مضلع

في الهندسة ، المضلع ( / ˈ p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) هو شكل مستو يتكون من قطع مستقيمة متصلة لتشكيل سلسلة مضلعة مغلقة .

تُسمى أجزاء السلسلة المضلعة المغلقة حوافها أو أضلاعها . أما النقاط التي تلتقي فيها حواف مضلعين فتُسمى رؤوس المضلع أو زواياه . المضلع ذو n ضلعًا هو مضلع يتكون من n ضلعًا؛ على سبيل المثال، المثلث مضلع ثلاثي الأضلاع.

المضلع البسيط هو مضلع لا يتقاطع مع نفسه. بتعبير أدق، التقاطعات المسموح بها الوحيدة بين القطع المستقيمة المكونة للمضلع هي نقاط التقاء القطع المتتالية في سلسلة المضلعات. المضلع البسيط هو حدود منطقة في المستوى تُسمى مضلعًا مصمتًا . الجزء الداخلي من المضلع المصمت هو جسمه ، ويُعرف أيضًا بالمنطقة المضلعية أو المساحة المضلعية . في السياقات التي تُعنى فقط بالمضلعات البسيطة والمصمتة، قد يُشير مصطلح "مضلع" إلى مضلع بسيط أو إلى مضلع مصمت.

قد تتقاطع سلسلة مضلعية مع نفسها، مُشكّلةً مضلعات نجمية ومضلعات أخرى متقاطعة ذاتيًا . وتعتبر بعض المصادر أيضًا السلاسل المضلعية المغلقة في الفضاء الإقليدي نوعًا من المضلعات ( مضلعًا منحرفًا )، حتى عندما لا تقع السلسلة في مستوى واحد.

المضلع هو مثال ثنائي الأبعاد على متعدد السطوح الأكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد. وهناك العديد من التعميمات الأخرى للمضلعات التي تم تعريفها لأغراض مختلفة.

أصل الكلمة

كلمة "مضلع" مشتقة من الصفة اليونانية πολύς ( بولوس ) بمعنى "كثير" أو "عديد"، وγωνία ( غونيا ) بمعنى "زاوية" أو "ركن"، أي "ذو زوايا متعددة". وقد اقتُرح أن كلمة γόνυ ( غونو ) بمعنى "ركبة" قد تكون أصل كلمة gon . ^{[ 1 ]}

تصنيف

عدد الأضلاع

تُصنف المضلعات بشكل أساسي حسب عدد أضلاعها.

التحدب والتقاطع

يمكن تمييز المضلعات من خلال تحدبها أو نوع عدم تحدبها:

محدب : أي خط مرسوم عبر المضلع (ولا يمسّ أي ضلع أو زاوية) يتقاطع مع حدوده مرتين بالضبط. ونتيجة لذلك، تكون جميع زواياه الداخلية أقل من 180 درجة. وبالمثل، فإن أي قطعة مستقيمة تقع نهايتاها على حدود المضلع تمر فقط بنقاط داخلية بين نهايتيها. ينطبق هذا الشرط على المضلعات في أي شكل هندسي، وليس فقط في الهندسة الإقليدية. ^{[ 2 ]}
غير محدب: قد يوجد خط مستقيم يتقاطع مع حدود المضلع أكثر من مرتين. وبالمثل، توجد قطعة مستقيمة بين نقطتين على الحدود تمر خارج المضلع.
بسيط : حدود المضلع لا تتقاطع مع نفسها. جميع المضلعات المحدبة بسيطة.
مقعر : غير محدب وبسيط. توجد زاوية داخلية واحدة على الأقل أكبر من 180 درجة.
شكل نجمي : يكون الجزء الداخلي بأكمله مرئيًا من نقطة واحدة على الأقل، دون أن يتقاطع مع أي حافة. يجب أن يكون المضلع بسيطًا، وقد يكون محدبًا أو مقعرًا. جميع المضلعات المحدبة تكون على شكل نجمة.
متقاطع ذاتيًا : حدود المضلع تتقاطع مع نفسها. يُستخدم مصطلح "معقد" أحيانًا في مقابل "بسيط" ، لكن هذا الاستخدام قد يُسبب التباسًا مع فكرة المضلع المعقد باعتباره مضلعًا موجودًا في مستوى هيلبرت المعقد ذي بُعدين معقدين .
المضلع النجمي : هو مضلع يتقاطع مع نفسه بشكل منتظم. لا يمكن أن يكون المضلع نجميًا وفي الوقت نفسه على شكل نجمة.

المساواة والتناظر

متساوي الزوايا : جميع زوايا الزوايا متساوية.
متساوي الأضلاع : جميع أضلاعه لها نفس الطول.
منتظم : متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا.
دائري : تقع جميع الزوايا على دائرة واحدة تسمى الدائرة المحيطة .
مماس : جميع الأضلاع مماسة لدائرة داخلية .
متساوي الزوايا أو متعدٍ على الرؤوس : تقع جميع الزوايا ضمن نفس مدار التناظر . المضلع أيضاً دائري ومتساوي الزوايا.
متساوي المحور أو متعدٍ على الحواف : تقع جميع الأضلاع ضمن نفس مدار التناظر . المضلع متساوي الأضلاع ومماسّ أيضاً.

يمكن تعريف خاصية الانتظام بطرق أخرى: يكون المضلع منتظمًا إذا وفقط إذا كان متساوي الزوايا ومتساوي المحاور، أو بصورة مكافئة، يكون دائريًا ومتساوي الأضلاع. يُسمى المضلع المنتظم غير المحدب مضلعًا نجميًا منتظمًا .

متنوع

مستقيم : تلتقي أضلاع المضلع بزوايا قائمة، أي أن جميع زواياه الداخلية تساوي 90 أو 270 درجة.
رتيب بالنسبة لخط معين L : كل خط متعامد مع L يتقاطع مع المضلع بما لا يزيد عن مرتين.

الخصائص والصيغ

يُفترض استخدام الهندسة الإقليدية في جميع أجزاء الدراسة.

