الرياضيات الهندية

تُقدّم نصوص العصر الفيدي أدلةً على استخدام الأعداد الكبيرة . فبحلول زمن ياجورفيدا سامهيتا (1200-900 قبل الميلاد)، كانت أعداد تصل إلى 10^ ¹² تُدرج في النصوص. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، يستحضر المانترا (التلاوة المقدسة) في نهاية طقوس أناهوما ("طقوس تقديم الطعام") التي تُؤدّى خلال أشواميدها ، والتي تُتلى قبل شروق الشمس وأثناءه وبعده مباشرةً، قوى العشرة من مئة إلى تريليون. ^{[ 2 ]}

تحية لـ śata ("مائة"، 10 ² )، تحية لـ sahasra ("ألف"، 10 ³ )، تحية لـ ayuta ("عشرة آلاف"، 10 ⁴ )، تحية لـ niyuta ("مائة ألف"، 10 ⁵ )، تحية لـ prayuta ("مليون"، 10 ⁶ )، تحية لـ arbuda ("عشرة ملايين"، 10 ⁷ )، تحية لـ nyarbuda ("مائة مليون"، 10 ⁸ )، تحية لـ samudra ("مليار"، 10 ⁹ ، وتعني حرفيًا "المحيط")، تحية لـ madhya ("عشرة مليارات"، 10 ¹⁰ ، وتعني حرفيًا "الوسط")، تحية لـ anta ("مائة مليار"، 10 ¹¹ ، وتعني حرفيًا "النهاية")، تحية لـ parārdha ("تريليون واحد"، 10 ¹² ، وتعني حرفيًا "ما وراء الأجزاء")، تحية لـ uṣas (الفجر). تحية للشفق ( فيوشتي)، تحية للصاعد ( أوديسيات)، تحية للصاعد (أوديات ) ، تحية للصاعد (أوديتا) ، تحية للسماء ( سفارغا)، تحية للعالم ( مارتيا )، تحية للجميع. ^{[ 2 ]}

وقد ذُكرت الكسور، كما في بوروشا سوكتا (RV 10.90.4):

صعد بوروشا بثلاثة أرباعه: وبقي ربعه هنا.

يحتوي كتاب ساتاباثا براهمانا ( حوالي القرن السابع قبل الميلاد) على قواعد للإنشاءات الهندسية الطقسية المشابهة لـ سولبا سوتراس. ^{[ 23 ]}

تُفصّل نصوص شولبا سوترا (وتعني حرفيًا "أمثال الأوتار" في اللغة السنسكريتية الفيدية ) (حوالي 700-400 قبل الميلاد) قواعد بناء مذابح النار للقرابين. ^{[ 24 ]} تنبع معظم المسائل الرياضية التي تناولتها شولبا سوترا من "متطلب لاهوتي واحد"، ^{[ 25 ]} ألا وهو بناء مذابح نار ذات أشكال مختلفة ولكنها تشغل المساحة نفسها. وكان يُشترط أن تُبنى المذابح من خمس طبقات من الطوب المحروق، مع اشتراط أن تتكون كل طبقة من 200 طوبة، وألا تتطابق ترتيبات الطوب في طبقتين متجاورتين. ^{[ 25 ]}

بحسب هاياشي، فإن Śulba Sūtras تحتوي على "أقدم تعبير لفظي موجود لنظرية فيثاغورس في العالم، على الرغم من أنها كانت معروفة بالفعل للبابليين القدماء ".

ينتج الحبل القطري ( أكشنايا-راجو ) للمستطيل (الضلع) كليهما اللذان ينتجهما الحبل الجانبي ( بارشفاماني ) والحبل الأفقي ( تيريانماني ) بشكل منفصل. ^{[ 26 ]}

بما أن العبارة هي سوترا ، فهي بالضرورة مختصرة، ولم يتم التطرق إلى ما تنتجه الحبال بالتفصيل، لكن السياق يشير بوضوح إلى المساحات المربعة المبنية على أطوالها، وكان المعلم سيشرح ذلك للطالب. ^{[ 26 ]}

تحتوي هذه النصوص على قوائم من ثلاثيات فيثاغورس ، ^{[ 27 ]} وهي حالات خاصة من المعادلات الديوفانتية . ^{[ 28 ]} كما تحتوي على عبارات (نعلم الآن أنها تقريبية) حول تربيع الدائرة و"الدوران حول المربع". ^{[ 29 ]}

ألف بودايانا (حوالي القرن الثامن قبل الميلاد) كتاب " بودايانا سولبا سوترا" ، وهو أشهر كتب سولبا سوترا ، والذي يتضمن أمثلة على ثلاثيات فيثاغورس البسيطة، مثل: (3، 4، 5) ، (5، 12، 13) ، (8، 15، 17 ) ، (7، 24، 25) ، و (12، 35، 37) ، ^{[ 30 ]} بالإضافة إلى نص نظرية فيثاغورس لأضلاع المربع: "الحبل الممتد على طول قطر المربع يُنتج مساحة ضعف مساحة المربع الأصلي." ^{[ 30 ] [ 31 ]} كما يتضمن النص العام لنظرية فيثاغورس (لأضلاع المستطيل): "الحبل الممتد على طول قطر المستطيل يُنتج مساحة تُساوي مجموع مساحتي الضلعين الرأسي والأفقي." ^{[ 30 ]} يعطي بودهايانا تعبيرا للجذر التربيعي لاثنين : ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

هذا التعبير دقيق حتى خمسة منازل عشرية، والقيمة الحقيقية هي 1.41421356... ^{[ 33 ]} هذا التعبير مشابه في بنيته للتعبير الموجود على لوح بلاد ما بين النهرين ^{[ 34 ]} من فترة بابل القديمة (1900-1600 قبل الميلاد ): ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

والتي تعبر عن √ 2 في النظام الستيني، والتي تكون دقيقة أيضًا حتى 5 منازل عشرية.

