علاقة

في الإحصاء ، الارتباط أو التبعية هي أي علاقة إحصائية، سواء كانت سببية أم لا، بين متغيرين عشوائيين أو بيانات ثنائية المتغيرات . وعلى الرغم من أن "الارتباط" بالمعنى الأوسع قد يشير إلى أي نوع من أنواع الارتباط، إلا أنه في الإحصاء يشير عادةً إلى الدرجة التي يرتبط بها زوج من المتغيرات بشكل خطي . ومن الأمثلة المألوفة للظواهر التابعة الارتباط بين طول الوالدين وذريتهم، والارتباط بين سعر السلعة والكمية التي يرغب المستهلكون في شرائها، كما هو موضح في ما يسمى بمنحنى الطلب .

تعتبر الارتباطات مفيدة لأنها يمكن أن تشير إلى علاقة تنبؤية يمكن استغلالها في الممارسة العملية. على سبيل المثال، قد تنتج شركة كهرباء طاقة أقل في يوم معتدل بناءً على الارتباط بين الطلب على الكهرباء والطقس. في هذا المثال، توجد علاقة سببية ، لأن الطقس المتطرف يتسبب في استخدام الناس لمزيد من الكهرباء للتدفئة أو التبريد. ومع ذلك، بشكل عام، لا يكفي وجود ارتباط لاستنتاج وجود علاقة سببية (أي أن الارتباط لا يعني التسبب ).

رسميًا، تكون المتغيرات العشوائية تابعة إذا لم تفي بخاصية رياضية للاستقلال الاحتمالي . في اللغة غير الرسمية، يكون الارتباط مرادفًا للتبعية . ومع ذلك، عند استخدامه بمعنى فني، يشير الارتباط إلى أي من عدة أنواع محددة من العلاقات الرياضية بين التوقع الشرطي لمتغير واحد نظرًا لأن الآخر ليس ثابتًا مع تغير متغير التكييف ؛ على نطاق واسع، يتم استخدام الارتباط بهذا المعنى المحدد عندما يرتبط بطريقة ما (مثل الخطي أو الرتيب أو ربما وفقًا لبعض الأشكال الوظيفية المعينة مثل اللوغاريتمي). في الأساس، الارتباط هو مقياس لكيفية ارتباط متغيرين أو أكثر ببعضهما البعض. هناك العديد من معاملات الارتباط ، والتي يشار إليها غالبًا أو ، لقياس درجة الارتباط. وأكثرها شيوعًا هو معامل ارتباط بيرسون ، وهو حساس فقط للعلاقة الخطية بين متغيرين (والتي قد تكون موجودة حتى عندما يكون أحد المتغيرات دالة غير خطية للآخر). تم تطوير معاملات ارتباط أخرى - مثل ارتباط رتبة سبيرمان - لتكون أكثر قوة من معاملات بيرسون، أي أكثر حساسية للعلاقات غير الخطية. ^{[1] [2] [3] يمكن أيضًا تطبيق} المعلومات المتبادلة لقياس الاعتماد بين متغيرين. ${\displaystyle E(Y|X=x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r}$

المقياس الأكثر شيوعًا للاعتماد بين كميتين هو معامل ارتباط بيرسون الناتج-العزم (PPMCC)، أو "معامل ارتباط بيرسون"، والذي يُطلق عليه عادةً ببساطة "معامل الارتباط". يتم الحصول عليه من خلال أخذ نسبة تباين المتغيرين المعنيين في مجموعة البيانات الرقمية لدينا، مع تطبيعها على الجذر التربيعي لتباينهما. رياضيًا، يُقسم ببساطة تباين المتغيرين على حاصل انحرافهما المعياري . طور كارل بيرسون المعامل من فكرة مماثلة ولكنها مختلفة قليلاً لفرانسيس جالتون . ^[4]

تحاول معاملات ارتباط بيرسون للحاصل على اللحظية تحديد خط أفضل ملاءمة من خلال مجموعة بيانات مكونة من متغيرين من خلال تحديد القيم المتوقعة، ويشير معامل ارتباط بيرسون الناتج إلى مدى بعد مجموعة البيانات الفعلية عن القيم المتوقعة. واعتمادًا على إشارة معامل ارتباط بيرسون، يمكننا أن ننتهي إما إلى ارتباط سلبي أو إيجابي إذا كان هناك أي نوع من العلاقة بين متغيرات مجموعة البيانات لدينا. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

