معادلة ديراك

ركزت المرحلة الأولى من تطور ميكانيكا الكم ، التي امتدت بين عامي 1900 و1925، على تفسير الظواهر الفردية التي لم يكن بالإمكان تفسيرها من خلال الميكانيكا الكلاسيكية . ^{[ 7 ]} وشهدت المرحلة الثانية، التي بدأت في منتصف عشرينيات القرن العشرين، تطوير إطارين منهجيين يحكمان ميكانيكا الكم. الأول، المعروف بميكانيكا المصفوفات ، يستخدم المصفوفات لوصف الكميات الفيزيائية القابلة للرصد ؛ وقد طُوِّر عام 1925 على يد فيرنر هايزنبرغ وماكس بورن وباسكوال جوردان . ^{[ 8 ] : 51} أما الثاني، المعروف بميكانيكا الموجات، فيستخدم معادلة موجية تُعرف بمعادلة شرودنغر لوصف حالة النظام ؛ وقد طُوِّر في العام التالي على يد إرفين شرودنغر . وبينما كان يُنظر إلى هذين الإطارين في البداية ^على أنهما نهجان متنافسان، فقد ثبت لاحقًا أنهما متكافئان. ^{[ 9} ] ^{: 21}

لم يصغ أيٌّ من هذين الإطارين ميكانيكا الكم إلا في سياق غير نسبي . ^{[ 9 ] : 22} وقد اعتُبر هذا قصورًا منذ البداية، حيث حاول شرودنغر في الأصل صياغة نسخة نسبية من معادلة شرودنغر، واكتشف في هذه العملية معادلة كلاين-غوردون . ^{[ 8 ] : 679} ومع ذلك، بعد أن بيّن أن هذه المعادلة لم تُحاكي بدقة التصحيحات النسبية لطيف ذرة الهيدروجين ، والتي عُرف شكلها الدقيق بفضل أرنولد سومرفيلد ، تخلى عن صياغته النسبية . ^{[ 10 ] : 1025} كما اكتشف معادلة كلاين-غوردون ستة مؤلفين آخرين على الأقل في العام نفسه. ^{[ 11 ] : 6}

خلال عامي 1926 و1927، بُذلت جهودٌ حثيثةٌ لدمج النسبية في ميكانيكا الكم، وذلك بشكلٍ رئيسي من خلال منهجين. تمثل الأول في اعتبار معادلة كلاين-غوردون التعميم النسبي الصحيح لمعادلة شرودنغر. ^{[ 11 ] : 7} إلا أن هذا المنهج قوبل برفضٍ من العديد من كبار المنظرين، نظرًا لفشله في التنبؤ بدقةٍ بالعديد من النتائج التجريبية ، والأهم من ذلك، أنه بدا من الصعب التوفيق بينه وبين مبادئ ميكانيكا الكم كما كانت مفهومةً آنذاك. ^{[ 12 ] : 35} وقد نشأت هذه الإشكاليات المفاهيمية أساسًا بسبب وجود مشتق زمني ثانٍ . ^{[ 10 ] : 1031}

أدخل النهج الثاني التأثيرات النسبية كتصحيحات للصيغ غير النسبية المعروفة. ^{[ 12 ] : 36} وقد وفر هذا النهج العديد من الإجابات المؤقتة التي كان من المتوقع أن تحل محلها في نهاية المطاف صياغة نسبية غير معروفة لميكانيكا الكم. ومن النتائج البارزة التي توصل إليها هايزنبرغ وجوردان إدخال حدين للدوران والنسبية في هاميلتوني الهيدروجين ، مما سمح لهما باشتقاق التقريب من الدرجة الأولى لصيغة سومرفيلد للبنية الدقيقة . ^{[ 13 ]}

شهد هذا الوقت تطورًا موازيًا تمثل في مفهوم اللف المغزلي، الذي قدمه صموئيل غودسميت وجورج أولينبيك لأول مرة عام 1925. ^{[ 14 ]} بعد ذلك بوقت قصير ، افترض شرودنغر أنه الحلقة المفقودة في التوصل إلى صيغة سومرفيلد الصحيحة. ^{[ 12 ] : 44} في عام 1927، استخدم فولفغانغ باولي أفكار اللف المغزلي لإيجاد نظرية فعالة لجسيم غير نسبي ذي لف مغزلي 1/2 ، وهي معادلة باولي . [ ^{15 ] وقد} فعل ذلك من خلال أخذ معادلة شرودنغر، وبدلًا من افتراض أن الدالة الموجية تعتمد فقط على الإحداثي الفيزيائي ، افترض أيضًا أنها تعتمد على إحداثي اللف المغزلي الذي لا يمكن أن يأخذ إلا قيمتين .${\displaystyle \pm {\tfrac {\hbar }{2}}}$على الرغم من أن هذه الصيغة كانت لا تزال غير نسبية، إلا أنه اعتقد أن الصيغة النسبية الكاملة قد تتطلب نموذجًا أكثر تعقيدًا للإلكترون ، نموذجًا يتجاوز كونه جسيمًا نقطيًا . ^{[ 12 ] : 47}

بحلول عام ١٩٢٧، لم يعد العديد من الفيزيائيين يعتبرون البنية الدقيقة للهيدروجين لغزًا حاسمًا يستدعي صياغة نسبية جديدة كليًا، إذ كان من الممكن حله بفعالية باستخدام معادلة باولي أو بإدخال عدد كمي للزخم الزاوي ذي اللف المغزلي ١/٢ في معادلة كلاين - غوردون. [ ^{١٢ ] : ٥١ في} مؤتمر سولفاي الخامس الذي عُقد في ذلك العام، انصب اهتمام بول ديراك بالدرجة الأولى على التطور المنطقي لميكانيكا الكم. إلا أنه أدرك أن العديد من الفيزيائيين الآخرين قد قبلوا معادلة كلاين-غوردون باستخفاف باعتبارها صياغة نسبية مرضية، الأمر الذي استلزم التخلي عن المبادئ الأساسية لميكانيكا الكم كما كانت مفهومة آنذاك، وهو ما اعترض عليه ديراك بشدة. ^{[ ١٢ ] : ٥٢} بعد عودته من بروكسل ، ركز ديراك على إيجاد نظرية نسبية للإلكترونات. في غضون شهرين، تمكن من حل المشكلة ونشر نتائجه في 2 يناير 1928. ^{[ 1 ]}

في بحثه ، استرشد ديراك بمبدأين من نظرية التحويل ، أولهما أن تكون المعادلة ثابتة تحت تحويلات النسبية الخاصة، وثانيهما أنها يجب أن تتحول تحت نظرية تحويل ميكانيكا الكم. ^{[ 11 ] : 9} ويتطلب المبدأ الثاني أن تكون المعادلة خطية في المشتقات الزمنية ، بحيث تقبل تفسيرًا احتماليًا . يبدأ ديراك حجته بمعادلة كلاين-غوردون ^{[ 16 ] : 32}