بحسب عالم الرياضيات إس جي داني، فإن لوح بليمبتون 322 البابلي المكتوب بالخط المسماري حوالي عام 1850 قبل الميلاد ^{[ 35 ]} "يحتوي على خمسة عشر ثلاثية فيثاغورسية ذات قيم كبيرة، بما في ذلك (13500، 12709، 18541) وهي ثلاثية بدائية، ^{[ 36 ]} مما يشير، على وجه الخصوص، إلى وجود فهم متطور لهذا الموضوع" في بلاد ما بين النهرين عام 1850  قبل الميلاد. "بما أن هذه الألواح تسبق فترة سولباسوترا بعدة قرون، مع الأخذ في الاعتبار السياق الذي ظهرت فيه بعض الثلاثيات، فمن المعقول توقع وجود فهم مماثل في الهند." ^{[ 37 ]} ويضيف داني قائلاً:

بما أن الهدف الرئيسي من كتاب "سولفاسوترا" كان وصف بناء المذابح والمبادئ الهندسية التي تقوم عليها، فإن موضوع الأعداد الثلاثية الفيثاغورية، حتى وإن كان مفهومًا جيدًا، ربما لم يُذكر فيه . إن ورود هذه الأعداد الثلاثية في " سولفاسوترا " يُشبه الرياضيات التي قد يصادفها المرء في كتاب تمهيدي عن الهندسة المعمارية أو أي مجال تطبيقي مشابه، ولا يتوافق بالضرورة مع المعرفة العامة بهذا الموضوع في ذلك الوقت. وللأسف، لم يُعثر على أي مصادر معاصرة أخرى، لذا قد لا يكون من الممكن حسم هذه المسألة بشكل مُرضٍ. ^{[ 37 ]}

في المجمل، تم تأليف ثلاثة من سولبا سوترا . أما السوترا المتبقية، وهي مانافا سولبا سوترا التي ألفها مانافا (ازدهر في الفترة ما بين 750 و650 قبل الميلاد) وأباستامبا سولبا سوترا التي ألفها أباستامبا (حوالي 600 قبل الميلاد)، فقد احتوت على نتائج مماثلة لبودايانا سولبا سوترا .

فياكارانا

شهد العصر الفيدي أعمال عالم النحو السنسكريتي بانيني (حوالي 520-460 قبل الميلاد). تتضمن قواعده النحوية سلفًا لصيغة باكوس-ناور (المستخدمة في لغات برمجة الوصف ). ^{[ 38 ]}

بذلت الحضارة الهندية القديمة جهودًا جبارة لضمان نقل هذه النصوص من جيل إلى جيل بأمانة فائقة. ^{[ 45 ]} فعلى سبيل المثال، تضمن حفظ الفيدا المقدسة ما يصل إلى أحد عشر شكلًا من أشكال تلاوة النص نفسه. ثم جرى "تدقيق" النصوص بمقارنة النسخ المختلفة المتلوة. ومن بين أشكال التلاوة " جاتا-باتا" (وتعني حرفيًا "تلاوة الشبكة")، حيث تُتلى كل كلمتين متجاورتين في النص أولًا بترتيبهما الأصلي، ثم تُكرران بترتيب عكسي، وأخيرًا تُكرران بالترتيب الأصلي. ^{[ 46 ]} وهكذا كانت تتم التلاوة على النحو التالي:

وفي شكل آخر من أشكال التلاوة، dhvaja-pāṭha ^{[ 46 ]} (حرفيًا "تلاوة العلم")، يتم تلاوة (وحفظ) سلسلة من N كلمة عن طريق إقران أول كلمتين وآخر كلمتين ثم المتابعة على النحو التالي:

أما أكثر أشكال التلاوة تعقيداً، غانا-باتا (وتعني حرفياً "التلاوة الكثيفة")، وفقاً لفيلوزات، ^{[ 46 ]} فقد اتخذت الشكل التالي:

يشهد على فعالية هذه الأساليب الحفاظ على أقدم نص ديني هندي، وهو الريجفيدا (حوالي 1500 قبل الميلاد)، كنص واحد دون أي قراءات مختلفة. ^{[ 46 ]} وقد استُخدمت أساليب مماثلة لحفظ النصوص الرياضية، التي ظل نقلها شفهيًا حصريًا حتى نهاية العصر الفيدي (حوالي 500 قبل الميلاد).

بدأ النشاط الرياضي في الهند القديمة كجزء من "تأمل منهجي" في الفيدا المقدسة ، واتخذ شكل أعمال تُعرف باسم "فيدانغاس " أو "ملحقات الفيدا" (القرن السابع - الرابع قبل الميلاد). ^{[ 47 ]} وقد أدت الحاجة إلى الحفاظ على صوت النص المقدس باستخدام "شيكشا" ( علم الأصوات ) و " تشانداس " ( علم العروض )؛ والحفاظ على معناه باستخدام "فياكارانا" ( النحو ) و "نيروكتا" ( علم أصول الكلمات )؛ وأداء الطقوس بشكل صحيح وفي الوقت المناسب باستخدام "كالبا" ( الطقوس ) و "جيوتيشا " ( علم التنجيم ) إلى ظهور فروع الفيدا الستة . [ ^{47 ] ونشأت} الرياضيات كجزء من الفرعين الأخيرين، وهما الطقوس وعلم الفلك (الذي شمل أيضًا علم التنجيم). بما أن الفيدانجا سبقت استخدام الكتابة مباشرة في الهند القديمة، فقد شكلت آخر الأدبيات الشفوية الخالصة. وقد تم التعبير عنها في شكل مختصر للغاية يسهل تذكره، وهو السوترا (وتعني حرفيًا "الخيط").

