الحساب

الحساب هو فرع أولي من الرياضيات يدرس العمليات العددية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة . وبمعنى أوسع، يشمل أيضًا الأسس واستخراج الجذور وأخذ اللوغاريتمات .

يمكن تمييز الأنظمة الحسابية بناءً على نوع الأرقام التي تعمل عليها. يتعلق حساب الأعداد الصحيحة بالحسابات باستخدام الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة . يتضمن حساب الأعداد النسبية العمليات على كسور الأعداد الصحيحة. يتعلق حساب الأعداد الحقيقية بالحسابات باستخدام الأعداد الحقيقية ، والتي تشمل الأعداد النسبية وغير النسبية .

يعتمد تمييز آخر على النظام العددي المستخدم لإجراء العمليات الحسابية. الحساب العشري هو الأكثر شيوعًا. يستخدم الأرقام الأساسية من 0 إلى 9 ومجموعاتها للتعبير عن الأرقام . على النقيض من ذلك، يستخدم الحساب الثنائي من قبل معظم أجهزة الكمبيوتر ويمثل الأرقام كمجموعات من الأرقام الأساسية 0 و 1. يتعامل الحساب الحاسوبي مع خصوصيات تنفيذ الحساب الثنائي على أجهزة الكمبيوتر . تعمل بعض الأنظمة الحسابية على كائنات رياضية أخرى غير الأرقام، مثل حساب الفواصل وحساب المصفوفات .

تشكل العمليات الحسابية الأساس للعديد من فروع الرياضيات، مثل الجبر وحساب التفاضل والتكامل والإحصاء . كما تلعب دورًا مشابهًا في العلوم ، مثل الفيزياء والاقتصاد . الحساب موجود في العديد من جوانب الحياة اليومية ، على سبيل المثال، لحساب التغيير أثناء التسوق أو لإدارة الشؤون المالية الشخصية . إنه أحد أقدم أشكال تعليم الرياضيات التي يواجهها الطلاب. تدرس أسسه المعرفية والمفاهيمية من قبل علم النفس والفلسفة .

ممارسة الحساب عمرها آلاف السنين وربما عشرات الآلاف. اخترعت الحضارات القديمة مثل المصريين والسومريين أنظمة رقمية لحل المسائل الحسابية العملية في حوالي 3000 قبل الميلاد. بدءًا من القرنين السابع والسادس قبل الميلاد، بدأ الإغريق القدماء دراسة أكثر تجريدًا للأرقام وقدموا طريقة الإثباتات الرياضية الصارمة . طور الهنود القدماء مفهوم الصفر والنظام العشري ، والذي قام علماء الرياضيات العرب بتحسينه ونشره إلى العالم الغربي خلال العصور الوسطى. تم اختراع أول آلات حاسبة ميكانيكية في القرن السابع عشر. شهد القرنان الثامن عشر والتاسع عشر تطوير نظرية الأعداد الحديثة وصياغة الأسس البديهية للحساب. في القرن العشرين، أدى ظهور الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر إلى إحداث ثورة في دقة وسرعة إجراء الحسابات الحسابية.

الحساب هو الفرع الأساسي من الرياضيات الذي يدرس الأرقام وعملياتها. ويتعامل على وجه الخصوص مع الحسابات العددية باستخدام العمليات الحسابية للجمع والطرح والضرب والقسمة . [ ^1] وبمعنى أوسع، يشمل أيضًا الأسس واستخراج الجذور واللوغاريتم . ^[2] مصطلح "الحساب" له جذره في المصطلح اللاتيني " arithmetica " والذي يشتق من الكلمات اليونانية القديمة ἀριθμός ( arithmos )، والتي تعني "عدد " ، و ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne)، والتي تعني "فن العد". [ ^3]

هناك خلافات حول تعريفه الدقيق. وفقًا لوصف ضيق، يتعامل الحساب مع الأعداد الطبيعية فقط . [ 4 ^] ومع ذلك، فإن الرأي الأكثر شيوعًا هو تضمين العمليات على الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية وأحيانًا الأعداد المركبة أيضًا في نطاقه. ^[5] تقصر بعض التعريفات الحساب على مجال الحسابات العددية. ^[6] عندما يُفهم بمعنى أوسع، فإنه يشمل أيضًا دراسة كيفية تطور مفهوم الأعداد ، وتحليل خصائص الأعداد والعلاقات بينها، وفحص البنية البديهية للعمليات الحسابية. ^[7]

الحساب وثيق الصلة بنظرية الأعداد ويستخدم بعض المؤلفين المصطلحين كمرادفين. ^[8] ومع ذلك، بمعنى أكثر تحديدًا، تقتصر نظرية الأعداد على دراسة الأعداد الصحيحة وتركز على خصائصها وعلاقاتها مثل قابلية القسمة والتحليل إلى عوامل وأولية . ^[9] تقليديًا، تُعرف باسم الحساب الأعلى. ^[10]

الأرقام هي كائنات رياضية تستخدم لحساب الكميات وقياس الأحجام. وهي عناصر أساسية في الحساب حيث يتم إجراء جميع العمليات الحسابية على الأرقام. هناك أنواع مختلفة من الأرقام وأنظمة عددية مختلفة لتمثيلها. ^[11]

الأنواع الرئيسية للأرقام المستخدمة في الحساب هي الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية . ^[12] الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة تبدأ من 1 وتنتهي إلى ما لا نهاية. وهي تستبعد الأعداد 0 والأعداد السالبة. وتُعرف أيضًا باسم الأعداد العدية ويمكن التعبير عنها على أنها . رمز الأعداد الطبيعية هو . ^[أ] الأعداد الصحيحة متطابقة مع الأعداد الطبيعية مع وجود اختلاف وحيد هو أنها تتضمن 0. ويمكن تمثيلها على أنها ولها الرمز . ^{[14] [ب]} لا يميز بعض علماء الرياضيات بين الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة من خلال تضمين 0 في مجموعة الأعداد الطبيعية. ^[16] تشمل مجموعة الأعداد الصحيحة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. ولها الرمز ويمكن التعبير عنها على أنها . ^[17]${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$

بناءً على كيفية استخدام الأعداد الطبيعية والأعداد الكاملة، يمكن تمييزها إلى أعداد أساسية وترتيبية . الأعداد الأساسية، مثل واحد واثنان وثلاثة، هي أرقام تعبر عن كمية الأشياء. وهي تجيب على السؤال "كم عددها؟". الأعداد الترتيبية، مثل الأول والثاني والثالث، تشير إلى الترتيب أو الموضع في سلسلة. وهي تجيب على السؤال "ما هو الموضع؟". ^[18]

يكون الرقم نسبيًا إذا كان من الممكن تمثيله كنسبة بين عددين صحيحين. على سبيل المثال، يتكون الرقم النسبي من قسمة العدد الصحيح 1، والذي يسمى البسط، على العدد الصحيح 2، والذي يسمى المقام. ومن الأمثلة الأخرى و . تتضمن مجموعة الأرقام النسبية جميع الأعداد الصحيحة، وهي كسور بمقام 1. رمز الأرقام النسبية هو . ^[19] الكسور العشرية مثل 0.3 و 25.12 هي نوع خاص من الأرقام النسبية لأن مقامها هو قوة من 10. على سبيل المثال، 0.3 يساوي ، و 25.12 يساوي . ^[20] كل رقم نسبي يتوافق مع عدد عشري منتهٍ أو متكرر . ^{[21] [ج]}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$${\displaystyle \mathbb {س} }$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$

الأعداد غير النسبية هي الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها من خلال نسبة عددين صحيحين. وغالبًا ما تكون مطلوبة لوصف الأحجام الهندسية. على سبيل المثال، إذا كان للمثلث القائم ضلعان بطول 1، فإن طول الوتر يُعطى بالعدد غير النسبي . π هو عدد غير نسبي آخر ويصف نسبة محيط الدائرة إلى قطرها . ^[22] التمثيل العشري للعدد غير النسبي لانهائي بدون تكرار الكسور العشرية. ^[23] تشكل مجموعة الأعداد النسبية مع مجموعة الأعداد غير النسبية مجموعة الأعداد الحقيقية. رمز الأعداد الحقيقية هو . ^[24] تشمل فئات الأعداد الأوسع الأعداد المركبة والرباعيات . ^[25]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