معامل الارتباط السكاني بين متغيرين عشوائيين مع القيم المتوقعة والانحرافات المعيارية ويتم تعريفه على النحو التالي :${\displaystyle \rho _{X,Y}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle \mu _{Y}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle \sigma _{Y}}$

$${\displaystyle \rho _{X,Y}=\operatorname {corr} (X,Y)={\operatorname {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={\operatorname {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})] \over \sigma _{X}\sigma _{Y}},\quad {\text{إذا}}\ \sigma _{X}\sigma _{Y}>0.}}$$

حيث هو عامل القيمة المتوقعة ، ويعني التباين ، و هو صيغة بديلة مستخدمة على نطاق واسع لمعامل الارتباط. يتم تعريف ارتباط بيرسون فقط إذا كان كل من الانحرافين المعياريين محدودين وإيجابيين. الصيغة البديلة من حيث اللحظات البحتة هي: ${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle \operatorname {cov} }$${\displaystyle \operatorname {corr} }$

$${\displaystyle \rho _{X,Y}={\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)^{2}}}\cdot {\sqrt {\operatorname {E} (Y^{2})-\operatorname {E} (Y)^{2}}}}}$$

إنها نتيجة تكميلية لمتباينة كوشي-شوارتز أن القيمة المطلقة لمعامل ارتباط بيرسون ليست أكبر من 1. لذلك، تتراوح قيمة معامل الارتباط بين -1 و +1. يكون معامل الارتباط +1 في حالة وجود علاقة خطية مباشرة (متزايدة) مثالية (ارتباط)، و -1 في حالة وجود علاقة خطية عكسية (متناقصة) مثالية ( ارتباط معاكس )، ^[5] وبعض القيمة في الفاصل المفتوح في جميع الحالات الأخرى، مما يدل على درجة الاعتماد الخطي بين المتغيرات. كلما اقترب من الصفر، تقل العلاقة (أقرب إلى عدم الارتباط). وكلما اقترب المعامل من -1 أو 1، زادت قوة الارتباط بين المتغيرات. ${\displaystyle (-1,1)}$

إذا كانت المتغيرات مستقلة ، فإن معامل ارتباط بيرسون يساوي 0. ومع ذلك، نظرًا لأن معامل الارتباط يكتشف فقط التبعيات الخطية بين متغيرين، فإن العكس ليس بالضرورة صحيحًا. لا يعني معامل الارتباط 0 أن المتغيرات مستقلة ^{[ بحاجة لمصدر ]} .

$${\displaystyle {\begin{aligned}X,Y{\text{ independent}}\quad &\Rightarrow \quad \rho _{X,Y}=0\quad (X,Y{\text{ uncorrelated}})\\\rho _{X,Y}=0\quad (X,Y{\text{ uncorrelated}})\quad &\nRightarrow \quad X,Y{\text{ independent}}\end{aligned}}}$$

على سبيل المثال، افترض أن المتغير العشوائي موزع بشكل متماثل حول الصفر، و . ثم يتم تحديده تمامًا بواسطة ، بحيث يكون و مترابطين تمامًا، لكن ارتباطهما يساوي صفرًا؛ فهما غير مترابطين . ومع ذلك، في الحالة الخاصة عندما يكون و مترابطين بشكل طبيعي ، فإن عدم الارتباط يعادل الاستقلال. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=X^{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

على الرغم من أن البيانات غير المرتبطة لا تعني بالضرورة الاستقلال، فمن الممكن التحقق مما إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة إذا كانت المعلومات المتبادلة بينهما تساوي 0.