يعرف العارفون بالسوترا أنها تحتوي على عدد قليل من الأصوات، وخالية من الغموض، وتحتوي على الجوهر، وتواجه كل شيء، وهي بلا توقف ولا اعتراض عليها. ^{[ 47 ]}

تحقق الإيجاز الشديد عبر وسائل متعددة، منها استخدام الحذف "بشكل يتجاوز حدود اللغة الطبيعية"، ^{[ 47 ]} واستخدام الأسماء التقنية بدلًا من الأسماء الوصفية المطولة، واختصار القوائم بذكر المدخلين الأول والأخير فقط، واستخدام العلامات والمتغيرات. ^{[ 47 ]} توحي السوترا بأن التواصل عبر النص "لم يكن سوى جزء من التعليم الكامل. لا بد أن بقية التعليم قد نُقلت عبر ما يُسمى بـ" غورو-شيشيا بارامبارا " ، أي "التسلسل المتواصل من المعلم ( غورو ) إلى الطالب ( شيشيا )"، ولم يكن متاحًا للعامة"، وربما كان يُحفظ سرًا. ^{[ 48 ]} ويتجلى الإيجاز الذي تحقق في السوترا في المثال التالي من سوترا بودايانا شولبا (700 قبل الميلاد).

كان من الضروري، وفقًا للطقوس، أن يكون لمذبح النار المنزلي في العصر الفيدي قاعدة مربعة الشكل، وأن يتكون من خمس طبقات من الطوب، تحتوي كل طبقة على 21 طوبة. إحدى طرق بناء المذبح كانت تقسيم أحد أضلاع المربع إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام حبل، ثم تقسيم الضلع العرضي (أو العمودي) إلى سبعة أجزاء متساوية، وبذلك يُقسّم المربع إلى 21 مستطيلاً متطابقًا. بعد ذلك، صُممت الطوب على شكل المستطيل المكون، وهكذا تُنشأ الطبقة. ولتشكيل الطبقة التالية، استُخدمت الطريقة نفسها، ولكن رُتبت الطوب بشكل عرضي. ^{[ 49 ]} ثم تكررت العملية ثلاث مرات أخرى (باتجاهات متبادلة) لإتمام البناء. في كتاب "بودهايانا شولبا سوترا" ، وُصفت هذه الطريقة بالكلمات التالية:

II.64. بعد تقسيم الشكل الرباعي إلى سبعة أجزاء، يُقسّم الوتر العرضي إلى ثلاثة أجزاء. II.65. في طبقة أخرى، توضع الطوبة باتجاه الشمال. ^{[ 49 ]}

بحسب فيليوزات، ^{[ ٥٠ ]} لا يملك القائم على بناء المذبح سوى أدوات ومواد قليلة: حبل (بالسنسكريتية: راجو ، مؤنث)، وتدان ( بالسنسكريتية: شانكو ، مذكر)، وطين لصنع الطوب ( بالسنسكريتية: إشتاكا ، مؤنث). وقد تحقق الإيجاز في السوترا بعدم ذكر ما يصفه صفة "عرضي" صراحةً؛ إلا أنه من صيغة المؤنث للصفة المستخدمة (بالسنسكريتية)، يُستدل بسهولة على أنها تصف "الحبل". وبالمثل، في المقطع الثاني، لم تُذكر "الطوب" صراحةً، ولكن يُستدل عليها مرة أخرى من صيغة الجمع المؤنث لعبارة "مُشير إلى الشمال". أخيرًا، لا تنص المقطوعة الأولى صراحةً على أن الطبقة الأولى من الطوب موجهة من الشرق إلى الغرب، ولكن هذا يُستدل عليه ضمنيًا من خلال الإشارة الصريحة إلى "الاتجاه نحو الشمال" في المقطوعة الثانية ؛ لأنه لو كان المقصود أن يكون التوجيه واحدًا في الطبقتين، لما ذُكر ذلك على الإطلاق أو لذُكر فقط في المقطوعة الأولى. كل هذه الاستنتاجات يتوصل إليها القائم على المراسم وهو يستذكر الصيغة من ذاكرته. ^{[ 49 ]}

سوريا سيدانتا

على الرغم من أن مؤلفه غير معروف، إلا أن كتاب سوريا سيدانتا (حوالي 400 قبل الميلاد) يحتوي على جذور علم المثلثات الحديث . ولأنه يتضمن العديد من الكلمات ذات الأصل الأجنبي، يعتقد بعض المؤلفين أنه كُتب تحت تأثير بلاد ما بين النهرين واليونان. ^{[ 71 ]}

يستخدم هذا النص القديم ما يلي كدوال مثلثية لأول مرة:

• الجيب ( جا ).
• جيب التمام ( كوجيا ).
• الجيب العكسي ( Otkram jya ).

وقد أشار علماء الرياضيات الهنود اللاحقون مثل أريابهاتا إلى هذا النص، في حين أن الترجمات العربية واللاتينية اللاحقة كانت مؤثرة للغاية في أوروبا والشرق الأوسط.

تقويم تشيدي

يحتوي هذا التقويم الشيدي (594) على استخدام مبكر لنظام الأرقام الهندوسية العربية الحديثة ذات القيمة المكانية المستخدمة الآن عالميًا.

أريابهاتا الأول

كتب أريابهاتا (476-550) كتاب أريابهاتيا، الذي وصف فيه المبادئ الأساسية الهامة للرياضيات في 332 شلوكا . وتضمنت الرسالة ما يلي:

• المعادلات التربيعية
• علم المثلثات
• قيمة π ، صحيحة إلى 4 منازل عشرية.

