نموذج سولو-سوان

جزء من سلسلة عن
الاقتصاد الكلي
المفاهيم الأساسية الطلب الكلي العرض الكلي دورة الأعمال معدل النمو السنوي المركب الانكماش صدمة الطلب انكماش التضخم الطلب الفعال التوقعات متكيف عاقِل الأزمة المالية نمو تضخم اقتصادي الطلب-السحب دفع التكاليف سعر الفائدة استثمار فخ السيولة مقاييس الدخل القومي والناتج الناتج المحلي الإجمالي الدخل القومي الإجمالي نني أساسيات دقيقة مال داخلي المنشأ خلق المال الطلب على النقود تفضيل السيولة المعروض النقدي الحسابات القومية الحسابات القومية الصلابة الاسمية مستوى السعر ركود التضخم الانكماشي الركود التضخمي صدمة العرض توفير البطالة
Policies Fiscal Monetary Commercial Central bank Universal basic income
Models IS–LM AD–AS Keynesian cross Multiplier Accelerator Phillips curve Arrow–Debreu Harrod–DomarНмиф Solow–Swan Ramsey–Cass–Koopmans Overlapping generations General equilibrium DSGE Endogenous growth Matching theory Mundell–Fleming Overshooting NAIRU
Related fields Econometrics Economic statistics Monetary economics Development economics International economics
Schools Mainstream Keynesian Neo- New Monetarism New classical Real business-cycle theory Stockholm Supply-side New neoclassical synthesis Saltwater and freshwater Heterodox Austrian Chartalism Modern monetary theory Ecological Post-Keynesian Circuitism Disequilibrium Marxian Market monetarism
People François Quesnay Adam Smith Thomas Robert Malthus Karl Marx Léon Walras Knut Wicksell Irving Fisher Wesley Clair Mitchell John Maynard Keynes Alvin Hansen Michał Kalecki Gunnar Myrdal Simon Kuznets Joan Robinson Friedrich Hayek John Hicks Richard Stone Hyman Minsky Milton Friedman Paul Samuelson Lawrence Klein Edmund Phelps Robert Lucas Jr. Edward C. Prescott Peter Diamond William Nordhaus Joseph Stiglitz Thomas J. Sargent Paul Krugman N. Gregory Mankiw
See also Macroeconomic model Publications in macroeconomics Economics Applied Microeconomics Political economy Mathematical economics
Money portal Business portal
v t e

نموذج سولو-سوان أو نموذج النمو الخارجي هو نموذج اقتصادي للنمو الاقتصادي طويل الأمد . يحاول شرح النمو الاقتصادي طويل الأمد من خلال النظر في تراكم رأس المال أو العمالة أو نمو السكان وزيادة الإنتاجية المدفوعة إلى حد كبير بالتقدم التكنولوجي. في جوهره، هو دالة إنتاج مجمعة ، غالبًا ما يتم تحديدها على أنها من نوع كوب-دوجلاس ، مما يمكّن النموذج "من الاتصال بالاقتصاد الجزئي ". ^{[1] : 26} تم تطوير النموذج بشكل مستقل من قبل روبرت سولو وتريفور سوان في عام 1956، ^{[2] [3] [ملاحظة 1]} وحل محل نموذج هارود-دومار الكينزي .

من الناحية الرياضية، نموذج سولو-سوان هو نظام غير خطي يتكون من معادلة تفاضلية عادية واحدة تحاكي تطور مخزون رأس المال للفرد . ونظرًا لخصائصه الرياضية الجذابة بشكل خاص، أثبت نموذج سولو-سوان أنه نقطة بداية ملائمة للعديد من التوسعات. على سبيل المثال، في عام 1965، قام ديفيد كاس وتجالينج كوبمانز بدمج تحليل فرانك رامزي لتحسين المستهلك، ^[4] وبالتالي إضفاء الطابع الداخلي ^[5] على معدل الادخار ، لإنشاء ما يُعرف الآن باسم نموذج رامزي-كاس-كوبمانز .