الرقم هو رمز لتمثيل رقم وأنظمة الأرقام هي أطر تمثيلية. ^[26] وعادة ما يكون لديهم كمية محدودة من الأرقام الأساسية، والتي تشير مباشرة إلى أرقام معينة. يحكم النظام كيفية دمج هذه الأرقام الأساسية للتعبير عن أي رقم. [ ^27] أنظمة الأرقام إما موضعية أو غير موضعية. كانت جميع أنظمة الأرقام المبكرة غير موضعية. ^[28] بالنسبة لأنظمة الأرقام غير الموضعية، لا تعتمد قيمة الرقم على موضعه في الرقم. ^[29]

أبسط نظام غير موضعي هو نظام الأرقام الأحادي . يعتمد على رمز واحد للرقم 1. تتم كتابة جميع الأرقام الأعلى بتكرار هذا الرمز. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 7 بتكرار الرمز للرقم 1 سبع مرات. يجعل هذا النظام من الصعب كتابة الأرقام الكبيرة، ولهذا السبب تتضمن العديد من الأنظمة غير الموضعية رموزًا إضافية لتمثيل الأرقام الأكبر بشكل مباشر. ^[30] يتم استخدام أشكال مختلفة من أنظمة الأرقام الأحادية في عصي العد باستخدام الخدوش وفي علامات العد . ^[31]

كان للكتابات الهيروغليفية المصرية نظام أرقام غير موضعي أكثر تعقيدًا . لديهم رموز إضافية لأرقام مثل 10 و100 و1000 و10000. يمكن دمج هذه الرموز في مجموع للتعبير عن أرقام أكبر بشكل أكثر ملاءمة. على سبيل المثال، يستخدم الرقم 10405 مرة واحدة رمز 10000، وأربع مرات رمز 100، وخمس مرات رمز 1. إطار مماثل معروف هو نظام الأرقام الرومانية . يحتوي على الرموز I وV وX وL وC وD وM كأرقام أساسية لتمثيل الأرقام 1 و5 و10 و50 و100 و500 و1000. ^[33]

يكون النظام العددي موضعيًا إذا كان موضع رقم أساسي في تعبير مركب يحدد قيمته. تحتوي أنظمة الأرقام الموضعية على أساس يعمل كمضاعف للمواضع المختلفة. لكل موضع لاحق، يتم رفع الأساس إلى قوة أعلى. في النظام العشري الشائع، والذي يُسمى أيضًا نظام الأرقام الهندوسي العربي ، يكون الأساس 10. وهذا يعني أن الرقم الأول مضروب في ، والرقم التالي مضروب في ، وهكذا. على سبيل المثال، يرمز الرقم العشري 532 إلى . وبسبب تأثير مواضع الأرقام، يختلف الرقم 532 عن الرقمين 325 و253 على الرغم من أنهما لهما نفس الأرقام. ^[34]${\displaystyle 10^{0}}$${\displaystyle 10^{1}}$${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$

نظام رقمي موضعي آخر يستخدم على نطاق واسع في الحساب الحاسوبي هو النظام الثنائي ، والذي له أساس 2. وهذا يعني أن الرقم الأول مضروب في ، والرقم التالي في ، وهكذا. على سبيل المثال، يُكتب الرقم 13 على هيئة 1101 في النظام الثنائي، والذي يرمز إلى . في الحوسبة، يتوافق كل رقم في النظام الثنائي مع بت واحد . ^[35] تم تطوير أقدم نظام موضعي من قبل البابليين القدماء وكان له أساس 60. ^[36]${\displaystyle 2^{0}}$${\displaystyle 2^{1}}$${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$

العمليات الحسابية هي طرق لدمج أو تحويل أو معالجة الأرقام. وهي وظائف تحتوي على أرقام كمدخلات ومخرجات. [ ^37] أهم العمليات في الحساب هي الجمع والطرح والضرب والقسمة . ^[38] تشمل العمليات الأخرى الأسس واستخراج الجذور واللوغاريتم . ^[39] إذا تم إجراء هذه العمليات على المتغيرات بدلاً من الأرقام ، فيشار إليها أحيانًا باسم العمليات الجبرية . [ ^40]

هناك مفهومان مهمان فيما يتعلق بالعمليات الحسابية وهما عناصر الهوية وعناصر العكس . لا يسبب عنصر الهوية أو العنصر المحايد لعملية أي تغيير إذا تم تطبيقه على عنصر آخر. على سبيل المثال، عنصر الهوية في عملية الجمع هو 0 لأن أي مجموع لرقم و0 ينتج عنه نفس الرقم. عنصر العكس هو العنصر الذي ينتج عنه عنصر الهوية عند دمجه مع عنصر آخر. على سبيل المثال، معكوس الجمع للرقم 6 هو -6 لأن مجموعهما هو 0. ^[41]

لا توجد عناصر عكسية فحسب، بل توجد أيضًا عمليات عكسية . بمعنى غير رسمي، تكون إحدى العمليات معكوسة لعملية أخرى إذا ألغت العملية الأولى. على سبيل المثال، الطرح هو معكوس الجمع لأن الرقم يعود إلى قيمته الأصلية إذا تمت إضافة رقم ثانٍ أولاً ثم طرحه، كما في . وبتعريف أكثر رسمية، تكون العملية " " معكوسة للعملية " " إذا كانت تفي بالشرط التالي: إذا وفقط إذا . ^[42]${\displaystyle 13+4-4=13}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle t\star s=r}$${\displaystyle r\circ s=t}$

إن التبادلية والترابطية هما قانونان يحكمان الترتيب الذي يمكن به تنفيذ بعض العمليات الحسابية. تكون العملية تبادلية إذا كان من الممكن تغيير ترتيب الحجج دون التأثير على النتائج. هذه هي الحال بالنسبة للجمع، على سبيل المثال، حيث يكون هو نفسه . والترابطية هي قاعدة تؤثر على الترتيب الذي يمكن به تنفيذ سلسلة من العمليات. تكون العملية ارتباطية إذا لم يكن من المهم في سلسلة من عمليتين أي عملية يتم تنفيذها أولاً. هذه هي الحال بالنسبة للضرب، على سبيل المثال، حيث يكون هو نفسه . ^[43]${\displaystyle 7+9}$${\displaystyle 9+7}$${\displaystyle (5\مرات 4)\مرات 2}$${\displaystyle 5\times (4\times 2)}$

الجمع هو عملية حسابية يتم فيها دمج رقمين، يُطلق عليهما المضافان، في رقم واحد يُطلق عليه المجموع. رمز الجمع هو . ومن الأمثلة على ذلك و . ^[44] يُستخدم مصطلح الجمع إذا تم إجراء عدة عمليات جمع على التوالي. ^[45] العد هو نوع من الجمع المتكرر حيث يُضاف الرقم 1 باستمرار. ^[46]${\displaystyle +}$${\displaystyle 2+2=4}$${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$

الطرح هو عكس الجمع. فيه، يتم طرح رقم واحد، يُعرف باسم المطروح، من رقم آخر، يُعرف باسم المطروح. تسمى نتيجة هذه العملية الفرق. رمز الطرح هو . ^[47] ومن الأمثلة و . غالبًا ما يتم التعامل مع الطرح كحالة خاصة من الجمع: بدلاً من طرح رقم موجب، من الممكن أيضًا إضافة رقم سالب. على سبيل المثال . يساعد هذا في تبسيط العمليات الحسابية الرياضية عن طريق تقليل عدد العمليات الحسابية الأساسية اللازمة لإجراء العمليات الحسابية. ^[48]${\displaystyle -}$${\displaystyle 14-8=6}$${\displaystyle 45-1.7=43.3}$${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$

عنصر الهوية الجمعي هو 0 والمعكوس الجمعي للرقم هو سالب ذلك الرقم. على سبيل المثال، و . الجمع هو تبادلي وترابطي. ^[49]${\displaystyle 13+0=13}$${\displaystyle 13+(-13)=0}$

الضرب هو عملية حسابية يتم فيها دمج رقمين، يُطلق عليهما المضاعف والمضروب، في رقم واحد يُطلق عليه حاصل الضرب . ^{[50] [د]} رموز الضرب هي ، ، و *. ومن الأمثلة و . إذا كان المضروب عددًا طبيعيًا، فإن الضرب يكون مثل الجمع المتكرر، كما في . ^[52]${\displaystyle \times }$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle 2\times 3=6}$${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$