كتب أريابهاتا أيضًا آريا سيدهانتا ، وهي مفقودة الآن. تشمل مساهمات أرياباتا ما يلي:

علم المثلثات:

(أنظر أيضًا  : جدول جيب أرياباتا )

• تم تقديم الدوال المثلثية .
• عرّف الجيب ( jya ) بأنه العلاقة الحديثة بين نصف الزاوية ونصف الوتر.
• تم تعريف جيب التمام ( كوجيا ).
• تم تعريف الآية ( utkrama-jya ).
• تعريف الجيب العكسي ( otkram jya ).
• تم تقديم طرق لحساب قيمها العددية التقريبية.
• يحتوي على أقدم جداول قيم الجيب وجيب التمام وجيب الزاوية، بفواصل 3.75 درجة من 0 درجة إلى 90 درجة، بدقة تصل إلى 4 منازل عشرية.
• يحتوي على الصيغة المثلثية sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
• حساب المثلثات الكروية .

الحساب:

• الكسور المستمرة البسيطة .

الجبر:

• حلول المعادلات التربيعية الآنية.
• حلول الأعداد الصحيحة للمعادلات الخطية بطريقة مكافئة للطريقة الحديثة.
• الحل العام للمعادلة الخطية غير المحددة.

علم الفلك الرياضي:

• حسابات دقيقة للثوابت الفلكية، مثل:
  • كسوف الشمس .
  • خسوف القمر .
  • صيغة مجموع المكعبات ، والتي كانت خطوة مهمة في تطوير حساب التكامل. ^{[ 72 ]}

فاراهاميهيرا

وضع فاراهاميهيرا (505-587) كتاب بانشا سيدانتا ( القواعد الفلكية الخمس ). وقدّم إسهامات مهمة في علم المثلثات، بما في ذلك جداول الجيب وجيب التمام بدقة تصل إلى 4 منازل عشرية، والصيغ التالية التي تربط بين دالتي الجيب وجيب التمام :

• ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

في القرن السابع الميلادي، بدأ فرعان منفصلان من الرياضيات الهندية بالظهور، وهما الحساب (الذي يشمل القياس ) والجبر . وقد أُطلق على هذين الفرعين لاحقًا اسم "باتي-غانيتا" (وتعني حرفيًا "رياضيات الخوارزميات") و" بيجا-غانيتا " (وتعني حرفيًا "رياضيات البذور"، حيث تمثل "البذور" - كبذور النباتات - المجاهيل التي لديها القدرة على توليد حلول المعادلات). ^{[ 73 ]} وقد خصص براهمغوبتا ، في كتابه الفلكي "براهما سفوتا سيدانتا" (628 م)، فصلين (12 و18) لهذين الفرعين. قُسِّم الفصل الثاني عشر، الذي يحتوي على 66 بيتًا شعريًا باللغة السنسكريتية، إلى قسمين: "العمليات الأساسية" (بما في ذلك الجذور التكعيبية، والكسور، والنسبة والتناسب، والمقايضة) و"الرياضيات التطبيقية" (بما في ذلك الخلط، والمتسلسلات الرياضية، والأشكال المستوية، وتكديس الطوب، ونشر الأخشاب، وتكديس الحبوب). ^{[ 74 ]} وفي القسم الأخير، ذكر نظريته الشهيرة حول أقطار الشكل الرباعي الدائري : ^{[ 74 ]}

نظرية براهمغوبتا: إذا كان للشكل الرباعي الدائري أقطار متعامدة مع بعضها البعض، فإن الخط العمودي المرسوم من نقطة تقاطع الأقطار إلى أي جانب من جوانب الشكل الرباعي ينصف دائمًا الجانب المقابل.

كما تضمن الفصل 12 صيغة لحساب مساحة الشكل الرباعي الدائري (تعميم لصيغة هيرون )، بالإضافة إلى وصف كامل للمثلثات النسبية ( أي المثلثات ذات الأضلاع النسبية والمساحات النسبية).

صيغة براهماجوبتا: تُعطى مساحة الشكل الرباعي الدائري، A ، بأطوال أضلاعه a و b و c و d على التوالي، بالصيغة التالية:

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

حيث s هو نصف المحيط ، ويُعطى بواسطة${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

نظرية براهماجوبتا حول المثلثات النسبية: المثلث ذو الأضلاع النسبية${\displaystyle a,b,c}$والمساحة النسبية تكون على الشكل التالي:

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

لبعض الأعداد النسبية${\displaystyle u,v,}$و${\displaystyle w}$[ ^{75 ]​}

احتوى الفصل الثامن عشر على 103 أبيات سنسكريتية بدأت بقواعد العمليات الحسابية التي تتضمن الصفر والأعداد السالبة ^{[ 74 ]} ، ويُعتبر أول معالجة منهجية لهذا الموضوع. وتضمنت هذه القواعد (التي شملت${\displaystyle a+0=\ a}$و${\displaystyle a\times 0=0}$كانت جميعها صحيحة، باستثناء واحد:${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$[ ^{74 ]} وفي وقت لاحق من الفصل، قدم أول حل صريح (وإن لم يكن عامًا تمامًا) ^{للمعادلة} التربيعية :

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

يُضاف إلى العدد المطلق مضروبًا في أربعة أضعاف معامل المربع، مربع معامل الحد الأوسط؛ والجذر التربيعي لنفس العدد مطروحًا منه معامل الحد الأوسط، مقسومًا على ضعف معامل المربع، هو القيمة. ^{[ 76 ]}

هذا يعادل:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

وفي الفصل 18 أيضًا، تمكن براهمغوبتا من إحراز تقدم في إيجاد حلول (تكاملية) لمعادلة بيل ، ^{[ 77 ]}

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

أين${\displaystyle N}$هو عدد صحيح غير مربع. وقد توصل إلى ذلك من خلال اكتشاف المتطابقة التالية: ^{[ 77 ]}

