قوانين نيوتن للحركة

جزء من سلسلة عن
الميكانيكا الكلاسيكية
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ القانون الثاني للحركة
تاريخ الخط الزمني الكتب المدرسية
الفروع مُطبَّق سماوي استمرارية ديناميكيات نظرية المجال علم الحركة الحركية الإحصائيات الميكانيكا الإحصائية
الأساسيات تسريع الزخم الزاوي زوج مبدأ دالمبيرت طاقة حركي محتمل قوة إطار مرجعي الإطار المرجعي بالقصور الذاتي دفعة القصور الذاتي  / عزم القصور الذاتي كتلة القوة الميكانيكية العمل الميكانيكي لحظة دَفعَة فضاء سرعة وقت عزم الدوران سرعة العمل الافتراضي
تركيبات قوانين نيوتن للحركة الميكانيكا التحليلية ميكانيكا لاغرانج ميكانيكا هاملتونية ميكانيكا روثيان معادلة هاملتون-جاكوبي معادلة آبل للحركة ميكانيكا كوبمان-فون نيومان
المواضيع الأساسية التخميد النزوح معادلات الحركة قوانين أويلر للحركة قوة وهمية احتكاك Harmonic oscillator Inertial / Non-inertial reference frame Motion (linear) Newton's law of universal gravitation Newton's laws of motion Relative velocity Rigid body dynamics Euler's equations Simple harmonic motion Vibration
Rotation Circular motion Rotating reference frame Centripetal force Centrifugal force reactive Coriolis force Pendulum Tangential speed Rotational frequency Angular acceleration / displacement / frequency / velocity
Scientists Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Maupertuis Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Poisson Hamilton Jacobi Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Physics portal  Category
v t e

قوانين نيوتن للحركة هي ثلاثة قوانين فيزيائية تصف العلاقة بين حركة جسم والقوى المؤثرة عليه. يمكن صياغة هذه القوانين، التي تشكل الأساس لميكانيكا نيوتن ، على النحو التالي:

1. يظل الجسم ساكنًا أو متحركًا بسرعة ثابتة في خط مستقيم، إلا إذا أثرت عليه قوة ما.
2. في أي لحظة من الزمن، القوة الصافية المؤثرة على الجسم تساوي تسارع الجسم مضروبًا في كتلته، أو على نحو مكافئ، المعدل الذي يتغير به زخم الجسم مع الزمن.
3. إذا مارس جسمان قوى على بعضهما البعض، فإن هذه القوى لها نفس المقدار ولكن في اتجاهين متعاكسين. ^{[1] [2]}

تم ذكر قوانين الحركة الثلاثة لأول مرة بواسطة إسحاق نيوتن في كتابه Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية )، والذي نُشر في الأصل عام 1687. ^[3] استخدم نيوتن هذه القوانين للتحقيق في حركة العديد من الأجسام والأنظمة الفيزيائية وشرحها. في الوقت الذي تلا نيوتن، تم بناء مجال الميكانيكا الكلاسيكية على أسسه بفضل رؤى جديدة، وخاصة حول مفهوم الطاقة. كما تم اكتشاف حدود لقوانين نيوتن؛ حيث تكون النظريات الجديدة ضرورية عندما تتحرك الأجسام بسرعات عالية جدًا ( النسبية الخاصة )، أو تكون ضخمة جدًا ( النسبية العامة )، أو تكون صغيرة جدًا ( ميكانيكا الكم ).

غالبًا ما يتم صياغة قوانين نيوتن من حيث كتلة النقاط أو الجسيمات ، أي الأجسام التي يكون حجمها مهملاً. وهذا تقريب معقول للأجسام الحقيقية عندما يمكن إهمال حركة الأجزاء الداخلية، وعندما يكون الفصل بين الأجسام أكبر بكثير من حجم كل منها. على سبيل المثال، يمكن تقريب كل من الأرض والشمس على أنهما نقطتان عند النظر في مدار الأولى حول الثانية، لكن الأرض ليست نقطية عند النظر في الأنشطة على سطحها. ^{[ملاحظة 1]}