الزوايا

أي مضلع له عدد من الزوايا يساوي عدد أضلاعه. ولكل زاوية عدة زوايا. وأهم زاويتين هما:

الزاوية الداخلية - مجموع الزوايا الداخلية لمضلع بسيط ذي n ضلعًا يساوي ( n - 2) × π راديان أو ( n - 2) × 180 درجة . وذلك لأن أي مضلع بسيط ذي n ضلعًا (يحتوي على n ضلعًا) يمكن اعتباره مكونًا من ( n - 2) مثلثًا، مجموع زوايا كل منها يساوي π راديان أو 180 درجة. قياس أي زاوية داخلية لمضلع منتظم محدب ذي n ضلعًا هو $\left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi$ الراديان أو $180-{\tfrac {360}{n}}$ الدرجات. درس بوينسو الزوايا الداخلية للمضلعات النجمية المنتظمة لأول مرة، في نفس الورقة التي وصف فيها المجسمات النجمية المنتظمة الأربعة : بالنسبة لمضلع نجمي منتظم ${\tfrac {p}{q}}$ -gon ( مضلع ذو p ضلع بكثافة مركزية q )، كل زاوية داخلية هي ${\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}$ الراديان أو ${\tfrac {180(p-2q)}{p}}$ درجات. ^{[ 3 ]}
الزاوية الخارجية - الزاوية الخارجية هي الزاوية المكملة للزاوية الداخلية. عند رسم دائرة حول مضلع محدب ذي n ضلعًا ، تكون الزاوية "المدورة" عند كل رأس هي الزاوية الخارجية. يكمل الرسم حول المضلع دورة كاملة ، لذا يجب أن يكون مجموع الزوايا الخارجية 360 درجة. يمكن تعميم هذه القاعدة على المضلعات البسيطة المقعرة، إذا طُرحت الزوايا الخارجية التي تدور في الاتجاه المعاكس من مجموع الدوران. عند رسم دائرة حول مضلع ذي n ضلعًا بشكل عام، يمكن أن يكون مجموع الزوايا الخارجية (إجمالي مقدار الدوران عند الرؤوس) أي مضاعف صحيح d للعدد 360 درجة، مثل 720 درجة للنجمة الخماسية و0 درجة للثمانية الزاوية أو متوازي الأضلاع المضاد ، حيث d هي كثافة أو عدد دورات المضلع.

منطقة

في هذا القسم، تُعتبر رؤوس المضلع قيد الدراسة هي $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ بالترتيب. ولتسهيل الأمر في بعض الصيغ، سيتم استخدام الرمز $(x n, y n) = (x 0, y 0) أيضًا.$

المضلعات البسيطة

إذا كان المضلع غير متقاطع مع نفسه (أي بسيط )، فإن المساحة الموقعة هي

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},

أو باستخدام المحددات

16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},

أين $Q_{i,j}$ هي المسافة التربيعية بين $(x_{i},y_{i})$ و $(x_{j},y_{j}).$ ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

تعتمد المساحة الموجبة على ترتيب الرؤوس واتجاه المستوى . عادةً، يُحدد الاتجاه الموجب بالدوران (عكس اتجاه عقارب الساعة) الذي يُطابق المحور السيني الموجب $مع المحور$ $الصادي$ الموجب . إذا رُتبت الرؤوس عكس اتجاه عقارب الساعة (أي وفقًا للاتجاه الموجب)، تكون المساحة الموجبة موجبة؛ وإلا، تكون سالبة. في كلتا الحالتين، تكون صيغة المساحة صحيحة بالقيمة المطلقة . تُعرف هذه الصيغة عادةً بصيغة رباط الحذاء أو صيغة المساح . ^{[ 6 ]}

يمكن أيضًا حساب مساحة المضلع البسيط A إذا كانت أطوال الأضلاع، a1 _،a2 _، ...، _an ، والزوايا الخارجية ، θ1 ، _θ2، _... ، θn _، معروفة، من:

{\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}

تم وصف الصيغة من قبل لوبسيتس في عام 1963. ^{[ 7 ]}

إذا أمكن رسم المضلع على شبكة متساوية المسافات بحيث تكون جميع رؤوسه نقاط شبكة، فإن نظرية بيك تعطي صيغة بسيطة لمساحة المضلع بناءً على عدد نقاط الشبكة الداخلية والحدودية: العدد الأول زائد نصف العدد الأخير ناقص 1.

في كل مضلع محيطه p ومساحته A ، تكون متباينة المحيط المتساوي $p^{2}>4\pi A$ [ ⁸^]

بالنسبة لأي مضلعين بسيطين متساويين في المساحة، تنص نظرية بولياي-جيروين على أنه يمكن تقسيم الأول إلى أجزاء مضلعة يمكن إعادة تجميعها لتشكيل المضلع الثاني.

لا تحدد أطوال أضلاع المضلع مساحته بشكل عام. ^{[ 9 ]} مع ذلك، إذا كان المضلع بسيطًا ودائريًا، فإن أطوال أضلاعه تحدد مساحته. ^{[ 10 ]} من بين جميع المضلعات ذات n ضلعًا بأطوال أضلاع معينة، يكون المضلع ذو المساحة الأكبر دائريًا. ومن بين جميع المضلعات ذات n ضلعًا بمحيط معين، يكون المضلع ذو المساحة الأكبر منتظمًا (وبالتالي دائريًا). ^{[ 11 ]}

المضلعات المنتظمة

تُطبق العديد من الصيغ المتخصصة على مساحات المضلعات المنتظمة .

تُعطى مساحة المضلع المنتظم بدلالة نصف قطر دائرته الداخلية (r) ومحيطه (p) بالعلاقة التالية:

A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.

يُطلق على هذا النصف قطر أيضًا اسم عموده ، وغالبًا ما يتم تمثيله على شكل .