القسمة هي معكوس الضرب. فيها، يتم تقسيم رقم واحد، يُعرف باسم المقسوم، إلى عدة أجزاء متساوية بواسطة رقم آخر، يُعرف باسم المقسوم. تسمى نتيجة هذه العملية الحاصل . رموز القسمة هي و . ومن الأمثلة و . ^[53] غالبًا ما يتم التعامل مع القسمة كحالة خاصة من الضرب: بدلاً من القسمة على رقم، من الممكن أيضًا الضرب في مقلوبه . مقلوب الرقم هو 1 مقسومًا على هذا الرقم. على سبيل المثال، . ^[54]${\displaystyle \div }$${\displaystyle }$${\displaystyle 48\div 8=6}$${\displaystyle 29.4/1.4=21}$${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$

العنصر المتطابق المضاعف هو 1 والمعكوس المضاعف لرقم هو مقلوب ذلك الرقم. على سبيل المثال، و . الضرب تبادلي وترابطي. ^[55]${\displaystyle 13\times 1=13}$${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$

الرفع إلى الأس هو عملية حسابية يتم فيها رفع عدد، يُعرف بالأساس، إلى قوة عدد آخر، يُعرف بالأس. وتسمى نتيجة هذه العملية الأس. يتم التعبير عن الرفع إلى الأس أحيانًا باستخدام الرمز ^ ولكن الطريقة الأكثر شيوعًا هي كتابة الأس في الأعلى مباشرة بعد الأساس. ومن الأمثلة على ذلك و ^ . إذا كان الأس عددًا طبيعيًا، فإن الرفع إلى الأس هو نفس الضرب المتكرر، كما في . ^{[56] [e]}${\displaystyle 2^{4}=16}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3=27}$${\displaystyle 2^{4}=2\مرات 2\مرات 2\مرات 2}$

الجذور هي نوع خاص من الأسس باستخدام أس كسري. على سبيل المثال، الجذر التربيعي لعدد ما هو نفس رفع العدد إلى القوة ، والجذر التكعيبي لعدد ما هو نفس رفع العدد إلى القوة . ومن الأمثلة على ذلك و . ^[58]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$

اللوغاريتم هو معكوس الرفع إلى الأس. لوغاريتم أي عدد إلى الأساس هو الأس الذي يجب رفعه لإنتاج . على سبيل المثال، بما أن ، فإن اللوغاريتم إلى الأساس 10 لـ 1000 هو 3. يُشار إلى اللوغاريتم إلى الأساس بـ ، أو بدون أقواس، ، أو حتى بدون الأساس الصريح، ، عندما يمكن فهم الأساس من السياق. لذا، يمكن كتابة المثال السابق . ^[59]${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1000=10^{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \log _{b}(x)}$${\displaystyle \log _{b}x}$${\displaystyle \log x}$${\displaystyle \log _{10}1000=3}$

لا تحتوي الأس واللوغاريتم على عناصر تطابق عامة وعناصر عكسية مثل الجمع والضرب. العنصر المحايد للأس فيما يتعلق بالأس هو 1، كما في . ومع ذلك، لا تحتوي الأس على عنصر تطابق عام لأن 1 ليس العنصر المحايد للقاعدة. ^[60] لا يعتبر الأس واللوغاريتم تبادليين ولا ترابطيين. ^[61]${\displaystyle 14^{1}=14}$

تتم مناقشة أنواع مختلفة من الأنظمة الحسابية في الأدبيات الأكاديمية. وهي تختلف عن بعضها البعض بناءً على نوع الرقم الذي تعمل عليه، والنظام العددي الذي تستخدمه لتمثيلها، وما إذا كانت تعمل على كائنات رياضية أخرى غير الأرقام. ^[62]

الحساب الصحيح هو أحد فروع الحساب الذي يتعامل مع معالجة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. ^[63] يمكن إجراء عمليات بسيطة مكونة من رقم واحد باتباع أو حفظ جدول يعرض نتائج جميع التركيبات الممكنة، مثل جدول الجمع أو جدول الضرب . ومن الطرق الشائعة الأخرى العد اللفظي والعد بالأصابع . ^[64]

جدول الجمع

+	0	1	2	3	4	...
0	0	1	2	3	4	...
1	1	2	3	4	5	...
2	2	3	4	5	6	...
3	3	4	5	6	7	...
4	4	5	6	7	8	...
...	...	...	...	...	...	...

جدول الضرب

×	0	1	2	3	4	...
0	0	0	0	0	0	...
1	0	1	2	3	4	...
2	0	2	4	6	8	...
3	0	3	6	9	12	...
4	0	4	8	12	16	...
...	...	...	...	...	...	...

بالنسبة للعمليات على الأرقام التي تحتوي على أكثر من رقم واحد، يمكن استخدام تقنيات مختلفة لحساب النتيجة باستخدام عدة عمليات مكونة من رقم واحد على التوالي. على سبيل المثال، في طريقة الجمع مع carrys ، يتم كتابة الرقمين أحدهما فوق الآخر. بدءًا من الرقم الموجود في أقصى اليمين، يتم جمع كل زوج من الأرقام معًا. يتم كتابة الرقم الموجود في أقصى اليمين من المجموع أسفلهما. إذا كان المجموع عددًا مكونًا من رقمين، يتم إضافة الرقم الموجود في أقصى اليسار، والذي يسمى "carry"، إلى الزوج التالي من الأرقام إلى اليسار. تتكرر هذه العملية حتى تتم إضافة جميع الأرقام. ^[65] الطرق الأخرى المستخدمة لعمليات جمع الأعداد الصحيحة هي طريقة خط الأعداد وطريقة المجموع الجزئي وطريقة التعويض. ^[66] يتم استخدام تقنية مماثلة للطرح: تبدأ أيضًا بالرقم الموجود في أقصى اليمين وتستخدم "استعارة" أو حملًا سلبيًا للعمود الموجود على اليسار إذا كانت نتيجة طرح رقم واحد سلبية. ^[67]

تستخدم إحدى التقنيات الأساسية لضرب الأعداد الصحيحة الجمع المتكرر. على سبيل المثال، يمكن حساب حاصل الضرب على النحو التالي . ^[68] تُسمى إحدى التقنيات الشائعة لضرب الأعداد الأكبر الضرب الطويل . تبدأ هذه الطريقة بكتابة المضاعف فوق المضروب. يبدأ الحساب بضرب المضاعف فقط في أقصى يمين المضروب وكتابة النتيجة أدناه، بدءًا من العمود الأيمن. يتم نفس الشيء لكل رقم من المضروب ويتم تحويل النتيجة في كل حالة موضعًا واحدًا إلى اليسار. كخطوة أخيرة، تتم إضافة جميع المنتجات الفردية للوصول إلى حاصل الضرب الإجمالي للرقمين متعددي الأرقام. ^[69] التقنيات الأخرى المستخدمة في الضرب هي طريقة الشبكة وطريقة الشبكة . ^[70] يهتم علم الكمبيوتر بخوارزميات الضرب ذات التعقيد الحسابي المنخفض لتكون قادرة على ضرب الأعداد الصحيحة الكبيرة بكفاءة، مثل خوارزمية كاراتسوبا وخوارزمية شونهاج شتراسن وخوارزمية توم كوك . ^[71] تُعرف إحدى التقنيات الشائعة المستخدمة في القسمة باسم القسمة الطويلة . وتشمل الطرق الأخرى القسمة القصيرة والتقسيم . ^[72]${\displaystyle 3\times 4}$${\displaystyle 3+3+3+3}$

لا تنغلق عملية الحساب الصحيح تحت القسمة. وهذا يعني أنه عند قسمة عدد صحيح على عدد صحيح آخر، فإن النتيجة ليست دائمًا عددًا صحيحًا. على سبيل المثال، 7 مقسومًا على 2 ليس عددًا صحيحًا بل 3.5. ^[73] إحدى الطرق للتأكد من أن النتيجة عدد صحيح هي تقريب النتيجة إلى عدد صحيح. ومع ذلك، تؤدي هذه الطريقة إلى عدم الدقة حيث يتم تغيير القيمة الأصلية. ^[74] هناك طريقة أخرى وهي إجراء القسمة جزئيًا فقط والاحتفاظ بالباقي . على سبيل المثال، 7 مقسومًا على 2 يساوي 3 مع باقي 1. يتم تجنب هذه الصعوبات من خلال حساب الأعداد النسبية، والذي يسمح بالتمثيل الدقيق للكسور. ^[75]