${\displaystyle \left[{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}\right]\phi (t,x)=-{\frac {\hbar ^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (t,x),}$

وصف الجسيم باستخدام الدالة الموجية${\displaystyle \phi (t,x)}$. هنا${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}$هو مربع الزخم ،${\displaystyle m}$هي كتلة السكون للجسيم،${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء ، و${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل . الطريقة البسيطة للحصول على معادلة خطية في المشتقة الزمنية هي ببساطة حساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. هذا يحل محل${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}$مع${\displaystyle {\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}}}$ومع ذلك، فإنّ هذا الجذر التربيعي يُشكّل إشكالية رياضية بالنسبة للنظرية الناتجة، مما يجعلها غير قابلة للتطبيق. ^{[ 9 ] : 379}

كانت أولى أفكار ديراك هي مفهوم التخطيط الخطي. لقد بحث عن نوع من المتغيرات.${\displaystyle \alpha _{i}}$تلك المستقلة عن الزخم وإحداثيات الزمكان التي يمكن إعادة كتابة الجذر التربيعي لها في شكل خطي ^{[ 9 ] : 379}

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+(mc)^{2}}}=\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc.}$

من خلال تربيع هذا المؤثر واشتراط اختزاله إلى معادلة كلاين-غوردون، وجد ديراك أن المتغيرات يجب أن تحقق${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=1}$و${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0}$لو${\displaystyle i\neq j}$. فكر ديراك في البداية في${\displaystyle 2\times 2}$تم اعتبار مصفوفات باولي مرشحة، ولكن تبين لاحقًا أنها لن تنجح لأنه من المستحيل إيجاد مجموعة من أربعة.${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات التي تتبادل جميعها عكسيًا. ^{[ 8 ] : 687} وكانت فكرته الثانية هي النظر في المصفوفات رباعية الأبعاد . في هذه الحالة، ستؤثر المعادلة على دالة موجية رباعية المكونات.${\displaystyle \psi =(\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3},\psi _{4})}$[ ^{17 ] : 235} كان هذا الاقتراح أكثر جرأة من تعميم باولي الأصلي لدالة موجية ثنائية المكونات في معادلة باولي. ^{[ 12 ] : 57} ويعود ذلك إلى أن باولي كان مدفوعًا بالحاجة إلى ترميز حالتي الدوران للجسيم. في المقابل، لم يكن لدى ديراك أي حجة فيزيائية لدالة موجية رباعية المكونات، بل أدخلها كضرورة رياضية. وهكذا توصل إلى معادلة ديراك ^{[ 1 ] .}

${\displaystyle (\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc)\psi (t,x)=i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,x).}$

قام ديراك ببناء المصفوفات الصحيحة${\displaystyle \alpha _{i}}$دون إدراكه أنها تُشكّل بنية رياضية معروفة منذ أوائل ثمانينيات القرن التاسع عشر، وهي جبر كليفورد . ^{[ 18 ] : 320.} ومن خلال إعادة صياغة المعادلة في شكل ثابت لورنتز ، بيّن أيضًا أنها تجمع بشكل صحيح بين النسبية الخاصة ومبدأ نظرية التحويل الكمومي، مما يجعلها مرشحًا مناسبًا لنظرية نسبية للإلكترون. ^{[ 8 ] : 685}

لمزيد من البحث في المعادلة، درس سلوكها في وجود مجال كهرومغناطيسي . ^{[ 12 ] : 58} ولدهشته، أظهر ذلك أنها تصف جسيمًا ذا عزم مغناطيسي ناتج عن امتلاكه لفًا مغزليًا مقداره 1/2 . وقد انبثق اللف المغزلي مباشرةً من المعادلة، دون أن يضيفه ديراك يدويًا. بالإضافة إلى ذلك، ركز على إثبات أن المعادلة تُعيد إنتاج البنية الدقيقة لذرة الهيدروجين بنجاح، على الأقل في الرتبة الأولى. وبالتالي ، تنجح المعادلة حيث فشلت جميع المحاولات السابقة، في وصف الظواهر النسبية للإلكترونات بدقة من المبادئ الأساسية بدلًا من تعديل الصيغ الموجودة بشكل مخصص. ^{[ 12 ] : 60}

باستثناء بحثه اللاحق ^{[ 19 ]} الذي استنتج فيه تأثير زيمان وتأثير باشين-باك من المعادلة في وجود مجالات مغناطيسية ، ترك ديراك مهمة دراسة تبعات معادلته لغيره، ولم يعد إلى الموضوع إلا في عام 1930. ^{[ 12 ] : 65.} بمجرد نشر المعادلة، اعتُرف بها كحل صحيح لمشكلة اللف المغزلي والنسبية وميكانيكا الكم. في البداية، اعتُبرت معادلة ديراك المعادلة النسبية الوحيدة الصالحة لجسيم ذي كتلة . ثم في عام 1934، أعاد باولي وفيكتور فايسكوف تفسير معادلة كلاين-غوردون كمعادلة لجسيم نسبي عديم اللف المغزلي . ^{[ 8 ] : 685}

كان من أوائل الحسابات إعادة إنتاج صيغة سومرفيلد للبنية الدقيقة بدقة، وقد أنجزها تشارلز غالتون داروين ووالتر غوردون بشكل مستقل عام 1928. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 9 ] : 377.} وهذه هي المرة الأولى التي تُشتق فيها الصيغة الكاملة من المبادئ الأساسية. وقد أجرى هيرمان فايل مزيدًا من العمل على الجوانب الرياضية للمعادلة عام 1929. ^{[ 22 ]} وفي هذا العمل، بيّن أن معادلة ديراك عديمة الكتلة يمكن تحليلها إلى زوج من معادلات فايل .

استُخدمت معادلة ديراك أيضًا لدراسة عمليات التشتت المختلفة. وعلى وجه الخصوص، تم اشتقاق صيغة كلاين-نيشينا ، التي تتناول تشتت الفوتون بالإلكترون ، في عام 1928. ^{[ 23 ]} وفي العام التالي، تم دراسة تشتت موت ، وهو تشتت الإلكترونات عن هدف ثقيل مثل نوى الذرات . ^{[ 24 ]} وعلى مدار السنوات اللاحقة، استُخدمت هذه الصيغة أيضًا لاشتقاق عمليات تشتت قياسية أخرى، مثل تشتت مولر في عام 1932 ^{[ 25 ]} وتشتت بهابها في عام 1936. ^{[ 26 ]}