يعتمد الوصف الرياضي للحركة، أو علم الحركة ، على فكرة تحديد المواضع باستخدام إحداثيات عددية. يتم تمثيل الحركة بهذه الأرقام المتغيرة بمرور الوقت: يتم تمثيل مسار الجسم بدالة تعين لكل قيمة لمتغير زمني قيم جميع إحداثيات الموضع. أبسط حالة هي أحادية البعد، أي عندما يكون الجسم مقيدًا بالتحرك على طول خط مستقيم فقط. يمكن بعد ذلك تحديد موضعه برقم واحد، يشير إلى مكانه بالنسبة لبعض نقاط المرجع المختارة. على سبيل المثال، قد يكون الجسم حرًا في الانزلاق على طول مسار يمتد من اليسار إلى اليمين، وبالتالي يمكن تحديد موقعه من خلال المسافة بينه وبين نقطة الصفر الملائمة، أو الأصل ، مع وجود أرقام سالبة تشير إلى المواضع إلى اليسار وأرقام موجبة تشير إلى المواضع إلى اليمين. إذا كان موقع الجسم كدالة للوقت هو ، فإن سرعته المتوسطة على مدى الفترة الزمنية من إلى هي ^[6] هنا، يتم استخدام الحرف اليوناني ( دلتا )، وفقًا للتقاليد، ليعني "التغيير في". تعني السرعة المتوسطة الموجبة أن إحداثيات الموضع تزداد خلال الفترة المعنية، وتشير السرعة المتوسطة السالبة إلى انخفاض صافٍ خلال تلك الفترة، وتعني السرعة المتوسطة التي تساوي صفرًا أن الجسم ينهي الفترة الزمنية في نفس المكان الذي بدأ فيه. يمنحنا حساب التفاضل والتكامل الوسائل لتحديد السرعة اللحظية ، وهي مقياس لسرعة الجسم واتجاه حركته في لحظة واحدة من الزمن، وليس على مدى فترة زمنية. إحدى طرق التعبير عن السرعة اللحظية هي الاستبدال بالرمز ، على سبيل المثال، يشير هذا إلى أن السرعة اللحظية هي المشتق للموضع بالنسبة للزمن. يمكن اعتبارها تقريبًا النسبة بين تغير صغير للغاية في الموضع إلى الفترة الزمنية الصغيرة للغاية التي يحدث خلالها. ^[7] وبصورة أكثر دقة، يمكن تعريف السرعة وجميع المشتقات الأخرى باستخدام مفهوم الحد . [ ^6] يكون للدالة حد عند قيمة إدخال معينة إذا كان من الممكن جعل الفرق بين و صغيرًا بشكل تعسفي عن طريق اختيار إدخال قريب بدرجة كافية من . يكتب أحدهم، يمكن تعريف السرعة اللحظية على أنها حد السرعة المتوسطة مع انكماش الفاصل الزمني إلى الصفر: التسارع بالنسبة للسرعة هو مثل السرعة بالنسبة للموضع: إنه المشتق للسرعة بالنسبة للزمن. ^{[ملاحظة 2]} يمكن تعريف التسارع أيضًا على أنه حد: وبالتالي، فإن التسارع هو${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d}$$${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$$${\displaystyle ds}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}$$$${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}$$ $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}$$المشتقة الثانية للموضع، ^[7] غالبًا ما تكتب . ${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}}$

الموضع، عندما نفكر فيه كإزاحة من نقطة الأصل، هو متجه : كمية لها مقدار واتجاه. ^{[9] : 1} السرعة والتسارع هما أيضًا كميات متجهة. توفر الأدوات الرياضية لجبر المتجهات الوسيلة لوصف الحركة في بعدين أو ثلاثة أو أكثر. غالبًا ما يتم الإشارة إلى المتجهات بسهم، كما في ، أو بخط غامق، مثل . غالبًا ما يتم تمثيل المتجهات بصريًا على شكل أسهم، حيث يكون اتجاه المتجه هو اتجاه السهم، ويتم الإشارة إلى مقدار المتجه بطول السهم. عدديًا، يمكن تمثيل المتجه كقائمة؛ على سبيل المثال، قد يكون متجه سرعة الجسم ، مما يشير إلى أنه يتحرك بسرعة 3 أمتار في الثانية على طول المحور الأفقي و 4 أمتار في الثانية على طول المحور الرأسي. سيتم تمثيل نفس الحركة الموصوفة في نظام إحداثيات مختلف بأرقام مختلفة، ويمكن استخدام جبر المتجهات للترجمة بين هذه البدائل. ^{[9] : 4}${\displaystyle {\vec {s}}}$${\displaystyle {\bf {s}}}$${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}$

إن دراسة الميكانيكا معقدة بسبب استخدام الكلمات المنزلية مثل الطاقة بمعنى تقني. ^[10] علاوة على ذلك، فإن الكلمات التي هي مرادفة في الكلام اليومي ليست كذلك في الفيزياء: القوة ليست هي نفسها القدرة أو الضغط ، على سبيل المثال، والكتلة لها معنى مختلف عن الوزن . ^{[11] [12] : 150} يجعل مفهوم القوة في الفيزياء فكرة الدفع أو السحب اليومية كمية. غالبًا ما تكون القوى في ميكانيكا نيوتن بسبب الأوتار والحبال والاحتكاك والجهد العضلي والجاذبية وما إلى ذلك. مثل الإزاحة والسرعة والتسارع، فإن القوة هي كمية متجهة.