طريقة بسيطة لحساب الأسس هي الضرب المتكرر. على سبيل المثال، يمكن حساب أسّ . ^[76] هناك تقنية أكثر كفاءة تستخدم للأسس الكبيرة وهي الأسس بالتربيع . إنها تقسم الحساب إلى عدد من عمليات التربيع. على سبيل المثال، يمكن كتابة الأسس على النحو التالي . من خلال الاستفادة من عمليات التربيع المتكررة، هناك حاجة إلى 7 عمليات فردية فقط بدلاً من 64 عملية مطلوبة للضرب المتكرر المنتظم. ^[77] تشمل طرق حساب اللوغاريتمات متسلسلة تايلور والكسور المستمرة . ^[78] لا يتم إغلاق الحساب الصحيح تحت اللوغاريتم وتحت الأسس مع الأسس السالبة، مما يعني أن نتيجة هذه العمليات ليست دائمًا عددًا صحيحًا. ^[79]${\displaystyle 3^{4}}$${\displaystyle 3\مرات 3\مرات 3\مرات 3}$${\displaystyle 3^{65}}$${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$

تدرس نظرية الأعداد بنية وخصائص الأعداد الصحيحة وكذلك العلاقات والقوانين بينها. ^[80] تشمل بعض الفروع الرئيسية لنظرية الأعداد الحديثة نظرية الأعداد الأولية ونظرية الأعداد التحليلية ونظرية الأعداد الجبرية ونظرية الأعداد الهندسية . ^[81] تدرس نظرية الأعداد الأولية جوانب الأعداد الصحيحة التي يمكن التحقيق فيها باستخدام الطرق الأولية. تشمل موضوعاتها قابلية القسمة والتحليل إلى عوامل وأولية . ^[82] تعتمد نظرية الأعداد التحليلية، على النقيض من ذلك، على تقنيات من التحليل وحساب التفاضل والتكامل. تدرس مشاكل مثل كيفية توزيع الأعداد الأولية والادعاء بأن كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين . ^[83] تستخدم نظرية الأعداد الجبرية الهياكل الجبرية لتحليل خصائص الأعداد والعلاقات بينها. ومن الأمثلة استخدام الحقول والحلقات ، كما هو الحال في حقول الأعداد الجبرية مثل حلقة الأعداد الصحيحة . تستخدم نظرية الأعداد الهندسية مفاهيم من الهندسة لدراسة الأعداد. على سبيل المثال، يبحث في كيفية تصرف نقاط الشبكة ذات الإحداثيات الصحيحة في المستوى. ^[84] الفروع الأخرى لنظرية الأعداد هي نظرية الأعداد الاحتمالية ، والتي تستخدم أساليب من نظرية الاحتمالات ، ^[85] ونظرية الأعداد التوافقية ، والتي تعتمد على مجال التركيبات ، ^[86] ونظرية الأعداد الحسابية ، والتي تقترب من مشاكل نظرية الأعداد بالطرق الحسابية، ^[87] ونظرية الأعداد التطبيقية، والتي تدرس تطبيق نظرية الأعداد في مجالات مثل الفيزياء ، والأحياء ، والتشفير . ^[88]

تشمل النظريات المؤثرة في نظرية الأعداد النظرية الأساسية للحساب ، ونظرية إقليدس ، ونظرية فيرما الأخيرة . ^[89] وفقًا للنظرية الأساسية للحساب، فإن كل عدد صحيح أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو يمكن تمثيله كحاصل ضرب فريد للأعداد الأولية. على سبيل المثال، الرقم 18 ليس عددًا أوليًا ويمكن تمثيله على أنه ، وكلها أعداد أولية. على النقيض من ذلك، فإن الرقم 19 هو عدد أولي ليس له أي تحليل أولي آخر. ^[90] تنص نظرية إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. ^[91] نظرية فيرما الأخيرة هي العبارة التي تنص على أنه لا يمكن إيجاد قيم صحيحة موجبة لـ ، ، و ، لحل المعادلة إذا كان أكبر من . ^[92]${\displaystyle 2\times 3\times 3}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$

حساب الأعداد النسبية هو أحد فروع الحساب الذي يتعامل مع معالجة الأعداد التي يمكن التعبير عنها كنسبة بين عددين صحيحين. ^[93] يمكن حساب معظم العمليات الحسابية على الأعداد النسبية من خلال إجراء سلسلة من العمليات الحسابية الصحيحة على البسط والمقامات للأعداد المعنية. إذا كان لعددين نسبيين نفس المقام، فيمكن جمعهما عن طريق إضافة البسطين مع الاحتفاظ بالمقام المشترك. على سبيل المثال، . يتم استخدام إجراء مماثل للطرح. إذا لم يكن للعددين نفس المقام، فيجب تحويلهما لإيجاد مقام مشترك. يمكن تحقيق ذلك عن طريق قياس الرقم الأول بمقام الرقم الثاني مع قياس الرقم الثاني بمقام الرقم الأول. على سبيل المثال، . ^[94]${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$

يتم ضرب عددين نسبيين عن طريق ضرب بسطيهما ومقاميهما على التوالي، كما في . ويمكن تحقيق قسمة عدد نسبي على آخر عن طريق ضرب العدد الأول بمقلوب العدد الثاني. وهذا يعني أن بسط ومقام العدد الثاني يتغيران في الموضع. على سبيل المثال، . ^[95] وعلى عكس حساب الأعداد الصحيحة، فإن حساب الأعداد النسبية مغلق تحت القسمة طالما أن المقسوم عليه ليس 0. ^[96]${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$

لا يتم إغلاق كل من الحساب الصحيح والحساب النسبي للأعداد الأُسيّة واللوغاريتمية. ^[97] إحدى الطرق لحساب الأس باستخدام الأس الكسري هي إجراء حسابين منفصلين: الأس الأول باستخدام بسط الأس متبوعًا برسم الجذر النوني للنتيجة بناءً على مقام الأس. على سبيل المثال، . يمكن إكمال العملية الأولى باستخدام طرق مثل الضرب المتكرر أو الرفع إلى الأس بالتربيع. إحدى الطرق للحصول على نتيجة تقريبية للعملية الثانية هي استخدام طريقة نيوتن ، والتي تستخدم سلسلة من الخطوات لتحسين التخمين الأولي تدريجيًا حتى يصل إلى مستوى الدقة المطلوب. ^[98] يمكن استخدام متسلسلة تايلور أو طريقة الكسر المستمر لحساب اللوغاريتمات. ^[99]${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$

تدوين الكسور العشرية هو طريقة خاصة لتمثيل الأعداد النسبية التي يكون مقامها قوة من 10. على سبيل المثال، تُكتب الأعداد النسبية و و و على هيئة 0.1 و3.71 و0.0044 في تدوين الكسور العشرية. ^[100] يمكن تطبيق إصدارات معدلة من طرق حساب الأعداد الصحيحة مثل الجمع مع الحمل والضرب الطويل على العمليات الحسابية بالكسور العشرية. ^[101] لا تحتوي جميع الأعداد النسبية على تمثيل محدود في التدوين العشري. على سبيل المثال، يتوافق العدد النسبي مع 0.333... مع عدد لا نهائي من 3. التدوين المختصر لهذا النوع من الأعداد العشرية المتكررة هو 0. 3. ^[102] يعبر كل عدد عشري متكرر عن عدد نسبي. [ ^103]${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

حساب الأعداد الحقيقية هو فرع من الحساب يتعامل مع التلاعب بالأعداد النسبية وغير النسبية. الأعداد غير النسبية هي أرقام لا يمكن التعبير عنها من خلال الكسور أو الأعداد العشرية المتكررة، مثل جذر 2 و π . ^[104] على عكس حساب الأعداد النسبية، فإن حساب الأعداد الحقيقية مغلق تحت الأس طالما أنه يستخدم عددًا موجبًا كأساس له. وينطبق الشيء نفسه على لوغاريتم الأعداد الحقيقية الموجبة طالما أن قاعدة اللوغاريتم موجبة وليست 1. ^[105]