كان نموذج سولو-سوان امتدادًا لنموذج هارود-دومار لعام 1946 الذي أسقط الافتراض التقييدي بأن رأس المال فقط هو الذي يساهم في النمو (طالما أن هناك عمالة كافية لاستخدام رأس المال بالكامل). جاءت المساهمات المهمة في النموذج من العمل الذي قام به سولو وسوان في عام 1956، اللذين طورا بشكل مستقل نماذج نمو بسيطة نسبيًا. ^{[2] [3]} نجح نموذج سولو في ملاءمة البيانات المتاحة عن النمو الاقتصادي الأمريكي مع بعض النجاح. ^[6] في عام 1987، حصل سولو على جائزة نوبل في الاقتصاد عن عمله. اليوم، يستخدم خبراء الاقتصاد محاسبة مصادر النمو لسولو لتقدير التأثيرات المنفصلة على النمو الاقتصادي للتغير التكنولوجي ورأس المال والعمالة. ^[7]

يعد نموذج سولو أيضًا أحد النماذج الأكثر استخدامًا في الاقتصاد لتفسير النمو الاقتصادي. ^[8] في الأساس، يؤكد هذا النموذج أن النتائج المتعلقة بـ " إنتاجية العوامل الكلية (TFP) يمكن أن تؤدي إلى زيادات لا حدود لها في مستوى المعيشة في بلد ما". ^[8]

لقد قام سولو بتوسيع نموذج هارود-دومار بإضافة العمل كعامل للإنتاج ونسب رأس المال إلى الناتج التي ليست ثابتة كما هي في نموذج هارود-دومار. تسمح هذه التحسينات بالتمييز بين كثافة رأس المال المتزايدة والتقدم التكنولوجي. يرى سولو أن دالة الإنتاج ذات النسب الثابتة "افتراض حاسم" لنتائج عدم الاستقرار في نموذج هارود-دومار. يتوسع عمله الخاص في هذا الأمر من خلال استكشاف آثار المواصفات البديلة، وهي كوب-دوجلاس ومرونة الاستبدال الثابتة الأكثر عمومية (CES) . ^[2] على الرغم من أن هذه أصبحت القصة القانونية والمشهورة ^[9] في تاريخ الاقتصاد، والتي ظهرت في العديد من الكتب المدرسية الاقتصادية، ^[10] فإن إعادة التقييم الأخيرة لعمل هارود قد طعنت فيها. أحد الانتقادات الرئيسية هو أن القطعة الأصلية لهارود ^[11] لم تكن معنية بشكل أساسي بالنمو الاقتصادي ولم يستخدم صراحةً دالة إنتاج ذات نسب ثابتة. ^{[10] [12]}

إن نموذج سولو القياسي يتنبأ بأن الاقتصادات تتقارب في الأمد البعيد إلى حالة التوازن في النمو وأن النمو الدائم في دخل الفرد لا يمكن تحقيقه إلا من خلال التقدم التكنولوجي. إن التحولات في الادخار والنمو السكاني لا تسبب سوى تأثيرات مستوية في الأمد البعيد (أي في القيمة المطلقة للدخل الحقيقي للفرد). ومن بين الاستنتاجات المثيرة للاهتمام لنموذج سولو أن البلدان الفقيرة لابد وأن تنمو بشكل أسرع وأن تلحق في نهاية المطاف بالبلدان الأكثر ثراءً. ويمكن تفسير هذا التقارب على النحو التالي: ^[13]

• التأخر في نشر المعرفة. وقد تتقلص الفوارق في الدخل الحقيقي مع حصول البلدان الفقيرة على تكنولوجيا ومعلومات أفضل؛
• التخصيص الفعّال لتدفقات رأس المال الدولية، حيث ينبغي أن يكون معدل العائد على رأس المال أعلى في البلدان الأكثر فقراً. وفي الممارسة العملية، نادراً ما نلاحظ هذا الأمر، وهو ما يُعرف باسم مفارقة لوكاس ؛
• استنتاج رياضي للنموذج (على افتراض أن البلدان الفقيرة لم تصل بعد إلى حالتها المستقرة).

حاول بومول التحقق من ذلك تجريبياً ووجد ارتباطًا قويًا للغاية بين نمو الناتج في دولة ما على مدى فترة طويلة من الزمن (1870 إلى 1979) وثروتها الأولية. ^{[14] وقد طعن} ديلونج في نتائجه لاحقًا، حيث زعم أن عدم عشوائية الدول التي تم أخذ عينات منها، وإمكانية حدوث أخطاء قياس كبيرة لتقديرات الدخل الحقيقي للفرد في عام 1870، قد أثر على نتائج بومول. ويخلص ديلونج إلى وجود القليل من الأدلة لدعم نظرية التقارب.