بالنظر إلى سلسلة من القياسات للزوج المفهرس بواسطة ، يمكن استخدام معامل ارتباط العينة لتقدير ارتباط بيرسون بين السكان و . يتم تعريف معامل ارتباط العينة على أنه ${\displaystyle n}$${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \rho _{X,Y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle r_{xy}\quad {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\quad {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{(n-1)s_{x}s_{y}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}},}$

حيث و هما متوسطات العينة و و و هما الانحرافات المعيارية المصححة للعينة و . ${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle {\overline {y}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

التعبيرات المكافئة لـ are ${\displaystyle r_{xy}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{xy}&={\frac {\sum x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{ns'_{x}s'_{y}}}\\[5pt]&={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-(\sum x_{i})^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-(\sum y_{i})^{2}}}}}.\end{aligned}}}$

حيث و هما الانحرافات المعيارية غير المصححة للعينة و .${\displaystyle s'_{x}}$${\displaystyle s'_{y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

إذا كانت و نتائج قياسات تحتوي على خطأ في القياس، فإن الحدود الواقعية لمعامل الارتباط ليست من -1 إلى +1 ولكنها نطاق أصغر. ^[6] في حالة النموذج الخطي مع متغير مستقل واحد، فإن معامل التحديد (R تربيع) هو مربع ، معامل حاصل بيرسون. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r_{xy}}$

خذ في الاعتبار توزيع الاحتمالات المشترك لـ X و Y الموضح في الجدول أدناه.

${\displaystyle \mathrm {P} (X=x,Y=y)}$

ي س	-1	0	1
0	0	⁠1/3⁠	0
1	⁠1/3⁠	0	⁠1/3⁠

بالنسبة لهذا التوزيع المشترك، التوزيعات الهامشية هي:

${\displaystyle \mathrm {P} (X=x)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&\quad {\text{for }}x=0\\{\frac {2}{3}}&\quad {\text{for }}x=1\end{cases}}}$

${\displaystyle \mathrm {P} (Y=y)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&\quad {\text{for }}y=-1\\{\frac {1}{3}}&\quad {\text{for }}y=0\\{\frac {1}{3}}&\quad {\text{for }}y=1\end{cases}}}$

ويؤدي هذا إلى التوقعات والاختلافات التالية:

${\displaystyle \mu _{X}={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle \mu _{Y}=0}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {2}{9}}}$

${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}={\frac {2}{3}}}$

لذلك:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{X,Y}&={\frac {1}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\mathrm {E} [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]\\[5pt]&={\frac {1}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\sum _{x,y}{(x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})\mathrm {P} (X=x,Y=y)}\\[5pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\left(\left(1-{\frac {2}{3}}\right)(-1-0){\frac {1}{3}}+\left(0-{\frac {2}{3}}\right)(0-0){\frac {1}{3}}+\left(1-{\frac {2}{3}}\right)(1-0){\frac {1}{3}}\right)=0.\end{aligned}}}$

تقيس معاملات ارتباط الرتب ، مثل معامل ارتباط الرتب لسبيرمان ومعامل ارتباط الرتب لكيندال (τ)، مدى ميل المتغير الآخر إلى الزيادة مع زيادة أحد المتغيرات، دون الحاجة إلى تمثيل هذه الزيادة بعلاقة خطية. إذا انخفض المتغير الآخر مع زيادة أحد المتغيرات، فإن معاملات ارتباط الرتب ستكون سلبية. من الشائع اعتبار معاملات ارتباط الرتب هذه بدائل لمعامل بيرسون، تُستخدم إما لتقليل مقدار الحساب أو لجعل المعامل أقل حساسية لعدم الطبيعية في التوزيعات. ومع ذلك، فإن هذا الرأي لا يستند إلى أساس رياضي كبير، حيث تقيس معاملات ارتباط الرتب نوعًا مختلفًا من العلاقة عن معامل ارتباط بيرسون للحاصل اللحظي ، ومن الأفضل اعتبارها مقاييس لنوع مختلف من الارتباط، وليس مقياسًا بديلًا لمعامل ارتباط السكان. ^{[7] [8]}

لتوضيح طبيعة ارتباط الرتب، واختلافه عن الارتباط الخطي، ضع في اعتبارك الأزواج الأربعة التالية من الأرقام : ${\displaystyle (x,y)}$

(0، 1)، (10، 100)، (101، 500)، (102، 2000).