إحدى المشكلات التي حظيت باهتمام متزايد مع مرور الوقت هي وجود حالات الطاقة السالبة في معادلة ديراك، مما أدى إلى بذل جهود حثيثة لمحاولة التخلص من هذه الحالات. في البداية، رفض ديراك حالات الطاقة السالبة باعتبارها غير فيزيائية، ^{[ 12 ] : 63،} ولكن المشكلة أصبحت أكثر وضوحًا عندما أثبت أوسكار كلاين في عام 1929 وجود اختلاط حتمي بين حالات الطاقة السالبة والموجبة في الحقول الساكنة. ^{[ 9 ] : 378} وكان رد فعل ديراك الأولي هو الاعتقاد بأن معادلته لا بد أن تعاني من خلل ما، وأنها مجرد تقريب أولي لنظرية مستقبلية لن تعاني من هذه المشكلة. ^{[ 9 ] : 378} ومع ذلك، فقد اقترح بعد ذلك حلاً للمشكلة في صورة بحر ديراك . وتتلخص هذه الفكرة في أن الكون مليء ببحر لا نهائي من حالات الإلكترونات ذات الطاقة السالبة. وتعيش حالات الإلكترونات ذات الطاقة الموجبة في هذا البحر، ويُمنع تحللها إلى حالات الطاقة السالبة من خلال مبدأ استبعاد باولي . ^{[ 8 ] : 715}

بالإضافة إلى ذلك، افترض ديراك وجود ثقوب موجبة الشحنة في بحر ديراك، والتي اقترح في البداية أنها قد تكون البروتون . ومع ذلك، أثبت أوبنهايمر أنه في هذه الحالة لا يمكن أن توجد ذرات مستقرة ^{[ 27 ]} ، كما أثبت فايل أن الثقوب يجب أن يكون لها نفس كتلة الإلكترونات ^{[ 28 ]} . اقتناعًا بحجة أوبنهايمر وفايل، نشر ديراك ورقة بحثية عام 1931 تنبأ فيها بوجود جسيم لم يُرصد بعد، أطلق عليه اسم "مضاد الإلكترون"، والذي سيكون له نفس كتلة الإلكترون وشحنة معاكسة، وسيفني نفسه عند ملامسته للإلكترون. واقترح أن لكل جسيم نظيرًا له بشحنة معاكسة، وهو مفهوم يُعرف الآن باسم المادة المضادة ^{[ 29 ] [ 30 ] : 47}

في عام 1933، اكتشف كارل أندرسون "الإلكترون الموجب"، الذي يُسمى الآن البوزيترون ، والذي يمتلك جميع خصائص مضاد إلكترون ديراك. ^{[ 31 ] [ 9 ] : 378} وبينما حلت نظرية الحقل الكمومي محل بحر ديراك لاحقًا ، إلا أن إرثه المفاهيمي ظل قائمًا في فكرة الفراغ الديناميكي المملوء بجسيمات افتراضية . ^{[ 8 ] : 717} وفي عام 1949، اقترح إرنست ستوكلبرغ ، وأظهر ريتشارد فاينمان بالتفصيل، أن حلول الطاقة السالبة يمكن تفسيرها على أنها جسيمات تتحرك عكسيًا في الزمن الخاص . ^{[ 32 ] : 61-63 [ 9 ] : 379 [ 33 ] [ 34 ]} كما يتجلى مفهوم بحر ديراك بشكل أوضح في بعض أنظمة المادة المكثفة في صورة بحر فيرمي ، الذي يتكون من بحر من إلكترونات التكافؤ الممتلئة تحت جهد كيميائي معين . ^{[ 35 ] : 534}

بُذلت جهودٌ كبيرة على مدى العقود التالية لمحاولة إيجاد اختلافات طيفية مقارنةً بتوقعات معادلة ديراك، إلا أنه لم يُكتشف انزياح لامب ، الذي لا تتنبأ به المعادلة، إلا في عام 1947. ^{[ 8 ] : 710} وقد أدى ذلك إلى تطوير الديناميكا الكهربائية الكمومية في خمسينيات القرن العشرين، حيث أُدمجت معادلة ديراك آنذاك في سياق نظرية الحقل الكمومي. ^{[ 36 ] : 35} وبما أنها تصف ديناميكيات سبينورات ديراك، فقد لعبت دورًا أساسيًا في النموذج القياسي، فضلًا عن العديد من مجالات الفيزياء الأخرى. على سبيل المثال، في فيزياء المادة المكثفة، تُوصف الأنظمة التي تتميز فرميوناتها بعلاقة تشتت شبه خطية بواسطة معادلة ديراك. تُعرف هذه الأنظمة باسم مادة ديراك ، وتشمل الجرافين والعوازل الطوبولوجية ، والتي أصبحت مجالًا رئيسيًا للبحث منذ بداية القرن الحادي والعشرين. ^{[ 35 ] : 522}

نُقشت معادلة ديراك على لوحة في أرضية دير وستمنستر . وقد كُشف عنها في 13 نوفمبر 1995، تخليداً لذكرى ديراك. ^{[ 37 ]} كما تُعرض المعادلة، بصيغتها الأصلية ، بشكل بارز في قاعة محاضرات "بول إيه إم ديراك" في معهد باتريك إم إس بلاكيت (دير سان دومينيكو سابقاً) التابع لمؤسسة إيتوري ماجورانا ومركز الثقافة العلمية في إريتشي ، صقلية .

في صياغتها الحديثة لنظرية المجال ، تُكتب معادلة ديراك في فضاء مينكوفسكي ذي الأبعاد 3+1 بدلالة حقل ديراك${\displaystyle \psi (x)}$هذا حقل يُعيّن متجهًا معقدًا من${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$لكل نقطة في الزمكان ، ^{[ 18 ] : 136} حيث الخاصية الأساسية للحقل هي أنه يتحول كسبينور ديراك تحت تحويلات لورنتز . ^{[ 38 ] : 28} في الوحدات الطبيعية حيث${\displaystyle \hbar =c=1}$، تُعطى الصيغة المتغيرة لورنتز لمعادلة ديراك بواسطة ^{[ 16 ] : 168}

أين${\displaystyle {{\partial }\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$هو انكماش بين التدرج الرباعي${\displaystyle \partial _{\mu }}$ومصفوفات جاما${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$[ ^{ملاحظة 1 ]} هذه مجموعة من أربع مصفوفات تولد جبر ديراك ، ^مما يتطلب منها أن تحقق ^{[ 36 ] : 40}

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},}$

أين${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$هو مضاد التبديل ،${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$[ ملاحظة 2 ] و^​​​​${\displaystyle I_{4}}$هو${\displaystyle 4\times 4}$مصفوفة الوحدة . جبر ديراك هو حالة خاصة من البنية الرياضية الأكثر عمومية المعروفة باسم جبر كليفورد . ^{[ 16 ] : 169.} يمكن أيضًا اعتبار جبر ديراك الجزء الحقيقي من جبر الزمكان . لا يوجد اختيار فريد للمصفوفات لمصفوفات غاما، حيث تُعرف الاختيارات المختلفة بتمثيلات مختلفة للجبر . ^{[ 32 ] : 323.} أحد الاختيارات الشائعة، الذي اكتشفه ديراك في الأصل، يُعرف بتمثيل ديراك. هنا تُعطى المصفوفات بواسطة ^{[ 35 ] : 531.}

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\qquad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}$