الافتراض الرئيسي لنموذج النمو سولو-سوان هو أن رأس المال يخضع لعوائد متناقصة في اقتصاد مغلق.

• بالنظر إلى مخزون ثابت من العمالة، فإن تأثير الوحدة الأخيرة من رأس المال المتراكم على الناتج سيكون دائمًا أقل من الوحدة السابقة.
• بافتراض عدم وجود تقدم تكنولوجي أو نمو في القوى العاملة، فإن العائدات المتناقصة تعني أنه في مرحلة ما، لن يكون مقدار رأس المال الجديد المنتج كافياً لتعويض مقدار رأس المال الحالي المفقود بسبب الاستهلاك. ^[1] في هذه المرحلة، وبسبب افتراض عدم وجود تقدم تكنولوجي أو نمو في القوى العاملة، يمكننا أن نرى أن الاقتصاد يتوقف عن النمو.
• إن افتراض معدلات غير صفرية لنمو العمالة من شأنه أن يعقد الأمور إلى حد ما، ولكن المنطق الأساسي لا يزال ينطبق ^[2] ــ ففي الأمد القريب، يتباطأ معدل النمو مع تأثير العوائد المتناقصة ويتقارب الاقتصاد مع معدل ثابت من النمو "في حالة مستقرة" (أي عدم وجود نمو اقتصادي للفرد).
• إن إدراج التقدم التكنولوجي غير الصفري يشبه إلى حد كبير افتراض نمو القوى العاملة غير الصفري، من حيث "العمالة الفعالة": يتم الوصول إلى حالة مستقرة جديدة مع إنتاج ثابت لكل ساعة عمل مطلوبة لوحدة الإنتاج . ومع ذلك، في هذه الحالة، ينمو الناتج الفردي بمعدل التقدم التكنولوجي في "الحالة المستقرة" ^[3] (أي معدل نمو الإنتاجية ).

في نموذج سولو-سوان، يُطلق على التغيير غير المبرر في نمو الناتج بعد احتساب تأثير تراكم رأس المال اسم المتبقي سولو . يقيس هذا المتبقي الزيادة الخارجية في إجمالي إنتاجية العوامل (TFP) خلال فترة زمنية معينة. غالبًا ما تُعزى الزيادة في إجمالي إنتاجية العوامل بالكامل إلى التقدم التكنولوجي، ولكنها تشمل أيضًا أي تحسن دائم في الكفاءة التي يتم بها الجمع بين عوامل الإنتاج بمرور الوقت. يتضمن نمو إجمالي إنتاجية العوامل ضمنيًا أي تحسينات دائمة في الإنتاجية تنتج عن تحسين ممارسات الإدارة في القطاعين الخاص أو العام من الاقتصاد. ومن عجيب المفارقات أنه على الرغم من أن نمو إجمالي إنتاجية العوامل خارجي في النموذج، إلا أنه لا يمكن ملاحظته، لذلك لا يمكن تقديره إلا بالتزامن مع التقدير المتزامن لتأثير تراكم رأس المال على النمو خلال فترة زمنية معينة.

يمكن إعادة صياغة النموذج بطرق مختلفة قليلاً باستخدام افتراضات إنتاجية مختلفة، أو مقاييس قياس مختلفة:

• متوسط ​​إنتاجية العمل ( ALP ) هو الناتج الاقتصادي لكل ساعة عمل.
• الإنتاجية متعددة العوامل ( MFP ) هي الناتج مقسومًا على متوسط ​​مرجح لمدخلات رأس المال والعمالة. تعتمد الأوزان المستخدمة عادةً على إجمالي حصص المدخلات التي يكسبها أي عامل. غالبًا ما يتم اقتباس هذه النسبة على النحو التالي: 33% عائدًا على رأس المال و67% عائدًا على العمالة (في الدول الغربية).