عندما ننتقل من كل زوج إلى الزوج التالي ، يزداد، وكذلك . هذه العلاقة مثالية، بمعنى أن الزيادة في تكون دائمًا مصحوبة بزيادة في . وهذا يعني أن لدينا ارتباط رتبة مثالي، ومعاملات ارتباط سبيرمان وكيندال هي 1، بينما في هذا المثال معامل ارتباط حاصل ضرب بيرسون-لحظة هو 0.7544، مما يشير إلى أن النقاط بعيدة عن الاستلقاء على خط مستقيم. وبنفس الطريقة إذا تقل دائمًا عندما تزداد ، فإن معاملات ارتباط الرتبة ستكون -1، بينما قد يكون معامل ارتباط حاصل ضرب بيرسون-لحظة قريبًا من -1 أو لا يكون قريبًا منه، اعتمادًا على مدى قرب النقاط من خط مستقيم. وعلى الرغم من أنه في الحالات القصوى لارتباط الرتبة المثالي يكون المعاملان متساويين (سواء كان كلاهما +1 أو كلاهما -1)، إلا أن هذه ليست هي الحال بشكل عام، وبالتالي لا يمكن مقارنة قيم المعاملين بشكل مفيد. ^[7] على سبيل المثال، بالنسبة للأزواج الثلاثة (1، 1) (2، 3) (3، 2) معامل سبيرمان هو 1/2، بينما معامل كيندال هو 1/3. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

المعلومات التي يقدمها معامل الارتباط ليست كافية لتحديد بنية التبعية بين المتغيرات العشوائية. يحدد معامل الارتباط بنية التبعية تمامًا فقط في حالات خاصة جدًا، على سبيل المثال عندما يكون التوزيع توزيعًا طبيعيًا متعدد المتغيرات . (انظر الرسم البياني أعلاه). في حالة التوزيعات الإهليلجية، فإنه يميز القطع الناقص (الفرعي) من الكثافة المتساوية؛ ومع ذلك، فإنه لا يميز بنية التبعية تمامًا (على سبيل المثال، تحدد درجات حرية التوزيع t متعدد المتغيرات مستوى اعتماد الذيل).

بالنسبة للمتغيرات المستمرة، تم تقديم مقاييس بديلة متعددة للاعتماد لمعالجة نقص ارتباط بيرسون الذي يمكن أن يكون صفرًا للمتغيرات العشوائية التابعة (انظر ^[9] والمراجع المرجعية فيه للحصول على نظرة عامة). تشترك جميعها في الخاصية المهمة المتمثلة في أن قيمة الصفر تعني الاستقلال. دفع هذا بعض المؤلفين ^{[9] [10]} إلى التوصية باستخدامهم الروتيني، وخاصةً لارتباط المسافة . ^{[11] [12]} مقياس بديل آخر هو معامل الاعتماد العشوائي. ^[13] معامل الاعتماد العشوائي هو مقياس فعال حسابيًا قائم على الاقتران للاعتماد بين المتغيرات العشوائية المتعددة المتغيرات وهو ثابت فيما يتعلق بالمقاييس غير الخطية للمتغيرات العشوائية.

أحد العيوب المهمة للمقاييس البديلة الأكثر عمومية هو أنه عند استخدامها لاختبار ما إذا كان متغيران مرتبطان، فإنها تميل إلى أن تكون ذات قوة أقل مقارنة بارتباط بيرسون عندما تتبع البيانات توزيعًا طبيعيًا متعدد المتغيرات. ^[9] وهذا نتيجة لنظرية عدم وجود غداء مجاني . لاكتشاف جميع أنواع العلاقات، يتعين على هذه المقاييس التضحية بالقوة على العلاقات الأخرى، وخاصة بالنسبة للحالة الخاصة المهمة للعلاقة الخطية مع الهامش الغوسي، والتي يكون فيها ارتباط بيرسون هو الأمثل. هناك مشكلة أخرى تتعلق بالتفسير. في حين يمكن تفسير ارتباط بيرسون لجميع القيم، لا يمكن تفسير المقاييس البديلة بشكل عام إلا بشكل هادف عند الحدود القصوى. ^[14]

بالنسبة لمتغيرين ثنائيين ، تقيس نسبة الأرجحية اعتمادهما، وتأخذ نطاقًا من الأرقام غير السلبية، وربما اللانهاية: ⁠ ⁠${\displaystyle [0,+\infty ]}$ . تعمل الإحصاءات ذات الصلة مثل Y لـ Yule و Q لـ Yule على تطبيع هذا النطاق الشبيه بالارتباط ⁠ ⁠${\displaystyle [-1,1]}$ . يتم تعميم نسبة الأرجحية بواسطة النموذج اللوجستي لنمذجة الحالات التي تكون فيها المتغيرات التابعة منفصلة وقد يكون هناك متغير مستقل واحد أو أكثر.