ترجم قانون نيوتن الأول من اللاتينية إلى الإنجليزية، وهو ينص على:

يظل كل جسم في حالته من السكون أو الحركة المنتظمة في خط مستقيم، إلا إذا أُجبر على تغيير تلك الحالة بواسطة قوى مؤثرة عليه. ^{[ملاحظة 3]}

يعبر قانون نيوتن الأول عن مبدأ القصور الذاتي : السلوك الطبيعي للجسم هو التحرك في خط مستقيم بسرعة ثابتة. تحافظ حركة الجسم على الوضع الراهن، ولكن القوى الخارجية يمكن أن تعكر صفو هذا الوضع.

إن الفهم الحديث لقانون نيوتن الأول هو أنه لا يوجد مراقب بالقصور الذاتي يتمتع بامتياز على أي مراقب آخر. إن مفهوم المراقب بالقصور الذاتي يجعل فكرة عدم الشعور بتأثيرات الحركة فكرة كمية. على سبيل المثال، الشخص الذي يقف على الأرض ويراقب قطارًا يمر بجانبه هو مراقب بالقصور الذاتي. إذا رأى المراقب على الأرض القطار يتحرك بسلاسة في خط مستقيم بسرعة ثابتة، فإن الراكب الجالس في القطار سيكون أيضًا مراقبًا بالقصور الذاتي: راكب القطار لا يشعر بأي حركة. إن المبدأ الذي يعبر عنه قانون نيوتن الأول هو أنه لا توجد طريقة لتحديد أي مراقب بالقصور الذاتي يتحرك "حقيقيًا" وأيهما "ثابت" حقًا. إن حالة السكون لأحد المراقبين هي حالة حركة منتظمة في خط مستقيم لمراقب آخر، ولا يمكن لأي تجربة أن تقرر أن أيًا من وجهتي النظر صحيح أو غير صحيح. لا يوجد معيار مطلق للراحة. ^{[17] [14] : 62–63  [18] : 7–9} كان نيوتن نفسه يعتقد أن المكان والزمان المطلقين موجودان، ولكن المقاييس الوحيدة للمكان أو الزمان التي يمكن الوصول إليها للتجربة هي نسبية. ^[19]

إن تغير حركة الجسم يتناسب طرديًا مع القوة المؤثرة عليه، ويحدث في اتجاه الخط المستقيم الذي تؤثر فيه القوة. ^{[14] : 114}

بـ "الحركة"، قصد نيوتن الكمية التي تسمى الآن الزخم ، والتي تعتمد على كمية المادة الموجودة في الجسم، والسرعة التي يتحرك بها هذا الجسم، والاتجاه الذي يتحرك فيه. ^[20] في التدوين الحديث، زخم الجسم هو حاصل ضرب كتلته وسرعته: حيث يمكن أن تتغير الكميات الثلاث بمرور الوقت. ينص قانون نيوتن الثاني، في شكله الحديث، على أن المشتق الزمني للزخم هو القوة: إذا لم تتغير الكتلة مع الزمن، فإن المشتق يعمل فقط على السرعة، وبالتالي فإن القوة تساوي حاصل ضرب الكتلة والمشتق الزمني للسرعة، وهو التسارع: ^[21] بما أن التسارع هو المشتق الثاني للموضع بالنسبة للزمن، فيمكن أيضًا كتابة هذا $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a} \,.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}.}$$

تضاف القوى المؤثرة على الجسم كمتجهات ، وبالتالي فإن القوة الكلية المؤثرة على الجسم تعتمد على كل من مقادير واتجاهات القوى الفردية. عندما تكون القوة الصافية المؤثرة على الجسم مساوية للصفر، فوفقًا لقانون نيوتن الثاني، لا يتسارع الجسم، ويقال إنه في حالة توازن ميكانيكي . تكون حالة التوازن الميكانيكي مستقرة إذا ظل الجسم بالقرب من هذا التوازن عند تغيير موضع الجسم قليلاً. وإلا فإن التوازن غير مستقر.

