر بيناسيراف فلسفة البنيوية الرياضية ، التي تنص على عدم وجود كائنات رياضية. ومع ذلك، تتوافق بعض نسخ البنيوية مع بعض نسخ الواقعية.

يرتكز هذا الجدل على فكرة إمكانية تقديم تفسير طبيعي مُرضٍ لعمليات التفكير، انطلاقًا من عمليات الدماغ، للاستدلال الرياضي، شأنه شأن كل شيء آخر. ويتمثل أحد خطوط الدفاع في الادعاء بأن هذا غير صحيح، وأن الاستدلال الرياضي يستخدم حدسًا خاصًا ينطوي على اتصال بالعالم الأفلاطوني. وقد قدم السير روجر بنروز صيغة حديثة لهذا الجدل . ^{[ 66 ]}

ثمة خط دفاع آخر يتمثل في التأكيد على أن الكائنات المجردة ذات صلة بالاستدلال الرياضي بطريقة غير سببية، ولا تشبه الإدراك الحسي. وقد طوّر جيرولد كاتز هذه الحجة في كتابه "العقلانية الواقعية" الصادر عام 2000 .

أما الدفاع الأكثر جذرية فهو إنكار الواقع المادي، أي فرضية الكون الرياضي . في هذه الحالة، تصبح معرفة عالم الرياضيات بالرياضيات مجرد تفاعل بين موضوع رياضي وآخر.

• تاريخ وفلسفة العلوم
• تاريخ الرياضيات
• تاريخ الفلسفة

• فيلوسوفيا ماثيماتيكا
• مجلة فلسفة تعليم الرياضيات