أين${\displaystyle \sigma _{i}}$هي مصفوفات باولي الثلاث لـ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$هناك تمثيلان شائعان آخران لمصفوفات غاما. الأول هو التمثيل الكيرالي ، وهو مفيد عند تحليل معادلة ديراك إلى زوج من معادلات فايل . ^{[ 36 ] : 41} أما الثاني فهو تمثيل ماجورانا، حيث تكون جميع مصفوفات غاما تخيلية ، وبالتالي يكون مؤثر ديراك حقيقيًا تمامًا . ^{[ 16 ] : 344} يُفيد هذا التمثيل في دراسة سبينورات ماجورانا ، وهي حلول سبينورات رباعية المكونات حقيقية تمامًا لمعادلة ديراك. ^{[ 35 ] : 536}

بأخذ المرافق الهيرميتي لمعادلة ديراك وضربه في${\displaystyle \gamma ^{0}}$من اليمين، يمكن إيجاد معادلة ديراك المرافقة، وهي معادلة الحركة لمعادلة ديراك المرافقة.${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ويتم تقديمه بواسطة ^{[ 39 ]}

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0.}$

يُعدّ السبينور المرافق مفيدًا في تكوين الكميات الثابتة لورنتز. على سبيل المثال، السبينور الثنائي الخطي${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ليس ثابت لورنتز، ولكن${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$[ ^{35 ] : 532} هنا^​${\displaystyle {\overleftarrow {\partial }}_{\mu }}$هي اختصار لمعادلة مشتقة جزئية تعمل من اليسار. في الترميز العادي، تكون معادلة ديراك المرافقة مكافئة لما يلي: ^{[ 36 ] : 43}

${\displaystyle -i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.}$

يمكن إعادة كتابة معادلة ديراك في شكل غير متغاير مشابه لشكل معادلة شرودنغر ^{[ 8 ] : 686}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,{\boldsymbol {x}})=-i\hbar c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta mc^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}}).}$

يمثل الجانب الأيمن من المعادلة الهاميلتوني المؤثر على سبينور ديراك${\displaystyle H\psi }$. هنا${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$و${\displaystyle \beta }$هي مجموعة من أربعة هيرميتيين${\displaystyle 4\times 4}$المصفوفات التي تتبادل جميعها عكسيًا مع بعضها البعض وتكون مربعاتها تساوي مصفوفة الوحدة. وهي مرتبطة بمصفوفات غاما من خلال${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta }$ و${\displaystyle \gamma ^{i}=\beta \alpha _{i}}$[ ^{9 ] : 375} يُعد هذا الشكل مفيدًا في ميكانيكا الكم ، حيث يمكن تعديل الهاميلتوني بسهولة لحل مجموعة واسعة من المسائل، مثل إدخال ^جهد [ ^{8 ] : 702 أو} من خلال اقتران بسيط بالمجال الكهرومغناطيسي . ^{[ 8 ] : 688}

يمكن أيضًا الحصول على معادلة ديراك من صياغة لاغرانجية لنظرية المجال، حيث يُعطى فعل ديراك بواسطة ^{[ 35 ] : 535}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi .}$

ثم تنشأ المعادلة كمعادلة أويلر-لاغرانج لهذا الفعل، والتي تم التوصل إليها عن طريق تغيير المتجه الدوراني المرافق${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$[ ^{36 ] : 43 وفي الوقت نفسه ،} يتم الحصول على معادلة ديراك المرافقة عن طريق تغيير المغزل${\displaystyle \psi (x)}$تتميز صياغة الفعل لمعادلة ديراك بميزة توضيح تناظرات المعادلة بشكلٍ أكبر، إذ تُبقي الفعل ثابتًا. ^{[ 16 ] : 166-168} . تسمح نظرية نوثر بعد ذلك بالحساب المباشر للتيارات الموافقة لهذه التناظرات. ^{[ 40 ] : 166.} إضافةً إلى ذلك، يُستخدم الفعل عادةً لتعريف نظرية الحقل الكمومي المرتبطة به ، كما هو الحال في صياغة التكامل المساري . ^{[ 16 ] : 251}

في ميكانيكا الكم، سبينور ديراك${\displaystyle \psi (x)}$يتوافق ذلك مع دالة موجية سبينور رباعية المكونات تصف حالة فرميون ديراك . ^{[ 8 ] : 685} يتم وصف كثافة احتمال موضعه ، أي احتمال وجود الفرميون في منطقة من الفضاء، بواسطة المكون الصفري لتياره المتجه.${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$[ ^{8 ] : 689} في حالة وجود عدد كبير من الجسيمات ، يمكن تفسيرها أيضًا على أنها كثافة الشحنة . ^{[ 18 ] : 137} يلزم إجراء معايرة مناسبة لضمان أن يكون الاحتمال الكلي في جميع أنحاء الفضاء مساويًا للواحد، مع حفظ الاحتمال ^الذي ينتج مباشرةً عن حفظ التيار المتجه. معادلة ديراك هي النظير النسبي لمعادلة شرودنغر لدالة موجة فرميون ديراك.

في الصيغة الثانية للتكميم في نظرية الحقل الكمومي، يتم تكميم سبينور ديراك ليصبح حقل سبينور ذو قيم مؤثرة${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$[ ^{41 ]} على عكس ميكانيكا الكم، لم يعد يمثل الحالة في فضاء هيلبرت ، بل هو بالأحرى المؤثر الذي يعمل على الحالات لإنشاء الجسيمات أو تدميرها. ^{[ 16 ] : 22 [ 42 ] : 92} تُشكَّل الكميات القابلة للرصد باستخدام القيم المتوقعة لهذه المؤثرات. ^{[ 43 ] : 41} تصبح معادلة ديراك حينها معادلة مؤثر تصف التطور المستقل عن الحالة لحقل السبينور ذي القيم المؤثرة ^{. [ 44 ] : 35}

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}-m){\hat {\psi }}(x)=0.}$

في صياغة التكامل المساري لنظرية الحقل الكمومي، حقل السبينور${\displaystyle \psi (x)}$هو حقل غراسمان مضاد للتبادل، يعمل فقط كمتغير تكامل. ^{[ 38 ] : 29} تظهر معادلة ديراك كسلوك نقطة السرج الكلاسيكية للتكامل المساري. كما تظهر أيضًا كمعادلة للقيمة المتوقعة لمتغيرات الحقل الكلاسيكية. ^{[ 44 ] : 35}

${\displaystyle \langle (i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)\rangle =0,}$

بمعنى معادلات شوينجر-دايسون . ^{[ 16 ] : 80} يمكن أيضًا الحصول على هذه الصيغة من المعادلة عن طريق أخذ القيمة المتوقعة لمعادلة المؤثر.