يمكن التعبير عن مساحة المضلع المنتظم ذي n ضلع بدلالة نصف قطر الدائرة المحيطة به (الدائرة الوحيدة التي تمر بجميع رؤوس المضلع المنتظم ذي n ضلع) على النحو التالي: ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}

متقاطع مع الذات

يمكن تعريف مساحة المضلع المتقاطع ذاتيًا بطريقتين مختلفتين، مما يعطي إجابات مختلفة:

باستخدام صيغ المضلعات البسيطة، نسمح بضرب مساحة مناطق معينة داخل المضلع بمعامل نسميه كثافة المنطقة . على سبيل المثال، تبلغ كثافة الخماسي المحدب المركزي في مركز النجمة الخماسية 2. أما المنطقتان المثلثيتان في الشكل الرباعي المتقاطع (مثل الشكل 8) فلهما كثافتان متعاكستان في الإشارة، ويمكن أن يكون مجموع مساحتيهما صفرًا للشكل بأكمله. ^{[ 14 ]}
باعتبار المناطق المحصورة مجموعات نقاط، يمكننا إيجاد مساحة مجموعة النقاط المحصورة. وهذا يُعادل مساحة المستوى الذي يُغطيه المضلع، أو مساحة مضلع بسيط واحد أو أكثر له نفس حدود المضلع المتقاطع مع نفسه. في حالة الشكل الرباعي المتقاطع، يُعامل كمثلثين بسيطين.

مركز الثقل

باستخدام نفس الاصطلاح لإحداثيات الرؤوس كما في القسم السابق، تكون إحداثيات مركز ثقل المضلع البسيط الصلب هي

C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),

C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).

في هذه الصيغ، القيمة الموقعة للمساحة $A$ يجب استخدامه.

بالنسبة للمثلثات ( $حيث n = 3$ )، يكون مركز ثقل الرؤوس هو نفسه مركز ثقل الشكل المجسم، ولكن هذا لا ينطبق عمومًا على $n > 3.$ إحداثيات مركز ثقل مجموعة رؤوس مضلع ذي $n$ رأس هي:

c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},

c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.

التعميمات

تم تعميم فكرة المضلع بطرق مختلفة، ومن أهمها ما يلي:

المضلع الكروي هو دائرة من أقواس الدوائر العظمى (الأضلاع) والرؤوس على سطح الكرة. وهو يسمح بتكوين المضلع الثنائي، وهو مضلع له ضلعان وزاويتان فقط، وهو أمر مستحيل في المستوى المسطح. تلعب المضلعات الكروية دورًا هامًا في رسم الخرائط وفي بناء ويثوف للمجسمات المنتظمة .
المضلع المائل لا يقع في مستوى مسطح، بل يتخذ شكلاً متعرجاً في ثلاثة أبعاد (أو أكثر). وتُعد مضلعات بيتري من المضلعات المنتظمة أمثلة معروفة على ذلك.
الشكل اللانهائي هو سلسلة لا نهائية من الأضلاع والزوايا، وهو ليس مغلقًا ولكنه ليس له نهايات لأنه يمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين.
الشكل المائل غير المتماثل هو سلسلة لانهائية من الأضلاع والزوايا التي لا تقع في مستوى مسطح.
المضلع ذو الثقوب هو مضلع مستو متصل بالمساحة أو متصل بشكل متعدد وله حد خارجي واحد وحد داخلي واحد أو أكثر (ثقوب).
المضلع المركب هو شكل مشابه للمضلع العادي، وهو موجود في المستوى المركب ذي البعدين الحقيقيين والبعدين التخيليين .
المضلع المجرد هو مجموعة جبرية مرتبة جزئيًا تمثل العناصر المختلفة (الأضلاع، الرؤوس، إلخ) وترابطها. ويُقال إن المضلع الهندسي الحقيقي هو تجسيد للمضلع المجرد المرتبط به. وبناءً على التعيين، يمكن تحقيق جميع التعميمات المذكورة هنا.
المجسم متعدد السطوح هو جسم صلب ثلاثي الأبعاد محاط بأوجه مضلعة مسطحة، وهو مماثل للمضلع في بعدين. تُسمى الأشكال المقابلة في أربعة أبعاد أو أكثر بالمجسمات متعددة الوجوه . ^{[ 15 ]} (في اصطلاحات أخرى، تُستخدم كلمتا " مجسم متعدد السطوح" و "مجسم متعدد الوجوه" في أي بُعد، مع التمييز بينهما بأن المجسم متعدد الوجوه يكون بالضرورة محدودًا. ^{[ 16 ]} )

تسمية

كلمة "مضلع" مشتقة من الكلمة اللاتينية المتأخرة "polygōnum " (اسم)، والمشتقة بدورها من الكلمة اليونانية "πολύγωνον" ( polygōnon/polugōnon )، وهي اسم مشتق من الصفة المذكرة "πολύγωνος" ( polygōnos/polugōnos )، وتعني "متعدد الزوايا". تُسمى المضلعات (وتُصنف أحيانًا) وفقًا لعدد أضلاعها، وذلك بدمج بادئة عددية مشتقة من اليونانية مع اللاحقة "-gon" ، مثل: خماسي الأضلاع ، اثنا عشري الأضلاع . أما المثلث ، والرباعي، والتساعي ، فهي استثناءات.

وبعيدًا عن الأشكال العشرية (ذات 10 أضلاع) والأشكال الاثني عشرية (ذات 12 ضلعًا)، يستخدم علماء الرياضيات عمومًا الترميز العددي، على سبيل المثال الشكل ذو 17 ضلعًا والشكل ذو 257 ضلعًا. ^{[ 17 ]}

توجد استثناءات لعدد الأضلاع التي يسهل التعبير عنها لفظيًا (مثل 20 و30)، أو التي يستخدمها غير المتخصصين في الرياضيات. كما أن بعض المضلعات الخاصة لها أسماء خاصة بها؛ على سبيل المثال، يُعرف الشكل الخماسي النجمي المنتظم أيضًا باسم البنتاغرام .