هوية براهمغوبتا:${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$ والتي كانت تعميمًا لهوية سابقة لديوفانتوس : ^{[ 77 ]} استخدم براهمغوبتا هويته لإثبات اللمة التالية: ^{[ 77 ]}

اللمة (براهماجوبتا): إذا${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$هو حل لـ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$و، ${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$هو حل لـ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$، ثم:

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$هو حل لـ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

ثم استخدم هذه اللمة لتوليد عدد لا نهائي من الحلول (الصحيحة) لمعادلة بيل، بمعلومية حل واحد، وذكر النظرية التالية:

نظرية (براهماجوبتا): إذا كانت المعادلة${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$يوجد حل صحيح لأي من${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$ثم معادلة بيل:

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

ولها أيضًا حل صحيح. ^{[ 78 ]}

لم يبرهن براهمغوبتا على النظرية فعلياً، بل ابتكر أمثلة باستخدام طريقته. وكان المثال الأول الذي قدمه هو: ^{[ 77 ]}

مثال (براهماجوبتا): إيجاد الأعداد الصحيحة${\displaystyle \ x,\ y\ }$بحيث:

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

وأضاف براهمغوبتا في تعليقه: "الشخص الذي يحل هذه المسألة في غضون عام هو عالم رياضيات". ^{[ 77 ]} وكان الحل الذي قدمه هو:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

بهاسكارا الأول

قام بهاسكارا الأول (600-680) بتوسيع عمل أريباتا في كتبه التي تحمل عنوان ماهابهاسكاريا وأريابهاتيا بهاشيا ولاغو باسكاريا . أنتج:

• حلول المعادلات غير المحددة.
• تقريب منطقي لدالة الجيب .
• صيغة لحساب جيب الزاوية الحادة دون استخدام جدول، مع تقريب النتيجة إلى منزلتين عشريتين.

فيراسينا

كان فيراسينا (القرن الثامن) عالم رياضيات جاينيًا في بلاط الملك أموغافارشا ملك راشتراكوت في مانياخيتا ، كارناتاكا. وقد كتب كتاب " دهافالا" ، وهو شرح للرياضيات الجاينية، والذي:

• يتناول هذا النص مفهوم " أردهاكيدا" ، أي عدد مرات تقسيم عدد ما إلى نصفين، ويسرد قواعد مختلفة تتعلق بهذه العملية. يتطابق هذا المفهوم مع اللوغاريتم الثنائي عند تطبيقه على قوى العدد اثنين ، ^{[ 79 ] [ 80 ]} ولكنه يختلف عند تطبيقه على أعداد أخرى، حيث يشبه إلى حد كبير الترتيب الثنائي .

كما صرّح فيراسينا بما يلي:

• اشتقاق حجم المخروط الناقص من خلال نوع من الإجراءات اللانهائية.

يُعتقد أن الكثير من المواد الرياضية في كتاب دهافالا يمكن أن تُنسب إلى كُتّاب سابقين، وخاصة كونداكوندا، وشاماكوندا، وتومبولورا، وسامانتابادرا، وباباديفا، الذين كتبوا بين عامي 200 و600  ميلادي. ^{[ 80 ]}

ماهافيرا

عاش ماهافيرا أشاريا (حوالي 800-870) من كارناتاكا ، آخر علماء الرياضيات الجينيين البارزين، في القرن التاسع الميلادي، وكان يحظى برعاية الملك أموغافارشا من سلالة راشتراكوت. ألّف كتابًا بعنوان "غانيت سار سانغراها" في الرياضيات العددية، كما كتب رسائل في مواضيع رياضية متنوعة، منها:

• صفر
• المربعات
• مكعبات
• الجذور التربيعية ، والجذور التكعيبية ، والمتسلسلات التي تتجاوز هذه
• الهندسة المستوية
• الهندسة الصلبة
• مشاكل تتعلق بإسقاط الظلال
• صيغ مشتقة لحساب مساحة القطع الناقص والشكل الرباعي داخل دائرة .

ماهافيرا أيضاً:

• أكد أن الجذر التربيعي لعدد سالب غير موجود
• أعطى مجموع متسلسلة تكون حدودها مربعات متتابعة حسابية ، وقدم قواعد تجريبية لمساحة ومحيط القطع الناقص.
• حل المعادلات التكعيبية.
• حل المعادلات الرباعية.
• حللت بعض المعادلات من الدرجة الخامسة ومتعددات الحدود من الرتب العليا .
• قدم الحلول العامة لمعادلات كثيرات الحدود من الرتبة العليا:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• حل المعادلات التربيعية غير المحددة.
• حل المعادلات التكعيبية غير المحددة.
• حل المعادلات غير المحددة من الرتب العليا.

شريدارا

شريدهارا (حوالي 870–930)، الذي عاش في البنغال ، كتب كتبًا بعنوان ناف شاتيكا ، وتري شاتيكا ، وباتي جانيتا . أعطى:

• قاعدة جيدة لإيجاد حجم الكرة .
• صيغة حل المعادلات التربيعية .

كتاب "باتي غانيتا" هو عمل في الحساب والقياس . ويتناول عمليات حسابية متنوعة، منها:

• العمليات الأولية
• استخراج الجذور التربيعية والتكعيبية.
• الكسور.
• ثماني قواعد معطاة للعمليات التي تتضمن الصفر.
• طرق جمع المتسلسلات الحسابية والهندسية المختلفة، والتي أصبحت مراجع قياسية في الأعمال اللاحقة.