في الاقتصاد المتنامي، يتراكم رأس المال بشكل أسرع من ولادة الناس، وبالتالي فإن المقام في دالة النمو بموجب حساب MFP ينمو بشكل أسرع من حساب ALP. وبالتالي، فإن نمو MFP يكون دائمًا أقل من نمو ALP تقريبًا. (لذلك، فإن القياس بمصطلحات ALP يزيد من تأثير تعميق رأس المال الواضح ). يتم قياس MFP من خلال " البقايا Solow "، وليس ALP.

تم وضع نموذج سولو-سوان في كتاب مدرسي في عالم مستمر بدون حكومة أو تجارة دولية. يتم إنتاج سلعة واحدة (إخراج) باستخدام عاملين للإنتاج ، العمالة ( ) ورأس المال ( ) في دالة إنتاج إجمالية تلبي شروط إينادا ، والتي تعني أن مرونة الاستبدال يجب أن تكون مساوية تقريبًا لواحد. ^{[15] [16]}${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

حيث يشير إلى الوقت، هو مرونة الناتج بالنسبة لرأس المال، ويمثل الإنتاج الكلي. يشير إلى التكنولوجيا التي تزيد من العمالة أو " المعرفة "، وبالتالي يمثل العمالة الفعالة. يتم توظيف جميع عوامل الإنتاج بالكامل، ويتم إعطاء القيم الأولية ، و، و . ينمو عدد العمال، أي العمالة، وكذلك مستوى التكنولوجيا خارجيًا بمعدلات و ، على التوالي: ${\displaystyle t}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle A(0)}$${\displaystyle K(0)}$${\displaystyle L(0)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

وبالتالي، فإن عدد وحدات العمل الفعالة ، ينمو بمعدل . وفي الوقت نفسه، تنخفض قيمة مخزون رأس المال بمرور الوقت بمعدل ثابت . ومع ذلك، يتم استهلاك جزء بسيط فقط من الناتج ( ب)، مما يترك حصة مدخرة للاستثمار . ويتم التعبير عن هذه الديناميكية من خلال المعادلة التفاضلية التالية : ${\displaystyle A(t)L(t)}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle cY(t)}$${\displaystyle 0<c<1}$${\displaystyle s=1-c}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

حيث هو اختصار لـ ، المشتقة بالنسبة للوقت. المشتقة بالنسبة للوقت تعني أنها التغير في مخزون رأس المال - الناتج الذي لا يتم استهلاكه ولا استخدامه لاستبدال السلع الرأسمالية القديمة البالية هو الاستثمار الصافي. ${\displaystyle {\dot {K}}}$${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$

نظرًا لأن دالة الإنتاج لها عوائد ثابتة على الحجم ، فيمكن كتابتها على أنها الناتج لكل وحدة عمل فعالة ، وهو مقياس لخلق الثروة: ^{[ملاحظة 2]}${\displaystyle Y(K,AL)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

إن الاهتمام الرئيسي للنموذج هو ديناميكيات كثافة رأس المال ، أي مخزون رأس المال لكل وحدة من العمالة الفعالة. ويتضح سلوكه بمرور الوقت من خلال المعادلة الأساسية لنموذج سولو-سوان: ^{[ملاحظة 3]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

المصطلح الأول، ، هو الاستثمار الفعلي لكل وحدة عمل فعالة: جزء الناتج لكل وحدة عمل فعالة يتم توفيره واستثماره. المصطلح الثاني، ، هو "الاستثمار المتعادل": مقدار الاستثمار الذي يجب استثماره لمنع الانخفاض. ^{[17] : 16} تشير المعادلة إلى أن يتقارب إلى قيمة ثابتة لـ ، والتي يتم تعريفها بواسطة ، حيث لا يوجد زيادة ولا نقصان في كثافة رأس المال: ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle k^{*}}$${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

حيث ينمو مخزون رأس المال والعمالة الفعالة بمعدل . وبالمثل، من الممكن حساب الحالة الثابتة للثروة المخلوقة التي تتوافق مع : ${\displaystyle K}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle y^{*}}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

وبافتراض عوائد ثابتة، فإن الناتج ينمو أيضًا بنفس المعدل. وفي الأساس، يتنبأ نموذج سولو-سوان بأن الاقتصاد سوف يتقارب إلى حالة توازن النمو المتوازن ، بغض النظر عن نقطة البداية. وفي هذه الحالة، يتحدد نمو الناتج لكل عامل فقط بمعدل التقدم التكنولوجي. ^{[17] : 18}${\displaystyle Y}$

نظرًا لأنه، بحكم التعريف، في حالة التوازن لدينا ${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

لذلك، في حالة التوازن، تعتمد نسبة رأس المال/الناتج فقط على معدلات الادخار والنمو والاستهلاك. وهذه هي نسخة نموذج سولو-سوان من القاعدة الذهبية لمعدل الادخار .