إن نسبة الارتباط ، والمعلومات المتبادلة القائمة على الإنتروبيا ، والارتباط الكلي ، والارتباط الكلي المزدوج والارتباط المتعدد قادرة أيضًا على اكتشاف المزيد من التبعيات العامة، كما هو الحال بالنسبة للنظر في الارتباط بينهما، في حين يعمم معامل التحديد معامل الارتباط إلى الانحدار المتعدد .

لا تعتمد درجة الاعتماد بين المتغيرين X و Y على المقياس الذي يتم التعبير عن المتغيرات به. أي أنه إذا كنا نحلل العلاقة بين X و Y ، فإن معظم مقاييس الارتباط لا تتأثر بتحويل X إلى a + bX و Y إلى c + dY ، حيث تكون a و b و c و d ثوابت ( حيث تكون b و d موجبة). وينطبق هذا على بعض إحصاءات الارتباط وكذلك نظائرها السكانية . كما أن بعض إحصاءات الارتباط، مثل معامل ارتباط الرتب، لا تتأثر أيضًا بالتحويلات الرتيبة للتوزيعات الهامشية لـ X و/أو Y.

إن أغلب مقاييس الارتباط حساسة للطريقة التي يتم بها أخذ عينات من متغيري X و Y. وتميل التبعيات إلى أن تكون أقوى إذا تم النظر إليها على نطاق أوسع من القيم. وبالتالي، إذا نظرنا إلى معامل الارتباط بين أطوال الآباء وأبنائهم على جميع الذكور البالغين، وقارناه بنفس معامل الارتباط المحسوب عندما يتم اختيار الآباء ليكون طولهم بين 165 سم و170 سم، فإن الارتباط سيكون أضعف في الحالة الأخيرة. وقد تم تطوير العديد من التقنيات التي تحاول تصحيح تقييد النطاق في أحد المتغيرين أو كليهما، وهي تستخدم عادة في التحليل التلوي؛ وأكثرها شيوعًا هي معادلات الحالة الثانية والثالثة لثورندايك. ^[15]

قد تكون مقاييس الارتباط المختلفة المستخدمة غير محددة لتوزيعات مشتركة معينة لـ X و Y. على سبيل المثال، يتم تعريف معامل ارتباط بيرسون من حيث اللحظات ، وبالتالي سيكون غير محدد إذا كانت اللحظات غير محددة. يتم دائمًا تعريف مقاييس الاعتماد القائمة على الكميات . قد تحتوي الإحصائيات القائمة على العينة والمقصود منها تقدير مقاييس الاعتماد السكانية أو لا تحتوي على خصائص إحصائية مرغوبة مثل كونها غير متحيزة أو متسقة بشكل مقارب ، بناءً على البنية المكانية للسكان الذين تم أخذ عينات منهم من البيانات.

يمكن استخدام الحساسية لتوزيع البيانات لصالحنا. على سبيل المثال، تم تصميم الارتباط المدرج لاستخدام الحساسية للنطاق من أجل انتقاء الارتباطات بين المكونات السريعة للسلاسل الزمنية . ^[16] من خلال تقليل نطاق القيم بطريقة خاضعة للرقابة، يتم تصفية الارتباطات على مقياس زمني طويل ويتم الكشف فقط عن الارتباطات على مقاييس زمنية قصيرة.