مانجولا

تم تطوير معادلات أريابهاتا في القرن العاشر الميلادي بواسطة مانجولا (المعروف أيضًا باسم مونجالا )، الذي أدرك أن التعبير ^{[ 81 ]}

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

يمكن التعبير عنها تقريبًا على النحو التالي:

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

وقد قام خليفته اللاحق بهاسكارا الثاني بتوضيح ذلك، ومن ثم توصل إلى مشتقة الجيب. ^{[ 81 ]}

أريابهاتا الثاني

كتب أريابهاتا الثاني (حوالي 920-1000) تعليقًا على شريدهارا وأطروحة فلكية مها سيدهانتا . يحتوي كتاب Maha-Siddhanta على 18 فصلاً، ويناقش:

• الرياضيات العددية ( أنك غانيت ).
• الجبر.
• حلول المعادلات غير المحددة ( kuttaka ).

شريپاتي

كتب شريباتي ميشرا (1019-1066) كتابي "سيدانتا شيخارا" ، وهو عمل رئيسي في علم الفلك يتألف من 19 فصلاً، و "غانيت تيلاكا" ، وهو رسالة حسابية غير مكتملة تتألف من 125 بيتاً شعرياً، استناداً إلى عمل لشريدارا. وقد انصبّ اهتمامه بشكل رئيسي على:

• التباديل والتوافيق .
• الحل العام للمعادلة الخطية غير المحددة المتزامنة.

وكان أيضًا مؤلف كتاب "ديكوتيداكارانا" ، وهو عمل مؤلف من عشرين بيتًا شعريًا حول:

• كسوف الشمس .
• خسوف القمر .

كتاب "دروفاماناسا" هو عمل مؤلف من 105 أبيات شعرية تتناول المواضيع التالية:

• حساب خطوط الطول الكوكبية
• الكسوف .
• عبور الكواكب .

نيميشاندرا سيدهانتا شاكرافاتي

Nemichandra Siddhanta Chakravati (حوالي 1100) قام بتأليف أطروحة رياضية بعنوان Gome-mat Saar .

بهاسكارا ٢

كان بهاسكارا الثاني (1114-1185) عالم رياضيات وفلك، ألّف عددًا من الرسائل المهمة، منها: سيدانتا شيروماني ، ليلافاتي ، بيجاغانيتا ، غولا أدهايا ، غريها غانيتام ، وكاران كوتوهال . وقد نُقلت بعض إسهاماته لاحقًا إلى الشرق الأوسط وأوروبا. ومن بين إسهاماته:

الحساب:

• حساب الفائدة
• المتتابعات الحسابية والهندسية
• الهندسة المستوية
• الهندسة الصلبة
• ظل المزولة
• حلول التوافيق
• قدم برهاناً على أن القسمة على صفر تساوي اللانهاية .

الجبر:

• التعرف على عدد موجب له جذران تربيعيان.
• الجذور الصماء .
• عمليات تتضمن منتجات ذات عدة عناصر مجهولة.
• حلول ما يلي:
  • المعادلات التربيعية.
  • المعادلات التكعيبية.
  • المعادلات من الدرجة الرابعة.
  • المعادلات التي تحتوي على أكثر من مجهول واحد.
  • المعادلات التربيعية التي تحتوي على أكثر من مجهول.
  • الصيغة العامة لمعادلة بيل باستخدام طريقة تشاكرافالا .
  • المعادلة التربيعية العامة غير المحددة باستخدام طريقة تشاكرافالا .
  • المعادلات التكعيبية غير المحددة.
  • المعادلات الرباعية غير المحددة.
  • المعادلات متعددة الحدود غير المحددة من الرتبة العليا.

الهندسة:

• قدم برهانًا على نظرية فيثاغورس .

حساب التفاضل والتكامل:

• المفهوم الأولي للتمايز
• تم اكتشاف المعامل التفاضلي .
• الصيغة المبكرة المذكورة لنظرية رول ، وهي حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة (إحدى أهم نظريات التفاضل والتكامل والتحليل).
• في عمله الفلكي، يقدم بهاسكارا نتيجة تبدو وكأنها مقدمة للأساليب المتناهية الصغر: إذا${\displaystyle x\approx y}$ثم${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$ويمكن تفسير ذلك على أنه اكتشاف أن جيب التمام هو مشتق الجيب، على الرغم من أنه لم يطور مفهوم المشتقة. ^{[ 82 ]}
• تم حساب قيمة π ، بدقة تصل إلى خمسة منازل عشرية.
• تم حساب السنة الشمسية بدقة تصل إلى 9 منازل عشرية. ^{[ 83 ]}

علم المثلثات:

• تطورات علم المثلثات الكروية
• الصيغ المثلثية:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

تأسست مدرسة نافيا-نيايا، أو الدارشانا المنطقية الجديدة، في الفلسفة الهندية في القرن الثالث عشر على يد الفيلسوف غانغيشا أوباديايا من ميثيلا . ^{[ 84 ]} وقد كانت تطورًا للدارشانا الكلاسيكية نيايا. ومن بين المؤثرات الأخرى على نافيا-نيايا أعمال الفلاسفة السابقين فاكاسباتي ميشرا (900-980 م) وأودايانا (أواخر القرن العاشر).