تظهر معادلة ديراك أيضًا في وصف التطور الزمني لحقل سبينور في نظرية الحقل الكلاسيكية . سيكون لنظرية الحقل هذه مجموعة خطية خاصة${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$باعتبارها مجموعة تناظر الزمكان الخاصة بها بدلاً من مجموعة لورنتز، لأن الأخيرة لا تقبل تمثيلات سبينور . ^{[ 40 ] : 117} وهذا على النقيض من نظرية الكم التي تقبل تمثيلات سبينور حتى عندما يتم وصف تناظرات الزمكان بواسطة مجموعة لورنتز. هذا لأن الحالات في فضاء هيلبرت تُعرَّف فقط حتى طور معقد، ^{[ 45 ] : 81} لذا تنتمي الجسيمات إلى التمثيلات الإسقاطية بدلاً من التمثيلات المنتظمة، حيث تكون التمثيلات الإسقاطية لمجموعة لورنتز مكافئة للتمثيلات المنتظمة لـ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$[ ^{16 ] : 176} لا تنشأ حقول السبينور الكلاسيكية في كوننا لأن مبدأ استبعاد باولي يمنع ملء الحقل بعدد كافٍ من الجسيمات للوصول إلى ^الحد الكلاسيكي . ^{[ 40 ] : 347}

مجموعة لورنتز${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$[ ^{ملاحظة 3 ]،} التي تصف التحويل بين أطر مرجعية قصورية ، يمكن أن تقبل العديد ^من التمثيلات المختلفة . ^{[ 46 ] : 38} التمثيل هو اختيار محدد للمصفوفات التي تمثل بدقة ^{[ ملاحظة 4 ]} تأثير المجموعة على فضاء متجهي ما، والذي يُشار إليه أحيانًا باسم وحدة نمطية ، حيث يمكن أن يختلف بُعد المصفوفات بين التمثيلات. ^{[ 47 ] : 54} على سبيل المثال، يمكن تمثيل مجموعة لورنتز بواسطة${\displaystyle 4\times 4}$المصفوفات الحقيقية${\displaystyle \Lambda }$التأثير على الفضاء المتجهي${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$، بما يتوافق مع كيفية تأثير تحويلات لورنتز على المتجهات أو على الزمكان . ^{[ 16 ] : 159} وهناك تمثيل آخر ذو صلة وهو مجموعة من${\displaystyle 4\times 4}$المصفوفات المعقدة التي تؤثر على سبينورات ديراك في الفضاء المتجهي المعقد${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$[ ^{48 ] : 24 التمثيل الأصغر ذو} الصلة هو مجموعة من${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات المعقدة التي تؤثر على سبينورات فايل في${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$الفضاء المتجهي. ^{[ 49 ] : 209}

يمكن توليد عناصر زمرة لي باستخدام جبر لي المقابل ، الذي يصف، مع قوس لي ، الفضاء المماسي لمتشعب الزمرة حول عنصرها المحايد. ^{[ 50 ] : 64} تُعرف عناصر أساس هذا الفضاء المتجهي بمولدات الزمرة . ثم يُحصل على عنصر زمرة معين برفع متجه الفضاء المماسي المقابل إلى أس. ^{[ 51 ] : 295} يجب أن تُحقق مولدات جبر لي لورنتز علاقات تبادلية مضادة معينة ، تُعرف بقوس لي. يمكن تجميع المتجهات الستة في كائن مضاد للتناظر.${\displaystyle X^{\mu \nu }}$مفهرسة بواسطة${\displaystyle \{\mu ,\nu \}}$، مع قوس جبر لورنتز المعطى بواسطة ^{[ 36 ] : 39}

${\displaystyle [X^{\mu \nu },X^{\rho \sigma }]=i(\eta ^{\nu \rho }X^{\mu \sigma }-\eta ^{\mu \rho }X^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }X^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \sigma }X^{\mu \rho }).}$

تسمح هذه الجبريات بتمثيلات عديدة، حيث يُمثَّل كل مولد بمصفوفة، ويُنتج كل تمثيل جبري تمثيلاً مُناظراً للمجموعة. ^{[ 51 ] : 662} على سبيل المثال، يُعطى التمثيل الذي يؤثر على المتجهات الحقيقية بواسطة المصفوفات الست.${\displaystyle X^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }}$حيث ^{[ 51 ] : 664}

${\displaystyle \left(M^{\mu \nu }\right)^{\rho }{}_{\sigma }=i(\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }).}$

يمكن بعد ذلك الحصول على مصفوفة تحويل لورنتز من هذه المولدات من خلال عملية أسية ^{[ 16 ] : 169}

${\displaystyle \Lambda =\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right),}$

أين${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$هي مصفوفة مضادة للتناظر تُشفّر درجات الحرية الست لمجموعة لورنتز المستخدمة لتحديد عنصر المجموعة المعني. وتتوافق هذه الدرجات مع عمليات التعزيز الثلاث والدوران الثلاث . ^{[ 36 ] : 40}

هناك تمثيل آخر لجبر لورنتز وهو تمثيل السبينور حيث يتم إعطاء المولدات بواسطة ^{[ 16 ] : 169}

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\tfrac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }].}$

في هذه الحالة، عنصر مجموعة لورنتز، المحدد بواسطة${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$، يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle S[\Lambda ]=\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$

رسم خرائط${\displaystyle \Lambda \mapsto S[\Lambda ]}$لا يوجد تطابق تام، حيث يوجد خياران متسقان لـ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$التي تعطي نفس${\displaystyle \Lambda }$لكنها مختلفة${\displaystyle S[\Lambda ]}$[ ^{50 ] : 45} هذا نتيجة لكون تمثيل السبينور ^{تمثيلات} إسقاطية لمجموعة لورنتز${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$[ ^{45 ] : 81} وبصورة مكافئة، فهي تمثيل منتظم ^لـ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$وهو غلاف مزدوج لمجموعة لورنتز. ^{[ 40 ] : 106}

في ظل تحويل لورنتز، تتحول إحداثيات الزمكان وفقًا للتمثيل المتجهي${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$بينما تتحول السبينورات تحت تمثيل السبينور

${\displaystyle \psi '(x')=S[\Lambda ]\psi (x).}$

معادلة ديراك هي معادلة متغيرة لورنتز، مما يعني أنها تأخذ الشكل في جميع الأطر المرجعية العطالية. ^{[ 48 ] : 5} أي أنها تأخذ الشكل نفسه عندما يكون الدوران${\displaystyle \psi (x)}$مع الإحداثيات${\displaystyle x}$وكذلك بالنسبة لسبينور المحول لورنتز${\displaystyle \psi '(x')}$في إحداثيات لورنتز المحولة${\displaystyle x'=\Lambda x}$

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}'-m)\psi '(x')=0,}$

أين${\displaystyle \partial _{\mu }'}$يمثل التدرج الرباعي للإحداثيات الجديدة${\displaystyle x'}$^{[ ملاحظة 5 ]} في الوقت نفسه ، فإن فعل ديراك ثابت لورنتز، مما يعني أنه هو نفسه في جميع الأطر المرجعية.${\displaystyle S'=S}$[ ^{16 ] : 166-168​}

تظل نظرية ديراك ثابتة تحت تأثير عالمي${\displaystyle {\text{U}}(1)}$التناظر المؤثر على طور السبينور ^{[ 16 ] : 174}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{-i\alpha }{\bar {\psi }}(x).}$

وهذا له تيار محفوظ مماثل يمكن اشتقاقه من الفعل باستخدام نظرية نوثر ، كما هو موضح في ^{[ 35 ] : 532}

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

يُعرف هذا التناظر بالتناظر المتجهي لأن تياره يتحول كمتجه تحت تحويلات لورنتز. ويؤدي تحويل هذا التناظر إلى تناظر قياسي إلى ظهور الديناميكا الكهربائية الكمومية .