مصفوفة ارتباط المتغيرات العشوائية هي المصفوفة التي يكون مدخلها ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (i,j)}$

${\displaystyle c_{ij}:=\operatorname {corr} (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sigma _{X_{i}}\sigma _{X_{j}}}},\quad {\text{if}}\ \sigma _{X_{i}}\sigma _{X_{j}}>0.}$

وبالتالي، تكون جميع الإدخالات القطرية متطابقة تمامًا . إذا كانت مقاييس الارتباط المستخدمة عبارة عن معاملات حاصل اللحظة، فإن مصفوفة الارتباط هي نفسها مصفوفة التباين للمتغيرات العشوائية المعيارية لـ . وينطبق هذا على كل من مصفوفة ارتباطات السكان (وفي هذه الحالة يكون الانحراف المعياري للسكان)، ومصفوفة ارتباطات العينة (وفي هذه الحالة يشير إلى الانحراف المعياري للعينة). وبالتالي، فإن كل منهما بالضرورة مصفوفة موجبة شبه محددة . وعلاوة على ذلك، تكون مصفوفة الارتباط موجبة محددة تمامًا إذا لم يكن من الممكن توليد جميع قيم أي متغير بدقة كدالة خطية لقيم المتغيرات الأخرى. ${\displaystyle X_{i}/\sigma (X_{i})}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

مصفوفة الارتباط متماثلة لأن الارتباط بين و هو نفس الارتباط بين و . ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle X_{i}}$

تظهر مصفوفة الارتباط، على سبيل المثال، في صيغة واحدة لمعامل التحديد المتعدد ، وهو مقياس لمدى ملاءمة الانحدار المتعدد .

في النمذجة الإحصائية ، يتم تصنيف مصفوفات الارتباط التي تمثل العلاقات بين المتغيرات إلى هياكل ارتباط مختلفة، والتي تتميز بعوامل مثل عدد المعلمات المطلوبة لتقديرها. على سبيل المثال، في مصفوفة الارتباط القابلة للتبادل ، يتم نمذجة جميع أزواج المتغيرات على أنها لها نفس الارتباط، وبالتالي فإن جميع العناصر غير القطرية للمصفوفة متساوية مع بعضها البعض. من ناحية أخرى، غالبًا ما تُستخدم مصفوفة الانحدار التلقائي عندما تمثل المتغيرات سلسلة زمنية، حيث من المرجح أن تكون الارتباطات أكبر عندما تكون القياسات أقرب في الوقت. تشمل الأمثلة الأخرى المستقلة وغير المنظمة والمعتمدة على M و Toeplitz .

في تحليل البيانات الاستكشافي ، تتكون أيقونات الارتباطات من استبدال مصفوفة الارتباط برسم بياني حيث يتم تمثيل الارتباطات "الملحوظة" بخط متصل (ارتباط إيجابي)، أو خط منقط (ارتباط سلبي).

في بعض التطبيقات (على سبيل المثال، بناء نماذج البيانات من البيانات التي تمت ملاحظتها جزئيًا فقط)، يرغب المرء في العثور على مصفوفة الارتباط "الأقرب" إلى مصفوفة الارتباط "التقريبية" (على سبيل المثال، مصفوفة تفتقر عادةً إلى الإيجابية شبه المحددة بسبب الطريقة التي تم حسابها بها).

في عام 2002، قام هيغام ^[17] بصياغة مفهوم القرب رسميًا باستخدام معيار فروبينيوس وقدم طريقة لحساب مصفوفة الارتباط الأقرب باستخدام خوارزمية إسقاط دايكسترا ، والتي يتوفر تنفيذها كواجهة برمجة تطبيقات ويب عبر الإنترنت. ^[18]

وقد أثار هذا الاهتمام بالموضوع، مع الحصول على نتائج نظرية جديدة (على سبيل المثال، حساب أقرب مصفوفة ارتباط مع بنية العامل ^[19] ) ونتائج عددية (على سبيل المثال استخدام طريقة نيوتن لحساب أقرب مصفوفة ارتباط ^[20] ) في السنوات اللاحقة.