كُتب كتاب غانغيشا "تاتفاشينتاماني " ("جوهرة الفكر في الواقع") جزئيًا ردًا على كتاب شريهارشا "خانداناخانداخاديا"، وهو دفاع عن أدفايتا فيدانتا ، والذي قدم مجموعة من الانتقادات الشاملة لنظريات نيايا في الفكر واللغة. ^{[ 85 ]} طورت نافيا-نيايا لغة متطورة ونظامًا مفاهيميًا متطورًا مكّنها من طرح وتحليل وحل المشكلات في المنطق ونظرية المعرفة. يتضمن ذلك تسمية كل موضوع يُراد تحليله، وتحديد سمة مميزة له، والتحقق من ملاءمة هذه السمة باستخدام البرامانا . ^{[ 86 ]}

أسس مادهافا من سانغاماغراما في ولاية كيرالا بجنوب الهند مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات، وضمت في صفوفها باراميشوارا ، ونيلاكانتا سوماياجي ، وجيشتاديفا ، وأتشيوتا بيشاراتي ، وميلباثور نارايانا بهاتاتيري ، وأتشيوتا بانيكار. ازدهرت هذه المدرسة بين القرنين الرابع عشر والسادس عشر، ويبدو أن اكتشافاتها الأصلية قد انتهت مع نارايانا بهاتاتيري (1559-1632). وفي محاولتهم لحل المسائل الفلكية، ابتكر فلكيو مدرسة كيرالا، كلٌ على حدة، عددًا من المفاهيم الرياضية الهامة. ومن أهم نتائجهم، متسلسلات الدوال المثلثية ، التي وردت في أبيات شعرية باللغة السنسكريتية في كتاب لنيلاكانتا بعنوان "تانتراسانغراها" ، وشرح لهذا العمل بعنوان "تانتراسانغراها-فاخيا" لم يُعرف مؤلفه. تم ذكر النظريات دون برهان، ولكن تم تقديم البراهين لسلسلة الجيب وجيب التمام وظل الزاوية العكسي بعد قرن من الزمان في كتاب Yuktibhāṣā (حوالي 1500-1610)، المكتوب باللغة المالايالامية ، من قبل جيشتاديفا . ^{[ 87 ]}

كان اكتشافهم لهذه المتسلسلات الثلاثة المهمة في حساب التفاضل والتكامل - قبل عدة قرون من تطوير إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز لحساب التفاضل والتكامل في أوروبا - إنجازًا بارزًا. مع ذلك، لم تخترع مدرسة كيرالا حساب التفاضل والتكامل ^{[ 88 ]،} لأنه على الرغم من قدرتهم على تطوير متسلسلات تايلور للدوال المثلثية المهمة ، إلا أنهم لم يطوروا نظرية التفاضل أو التكامل ، ولا النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ^{[ 72 ]} . تشمل النتائج التي توصلت إليها مدرسة كيرالا ما يلي:

• المتسلسلة الهندسية (اللانهائية) :${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^{[ 89 ]}
• برهان شبه دقيق (انظر ملاحظة "الاستقراء" أدناه) للنتيجة:${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$بالنسبة لقيم n الكبيرة . ^{[ 87 ]}
• على الرغم من الاستخدام البديهي للاستقراء الرياضي ، إلا أن الفرضية الاستقرائية لم تُصاغ أو تُستخدم في البراهين. ^{[ 87 ]}
• تطبيقات لأفكار من (ما سيصبح لاحقًا) حساب التفاضل والتكامل للحصول على متسلسلات (تايلور-ماكلورين) اللانهائية لـ sin x و cos x و arctan x. ^{[ 88 ]} يقدم كتاب Tantrasangraha-vakhya المتسلسلة في أبيات شعرية، والتي عند ترجمتها إلى رموز رياضية، يمكن كتابتها على النحو التالي: ^{[ 87 ]}

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

حيث، بالنسبة لـ r  =  1، تتحول المتسلسلة إلى متسلسلة القوى القياسية لهذه الدوال المثلثية، على سبيل المثال:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

و

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• استُخدمت عملية تصحيح (حساب طول) قوس الدائرة لإثبات هذه النتائج. ( لم تُستخدم طريقة لايبنتز اللاحقة، التي تعتمد على التكامل العددي، أي حساب المساحة تحت قوس الدائرة ). ^{[ 87 ]}
• استخدام متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle \arctan x}$للحصول على صيغة لايبنيز لـ π : ^{[ 87 ]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• تقريب منطقي للخطأ في المجموع المحدود لسلسلة البيانات محل الاهتمام. على سبيل المثال، الخطأ،${\displaystyle f_{i}(n+1)}$، (لـ n فردي، و i = 1، 2، 3) للمتسلسلة:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• معالجة حد الخطأ لاستخلاص متسلسلة أسرع تقاربًا لـ${\displaystyle \pi }$[ ^{87 ]​}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• باستخدام السلسلة المحسنة لاستنتاج تعبير كسري، ^{[ 87 ]} 104348/33215 لـ π صحيح حتى تسعة منازل عشرية، أي  3.141592653.
• استخدام مفهوم بديهي للنهاية لحساب هذه النتائج. ^{[ 87 ]}
• طريقة شبه دقيقة (انظر الملاحظة المتعلقة بالنهايات أعلاه) لتفاضل بعض الدوال المثلثية. ^{[ 72 ]} ومع ذلك، لم يصوغوا مفهوم الدالة ، أو لم تكن لديهم معرفة بالدوال الأسية أو اللوغاريتمية.

قام الإنجليزي سي إم ويش بتدوين أعمال مدرسة كيرالا لأول مرة للعالم الغربي في عام 1835. ووفقًا لويش، فقد " وضع علماء الرياضيات في كيرالا الأساس لنظام كامل من الانحرافات "، وكانت هذه الأعمال زاخرة " بالأشكال والمتسلسلات الانحرافية التي لا توجد في أي عمل من أعمال الدول الأجنبية " . ^{[ 90 ]}

مع ذلك، أُهملت نتائج ويش تمامًا تقريبًا، إلى أن أُعيدَ النظر في اكتشافات مدرسة كيرالا بعد أكثر من قرن، على يد سي. راجاجوبال وزملائه. وتشمل أعمالهم شروحًا لبراهين متسلسلة أركتان في يوكتيبهاشا، مُقدَّمة في ورقتين بحثيتين ^{[ 91 ] [ 92 ]} ، وشرحًا لبرهان يوكتيبهاشا لمتسلسلتي الجيب وجيب التمام ^{[ 93 ]} ، وورقتين بحثيتين تُقدِّمان أبياتًا سنسكريتية من تانتراسانجراهافاخيا لمتسلسلات أركتان والجيب وجيب التمام (مع ترجمة إنجليزية وشرح) ^{[ 94 ] [ 95 ] .}