تتضمن الأعداد غير النسبية سلسلة غير متكررة لا نهائية من الأرقام العشرية. وبسبب هذا، غالبًا ما لا توجد طريقة بسيطة ودقيقة للتعبير عن نتائج العمليات الحسابية مثل أو . ^[106] في الحالات التي لا تكون فيها الدقة المطلقة مطلوبة، تتم معالجة مشكلة حساب العمليات الحسابية على الأعداد الحقيقية عادةً عن طريق التقريب أو الاقتطاع . بالنسبة للتقريب، يتم الاحتفاظ بعدد معين من الأرقام الموجودة في أقصى اليسار ويتم تجاهل الأرقام المتبقية أو استبدالها بأصفار. على سبيل المثال، يحتوي الرقم π على عدد لا نهائي من الأرقام تبدأ من 3.14159.... إذا تم اقتطاع هذا الرقم إلى 4 منازل عشرية، تكون النتيجة 3.141. التقريب هو عملية مماثلة يتم فيها زيادة الرقم المحفوظ الأخير بمقدار واحد إذا كان الرقم التالي 5 أو أكبر ولكنه يظل كما هو إذا كان الرقم التالي أقل من 5، بحيث يكون الرقم المقرب هو أفضل تقريب لدقة معينة للرقم الأصلي. على سبيل المثال، إذا تم تقريب الرقم π إلى 4 منازل عشرية، فإن النتيجة هي 3.142 لأن الرقم التالي هو 5، وبالتالي فإن 3.142 أقرب إلى π من 3.141. ^[107] تسمح هذه الطرق لأجهزة الكمبيوتر بإجراء حسابات تقريبية بكفاءة على الأعداد الحقيقية. ^[108]${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$

في العلوم والهندسة، تمثل الأرقام تقديرات للكميات الفيزيائية المستمدة من القياس أو النمذجة. على عكس الأرقام الدقيقة رياضيًا مثل π أو ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ، فإن البيانات الرقمية ذات الصلة علميًا غير دقيقة بطبيعتها، وتتضمن بعض عدم اليقين في القياس . ^[109] إحدى الطرق الأساسية للتعبير عن درجة اليقين بشأن قيمة كل رقم وتجنب الدقة الزائفة هي تقريب كل قياس إلى عدد معين من الأرقام، تسمى الأرقام المهمة ، والتي يُفترض أنها دقيقة. على سبيل المثال، قد يكون ارتفاع الشخص المقاس بشريط قياس معروفًا بدقة لأقرب سنتيمتر فقط، لذلك يجب تقديمه على أنه 1.62 مترًا بدلاً من 1.6217 مترًا. إذا تم تحويله إلى وحدات إمبراطورية، فيجب تقريب هذه الكمية إلى 64 بوصة أو 63.8 بوصة بدلاً من 63.7795 بوصة، لنقل دقة القياس بوضوح. عندما يُكتب رقم باستخدام تدوين عشري عادي، فإن الأصفار الأولية ليست ذات دلالة، والأصفار اللاحقة للأرقام غير المكتوبة بفاصلة عشرية تعتبر ضمنيًا غير ذات دلالة. ^[110] على سبيل المثال، يحتوي كل من الرقمين 0.056 و1200 على رقمين مهمين فقط، لكن الرقم 40.00 يحتوي على 4 أرقام مهمة. إن تمثيل عدم اليقين باستخدام أرقام مهمة فقط هو طريقة بدائية نسبيًا، مع بعض التفاصيل الدقيقة غير البديهية؛ إن تتبع تقدير أو حد أعلى لخطأ التقريب بشكل صريح هو نهج أكثر تطورًا. ^[111] في المثال، قد يتم تمثيل ارتفاع الشخص على أنه 1.62 ± 0.005 متر أو 63.8 ± 0.2 بوصة . ^[112]

عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام كميات غير مؤكدة، يجب أن ينتشر عدم اليقين إلى الكميات المحسوبة. عند إضافة أو طرح كميتين أو أكثر، أضف عدم اليقين المطلق لكل مجموع معًا للحصول على عدم اليقين المطلق للمجموع. عند ضرب أو قسمة كميتين أو أكثر، أضف عدم اليقين النسبي لكل عامل معًا للحصول على عدم اليقين النسبي للحاصل. ^[113] عند تمثيل عدم اليقين بأرقام مهمة، يمكن نشر عدم اليقين بشكل تقريبي عن طريق تقريب نتيجة إضافة أو طرح كميتين أو أكثر إلى آخر مكان عشري مهم على اليسار بين المجموع، وعن طريق تقريب نتيجة ضرب أو قسمة كميتين أو أكثر إلى أقل عدد من الأرقام المهمة بين العوامل. ^[114] (انظر الأرقام المهمة § الحساب .)

تتضمن الطرق الأكثر تطورًا للتعامل مع القيم غير المؤكدة الحساب الفاصل والحساب التآلفي . يصف الحساب الفاصل العمليات على الفواصل . يمكن استخدام الفواصل لتمثيل مجموعة من القيم إذا لم يكن المرء يعرف المقدار الدقيق، على سبيل المثال، بسبب أخطاء القياس . يشمل الحساب الفاصل عمليات مثل الجمع والضرب على الفواصل، كما في و . ^[115] وهو وثيق الصلة بالحساب التآلفي، والذي يهدف إلى إعطاء نتائج أكثر دقة من خلال إجراء العمليات الحسابية على الأشكال التآلفية بدلاً من الفواصل. الشكل التآلفي هو رقم مع مصطلحات الخطأ التي تصف كيف يمكن للرقم أن ينحرف عن المقدار الفعلي. ^[116]${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$

يمكن التعبير عن دقة الكميات العددية بشكل موحد باستخدام التدوين العلمي الموحد ، وهو مناسب أيضًا لتمثيل الأرقام الأكبر أو الأصغر من 1 بشكل موجز. باستخدام التدوين العلمي، يتم تحليل الرقم إلى حاصل ضرب رقم بين 1 و10، ويسمى الدال ، و10 مرفوعًا إلى قوة عددية صحيحة، ويسمى الأس . يتكون الدال من الأرقام المهمة للرقم، ويكتب كرقم رئيسي من 1 إلى 9 متبوعًا بنقطة عشرية وتسلسل من الأرقام من 0 إلى 9. على سبيل المثال، يكون التدوين العلمي الموحد للرقم 8276000 بالدالة 8.276 والأس 6، ويكون التدوين العلمي الموحد للرقم 0.00735 بالدالة 7.35 والأس −3. ^[117] على عكس التدوين العشري العادي، حيث تعتبر الأصفار اللاحقة للأعداد الكبيرة ضمناً غير مهمة، في التدوين العلمي، يعتبر كل رقم في العدد ذي الدلالة مهمًا، وإضافة الأصفار اللاحقة يشير إلى دقة أعلى. على سبيل المثال، بينما يحتوي الرقم 1200 ضمناً على رقمين مهمين فقط، فإن الرقم ⁠ ⁠ يحتوي صراحةً على 3 أرقام. ^[118]${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$

الطريقة الشائعة التي تستخدمها أجهزة الكمبيوتر لتقريب حساب الأعداد الحقيقية تسمى حساب النقطة العائمة . إنها تمثل الأعداد الحقيقية على غرار التدوين العلمي من خلال ثلاثة أرقام: الدال والأساس والأس. ^[119] دقة الدال محدودة بعدد البتات المخصصة لتمثيلها. إذا أسفرت عملية حسابية عن رقم يتطلب عددًا من البتات أكثر مما هو متاح، يقوم الكمبيوتر بتقريب النتيجة إلى أقرب رقم يمكن تمثيله. يؤدي هذا إلى أخطاء التقريب . ^[120] إحدى نتائج هذا السلوك هي انتهاك قوانين معينة للحساب بواسطة حساب النقطة العائمة. على سبيل المثال، لا تكون إضافة النقطة العائمة ارتباطية لأن أخطاء التقريب المقدمة يمكن أن تعتمد على ترتيب الإضافات. هذا يعني أن نتيجة تختلف أحيانًا عن نتيجة . ^[121] المعيار الفني الأكثر شيوعًا المستخدم في حساب النقطة العائمة يسمى IEEE 754 . من بين أمور أخرى، يحدد كيفية تمثيل الأرقام، وكيفية إجراء العمليات الحسابية والتقريب، وكيفية التعامل مع الأخطاء والاستثناءات. ^[122] في الحالات التي لا تكون فيها سرعة الحساب عاملاً مقيدًا، من الممكن استخدام الحساب الدقيق التعسفي ، حيث تكون دقة الحسابات مقيدة فقط بذاكرة الكمبيوتر. ^[123]${\displaystyle (a+b)+c}$${\displaystyle a+(b+c)}$