وبالمثل بالنسبة لعمليتين عشوائيتين و : إذا كانتا مستقلتين، فإنهما غير مرتبطتين. ^{[21] : ص. 151} قد لا يكون عكس هذا البيان صحيحًا. حتى إذا كان متغيران غير مرتبطين، فقد لا يكونان مستقلين عن بعضهما البعض. ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$

إن القول المأثور التقليدي بأن " الارتباط لا يعني التسبب " يعني أنه لا يمكن استخدام الارتباط في حد ذاته لاستنتاج علاقة سببية بين المتغيرات. ^[22] لا ينبغي أن يُفهم هذا القول على أنه لا يمكن للارتباطات أن تشير إلى الوجود المحتمل للعلاقات السببية. ومع ذلك، فإن الأسباب الكامنة وراء الارتباط، إن وجدت، قد تكون غير مباشرة وغير معروفة، كما تتداخل الارتباطات العالية مع علاقات الهوية ( التكرار )، حيث لا توجد عملية سببية. وبالتالي، فإن الارتباط بين متغيرين ليس شرطًا كافيًا لإثبات علاقة سببية (في أي اتجاه).

إن الارتباط بين العمر والطول عند الأطفال شفاف إلى حد ما من الناحية السببية، ولكن الارتباط بين الحالة المزاجية والصحة عند البشر أقل شفافية. فهل يؤدي تحسن الحالة المزاجية إلى تحسن الصحة، أم أن الصحة الجيدة تؤدي إلى مزاج جيد، أم أن كليهما؟ أم أن هناك عاملاً آخر يكمن وراء كليهما؟ بعبارة أخرى، يمكن اعتبار الارتباط دليلاً على وجود علاقة سببية محتملة، ولكن لا يمكن أن يشير إلى ماهية العلاقة السببية، إن وجدت.

يشير معامل ارتباط بيرسون إلى قوة العلاقة الخطية بين متغيرين، لكن قيمته لا تميز بشكل عام علاقتهما بشكل كامل. على وجه الخصوص، إذا لم يكن المتوسط ​​الشرطي لـ ، المشار إليه بـ ، خطيًا في ، فلن يحدد معامل الارتباط شكل . بشكل كامل.${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}$

تُظهر الصورة المجاورة مخططات تشتت لرباعية أنسكومب ، وهي مجموعة من أربعة أزواج مختلفة من المتغيرات التي أنشأها فرانسيس أنسكومب . ^[23] المتغيرات الأربعة لها نفس المتوسط ​​(7.5) والتباين (4.12) والارتباط (0.816) وخط الانحدار ( ). ومع ذلك، وكما يمكن رؤيته في المخططات، فإن توزيع المتغيرات مختلف تمامًا. يبدو أن الأول (أعلى اليسار) موزع بشكل طبيعي، ويتوافق مع ما يتوقعه المرء عند النظر في متغيرين مرتبطين واتباع افتراض الطبيعية. لا يتم توزيع الثاني (أعلى اليمين) بشكل طبيعي؛ في حين يمكن ملاحظة علاقة واضحة بين المتغيرين، إلا أنها ليست خطية. في هذه الحالة، لا يشير معامل ارتباط بيرسون إلى وجود علاقة وظيفية دقيقة: فقط المدى الذي يمكن فيه تقريب هذه العلاقة من خلال علاقة خطية. في الحالة الثالثة (أسفل اليسار)، تكون العلاقة الخطية مثالية، باستثناء قيمة شاذة واحدة تمارس تأثيرًا كافيًا لخفض معامل الارتباط من 1 إلى 0.816. وأخيرًا، يوضح المثال الرابع (أسفل اليمين) مثالًا آخر عندما تكون قيمة شاذة واحدة كافية لإنتاج معامل ارتباط مرتفع، على الرغم من أن العلاقة بين المتغيرين ليست خطية. ${\displaystyle y}$${\textstyle y=3+0.5x}$

تشير هذه الأمثلة إلى أن معامل الارتباط، كإحصاء موجز ، لا يمكن أن يحل محل الفحص البصري للبيانات. يُقال أحيانًا أن الأمثلة توضح أن معامل ارتباط بيرسون يفترض أن البيانات تتبع توزيعًا طبيعيًا ، لكن هذا صحيح جزئيًا فقط. ^[4] يمكن حساب معامل ارتباط بيرسون بدقة لأي توزيع يحتوي على مصفوفة تباين محدودة ، والتي تتضمن معظم التوزيعات التي نواجهها في الممارسة العملية. ومع ذلك، فإن معامل ارتباط بيرسون (مع متوسط ​​العينة والتباين) لا يكون إحصائيًا كافيًا إلا إذا تم سحب البيانات من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات . ونتيجة لذلك، فإن معامل ارتباط بيرسون يميز العلاقة بين المتغيرات بشكل كامل إذا وفقط إذا تم سحب البيانات من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات.