أسماء المضلعات وخصائص متنوعة
اسم	الجوانب	ملكيات
monogon	1	لا يُعترف به عمومًا كمضلع، ^{[ 18 ]} على الرغم من أن بعض التخصصات مثل نظرية الرسوم البيانية تستخدم هذا المصطلح أحيانًا. ^{[ 19 ]}
ديجون	2	لا يُعترف به عمومًا كمضلع في المستوى الإقليدي، على الرغم من أنه يمكن أن يوجد كمضلع كروي . ^{[ 20 ]}
مثلث (أو مثلث)	3	أبسط مضلع يمكن أن يوجد في المستوى الإقليدي. يمكنه تبليط المستوى.
رباعي الأضلاع (أو رباعي الأضلاع)	4	أبسط مضلع يمكنه أن يتقاطع مع نفسه؛ أبسط مضلع يمكن أن يكون مقعرًا؛ أبسط مضلع يمكن أن يكون غير دائري. يمكنه تبليط المستوى.
البنتاغون	5	^{[ 21 ]} أبسط شكل مضلع يمكن أن يوجد على هيئة نجمة منتظمة. يُعرف الشكل النجمي الخماسي باسمالبنتاغرامأو البنتاكل.
مسدس	6	^{[ 21 ]} يمكنتبليطالسطح.
سباعي الأضلاع (أو سباعي الأضلاع)	7	^{[ 21 ]} أبسط مضلع لا يمكنإنشاء شكله المنتظم باستخدام الفرجار والمسطرة. يمكن إنشاؤه باستخدامطريقة الإنشاء بالنيوزيس.
مثمن	8	^{[ 21 ]}
المضلع التساعي (أو المضلع التساعي)	9	^{[ 21 ]} كلمة "Nonagon" تمزج بين اللاتينية [novem= 9] واليونانية؛ وكلمة "enneagon" هي يونانية خالصة.
عشري	10	^{[ 21 ]}
أحد عشر ضلعًا (أو أحد عشر ضلعًا)	11	^{[ 21 ]} أبسط مضلع لا يمكن إنشاء شكله المنتظم باستخدام الفرجار والمسطرةومنصف الزاوية. ومع ذلك، يمكن إنشاؤه باستخدام النيوسيس.^{[ 22 ]}
دوديكاغون (أو دوديكاغون)	12	^{[ 21 ]}
tridecagon (أو triskaidecagon)	13	^{[ 21 ]}
رباعي عشر الأضلاع (أو رباعي عشر الأضلاع)	14	^{[ 21 ]}
خماسي الأضلاع (أو خماسي الأضلاع)	15	^{[ 21 ]}
سداسي عشري (أو سداسي عشري)	16	^{[ 21 ]}
هيبتاديكاجون (أو هيبتاكايديكاجون)	17	المضلع القابل للإنشاء ^{[ 17 ]}
ثماني عشر ضلعاً (أو ثماني عشر ضلعاً)	18	^{[ 21 ]}
enneadecagon (أو enneakaidecagon)	19	^{[ 21 ]}
عشروني	20	^{[ 21 ]}
icositrigon (أو icosikaitrigon)	23	أبسط مضلع بحيث لا يمكن إنشاء الشكل المنتظم له باستخدام neusis . ^{[ 23 ]}^{[ 22 ]}
icositetragon (أو icosikaitetragon)	24	^{[ 21 ]}
icosipentagon (أو icosikaipentagon)	25	أبسط مضلع بحيث لا يُعرف ما إذا كان من الممكن إنشاء شكله المنتظم باستخدام neusis أم لا. ^{[ 23 ]}^{[ 22 ]}
ثلاثي الأضلاع	30	^{[ 21 ]}
رباعي الأضلاع (أو رباعي الأضلاع)	40	^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}
خماسي الأضلاع (أو خماسي الأضلاع)	50	^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}
hexacontagon (أو hexecontagon)	60	^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}
العدوى السباعية (أو العدوى السباعية)	70	^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}
octacontagon (أو ogdoëcontagon)	80	^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}
enneacontagon (أو enenecontagon)	90	^{[ 21 ]}^{[ 24 ]}
هيكتوغون (أو هيكاتونتاغون)^{[ 25 ]}	100	^{[ 21 ]}
257 ضلعًا	257	المضلع القابل للإنشاء ^{[ 17 ]}
تشيلياغون	1000	استخدم الفلاسفة، بمن فيهم رينيه ديكارت ، ^{[ 26 ]} وإيمانويل كانط ، ^{[ 27 ]} وديفيد هيوم ، ^{[ 28 ]،} الشكل الهندسي المكون من ألف مضلع كمثال في المناقشات.
ميرياجون	10000
65537-gon	65,537	المضلع القابل للإنشاء ^{[ 17 ]}
ميغاغون ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}	مليون	كما هو الحال مع مثال رينيه ديكارت عن المضلع ذي المليون ضلع، فقد استُخدم هذا المضلع لتوضيح مفهوم محدد بدقة لا يمكن تصوره بصريًا. ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}^{[ 38 ]} ويُستخدم المضلع الضخم أيضًا لتوضيح تقارب المضلعات المنتظمة نحو دائرة. ^{[ 39 ]}
أبييروجون	∞	مضلع متدهور ذو عدد لا نهائي من الأضلاع.

لتكوين اسم مضلع يحتوي على أكثر من 20 وأقل من 100 ضلع، يتم دمج البادئات كما يلي. ^{[ 21 ]} ينطبق مصطلح "kai" على المضلعات ذات 13 ضلعًا فأكثر، وقد استخدمه كيبلر ، ودعا إليه جون إتش كونواي من أجل وضوح أرقام البادئات المتسلسلة في تسمية المجسمات شبه المنتظمة ، ^{[ 25 ]} على الرغم من أن بعض المصادر لا تستخدمه.