يمكن أيضًا تمييز أشكال الحساب من خلال الأدوات المستخدمة لإجراء العمليات الحسابية وتشمل العديد من الأساليب إلى جانب الاستخدام المنتظم للقلم والورق. يعتمد الحساب الذهني حصريًا على العقل دون أدوات خارجية. بدلاً من ذلك، فإنه يستخدم التصور والحفظ وتقنيات حسابية معينة لحل المشكلات الحسابية. ^[124] إحدى هذه التقنيات هي طريقة التعويض، والتي تتكون من تغيير الأرقام لتسهيل الحساب ثم تعديل النتيجة بعد ذلك. على سبيل المثال، بدلاً من الحساب ، يحسب المرء أيهما أسهل لأنه يستخدم رقمًا تقريبيًا. في الخطوة التالية، يضيف المرء إلى النتيجة للتعويض عن التعديل السابق. ^[125] غالبًا ما يتم تدريس الحساب الذهني في التعليم الابتدائي لتدريب القدرات العددية للطلاب. ^[126]${\displaystyle 85-47}$${\displaystyle 85-50}$${\displaystyle 3}$

يمكن أيضًا استخدام جسم الإنسان كأداة حسابية. غالبًا ما يتم تقديم استخدام اليدين في عد الأصابع للأطفال الصغار لتعليمهم الأرقام والحسابات البسيطة. في أبسط أشكاله، يتوافق عدد الأصابع الممتدة مع الكمية الممثلة ويتم إجراء العمليات الحسابية مثل الجمع والطرح عن طريق تمديد الأصابع أو سحبها. يقتصر هذا النظام على الأعداد الصغيرة بينما تستخدم الأنظمة الأكثر تقدمًا طرقًا مختلفة لتمثيل الكميات الأكبر أيضًا. ^[127] يتم استخدام الصوت البشري كمساعد حسابي في العد اللفظي. ^[128]

علامات العد هي نظام بسيط يعتمد على أدوات خارجية غير الجسم. ويعتمد على ضربات مرسومة على سطح أو شقوق في عصا خشبية لتتبع الكميات. وترتب بعض أشكال علامات العد الضربات في مجموعات من خمسة لجعلها أسهل للقراءة. ^[129] والمعداد هو أداة أكثر تقدمًا لتمثيل الأرقام وإجراء العمليات الحسابية. ويتكون المعداد عادةً من سلسلة من القضبان، كل منها يحمل عدة خرزات . وتمثل كل حبة كمية، يتم عدها إذا تم نقل الخرزة من أحد طرفي القضيب إلى الطرف الآخر. تحدث الحسابات عن طريق التلاعب بمواضع الخرز حتى يكشف نمط الخرزة النهائي عن النتيجة. ^[130] وتشمل المساعدات ذات الصلة ألواح العد ، والتي تستخدم الرموز التي تعتمد قيمتها على المنطقة الموجودة على اللوحة التي توضع فيها، ^[131] وقضبان العد ، والتي يتم ترتيبها في أنماط أفقية ورأسية لتمثيل أرقام مختلفة. ^{[132] [f]} القطاعات والمساطر الحاسبة هي أدوات حسابية أكثر دقة تعتمد على العلاقات الهندسية بين المقاييس المختلفة لأداء العمليات الحسابية الأساسية والمتقدمة. ^{[134] [g]} كانت الجداول المطبوعة ذات أهمية خاصة كمساعدة للبحث عن نتائج العمليات مثل اللوغاريتم والدوال المثلثية . ^[136]

تقوم الآلات الحاسبة الميكانيكية بأتمتة عمليات الحساب اليدوية. فهي تقدم للمستخدم شكلًا من أشكال أجهزة الإدخال لإدخال الأرقام عن طريق تدوير الأقراص أو الضغط على المفاتيح. وهي تتضمن آلية داخلية تتكون عادةً من تروس ورافعات وعجلات لإجراء العمليات الحسابية وعرض النتائج. ^[137] بالنسبة للآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الكمبيوتر ، يتم تحسين هذا الإجراء بشكل أكبر عن طريق استبدال المكونات الميكانيكية بدوائر إلكترونية مثل المعالجات الدقيقة التي تجمع الإشارات الكهربائية وتحولها لإجراء العمليات الحسابية. ^[138]

هناك العديد من الأنواع الأخرى من الحساب. الحساب المعياري يعمل على مجموعة محدودة من الأرقام. إذا كانت العملية ستؤدي إلى رقم خارج هذه المجموعة المحدودة، يتم تعديل الرقم مرة أخرى إلى المجموعة، على غرار كيفية بدء عقارب الساعة من البداية مرة أخرى بعد إكمال دورة واحدة. الرقم الذي يحدث عنده هذا التعديل يسمى معامل. على سبيل المثال، الساعة العادية لها معامل 12. في حالة إضافة 4 إلى 9، فهذا يعني أن النتيجة ليست 13 بل 1. ينطبق نفس المبدأ أيضًا على العمليات الأخرى، مثل الطرح والضرب والقسمة. ^[139]

تتعامل بعض أشكال الحساب مع العمليات التي يتم إجراؤها على كائنات رياضية غير الأرقام. يصف حساب الفواصل العمليات على الفواصل. ^[140] يصف حساب المتجهات وحساب المصفوفات العمليات الحسابية على المتجهات والمصفوفات ، مثل جمع المتجهات وضرب المصفوفات . ^[141]

يمكن تصنيف الأنظمة الحسابية بناءً على النظام العددي الذي تعتمد عليه. على سبيل المثال، يصف الحساب العشري العمليات الحسابية في النظام العشري. ومن الأمثلة الأخرى الحساب الثنائي والحساب الثماني والحساب السداسي عشر . ^[142]

يصف حساب الوحدات المركبة العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها على الأحجام ذات الوحدات المركبة. وهو يتضمن عمليات إضافية للتحكم في التحويل بين الكميات الوحدوية المفردة والكميات الوحدوية المركبة. على سبيل المثال، تُستخدم عملية الاختزال لتحويل الكمية المركبة 1 ساعة و90 دقيقة إلى الكمية الوحدوية المفردة 150 دقيقة. ^[143]

الحسابات غير الديوفانتية هي أنظمة حسابية تنتهك البديهيات الحسابية التقليدية وتتضمن معادلات مثل و . ^[144] ويمكن استخدامها لتمثيل بعض المواقف الواقعية في الفيزياء الحديثة والحياة اليومية. على سبيل المثال، يمكن استخدام المعادلة لوصف الملاحظة التي مفادها أنه إذا تمت إضافة قطرة مطر واحدة إلى قطرة مطر أخرى، فإنهما لا يظلان كيانين منفصلين بل يصبحان كيانًا واحدًا. ^[145]${\displaystyle 1+1=1}$${\displaystyle 2+2=5}$${\displaystyle 1+1=1}$

تحاول الأسس البديهية للحساب توفير مجموعة صغيرة من القوانين، تسمى البديهيات ، والتي يمكن من خلالها استنباط جميع الخصائص الأساسية والعمليات على الأرقام. وهي تشكل أطرًا منطقية متسقة ومنهجية يمكن استخدامها لصياغة البراهين الرياضية بطريقة صارمة. هناك طريقتان معروفتان هما بديهيات ديديكيند-بيانو والإنشاءات النظرية للمجموعات . ^[146]

توفر بديهيات ديديكيند-بيانو شرحًا بديهيًا لحسابات الأعداد الطبيعية. وقد صاغ ريتشارد ديديكيند مبادئها الأساسية لأول مرة ثم صقلها جوزيبي بيانو . وتعتمد هذه المبادئ على عدد صغير فقط من المفاهيم الرياضية البدائية، مثل 0 والأعداد الطبيعية والتابع . [ ^ح] تحدد بديهيات بيانو كيفية ارتباط هذه المفاهيم ببعضها البعض. ومن ثم يمكن تعريف جميع المفاهيم الحسابية الأخرى من حيث هذه المفاهيم البدائية. ^[147]