في حالة انعدام الكتلة ، يكون لمعادلة ديراك شكل غير مكافئ ثانٍ.${\displaystyle {\text{U}}(1)}$التناظر المعروف بالتناظر المحوري ، والذي يؤثر على السبينورات كما يلي ^{[ 52 ] : 99}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}{\bar {\psi }}(x),}$

أين${\displaystyle \gamma _{5}}$هي المصفوفة الكيرالية. ينشأ هذا لأن معادلة ديراك، في حالة انعدام الكتلة، تختزل إلى زوج من معادلات فايل . ^{[ 16 ] : 168} كلٌّ من هاتين المعادلتين ثابت تحت تأثير${\displaystyle {\text{U}}(1)}$تناظر الطور. يمكن تصنيف هذين التناظرين إلى تناظر متجهي، حيث يتحول كلا سبينوري فايل بنفس الطور، وتناظر محوري، حيث يتحولان بإشارتين متعاكستين للطور. ^{[ 16 ] : 621.} يُعطى التيار المقابل للتناظر المحوري بالعلاقة ^{[ 35 ] : 532.}

${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi .}$

يتحول هذا إلى متجه زائف ، مما يعني أن جزئه المكاني فردي تحت تحويلات التكافؤ. ^{[ 49 ] : 469} كلاسيكيًا ، يسمح التناظر المحوري بنظرية قياس مُصاغة جيدًا، ولكن على المستوى الكمي، فإنه يحتوي على شذوذ كيرالي يُشكل عائقًا أمام القياس. ^{[ 16 ] : 616}

تُقابل تناظرات الزمكان لفعل ديراك مجموعة بوانكاريه ، وهي مزيج من إزاحات الزمكان ومجموعة لورنتز. ^{[ 16 ] : 109} ويؤدي الثبات تحت إزاحات الزمكان الأربعة إلى موتر طاقة الإجهاد لديراك كتياراته الأربعة . ^{[ 52 ] : 98}

${\displaystyle T^{\mu \nu }=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\text{Dirac}},}$

حيث يمثل الحد الأخير لاغرانجيان ديراك، الذي يتلاشى على الغلاف . وفي الوقت نفسه، ينتج عن الثبات تحت تحويلات لورنتز مجموعة من التيارات المفهرسة بواسطة${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \sigma }$، كما هو موضح في ^{[ 52 ] : 99}

${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\mu })^{\rho \sigma }=x^{\rho }T^{\mu \sigma }-x^{\sigma }T^{\mu \rho }+{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }S^{\rho \sigma }\psi ,}$

أين${\displaystyle S^{\rho \sigma }}$هي مولدات تمثيل السبينور لجبر لورنتز لي، وتستخدم لتحديد كيفية تحول السبينورات تحت تحويلات لورنتز.

تطبيق المؤثر على معادلة ديراك${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)}$ينتج عن ذلك معادلة كلاين-غوردون لكل مكون من مكونات السبينور ^{[ 53 ] : 93}

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)=\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)\psi (x)=0.}$

ونتيجةً لذلك، فإن أي حل لمعادلة ديراك هو أيضاً حل تلقائي لمعادلة كلاين-غوردون. ^{[ 40 ] : 349} وبالتالي، يمكن كتابة حلولها كمزيج خطي من الموجات المستوية . ^{[ 54 ] : 59}

تقبل معادلة ديراك حلولاً موجية مستوية ذات تردد موجب ^{[ 54 ] : 59}

${\displaystyle \psi (x)=u({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}}$

بطاقة موجبة معطاة بواسطة${\displaystyle p_{0}={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}>0}$كما أنها تقبل حلول التردد السالب التي تأخذ نفس الشكل باستثناء${\displaystyle p_{0}=-{\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}<0}$[ ^{16 ] : 188} من الأنسب إعادة كتابة حلول التردد السالب هذه عن طريق عكس إشارة الزخم لضمان أن يكون لها طاقة موجبة ^.${\displaystyle p_{0}>0}$وهكذا تأخذ الشكل ^{[ 36 ] : 48}

${\displaystyle \psi (x)=v({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

على المستوى الكلاسيكي، تُمثل هذه حلولًا ذات ترددات موجبة وسالبة لمعادلة الموجة الكلاسيكية، ولكن في نظرية الكم، فإنها تُقابل مؤثرات تُنشئ جسيمات ذات استقطاب سبينوري.${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$أو إفناء الجسيمات المضادة ذات الاستقطاب الدوراني${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$[ ^{16 ] : 188} كلا الاستقطابين الدورانيين يحققان معادلة ديراك في ^فضاء الزخم ^{[ 54 ] : 59}

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}+m)u({\boldsymbol {p}})=0,}$

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}-m)v({\boldsymbol {p}})=0.}$

بما أن هذه معادلات مصفوفية بسيطة، فيمكن حلها مباشرةً بمجرد اختيار تمثيل صريح لمصفوفات غاما. في التمثيل الكيرالي، يُعطى الحل العام بالصيغة ^{[ 16 ] : 190}

${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\xi _{s} \choose {\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\xi _{s}},\qquad v({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\eta _{s} \choose -{\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\eta _{s}},}$

أين${\displaystyle \xi _{s}}$و${\displaystyle \eta _{s}}$هي متجهات ثنائية الأبعاد معقدة اختيارية، تصف درجتي حرية الدوران للجسيم ودرجتي حرية الدوران للجسيم المضاد. ^{[ 36 ] : 45} في حالة انعدام الكتلة، تتوافق حالات الدوران هذه مع حالات الحلزونية الممكنة التي يمكن أن تمتلكها الفرميونات عديمة الكتلة، سواء كانت حلزونية يسارية أو يمينية. ^{[ 16 ] : 190}

بينما تم اشتقاق معادلة ديراك القياسية في الأصل في${\displaystyle 3+1}$في فضاء الزمكان ذي الأبعاد المتعددة ، يمكن تعميمه مباشرةً على أي بُعد وتوقيع متري ، حيث يأخذ نفس الشكل المتغير. ^{[ 55 ] : 51} ويكمن الاختلاف الجوهري في ضرورة تحويل مصفوفات غاما إلى مصفوفات غاما لجبر كليفورد المناسب لتلك الأبعاد والتوقيع المتري، بحيث يتوافق حجم سبينور ديراك مع بُعد مصفوفات غاما. وبينما توجد معادلة ديراك دائمًا، نظرًا لأن كل بُعد يسمح بوجود سبينورات ديراك، فإن خصائص هذه السبينورات وعلاقتها بتمثيلات السبينورات الأخرى تختلف اختلافًا كبيرًا عبر الأبعاد. ^{[ 38 ] : 59} وتشمل الاختلافات الأخرى غياب مصفوفة الكيرالية في الأبعاد الفردية. ^{[ 35 ] : 534}