باراميشفارا (حوالي 1370-1460) كتب تعليقات على أعمال بهاسكارا الأول وأرياباتا وباسكارا الثاني. يحتوي كتابه ليلافاتي بهاسيا ، وهو تعليق على ليلافاتي لبهاسكارا الثاني ، على أحد اكتشافاته المهمة: نسخة من نظرية القيمة المتوسطة . قام Nilakantha Somayaji (1444–1544) بتأليف Tantra Samgraha (الذي "أنتج" تعليقًا مجهولًا لاحقًا Tantrasangraha-vyakhya وتعليقًا آخر باسم Yuktidipaika ، كتب عام 1501). قام بتوضيح وتوسيع مساهمات مادهافا.

كان سيترابهانو (حوالي 1530) عالم رياضيات من ولاية كيرالا عاش في القرن السادس عشر، وقدّم حلولًا عددية صحيحة لـ 21 نوعًا من أنظمة المعادلات الجبرية الآنية ذات مجهولين. وتشمل هذه الأنواع جميع أزواج المعادلات الممكنة من الأشكال السبعة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

في كل حالة، قدم سيترابهانو شرحًا وتبريرًا لقاعدته، بالإضافة إلى مثال. بعض شروحاته جبرية، بينما بعضها الآخر هندسي. كان جيشتاديفا (حوالي 1500-1575) عضوًا آخر في مدرسة كيرالا. وكان عمله الرئيسي هو كتاب يوكتي بهاشا (المكتوب باللغة المالايالامية، وهي لغة محلية في كيرالا). قدم جيشتاديفا براهين لمعظم النظريات الرياضية والمتسلسلات اللانهائية التي اكتشفها سابقًا مادهافا وغيره من علماء الرياضيات في مدرسة كيرالا.

كان نارايانا بانديت عالم رياضيات من القرن الرابع عشر، ألّف عملين رياضيين هامين: رسالة في الحساب بعنوان "غانيتا كومودي" ، ورسالة في الجبر بعنوان "بيغانيتا فاتامسا" . تُعدّ "غانيتا كومودي" من أكثر الأعمال ثورية في مجال التوافقية، إذ طوّر فيها طريقةً لتوليد جميع تباديل متتالية مُعطاة بشكل منهجي. في كتابه "غانيتا كومودي" ، طرح نارايانا المسألة التالية على قطيع من الأبقار والعجول:

تلد البقرة عجلاً واحداً كل عام. ابتداءً من عامها الرابع، تلد كل بقرة عجلاً واحداً في بداية كل عام. كم عدد الأبقار والعجول إجمالاً بعد 20 عاماً؟

مترجمة إلى لغة الرياضيات الحديثة الخاصة بالمتتاليات التكرارية :

N _n = N _n-1 + N _n-3 لـ n > 2 ،

مع القيم الأولية

N ₀ = N ₁ = N ₂ = 1 .

الحدود القليلة الأولى هي 1، 1، 1، 2، 3، 4، 6، 9، 13، 19، 28، 41، 60، 88،... (المتتالية A000930 في OEIS ) . النسبة الحدية بين الحدود المتتالية هي النسبة الذهبية الفائقة . يُعتقد أيضًا أن نارايانا هو مؤلف شرح مفصل لكتاب ليلافاتي لبهاسكارا الثاني ، بعنوان غانيتا كوموديا (أو كارما-باداتي ). ^{[ 96 ]}

• كيلر، أغاث (2006)، شرح البذرة الرياضية. المجلد 1: الترجمة: ترجمة بهاسكارا الأول عن الفصل الرياضي من أريابهاتيا ، بازل، بوسطن، وبرلين: دار نشر بيركهاوزر، 172 صفحة، رقم ISBN 978-3-7643-7291-0.
• كيلر، أغاث (2006)، شرح البذرة الرياضية. المجلد 2: الملاحق: ترجمة بهاسكارا الأول عن الفصل الرياضي من أريابهاتيا ، بازل، بوسطن، وبرلين: دار نشر بيركهاوزر، 206 صفحات، رقم ISBN 978-3-7643-7292-7.
• سارما، ك. ف . ، محرر (1976)، أريابهاتيا لأريابهاتا مع تعليق سورياديفا ياجفان ، محررة تحريرًا نقديًا مع مقدمة وملاحق، نيودلهي: الأكاديمية الوطنية الهندية للعلوم.
• سين، إس إن؛ باغ، إيه كيه، محرران (1983)، شولباسوترا لبودهايانا، وأباستامبا، وكاتيايانا، ومانافا ، مع النص والترجمة الإنجليزية والتعليق، نيودلهي: الأكاديمية الوطنية الهندية للعلوم.
• شوكلا، ك.س. ، محرر (1976)، أريابهاتيا لأريابهاتا مع شرح بهاسكارا الأول وسوميشوارا ، محررة تحريرًا نقديًا مع مقدمة وترجمة إنجليزية وملاحظات وتعليقات وفهارس، نيودلهي: الأكاديمية الوطنية الهندية للعلوم.
• شوكلا، ك.س.، محرر (1988)، أريابهاتيا من أريابهاتا ، حرر تحريرًا نقديًا مع مقدمة وترجمة إنجليزية وملاحظات وتعليقات وفهارس، بالتعاون مع ك.ف. سارما ، نيودلهي: الأكاديمية الوطنية الهندية للعلوم.