1. 0 هو عدد طبيعي.
2. لكل عدد طبيعي يوجد خليفة، وهو أيضًا عدد طبيعي.
3. إن خلفاء عددين طبيعيين مختلفين لا يتطابقان أبدًا.
4. 0 ليس خليفة لعدد طبيعي.
5. إذا كانت المجموعة تحتوي على 0 وكل خليفة فإنها تحتوي على كل عدد طبيعي. ^{[148] [i]}

يتم التعبير عن الأرقام الأكبر من 0 من خلال تكرار تطبيق الدالة اللاحقة . على سبيل المثال، is و is . يمكن تعريف العمليات الحسابية على أنها آليات تؤثر على كيفية تطبيق الدالة اللاحقة. على سبيل المثال، إضافة أي رقم هو نفس تطبيق الدالة اللاحقة مرتين على هذا الرقم. ^[150]${\displaystyle s}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle s(0)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle s(s(s(0)))}$${\displaystyle 2}$

تعتمد البديهيات المختلفة للحساب على نظرية المجموعات. وهي تغطي الأعداد الطبيعية ولكن يمكن أيضًا توسيعها لتشمل الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية. يتم تمثيل كل عدد طبيعي بمجموعة فريدة. عادةً ما يتم تعريف 0 على أنه المجموعة الفارغة . يمكن تعريف كل رقم لاحق على أنه اتحاد الرقم السابق مع المجموعة التي تحتوي على الرقم السابق. على سبيل المثال، ، ، و . ^[151] يمكن تعريف الأعداد الصحيحة على أنها أزواج مرتبة من الأعداد الطبيعية حيث يتم طرح الرقم الثاني من الرقم الأول. على سبيل المثال، يمثل الزوج (9، 0) الرقم 9 بينما يمثل الزوج (0، 9) الرقم -9. ^[152] يتم تعريف الأعداد النسبية على أنها أزواج من الأعداد الصحيحة حيث يمثل الرقم الأول البسط ويمثل الرقم الثاني المقام. على سبيل المثال، يمثل الزوج (3، 7) الرقم النسبي . ^[153] تعتمد إحدى طرق إنشاء الأعداد الحقيقية على مفهوم قطع ديديكيند . وفقًا لهذا النهج، يتم تمثيل كل عدد حقيقي بتقسيم جميع الأعداد النسبية إلى مجموعتين، واحدة لجميع الأعداد التي تقع أسفل العدد الحقيقي الممثل والأخرى لبقية الأعداد. ^[154] تُعرَّف العمليات الحسابية على أنها وظائف تقوم بإجراء تحويلات نظرية مختلفة للمجموعة على المجموعات التي تمثل أرقام الإدخال للوصول إلى المجموعة التي تمثل النتيجة. ^[155]${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{0\}}$${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0,1\}}$${\displaystyle 3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

يرجع أصل أقدم أشكال الحساب أحيانًا إلى علامات العد والعد المستخدمة لتتبع الكميات. يقترح بعض المؤرخين أن عظمة ليبومبو (التي يرجع تاريخها إلى حوالي 43000 عام) وعظمة إيشانجو (التي يرجع تاريخها إلى حوالي 22000 إلى 30000 عام) هما أقدم القطع الأثرية الحسابية ولكن هذا التفسير محل نزاع. ^[156] ومع ذلك، فإن الإحساس الأساسي بالأرقام قد يكون سابقًا لهذه النتائج وربما كان موجودًا قبل تطور اللغة. ^[157]

لم يبدأ النهج الأكثر تعقيدًا وهيكلة في الحساب في التطور إلا مع ظهور الحضارات القديمة ، بدءًا من حوالي 3000 قبل الميلاد. أصبح هذا ضروريًا بسبب الحاجة المتزايدة لتتبع العناصر المخزنة وإدارة ملكية الأراضي وترتيب التبادلات. ^[158] طورت جميع الحضارات القديمة الكبرى أنظمة أرقام غير موضعية لتسهيل تمثيل الأرقام. كان لديهم أيضًا رموز للعمليات مثل الجمع والطرح وكانوا على دراية بالكسور. ومن الأمثلة على ذلك الهيروغليفية المصرية بالإضافة إلى أنظمة الأرقام التي اخترعت في سومر والصين والهند . [ ^159] تم تطوير أول نظام أرقام موضعي من قبل البابليين بدءًا من حوالي 1800 قبل الميلاد. كان هذا تحسنًا كبيرًا على أنظمة الأرقام السابقة لأنه جعل تمثيل الأرقام الكبيرة والحسابات عليها أكثر كفاءة. [160] تم استخدام المعداد كأدوات حسابية ^تعمل يدويًا منذ العصور القديمة كوسيلة فعالة لإجراء حسابات معقدة. ^[161]

استخدمت الحضارات المبكرة الأرقام في المقام الأول لأغراض عملية ملموسة، مثل الأنشطة التجارية وسجلات الضرائب، لكنها افتقرت إلى مفهوم تجريدي للعدد نفسه. ^[162] تغير هذا مع علماء الرياضيات اليونانيين القدماء ، الذين بدأوا في استكشاف الطبيعة المجردة للأرقام بدلاً من دراسة كيفية تطبيقها على مشاكل محددة. ^[163] كانت ميزة جديدة أخرى هي استخدامهم للأدلة لإثبات الحقائق الرياضية والتحقق من صحة النظريات. ^[164] كان هناك مساهمة أخرى وهي تمييزهم لفئات مختلفة من الأرقام، مثل الأرقام الزوجية والأعداد الفردية والأعداد الأولية . ^[165] وشمل ذلك اكتشاف أن الأرقام لأطوال هندسية معينة غير نسبية وبالتالي لا يمكن التعبير عنها على أنها كسر. ^{[166] غالبًا} ما يُنظر إلى أعمال طاليس الميليتي وفيثاغورس في القرنين السابع والسادس قبل الميلاد على أنها بداية الرياضيات اليونانية. ^{[167] كان} ديوفانتوس شخصية مؤثرة في الحساب اليوناني في القرن الثالث قبل الميلاد بسبب مساهماته العديدة في نظرية الأعداد واستكشافه لتطبيق العمليات الحسابية على المعادلات الجبرية . ^[168]

كان الهنود القدماء أول من طور مفهوم الصفر كرقم يستخدم في العمليات الحسابية. وقد كتب براهماجوبتا القواعد الدقيقة لعمله في حوالي عام 628 م. ^[169] كان مفهوم الصفر أو اللاشيء موجودًا قبل ذلك بوقت طويل، لكنه لم يُعتبر موضوعًا للعمليات الحسابية. ^[170] قدم براهماجوبتا أيضًا مناقشة مفصلة للحسابات بالأرقام السالبة وتطبيقها على مشاكل مثل الائتمان والديون. ^[171] مفهوم الأرقام السالبة نفسه أقدم بكثير وتم استكشافه لأول مرة في الرياضيات الصينية في الألفية الأولى قبل الميلاد. ^[172]

كما طور علماء الرياضيات الهنود نظام الأعداد العشرية الموضعية المستخدم اليوم، وخاصة مفهوم الرقم صفر بدلاً من المواضع الفارغة أو المفقودة. ^[173] على سبيل المثال، قدم أريابهاتا معالجة مفصلة لعملياته في مطلع القرن السادس الميلادي. ^[174] تم تحسين النظام العشري الهندي وتوسيعه ليشمل الأعداد غير الصحيحة خلال العصر الذهبي الإسلامي من قبل علماء الرياضيات العرب مثل الخوارزمي . كان لعمله تأثير في تقديم نظام الأعداد العشرية إلى العالم الغربي، الذي اعتمد في ذلك الوقت على نظام الأعداد الرومانية . ^[175] هناك، تم ترويجه من قبل علماء الرياضيات مثل ليوناردو فيبوناتشي ، الذي عاش في القرنين الثاني عشر والثالث عشر وطور أيضًا متوالية فيبوناتشي . ^[176] خلال العصور الوسطى وعصر النهضة ، نُشرت العديد من الكتب المدرسية الشعبية لتغطية الحسابات العملية للتجارة. كما انتشر استخدام المعداد في هذه الفترة. ^[177] في القرن السادس عشر، ابتكر عالم الرياضيات جيرولامو كاردانو مفهوم الأعداد المركبة كوسيلة لحل المعادلات التكعيبية . ^[178]