عشرات		و	تلك		اللاحقة النهائية
عشرات		-كاي-	1	-حناء-	-غون
20	icosi- (icosa- عندما يكون وحيدًا)		2	-دي-
30	triaconta- (أو triconta-)		3	-ثلاثي-
40	تيتراكونتا- (أو تيساراكونتا-)		4	-رباعي-
50	pentaconta- (أو penteconta-)		5	-خماسي-
60	hexaconta- (أو hexeconta-)		6	-سداسي-
70	سباعي كونتا- (أو هيبدوميكونتا-)		7	-هيبتا-
80	octaconta- (أو ogdoëconta-)		8	-أوكتا-
90	enneaconta- (أو eneneconta-)		9	-التسعين-

تاريخ

عُرفت المضلعات منذ العصور القديمة. كانت المضلعات المنتظمة معروفة لدى الإغريق القدماء، حيث ظهر النجم الخماسي ، وهو مضلع منتظم غير محدب ( مضلع نجمي )، في وقت مبكر من القرن السابع قبل الميلاد على إناء من صنع أريستوفان ، عُثر عليه في كايري وهو الآن في متحف الكابيتولين . ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}

أُجريت أول دراسة منهجية معروفة للمضلعات غير المحدبة بشكل عام على يد توماس برادوردين في القرن الرابع عشر. ^{[ 42 ]}

في عام 1952، عمم جيفري كولين شيبارد فكرة المضلعات إلى المستوى المركب، حيث يصاحب كل بُعد حقيقي بُعد تخيلي ، لإنشاء المضلعات المركبة . ^{[ 43 ]}

في الطبيعة

تظهر المضلعات في التكوينات الصخرية، وغالبًا ما تكون على شكل أوجه مسطحة للبلورات ، حيث تعتمد الزوايا بين الجوانب على نوع المعدن الذي تتكون منه البلورة.

يمكن أن تحدث الأشكال السداسية المنتظمة عندما يؤدي تبريد الحمم البركانية إلى تكوين مناطق من أعمدة البازلت المتراصة بإحكام ، والتي يمكن رؤيتها في ممر العمالقة في أيرلندا الشمالية ، أو في كومة ديفلز بوستبايل في كاليفورنيا .

في علم الأحياء ، سطح قرص العسل الشمعي الذي تصنعه النحلات عبارة عن مجموعة من الأشكال السداسية ، كما أن جوانب وقاعدة كل خلية هي أيضًا مضلعات.

رسومات الحاسوب

في مجال رسومات الحاسوب ، يُعدّ المضلع عنصرًا أساسيًا يُستخدم في النمذجة والعرض. ويتم تعريفه في قاعدة بيانات تحتوي على مصفوفات من الرؤوس (إحداثيات الرؤوس الهندسية ، بالإضافة إلى سمات أخرى للمضلع، مثل اللون والتظليل والملمس)، ومعلومات الاتصال، والمواد . ^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}

يُنمذج أي سطح على شكل تجزئة تُسمى شبكة مضلعية . إذا كانت الشبكة المربعة تحتوي على n + 1 نقطة (رأس) لكل ضلع، فإن الشبكة تحتوي على n مربعًا، أو 2^ n مثلثًا مربعًا، لأن المربع يتكون من مثلثين. يوجد ( n + 1) ^{^2} / 2( n ^{^2} ) رأسًا لكل مثلث. عندما تكون n كبيرة، يقترب هذا العدد من النصف. أو بعبارة أخرى، يربط كل رأس داخل الشبكة المربعة أربعة أضلاع (خطوط).

يستدعي نظام التصوير بنية المضلعات اللازمة لإنشاء المشهد من قاعدة البيانات. تُنقل هذه البنية إلى الذاكرة النشطة، ثم إلى نظام العرض (الشاشة، شاشات التلفاز، إلخ) لعرض المشهد. خلال هذه العملية، يُظهر نظام التصوير المضلعات بمنظورها الصحيح، لتكون جاهزةً لنقل البيانات المُعالجة إلى نظام العرض. على الرغم من أن المضلعات ثنائية الأبعاد، إلا أن حاسوب النظام يضعها في المشهد المرئي بالاتجاه ثلاثي الأبعاد الصحيح.

في مجال رسومات الحاسوب والهندسة الحسابية ، غالباً ما يكون من الضروري تحديد ما إذا كانت نقطة معينة $P=(x_{0},y_{0})$ تقع داخل مضلع بسيط مُحدد بتسلسل من القطع المستقيمة. يُسمى هذا اختبار النقطة داخل المضلع . ^{[ 46 ]}

انظر أيضاً

مراجع

فهرس

Coxeter, HSM ; Regular Polytopes , Methuen and Co., 1948 (3rd Edition, Dover, 1973).
كرومويل، ب.؛ متعددات السطوح ، مطبعة جامعة كامبريدج، غلاف مقوى (1997)، غلاف ورقي (1999).
غرونباوم، ب.؛ هل متعددات السطوح الخاصة بك هي نفسها متعددات السطوح الخاصة بي؟ الهندسة المنفصلة والحاسوبية: كتاب غودمان-بولاك التذكاري ، تحرير أرونوف وآخرون. سبرينغر (2003) ص 461-488. ( ملف PDF )