يمكن أيضًا تعميم المعادلة من فضاء مينكوفسكي المسطح إلى فضاء منحني من خلال إدخال مشتق متغاير للسبينور ^{[ 38 ] : 179}

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}\left(\omega _{\alpha \beta }\right)_{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },}$

أين${\displaystyle \omega _{\alpha \beta }}$هي علاقة الدوران التي يمكن تعريفها باستخدام صيغة الرباعيات . عندئذٍ، تأخذ معادلة ديراك في الزمكان المنحني الشكل ^{[ 56 ] : 862}

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi (x)=0.}$

يؤدي إضافة حدود التفاعل الذاتي إلى فعل ديراك إلى معادلة ديراك غير الخطية ، التي تسمح للفيرميونات بالتفاعل مع نفسها، كما هو الحال في نموذج ثيرينغ . ^{[ 57 ] : 81} يمكن أيضًا إدخال التفاعلات بين الفيرميونات من خلال التأثيرات الكهرومغناطيسية . على وجه الخصوص، تصف معادلة برايت أنظمة متعددة الإلكترونات تتفاعل كهرومغناطيسيًا حتى الرتبة الأولى في نظرية الاضطراب . ^{[ 58 ]} معادلة ديراك ثنائية الجسم هي معادلة مماثلة متعددة الأجسام.

تُعرف إعادة الصياغة الهندسية لمعادلة ديراك باسم معادلة ديراك-هيستينز. ^{[ 59 ]} في هذه الصياغة، تتمتع جميع مكونات معادلة ديراك بتفسير هندسي واضح. معادلة هندسية أخرى ذات صلة هي معادلة ديراك-كاهلر ، وهي نظير هندسي لمعادلة ديراك يمكن تعريفه على أي مشعب ريماني زائف عام، ويعمل على الأشكال التفاضلية . ^{[ 60 ]} في حالة المشعب المسطح ، تُختزل إلى أربع نسخ من معادلة ديراك. مع ذلك، على المشعبات المنحنية، ينهار هذا التفكيك وتختلف المعادلة اختلافًا جوهريًا. ^{[ 61 ]} تُستخدم هذه المعادلة في نظرية حقل الشبكة لوصف حد الاستمرارية للفيرميونات المتداخلة .

يمكن تحليل سبينور ديراك إلى زوج من سبينورات فايل ذات كيرالية متعاكسة${\displaystyle \psi ^{T}=(\psi _{L},\psi _{R})}$[ ^{40 ] : 340} في ظل تحويلات لورنتز ، يتحول المرء ^إلى سبينور فايل يساري${\displaystyle \psi _{L}}$والآخر كعازف ويل سبينور أيمن${\displaystyle \psi _{R}}$في التمثيل الكيرالي لمصفوفات غاما، تختزل معادلة ديراك إلى زوج من المعادلات الخاصة بمتجهات ويل الدورانية ^{[ 54 ] : 57}

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}(x)=m\psi _{L}(x),}$

${\displaystyle i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}(x)=m\psi _{R}(x).}$

على وجه الخصوص، في حالة انعدام الكتلة ، تنفصل سبينورات فايل ، وتصبح معادلة ديراك مكافئة لزوج من معادلات فايل . ^{[ 16 ] : 168}

تم اقتراح هذا التحليل كتفسير بديهي لظاهرة Zitterbewegung ، حيث تنتشر هذه المكونات عديمة الكتلة بسرعة الضوء وتتحرك في اتجاهين متعاكسين، لأن الحلزونية هي إسقاط الدوران على اتجاه الحركة . ^{[ 62 ]} هنا ، لا يكمن دور الكتلة في جعل السرعة أقل من سرعة الضوء، بل في التحكم في متوسط ​​معدل حدوث هذه الانعكاسات؛ تحديدًا، يمكن نمذجة الانعكاسات كعملية بواسون . ^{[ 63 ]}

معادلة ماجورانا هي معادلة وثيقة الصلة ، وتتخذ شكلاً مماثلاً لمعادلة ديراك باستثناء أنها تؤثر على سبينورات ماجورانا. ^{[ 16 ] : 193} هذه سبينورات تحقق شرط الواقعية.${\displaystyle \psi =C{\bar {\psi }}^{T}}$، أين${\displaystyle C}$هو عامل اقتران الشحنة . ^{[ 38 ] : 56} في الأبعاد الأعلى ، يكون لمعادلة ديراك علاقات مماثلة للمعادلات التي تصف تمثيلات السبينور الأخرى التي تنشأ في تلك الأبعاد.

في حالة عدم النسبية، تختزل معادلة ديراك إلى معادلة باولي ، ^{[ 32 ] : 332} والتي عند اقترانها بالكهرومغناطيسية تأخذ الشكل التالي

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\boldsymbol {p}}}-q{\boldsymbol {A}})\right)^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =0.}$

هنا${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$هو متجه مصفوفات باولي و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\nabla }$يمثل عامل الزخم . تصف المعادلة فرميونًا ذا شحنة${\displaystyle q}$مقترنة بالمجال الكهرومغناطيسي من خلال جهد متجه مغناطيسي${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$وجهد قياسي كهربائي${\displaystyle \phi }$[ ^{17 ] : 258 يتم وصف} الفرميون من خلال دالة الموجة ذات المكونين${\displaystyle |\psi \rangle }$، حيث يصف كل مكون إحدى حالتي الدوران${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|\uparrow \rangle +\psi _{-}|\downarrow \rangle }$[ ^{8 ] : 711​}

تُستخدم معادلة باولي غالبًا في ميكانيكا الكم لوصف الظواهر التي تكون فيها التأثيرات النسبية ضئيلة، بينما يكون دوران الفرميون مهمًا. ^{[ 8 ] : 711-715.} ويمكن أيضًا إعادة صياغتها بشكل يُظهر مباشرةً أن النسبة المغناطيسية الدورانية للفيرميون، الموصوفة بمعادلة ديراك، هي بالضبط${\displaystyle g=2}$[ ^{54 ] : 74} في الديناميكا الكهربائية الكمومية، ^توجد تصحيحات كمومية إضافية تُعدّل هذه القيمة، وتُؤدي إلى عزم مغناطيسي شاذ غير صفري . ^{[ 8 ] : 712}