تم تطوير أول آلات حاسبة ميكانيكية في القرن السابع عشر وسهلت بشكل كبير الحسابات الرياضية المعقدة، مثل آلة حاسبة بليز باسكال وآلة حسابية متدرجة لجوتفريد فيلهلم لايبنيز . [ ^180] كما شهد القرن السابع عشر اكتشاف اللوغاريتم بواسطة جون نابير . ^[181]

في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، وضع علماء الرياضيات مثل ليونارد أويلر وكارل فريدريش جاوس أسس نظرية الأعداد الحديثة. ^[182] كان هناك تطور آخر في هذه الفترة يتعلق بالعمل على صياغة أسس الحساب، مثل نظرية المجموعة لجورج كانتور ومسلمات ديديكيند -بيانو المستخدمة كبديهيات لحساب الأعداد الطبيعية. ^{[183] ​​تم تطوير} أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة الإلكترونية لأول مرة في القرن العشرين. أحدث استخدامها الواسع النطاق ثورة في كل من الدقة والسرعة التي يمكن بها حساب العمليات الحسابية المعقدة. ^[184]

يشكل تعليم الحساب جزءًا من التعليم الابتدائي . إنه أحد الأشكال الأولى لتعليم الرياضيات التي يواجهها الأطفال. يهدف الحساب الابتدائي إلى إعطاء الطلاب إحساسًا أساسيًا بالأرقام وتعريفهم بالعمليات العددية الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. ^[185] وعادةً ما يتم تقديمه فيما يتعلق بالسيناريوهات الملموسة، مثل عد الخرز وتقسيم الفصل إلى مجموعات من الأطفال من نفس الحجم وحساب التغيير عند شراء العناصر. الأدوات الشائعة في تعليم الحساب المبكر هي خطوط الأعداد وجداول الجمع والضرب ومكعبات العد والعدادات. ^[186]

تركز المراحل اللاحقة على فهم أكثر تجريدًا وتعريف الطلاب بأنواع مختلفة من الأرقام، مثل الأرقام السالبة والكسور والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. كما أنها تغطي العمليات العددية الأكثر تقدمًا، مثل الأسس واستخراج الجذور واللوغاريتم. ^[187] كما توضح كيف يتم استخدام العمليات الحسابية في فروع أخرى من الرياضيات، مثل تطبيقها لوصف الأشكال الهندسية واستخدام المتغيرات في الجبر. جانب آخر هو تعليم الطلاب استخدام الخوارزميات والآلات الحاسبة لحل المشكلات الحسابية المعقدة. ^[188]

يهتم علم نفس الحساب بكيفية تعلم البشر والحيوانات للأرقام وتمثيلها واستخدامها في الحسابات. ويدرس كيفية فهم المشكلات الرياضية وحلها وكيف ترتبط القدرات الحسابية بالإدراك والذاكرة والحكم واتخاذ القرار . ^{[189] على سبيل المثال} ، يبحث في كيفية مواجهة مجموعات من العناصر الملموسة لأول مرة في الإدراك وربطها لاحقًا بالأرقام. ^[190] ويتعلق مجال آخر من مجالات البحث بالعلاقة بين الحسابات العددية واستخدام اللغة لتشكيل التمثيلات. ^[191] يستكشف علم النفس أيضًا الأصل البيولوجي للحساب كقدرة فطرية. يتعلق هذا بالعمليات المعرفية قبل اللفظية وقبل الرمزية التي تنفذ عمليات شبيهة بالحساب المطلوبة لتمثيل العالم بنجاح وأداء مهام مثل الملاحة المكانية. ^[192]

أحد المفاهيم التي تدرسها علم النفس هي القدرة على الحساب ، وهي القدرة على فهم المفاهيم العددية وتطبيقها على مواقف ملموسة والاستدلال بها. وهي تشمل حسًا أساسيًا بالأرقام بالإضافة إلى القدرة على تقدير الكميات ومقارنتها. كما أنها تشمل القدرة على تمثيل الأرقام رمزيًا في أنظمة الترقيم وتفسير البيانات العددية وتقييم العمليات الحسابية. ^[193] تعد القدرة على الحساب مهارة أساسية في العديد من المجالات الأكاديمية. يمكن أن يؤدي الافتقار إلى القدرة على الحساب إلى إعاقة النجاح الأكاديمي ويؤدي إلى اتخاذ قرارات اقتصادية سيئة في الحياة اليومية، على سبيل المثال، من خلال سوء فهم خطط الرهن العقاري وسياسات التأمين . ^[194]

تدرس فلسفة الحساب المفاهيم والمبادئ الأساسية التي تقوم عليها الأعداد والعمليات الحسابية. وتستكشف طبيعة الأعداد ومكانتها الوجودية ، وعلاقة الحساب باللغة والمنطق ، وكيف يمكن اكتساب المعرفة الحسابية . ^[195]

وفقًا لأفلاطون ، فإن الأرقام لها وجود مستقل عن العقل: فهي موجودة كأشياء مجردة خارج الزمكان وبدون قوى سببية. ^{[196] [ج]} يرفض الحدسيون هذا الرأي ، الذين يزعمون أن الأشياء الرياضية هي بناءات عقلية. ^[198] هناك نظريات أخرى مثل المنطقية ، التي تنص على أن الحقائق الرياضية يمكن اختزالها إلى حقائق منطقية ، ^[199] والشكلية ، التي تنص على أن المبادئ الرياضية هي قواعد لكيفية التلاعب بالرموز دون الادعاء بأنها تتوافق مع كيانات خارج النشاط الذي تحكمه القواعد. [ ^200]

الرأي السائد تقليديًا في نظرية المعرفة الحسابية هو أن الحقائق الحسابية يمكن معرفتها مسبقًا . وهذا يعني أنه يمكن معرفتها بالتفكير وحده دون الحاجة إلى الاعتماد على الخبرة الحسية . ^[201] يذكر بعض أنصار هذا الرأي أن المعرفة الحسابية فطرية بينما يزعم آخرون أن هناك شكلًا من أشكال الحدس العقلاني الذي يمكن من خلاله إدراك الحقائق الرياضية. ^{[202] اقترح فلاسفة} طبيعيون مثل ويلارد فان أورمان كوين وجهة نظر بديلة أكثر حداثة ، حيث زعموا أن المبادئ الرياضية هي تعميمات عالية المستوى تستند في النهاية إلى العالم الحسي كما وصفته العلوم التجريبية. ^[203]

الحساب له أهمية في العديد من المجالات. في الحياة اليومية ، من المطلوب حساب التغيير عند التسوق، وإدارة الشؤون المالية الشخصية ، وتعديل وصفة طبخ لعدد مختلف من الوجبات. تستخدم الشركات الحساب لحساب الأرباح والخسائر وتحليل اتجاهات السوق . في مجال الهندسة ، يتم استخدامه لقياس الكميات، وحساب الأحمال والقوى، وتصميم الهياكل. ^{[204] تعتمد} التشفير على العمليات الحسابية لحماية المعلومات الحساسة عن طريق تشفير البيانات والرسائل. ^[205]

يرتبط الحساب ارتباطًا وثيقًا بالعديد من فروع الرياضيات التي تعتمد على العمليات العددية. يعتمد الجبر على مبادئ الحساب لحل المعادلات باستخدام المتغيرات. تلعب هذه المبادئ أيضًا دورًا رئيسيًا في حساب التفاضل والتكامل في محاولته لتحديد معدلات التغيير والمساحات تحت المنحنيات . تستخدم الهندسة العمليات الحسابية لقياس خصائص الأشكال بينما تستخدمها الإحصاء لتحليل البيانات العددية. ^[206] نظرًا لأهمية العمليات الحسابية في الرياضيات، فإن تأثير الحساب يمتد إلى معظم العلوم مثل الفيزياء وعلوم الكمبيوتر والاقتصاد . تُستخدم هذه العمليات في الحسابات وحل المشكلات وتحليل البيانات والخوارزميات، مما يجعلها جزءًا لا يتجزأ من البحث العلمي والتطوير التكنولوجي والنمذجة الاقتصادية. [ ^207]

• الخوارزمية
• تعبير (رياضيات)
• حساب المجال المحدود
• مخطط الحساب
• حساب النبات