منذ ذلك الحين ، في أي وقت، يكون المنتج الهامشي لرأس المال في نموذج سولو-سوان مرتبطًا عكسيًا بنسبة رأس المال/العمالة. ${\displaystyle {\alpha }<1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

إذا كانت الإنتاجية متساوية عبر البلدان، فإن البلدان التي يقل فيها رأس المال لكل عامل لديها ناتج هامشي أعلى، وهو ما من شأنه أن يوفر عائداً أعلى على الاستثمار الرأسمالي. ونتيجة لهذا، يتوقع النموذج أنه في عالم من اقتصادات السوق المفتوحة ورأس المال المالي العالمي، سوف يتدفق الاستثمار من البلدان الغنية إلى البلدان الفقيرة، حتى يتساوى رأس المال/العامل والدخل/العامل عبر البلدان. ${\displaystyle A}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle Y/L}$

وبما أن الناتج الهامشي لرأس المال المادي ليس أعلى في البلدان الفقيرة منه في البلدان الغنية، ^[18] فإن هذا يعني ضمناً أن الإنتاجية أقل في البلدان الفقيرة. ولا يستطيع نموذج سولو الأساسي أن يفسر سبب انخفاض الإنتاجية في هذه البلدان. ​​واقترح لوكاس أن انخفاض مستويات رأس المال البشري في البلدان الفقيرة قد يفسر انخفاض الإنتاجية. ^[19]

لأن الناتج الهامشي لرأس المال يساوي معدل العائد${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,}$

وهذا هو الكسر من الدخل الذي يخصصه رأس المال. وعلى هذا فإن نموذج سولو-سوان يفترض منذ البداية أن تقسيم الدخل بين العمل ورأس المال ثابت. ${\displaystyle \alpha }$

في عام 1992، وضع ن. جريجوري مانكيو وديفيد رومر وديفيد ن. ويل نظرية لنسخة من نموذج سولو-سوان، مع توسيعها لتشمل دورًا لرأس المال البشري ، والذي يمكن أن يفسر فشل الاستثمار الدولي في التدفق إلى البلدان الفقيرة. ^[20] في هذا النموذج، يكون الناتج والناتج الهامشي لرأس المال (ك) أقل في البلدان الفقيرة لأن لديها رأس مال بشري أقل من البلدان الغنية.

على غرار نموذج سولو-سوان الموجود في الكتب المدرسية، فإن دالة الإنتاج هي من نوع كوب-دوجلاس:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

حيث يمثل مخزون رأس المال البشري، الذي ينخفض ​​بنفس معدل انخفاض رأس المال المادي. وللتبسيط، يفترضون نفس وظيفة التراكم لكلا النوعين من رأس المال. وكما هو الحال في نموذج سولو-سوان، يتم توفير جزء من النتيجة، ، في كل فترة، ولكن في هذه الحالة يتم تقسيمه واستثماره جزئيًا في رأس المال المادي وجزئيًا في رأس المال البشري، بحيث . وبالتالي، هناك معادلتان ديناميكيتان أساسيتان في هذا النموذج: ${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle sY(t)}$${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

يتم تحديد مسار النمو المتوازن (أو المستقر) بواسطة ، مما يعني و . حل مستوى الحالة المستقرة لـ و يعطي: ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

في الحالة المستقرة، . ${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$

وقد ألقى كليناو ورودريجيز كلير بظلال من الشك على صحة النموذج الموسع لأن تقديرات مانكيو ورومر وويل لم تبدو متسقة مع التقديرات المقبولة لتأثير الزيادات في التعليم على رواتب العمال. ورغم أن النموذج المقدر أوضح 78% من التباين في الدخل عبر البلدان، فإن تقديرات 1 كانت تعني ضمناً أن التأثيرات الخارجية لرأس المال البشري على الدخل الوطني أكبر من تأثيره المباشر على رواتب العمال. ^[21]${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