ملحوظات

↑ كريج، جون (1849). قاموس جديد شامل لعلم أصول الكلمات والتكنولوجيا والنطق في اللغة الإنجليزية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 404.مقتطف من الصفحة 404
↑ ماغنوس، فيلهلم (1974). التبليطات غير الإقليدية ومجموعاتها . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 61. دار النشر الأكاديمية. ص 37.
↑ كابراف، جاي (2002). ما وراء القياس: جولة إرشادية عبر الطبيعة والأسطورة والعدد . وورلد ساينتيفيك. ص 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
^ ب.سز. ناجي، إل. ريدي: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. نشر. الرياضيات. ديبريسين 1، 42-50 (1949)
↑ بورك، بول (يوليو 1988). "حساب مساحة ومركز ثقل المضلع" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 16 سبتمبر 2012. تم الاطلاع عليه في 6 فبراير 2013 .
↑ بارت برادن (1986). "صيغة المساحة للمساح" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 17 (4): 326-337 . doi : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 نوفمبر 2012.
↑ AM Lopshits (1963). حساب مساحات الأشكال الموجهة . المترجمون: J Massalski و C Mills Jr. DC Heath and Company: بوسطن، ماساتشوستس.
^ “ديرجياديس، نيكولاوس، “دليل أولي على عدم المساواة متساوي القياس”، منتدى Mathematicorum 2، 2002، 129–130” (PDF) .
↑ روبنز، "المضلعات المحصورة داخل دائرة"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 102، يونيو-يوليو 1995.
↑ باك، إيغور (2005). "مساحة المضلعات الدورية: التقدم الأخير في تخمينات روبنز". التقدم في الرياضيات التطبيقية . 34 (4): 690-696 . arXiv : math/0408104 . doi : 10.1016/ j.aam.2004.08.006 . MR 2128993. S2CID 6756387 .
↑ شاكريان، جي دي "نظرة مشوهة للهندسة". الفصل 7 في كتاب " البرقوق الرياضية " (تحرير ر. هونسبرغر). واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية، 1979: 147.
↑ مساحة المضلع المنتظم - اشتقاق من مرجع الرياضيات المفتوح.
↑ المضلع المنتظم ذو عدد لا نهائي من الأضلاع هو دائرة: $\lim _{n\to +\infty }R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=\pi \cdot R^{2}$ .
↑ دي فيلييرز، مايكل (يناير 2015). "التغلب على 'وحش' هندسي: إيجاد مساحة شكل رباعي متقاطع" (ملف PDF) . تعليم وتعلّم الرياضيات . 2015 (18): 23-28 .
↑ كوكسيتر (الطبعة الثالثة 1973)
↑ غونتر زيغلر (1995). "محاضرات في متعددات الوجوه". نصوص سبرينغر للدراسات العليا في الرياضيات ، ISBN 978-0-387-94365-7ص 4.
1 2 3 4 عالم الرياضيات
↑ غرونباوم، ب.؛ "هل متعددات السطوح الخاصة بك هي نفسها متعددات السطوح الخاصة بي؟"، الهندسة المنفصلة والحسابية: كتاب غودمان-بولاك التذكاري ، تحرير أرونوف وآخرون، سبرينغر (2003)، ص 464.
↑ هاس، جويل؛ مورغان، فرانك (1996). " الشبكات الجيوديسية على الكرة ثنائية الأبعاد". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 124 (12): 3843-3850 . doi : 10.1090/S0002-9939-96-03492-2 . JSTOR 2161556. MR 1343696 .
↑ كوكسيتر، إتش إس إم؛ متعددات الوجوه المنتظمة ، طبعة دوفر (1973)، ص 4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 سالومون، ديفيد ( 2011). دليل رسومات الحاسوب . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 88-90 . ISBN 978-0-85729-886-7.
1 2 3 بنيامين، إليوت؛ سنايدر، سي (مايو 2014). "حول إنشاء الشكل المنتظم ذي الأحد عشر ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 156 (3): 409-424 . Bibcode : 2014MPCPS.156..409B . doi : 10.1017/S0305004113000753 .
1 2 آرثر باراجار (2002) الإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة ذات الشقين، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية، 109:2، 151-164، doi : 10.1080/00029890.2002.11919848
1 2 3 4 5 6 العناصر الجديدة للرياضيات: الجبر والهندسة بقلم تشارلز ساندرز بيرس (1976)، ص 298
1 2 "تسمية المضلعات والمجسمات" . اسأل دكتور الرياضيات . منتدى الرياضيات - جامعة دريكسل . تم الاطلاع عليه في 3 مايو 2015 .
↑ سيبكوسكي، ديفيد (2005). "الاسمية والبنائية في فلسفة الرياضيات في القرن السابع عشر" . هيستوريا ماثيماتيكا . 32 : 33-59 . doi : 10.1016/j.hm.2003.09.002 .
↑ غوتفريد مارتن (1955)، ميتافيزيقا كانط ونظرية العلم ، مطبعة جامعة مانشستر، ص 22.
↑ ديفيد هيوم، الأعمال الفلسفية لديفيد هيوم ، المجلد 1، بلاك وتيت، 1826، ص 101.
^ جيبيليسكو ، ستان (2003). تم إزالة الغموض عن الهندسة (Online-Ausg. ed.). نيويورك: ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-141650-4.
↑ دارلينج، ديفيد جيه، الكتاب الشامل للرياضيات: من أبراكادابرا إلى مفارقات زينون ، جون وايلي وأولاده، 2004، ص 249. ISBN 0-471-27047-4.
↑ دوغوبولسكي، مارك، الجبر الجامعي وعلم المثلثات ، الطبعة الثانية، أديسون-ويسلي، 1999، ص 505. ISBN 0-201-34712-1.
↑ ماكورميك، جون فرانسيس، الميتافيزيقا المدرسية ، مطبعة جامعة لويولا، 1928، ص 18.
↑ ميريل، جون كالهون وأوديل، إس. جاك، الفلسفة والصحافة ، لونغمان، 1983، ص 47، ISBN 0-582-28157-1.
↑ هوسبرز، جون، مقدمة في التحليل الفلسفي ، الطبعة الرابعة، روتليدج، 1997، ص 56، رقم ISBN 0-415-15792-7.
↑ مانديك، بيت، المصطلحات الرئيسية في فلسفة العقل ، مجموعة كونتينوم الدولية للنشر، 2010، ص 26، ISBN 1-84706-349-7.
↑ كيني، أنتوني، نشأة الفلسفة الحديثة ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2006، ص 124، ISBN 0-19-875277-6.
↑ بالميس، جيمس، الفلسفة الأساسية، المجلد الثاني ، سادلير وشركاه، بوسطن، 1856، ص 27.
↑ بوتر، فينسنت ج.، في فهم الفهم: فلسفة المعرفة ، الطبعة الثانية، مطبعة جامعة فوردهام، 1993، ص 86، ISBN 0-8232-1486-9.
↑ راسل، برتراند، تاريخ الفلسفة الغربية ، طبعة معاد طباعتها، روتليدج، 2004، ص 202، ISBN 0-415-32505-6.
↑ هيث، السير توماس ليتل (1981). تاريخ الرياضيات اليونانية، المجلد 1. منشورات كوريير دوفر. ص 162. ISBN 978-0-486-24073-2.إعادة طبع للنسخة الأصلية الصادرة عام 1921 مع تصحيح الأخطاء المطبعية. يستخدم هيث التهجئة اللاتينية "Aristophonus" لاسم رسام المزهرية.
↑ فوهة بركانية مع مشهد عمى بوليفيموس ومعركة بحرية. مؤرشفة بتاريخ 12 نوفمبر 2013 في أرشيف الإنترنت ، قاعات كاستيلاني، متحف الكابيتولين، تاريخ الوصول 11 نوفمبر 2013. يظهر نجمتان خماسيتان بالقرب من مركز الصورة.
↑ كوكسيتر، إتش إس إم؛ متعددات الوجوه المنتظمة ، الطبعة الثالثة، دوفر (غلاف ورقي)، 1973، ص 114
↑ شيبارد، جي سي؛ "المضلعات المعقدة المنتظمة"، وقائع جمعية لندن الرياضية، السلسلة 3، المجلد 2، 1952، الصفحات 82-97
↑ "مواصفات رأس OpenGL" .
↑ "عرض ثلاثي الأبعاد مباشر، يعتمد على الرؤوس والمثلثات" . 6 يناير 2021.
↑ شيرا، ستيفان (2008). "ما مدى موثوقية استراتيجيات تحديد النقطة داخل المضلع العملية؟". في: هالبرين، دان؛ ميلهورن، كورت (محرران). الخوارزميات - ESA 2008: الندوة الأوروبية السنوية السادسة عشرة، كارلسروه، ألمانيا، 15-17 سبتمبر 2008، وقائع المؤتمر . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 5193. سبرينغر. الصفحات 744-755 . doi : 10.1007/978-3-540-87744-8_62 . ISBN 978-3-540-87743-1.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "مضلع" . عالم الرياضيات .
ما هي المجسمات متعددة الأوجه؟، مع البادئات العددية اليونانية
المضلعات، وأنواعها، وخصائصها ، مع رسوم متحركة تفاعلية.
كيفية رسم المضلعات المتعامدة أحادية اللون على الشاشات ، بقلم هربرت غلارنر
الأسئلة الشائعة حول خوارزميات الرسومات الحاسوبية ، وحلول المسائل الرياضية المتعلقة بحساب المضلعات ثنائية وثلاثية الأبعاد.
مقارنة بين الخوارزميات المختلفة لعمليات المضلع المنطقية ، ومقارنة القدرات والسرعة والمتانة العددية.
مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات: صيغة عامة ، يوفر هذا التطبيق بحثًا تفاعليًا بلغة جافا يوسع صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلعات المغلقة البسيطة لتشمل المضلعات المتقاطعة (المعقدة).