يُعد كلٌّ من التناظر الشعاعي والمحوري لفعل ديراك تناظرًا عالميًا ، إذ يعملان بالطريقة نفسها في كل مكان في الزمكان . ^{[ 16 ] : 34} في نظرية الحقول الكلاسيكية ، يمكن دائمًا تعديل لاغرانجيان بطريقةٍ تُحوّل التناظر العالمي إلى تناظرٍ محلي، والذي قد يعمل بشكلٍ مختلف في مواقع مختلفة من الزمكان. ^{[ 40 ] : 166-167} في حالة التناظر الشعاعي، الذي يُقابل تغييرًا عالميًا لحقل السبينور بمقدار طور${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha }\psi }$سيؤدي القياس إلى ثبات الفعل في ظل تناظر محلي حيث يمكن أن تأخذ المرحلة قيمًا مختلفة عند نقاط مختلفة${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha (x)}\psi }$[ ^{54 ] : 70 في حين أنه} يمكن دائمًا قياس التناظرات في نظرية الحقل الكلاسيكية، قد لا يكون ذلك ممكنًا دائمًا في نظرية الكم الكاملة بسبب عوائق مختلفة مثل الشذوذات ، التي تشير إلى أن نظرية الكم الكاملة ليست ثابتة تحت التناظر المحلي على الرغم من أن لاغرانجيانها الكلاسيكي ثابت. ^{[ 48 ] : 177} على سبيل المثال، يُعد التناظر المحوري في نظرية ديراك عديمة الكتلة ذات فرميون واحد شاذًا بسبب الشذوذ الكيرالي ولا يمكن قياسه. ^{[ 36 ] : 661}

إن رفع تناظر المتجه إلى تناظر محلي يعني أن الفعل الأصلي لم يعد ثابتًا تحت التناظر بسبب ظهور${\displaystyle \partial _{\mu }\alpha (x)}$المصطلح الناشئ عن المصطلح الحركي . ^{[ 40 ] : 167} بدلاً من ذلك، مجال جديد${\displaystyle A_{\mu }(x)}$يجب تعريف حقل القياس، المعروف أيضًا باسم حقل القياس. ويجب أن يتحول أيضًا تحت التناظر المحلي كما في ^{[ 36 ] : 78}

${\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }+{\tfrac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha ,}$

أين${\displaystyle e}$يؤدي دور شحنة سبينور ديراك لحقل القياس. ويمكن جعل فعل ديراك ثابتًا تحت التناظر المحلي عن طريق استبدال حد المشتقة بمشتقة جديدة متغيرة مع القياس ^{[ 16 ] : 173}

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi .}$

ثم يأخذ فعل ديراك الشكل ^{[ 54 ] : 71}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!\!/}-m)\psi =\int d^{4}x\left[{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }\right].}$

يمكن أيضًا الحصول على هذه النتيجة مباشرةً من خلال إجراء نوثر، وهو المبدأ العام الذي ينص على إمكانية قياس التناظر الكلي بإدخال حد يربط حقل القياس بتيار التناظر الكلي المناسب . [ ^{40 ] : 161 بالإضافة} إلى ذلك، يؤدي إدخال الحد الحركي لحقل القياس إلى الفعل في الديناميكا الكهربائية الكمومية . ^{[ 36 ] : 78}

يمكن توسيع نطاق التناظرات التي يمكن قياسها بشكل كبير من خلال النظر في نظرية ذات${\displaystyle N}$ديراك متطابق${\displaystyle \psi ^{a}}$مصنفة بواسطة فهرس جديد${\displaystyle a}$يمكن اعتبار هذه السبينورات مجتمعة جزءًا من جسم واحد.${\displaystyle \psi }$مع المكونات${\displaystyle \psi ^{i,a}}$أين${\displaystyle i}$يُحدد مكونات الدوران الأربعة، و${\displaystyle a}$السبينورات المختلفة. ^{[ 16 ] : 491} ويُعطى أكبر تناظر عالمي لهذا الفعل بواسطة المجموعة الوحدوية${\displaystyle {\text{U}}(N)}$[ ^{36 ] : 490​}

أي مجموعة فرعية متصلة من${\displaystyle {\text{U}}(N)}$ويمكن قياس ذلك. على وجه الخصوص، إذا رغب المرء في قياس التناظر الذي يؤثر على كل${\displaystyle N}$إذا كانت المكونات، فإن التناظر الذي يتم قياسه يجب أن يسمح بـ${\displaystyle N}$تمثيل وحدوي ذو أبعاد يؤثر على السبينورات. ^{[ 49 ] : 420} أي، لكل${\displaystyle g\in {\text{G}}\subseteq {\text{U}}(N)}$يوجد${\displaystyle N\times N}$تمثيل المصفوفة متعددة الأبعاد${\displaystyle \rho (g)}$بحيث

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \rho (g)\psi (x)}$

يشكل تمثيلاً أميناً للمجموعة . قياس أكبر مجموعة فرعية متصلة ،${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$يتطلب ذلك تحويل السبينورات في التمثيل الأساسي أو المضاد للأساسي . ^{[ 16 ] : 484 [ ملاحظة 6 ]} يؤدي القياس إلى رفع مستوى التمثيل من كونه مستقلاً عن الزمكان إلى كونه تابعاً للزمكان${\displaystyle \rho (g(x))}$[ ^{36 ] : 490 يتطلب ذلك إدخال} حقل قياس${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$، رسميًا، الاتصال على الحزمة الرئيسية ، ^{[ 64 ]} والذي يتحول بالضرورة إلى التمثيل المرافق لمجموعة القياس . ثم يأخذ المشتق المتغير الشكل ^{[ 40 ] : 223}

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\tilde {\rho }}(A_{\mu })\psi .}$

أحد أنواع التناظر التي يتم قياسها بشكل متكرر هو المجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$التناظر. تتحول السبينورات التي تتحول في التمثيل الأساسي كما يلي ^{[ 49 ] : 416}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow U(x)\psi (x),}$

أين${\displaystyle U(x)}$هو${\displaystyle N\times N}$المصفوفة الوحدوية المقابلة لعنصر مجموعة معين. حقل القياس هو حقل قياس ذو قيم مصفوفية${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$والذي يتحول في التمثيل المرافق كما يلي ^{[ 16 ] : 492}

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow U(x)A_{\mu }(x)U^{-1}(x)+{\frac {1}{g}}(\partial _{\mu }U(x))U^{-1}(x).}$

ثم يأخذ المشتق المتغير الشكل التالي

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi .}$

بإدخال الحد الحركي لحقل القياس أيضًا، يتم بناء الفعل للديناميكا اللونية الكمومية ^{[ 36 ] : 489}

${\displaystyle S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!/}-m)\psi \right],}$

حيث يُعرَّف موتر قوة مجال يانغ-ميلز في الحد الحركي لحقل القياس على النحو التالي:

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$

قضية${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$يصف التفاعلات القوية لقطاع الكواركات في النموذج القياسي ، حيث يتوافق حقل القياس مع الغلوونات ، وتتوافق سبينورات ديراك مع الكواركات. ^{[ 65 ] : 54}${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$يلعب هذا النموذج أيضًا دورًا في النموذج القياسي، حيث يصف قطاع التفاعل الكهروضعيف . حقل القياس في هذه الحالة هو بوزون W ، بينما سبينورات ديراك هي ليبتونات . ^{[ 16 ] : 592}