وقد قدم ثيودور بريتون رؤية ثاقبة نجحت في التوفيق بين التأثير الكبير لرأس المال البشري من التعليم في نموذج مانكيو ورومر وويل والتأثير الأصغر للتعليم على رواتب العمال. وقد أثبت أن الخصائص الرياضية للنموذج تتضمن تأثيرات خارجية كبيرة بين عوامل الإنتاج، لأن رأس المال البشري ورأس المال المادي هما عاملان مضاعفان للإنتاج. ^[22] والتأثير الخارجي لرأس المال البشري على إنتاجية رأس المال المادي واضح في الناتج الهامشي لرأس المال المادي:

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

وقد أظهر أن التقديرات الكبيرة لتأثير رأس المال البشري في التقديرات عبر البلدان للنموذج تتفق مع التأثير الأصغر الذي نجده عادة على رواتب العمال عندما نأخذ في الاعتبار التأثيرات الخارجية لرأس المال البشري على رأس المال المادي والعمالة. وتعزز هذه الرؤية بشكل كبير الحجة لصالح نسخة مانكيو ورومر وويل من نموذج سولو-سوان. وتفشل معظم التحليلات التي تنتقد هذا النموذج في تفسير التأثيرات الخارجية المالية لكلا النوعين من رأس المال المتأصل في النموذج. ^[22]

إن معدل نمو إجمالي إنتاجية العوامل الخارجية في نموذج سولو-سوان هو المتبقي بعد احتساب تراكم رأس المال. يقدم نموذج مانكيو ورومر وويل تقديرًا أقل لإجمالي إنتاجية العوامل الخارجية من نموذج سولو-سوان الأساسي لأن إضافة رأس المال البشري إلى النموذج تمكن تراكم رأس المال من تفسير المزيد من التباين في الدخل عبر البلدان. ​​في النموذج الأساسي، يشمل المتبقي من إجمالي إنتاجية العوامل الخارجية تأثير رأس المال البشري لأن رأس المال البشري غير مدرج كعامل من عوامل الإنتاج.

ويتوقع نموذج سولو-سوان المعزز برأس المال البشري أن مستويات الدخل في البلدان الفقيرة سوف تميل إلى اللحاق بمستويات الدخل في البلدان الغنية أو التقارب معها إذا كانت معدلات الادخار في البلدان الفقيرة مماثلة لكل من رأس المال المادي ورأس المال البشري كنسبة من الناتج، وهي العملية المعروفة باسم التقارب المشروط. ومع ذلك، فإن معدلات الادخار تختلف على نطاق واسع عبر البلدان. ​​وعلى وجه الخصوص، نظرًا لوجود قيود تمويلية كبيرة للاستثمار في التعليم، فمن المرجح أن تختلف معدلات الادخار لرأس المال البشري كدالة للخصائص الثقافية والإيديولوجية في كل بلد. ^[23]

منذ الخمسينيات من القرن العشرين، لم يتقارب معدل الناتج/العامل في البلدان الغنية والفقيرة عمومًا، ولكن البلدان الفقيرة التي رفعت معدلات ادخارها بشكل كبير شهدت تقارب الدخل الذي تنبأ به نموذج سولو-سوان. على سبيل المثال، تقارب معدل الناتج/العامل في اليابان ، وهي دولة كانت فقيرة نسبيًا ذات يوم، إلى مستوى البلدان الغنية. شهدت اليابان معدلات نمو مرتفعة بعد أن رفعت معدلات الادخار في الخمسينيات والستينيات من القرن العشرين، وشهدت تباطؤ نمو الناتج/العامل منذ استقرار معدلات الادخار لديها حوالي عام 1970، كما تنبأ النموذج.