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه موحد ذو 9 أوجه	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبلكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[1] كريج، جون (1849). قاموس جديد شامل لعلم أصول الكلمات والتكنولوجيا والنطق في اللغة الإنجليزية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 404.مقتطف من الصفحة 404

[2] ماغنوس، فيلهلم (1974). التبليطات غير الإقليدية ومجموعاتها . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 61. دار النشر الأكاديمية. ص 37.

[3] كابراف، جاي (2002). ما وراء القياس: جولة إرشادية عبر الطبيعة والأسطورة والعدد . وورلد ساينتيفيك. ص 258. ISBN 978-981-02-4702-7.

[4] ب.سز. ناجي، إل. ريدي: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. نشر. الرياضيات. ديبريسين 1، 42-50 (1949)

[5] بورك، بول (يوليو 1988). "حساب مساحة ومركز ثقل المضلع" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 16 سبتمبر 2012. تم الاطلاع عليه في 6 فبراير 2013 .

[6] بارت برادن (1986). "صيغة المساحة للمساح" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 17 (4): 326-337 . doi : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 نوفمبر 2012.

[lopshits-7] AM Lopshits (1963). حساب مساحات الأشكال الموجهة . المترجمون: J Massalski و C Mills Jr. DC Heath and Company: بوسطن، ماساتشوستس.

[8] “ديرجياديس، نيكولاوس، “دليل أولي على عدم المساواة متساوي القياس”، منتدى Mathematicorum 2، 2002، 129–130” (PDF) .

[9] روبنز، "المضلعات المحصورة داخل دائرة"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 102، يونيو-يوليو 1995.

[10] باك، إيغور (2005). "مساحة المضلعات الدورية: التقدم الأخير في تخمينات روبنز". التقدم في الرياضيات التطبيقية . 34 (4): 690-696 . arXiv : math/0408104 . doi : 10.1016/ j.aam.2004.08.006 . MR 2128993. S2CID 6756387 .

[11] شاكريان، جي دي "نظرة مشوهة للهندسة". الفصل 7 في كتاب " البرقوق الرياضية " (تحرير ر. هونسبرغر). واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية، 1979: 147.

[12] مساحة المضلع المنتظم - اشتقاق من مرجع الرياضيات المفتوح.

[13] المضلع المنتظم ذو عدد لا نهائي من الأضلاع هو دائرة: $\lim _{n\to +\infty }R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=\pi \cdot R^{2}$ .

[14] دي فيلييرز، مايكل (يناير 2015). "التغلب على 'وحش' هندسي: إيجاد مساحة شكل رباعي متقاطع" (ملف PDF) . تعليم وتعلّم الرياضيات . 2015 (18): 23-28 .

[15] كوكسيتر (الطبعة الثالثة 1973)

[16] غونتر زيغلر (1995). "محاضرات في متعددات الوجوه". نصوص سبرينغر للدراسات العليا في الرياضيات ، ISBN 978-0-387-94365-7ص 4.

[mathworld-17] 1 2 3 4 عالم الرياضيات

[18] غرونباوم، ب.؛ "هل متعددات السطوح الخاصة بك هي نفسها متعددات السطوح الخاصة بي؟"، الهندسة المنفصلة والحسابية: كتاب غودمان-بولاك التذكاري ، تحرير أرونوف وآخرون، سبرينغر (2003)، ص 464.