إذا كان زوج من المتغيرات العشوائية يتبع توزيعًا طبيعيًا ثنائي المتغير ، فإن المتوسط ​​الشرطي هو دالة خطية لـ ، والمتوسط ​​الشرطي هو دالة خطية لـ معامل الارتباط بين و والمتوسطات الهامشية والتباينات لـ و حدد هذه العلاقة الخطية: ${\displaystyle \ (X,Y)\ }$${\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (X\mid Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y\mid X)}$${\displaystyle \ X~.}$${\displaystyle \ \rho _{X,Y}\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ Y\ ,}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ Y\ }$

${\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y\mid X)=\operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y)+\rho _{X,Y}\cdot \sigma _{Y}\cdot {\frac {\ X-\operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (X)\ }{\sigma _{X}}}\ ,}$

حيث و هي القيم المتوقعة لـ و على التوالي، و و هي الانحرافات المعيارية لـ و على التوالي. ${\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (X)}$${\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {E}}} (Y)}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ Y\ ,}$${\displaystyle \ \sigma _{X}\ }$${\displaystyle \ \sigma _{Y}\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ Y\ ,}$

الارتباط التجريبي هو تقدير لمعامل الارتباط وتقدير التوزيع لـ يعطى بواسطة ${\displaystyle r}$${\displaystyle \ \rho ~.}$${\displaystyle \ \rho \ }$

$${\displaystyle \pi (\rho \mid r)={\frac {\ \Gamma (N)\ }{\ {\sqrt {2\pi \ }}\cdot \Gamma (N-{\tfrac {\ 1\ }{2}})\ }}\cdot {\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}^{\frac {\ N\ -2\ }{2}}\cdot {\bigl (}1-\rho ^{2}{\bigr )}^{\frac {\ N-3\ }{2}}\cdot {\bigl (}1-r\rho {\bigr )}^{-N+{\frac {\ 3\ }{2}}}\cdot F_{\mathsf {Hyp}}\left(\ {\tfrac {\ 3\ }{2}},-{\tfrac {\ 1\ }{2}};N-{\tfrac {\ 1\ }{2}};{\frac {\ 1+r\rho \ }{2}}\ \right)\ }$$

أين هي الدالة الهندسية الفائقة الجاوسية ؟ ${\displaystyle \ F_{\mathsf {Hyp}}\ }$

هذه الكثافة هي كثافة خلفية بايزية وكثافة توزيع ثقة مثالية دقيقة . ^{[24] [25]}

• كوهين، جيه؛ كوهين ب؛ ويست، إس جي وآيكين، إل إس (2002). تحليل الانحدار المتعدد/الارتباط التطبيقي للعلوم السلوكية (الطبعة الثالثة). دار نشر سايكولوجي. رقم ISBN 978-0-8058-2223-6.
• "الارتباط (في الإحصاء)"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• أوسترايشر، جيه. و دي آر. (26 فبراير 2015). طاعون المتساوين: رواية علمية مثيرة عن الأمراض الدولية والسياسة واكتشاف الأدوية . كاليفورنيا: أوميجا كات برس. ص. 408. رقم ISBN 978-0963175540.

• صفحة MathWorld حول معامل/معاملات الارتباط المتبادل لعينة
• حساب الأهمية بين ارتباطين، لمقارنة قيمتي الارتباط.
• "مجموعة أدوات MATLAB لحساب معاملات الارتباط المرجحة". مؤرشف من الأصل في 24 أبريل 2021.
• إثبات أن الارتباط الثنائي للعينة له حدود زائد أو ناقص 1
• محاكاة فلاش تفاعلية حول ارتباط متغيرين موزعين بشكل طبيعي بواسطة Juha Puranen.
• تحليل الارتباط. الإحصاءات الطبية الحيوية
• تصور الارتباط بين متغيرين رقميين باستخدام برنامج R-Psychologist