كانت مستويات دخل الفرد في الولايات الجنوبية من الولايات المتحدة تميل إلى التقارب مع مستويات الولايات الشمالية. والتقارب الملحوظ في هذه الولايات يتفق أيضاً مع مفهوم التقارب المشروط . ويتوقف حدوث التقارب المطلق بين البلدان أو المناطق على ما إذا كانت تتمتع بخصائص مماثلة، مثل:

• سياسة التعليم
• الترتيبات المؤسسية
• الأسواق الحرة داخليا، وسياسة التجارة مع البلدان الأخرى. ^[24]

وتأتي أدلة إضافية على التقارب الشرطي من الانحدارات المتعددة المتغيرات عبر البلدان. ^​​[25]

وقد توصل التحليل الاقتصادي القياسي في سنغافورة وغيرها من " نمور شرق آسيا " إلى النتيجة المدهشة التالية: على الرغم من ارتفاع الناتج لكل عامل، فإن أياً من النمو السريع في هذه البلدان لم يكن راجعاً إلى ارتفاع إنتاجية الفرد (لدى هذه البلدان " بقايا سولو " منخفضة). ^[7]

• النمو الاقتصادي
• نظرية النمو الداخلي

• أجينور، بيير ريتشارد (2004). "النمو والتقدم التكنولوجي: نموذج سولو-سوان". اقتصاديات التكيف والنمو (الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة هارفارد. ص 439-462. رقم ISBN 978-0-674-01578-4.
• بارو، روبرت جيه ؛ سالا-اي-مارتن، زافييه (2004). "نماذج النمو بمعدلات الادخار الخارجية". النمو الاقتصادي (الطبعة الثانية). نيويورك: ماكجرو هيل. ص 23-84. رقم ISBN 978-0-262-02553-9.
• بورميستر، إدوين؛ دوبيل، أ. رودني (1970). "نماذج النمو القطاعي الواحد". النظريات الرياضية للنمو الاقتصادي . نيويورك: ماكميلان. ص 20-64.
• دورنبوش، روديجر ؛ فيشر، ستانلي ؛ ستارتز، ريتشارد (2004). "نظرية النمو: النموذج الكلاسيكي الجديد". الاقتصاد الكلي (الطبعة التاسعة). نيويورك: ماكجرو هيل إروين. ص 61-75. رقم ISBN 978-0-07-282340-0.
• فارمر، روجر إي إيه (1999). "نظرية النمو الكلاسيكية الجديدة". الاقتصاد الكلي (الطبعة الثانية). سينسيناتي: ساوث ويسترن. ص 333-355. رقم ISBN 978-0-324-12058-5.
• فيرجسون، بريان س.؛ ليم، جي سي (1998). مقدمة إلى النماذج الاقتصادية الديناميكية. مانشستر: مطبعة جامعة مانشستر. ص 42-48. رقم ISBN 978-0-7190-4996-5.
• جاندولفو، جيانكارلو (1996). "نموذج النمو الكلاسيكي الجديد". الديناميكيات الاقتصادية (الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر. ص 175-189. رقم ISBN 978-3-540-60988-9.
• هالسماير، فيرينا (2014). "من النمذجة الاستكشافية إلى الخبرة الفنية: نموذج نمو سولو كتصميم متعدد الأغراض". تاريخ الاقتصاد السياسي . 46 (الملحق 1، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا وتحول الاقتصاد الأمريكي ): 229-251. doi :10.1215/00182702-2716181 . تم الاسترجاع في 2017-11-29 .
• Intriligator, Michael D. (1971). التحسين الرياضي والنظرية الاقتصادية. إنجلوود كليفس: برنتيس هول. ص 398-416. ISBN 978-0-13-561753-3.
• فان ريجكيغيم ويلي (1963): بنية بعض نماذج النمو الاقتصادي الكلي: مقارنة. أرشيف الاقتصاد العالمي المجلد 91 ص 84-100

• فيديوهات نموذج سولو - أكثر من 20 فيديو توضح كيفية استنباط استنتاجات نموذج سولو للنمو
• شرح بالفيديو من جامعة الثورة الهامشية
• أداة Java حيث يمكنك تجربة المعلمات والتعرف على نموذج Solow
• نموذج النمو السولو بقلم فيونا ماكلاشلان، مشروع العروض التوضيحية لـ ولفرام .
• شرح خطوة بخطوة لكيفية فهم نموذج سولو
• دورة البروفيسور خوسيه فيكتور ريوس رول في جامعة مينيسوتا