[hm96-19] هاس، جويل؛ مورغان، فرانك (1996). " الشبكات الجيوديسية على الكرة ثنائية الأبعاد". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 124 (12): 3843-3850 . doi : 10.1090/S0002-9939-96-03492-2 . JSTOR 2161556. MR 1343696 .

[20] كوكسيتر، إتش إس إم؛ متعددات الوجوه المنتظمة ، طبعة دوفر (1973)، ص 4.

[namingpolygons-21] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 سالومون، ديفيد ( 2011). دليل رسومات الحاسوب . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 88-90 . ISBN 978-0-85729-886-7.

[Benjamin-22] 1 2 3 بنيامين، إليوت؛ سنايدر، سي (مايو 2014). "حول إنشاء الشكل المنتظم ذي الأحد عشر ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 156 (3): 409-424 . Bibcode : 2014MPCPS.156..409B . doi : 10.1017/S0305004113000753 .

[Baragar-23] 1 2 آرثر باراجار (2002) الإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة ذات الشقين، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية، 109:2، 151-164، doi : 10.1080/00029890.2002.11919848

[Peirce-24] 1 2 3 4 5 6 العناصر الجديدة للرياضيات: الجبر والهندسة بقلم تشارلز ساندرز بيرس (1976)، ص 298

[drmath-25] 1 2 "تسمية المضلعات والمجسمات" . اسأل دكتور الرياضيات . منتدى الرياضيات - جامعة دريكسل . تم الاطلاع عليه في 3 مايو 2015 .

[sepkoski-26] سيبكوسكي، ديفيد (2005). "الاسمية والبنائية في فلسفة الرياضيات في القرن السابع عشر" . هيستوريا ماثيماتيكا . 32 : 33-59 . doi : 10.1016/j.hm.2003.09.002 .

[27] غوتفريد مارتن (1955)، ميتافيزيقا كانط ونظرية العلم ، مطبعة جامعة مانشستر، ص 22.

[28] ديفيد هيوم، الأعمال الفلسفية لديفيد هيوم ، المجلد 1، بلاك وتيت، 1826، ص 101.

[29] جيبيليسكو ، ستان (2003). تم إزالة الغموض عن الهندسة (Online-Ausg. ed.). نيويورك: ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-141650-4.

[Darling-30] دارلينج، ديفيد جيه، الكتاب الشامل للرياضيات: من أبراكادابرا إلى مفارقات زينون ، جون وايلي وأولاده، 2004، ص 249. ISBN 0-471-27047-4.

[31] دوغوبولسكي، مارك، الجبر الجامعي وعلم المثلثات ، الطبعة الثانية، أديسون-ويسلي، 1999، ص 505. ISBN 0-201-34712-1.

[32] ماكورميك، جون فرانسيس، الميتافيزيقا المدرسية ، مطبعة جامعة لويولا، 1928، ص 18.

[33] ميريل، جون كالهون وأوديل، إس. جاك، الفلسفة والصحافة ، لونغمان، 1983، ص 47، ISBN 0-582-28157-1.

[34] هوسبرز، جون، مقدمة في التحليل الفلسفي ، الطبعة الرابعة، روتليدج، 1997، ص 56، رقم ISBN 0-415-15792-7.

[35] مانديك، بيت، المصطلحات الرئيسية في فلسفة العقل ، مجموعة كونتينوم الدولية للنشر، 2010، ص 26، ISBN 1-84706-349-7.

[36] كيني، أنتوني، نشأة الفلسفة الحديثة ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2006، ص 124، ISBN 0-19-875277-6.

[37] بالميس، جيمس، الفلسفة الأساسية، المجلد الثاني ، سادلير وشركاه، بوسطن، 1856، ص 27.

[38] بوتر، فينسنت ج.، في فهم الفهم: فلسفة المعرفة ، الطبعة الثانية، مطبعة جامعة فوردهام، 1993، ص 86، ISBN 0-8232-1486-9.

[39] راسل، برتراند، تاريخ الفلسفة الغربية ، طبعة معاد طباعتها، روتليدج، 2004، ص 202، ISBN 0-415-32505-6.

[40] هيث، السير توماس ليتل (1981). تاريخ الرياضيات اليونانية، المجلد 1. منشورات كوريير دوفر. ص 162. ISBN 978-0-486-24073-2.إعادة طبع للنسخة الأصلية الصادرة عام 1921 مع تصحيح الأخطاء المطبعية. يستخدم هيث التهجئة اللاتينية "Aristophonus" لاسم رسام المزهرية.

[41] فوهة بركانية مع مشهد عمى بوليفيموس ومعركة بحرية. مؤرشفة بتاريخ 12 نوفمبر 2013 في أرشيف الإنترنت ، قاعات كاستيلاني، متحف الكابيتولين، تاريخ الوصول 11 نوفمبر 2013. يظهر نجمتان خماسيتان بالقرب من مركز الصورة.

[42] كوكسيتر، إتش إس إم؛ متعددات الوجوه المنتظمة ، الطبعة الثالثة، دوفر (غلاف ورقي)، 1973، ص 114

[43] شيبارد، جي سي؛ "المضلعات المعقدة المنتظمة"، وقائع جمعية لندن الرياضية، السلسلة 3، المجلد 2، 1952، الصفحات 82-97

[44] "مواصفات رأس OpenGL" .

[45] "عرض ثلاثي الأبعاد مباشر، يعتمد على الرؤوس والمثلثات" . 6 يناير 2021.

[46] شيرا، ستيفان (2008). "ما مدى موثوقية استراتيجيات تحديد النقطة داخل المضلع العملية؟". في: هالبرين، دان؛ ميلهورن، كورت (محرران). الخوارزميات - ESA 2008: الندوة الأوروبية السنوية السادسة عشرة، كارلسروه، ألمانيا، 15-17 سبتمبر 2008، وقائع المؤتمر . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 5193. سبرينغر. الصفحات 744-755 . doi : 10.1007/978-3-540-87744-8_62 . ISBN 978-3-540-87743-1.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

8

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]،

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