التمثيل المرئي الشائع للقوى المؤثرة في انسجام هو مخطط الجسم الحر ، والذي يصور بشكل تخطيطي الجسم المطلوب والقوى المطبقة عليه من خلال التأثيرات الخارجية. ^[22] على سبيل المثال، يمكن لمخطط الجسم الحر لكتلة موضوعة على مستوى مائل أن يوضح تركيبة قوة الجاذبية والقوة "العادية" والاحتكاك وشد الخيط. ^{[ملاحظة 4]}

يُقدَّم قانون نيوتن الثاني أحيانًا على أنه تعريف للقوة، أي أن القوة هي تلك التي توجد عندما يرى مراقب بالقصور الذاتي جسمًا يتسارع. ولكي يكون هذا أكثر من مجرد تكرار - فالتسارع يعني القوة، والقوة تعني التسارع - فلا بد من تقديم بيان آخر حول القوة. على سبيل المثال، يمكن تحديد معادلة تفصّل القوة، مثل قانون نيوتن للجاذبية الكونية . ومن خلال إدراج مثل هذا التعبير لـ في قانون نيوتن الثاني، يمكن كتابة معادلة بقوة تنبؤية. ^{[ملاحظة 5]} كما يُنظر إلى قانون نيوتن الثاني على أنه يضع برنامجًا بحثيًا للفيزياء، ويؤكد أن الأهداف المهمة للموضوع هي تحديد القوى الموجودة في الطبيعة وفهرسة مكونات المادة. ^{[14] : 134  [25] : 12-2}${\displaystyle \mathbf {F} }$

لكل فعل رد فعل مساوٍ له دائمًا؛ أو أن الأفعال المتبادلة لجسمين تجاه بعضهما البعض تكون دائمًا متساوية وموجهة إلى أجزاء متقابلة. ^{[14] : 116}

إن العبارات المختصرة للغاية للقانون الثالث، مثل "الفعل يساوي رد الفعل "، ربما تسببت في إرباك أجيال من الطلاب: "الفعل" و"رد الفعل" ينطبقان على أجسام مختلفة. على سبيل المثال، لنفترض وجود كتاب ساكن على طاولة. تسحب جاذبية الأرض الكتاب إلى أسفل. و"رد الفعل" لهذا "الفعل" ليس قوة الدعم من الطاولة التي تحمل الكتاب، بل قوة الجاذبية للكتاب المؤثرة على الأرض. ^{[ملاحظة 6]}

قانون نيوتن الثالث يتعلق بمبدأ أكثر جوهرية، وهو قانون حفظ الزخم . ويظل الأخير صحيحًا حتى في الحالات التي لا ينطبق عليها بيان نيوتن، على سبيل المثال عندما تحمل حقول القوة وكذلك الأجسام المادية زخمًا، وعندما يتم تعريف الزخم بشكل صحيح، في ميكانيكا الكم أيضًا. ^{[ملاحظة 7]} في ميكانيكا نيوتن، إذا كان لجسمين زخم و على التوالي، فإن الزخم الكلي للزوج هو ، ومعدل تغير هو بموجب قانون نيوتن الثاني، يكون الحد الأول هو القوة الكلية المؤثرة على الجسم الأول، والحد الثاني هو القوة الكلية المؤثرة على الجسم الثاني. إذا تم عزل الجسمين عن التأثيرات الخارجية، فإن القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم الأول يمكن أن تكون القوة من الجسم الثاني، والعكس صحيح. بموجب قانون نيوتن الثالث، فإن هذه القوى لها نفس المقدار ولكن في اتجاه متعاكس، لذلك يتم إلغاؤها عند إضافتها، وتكون ثابتة. بدلاً من ذلك، إذا كان معروفًا أنها ثابتة، فمن الطبيعي أن تكون القوى لها نفس المقدار والاتجاه المتعاكسين. ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {p} _{2}}{dt}}.}$$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

اقترحت مصادر مختلفة رفع أفكار أخرى مستخدمة في الميكانيكا الكلاسيكية إلى مرتبة قوانين نيوتن. على سبيل المثال، في ميكانيكا نيوتن، فإن الكتلة الكلية لجسم مصنوع من الجمع بين جسمين أصغر حجمًا هي مجموع كتلتيهما الفردية. اقترح فرانك ويلكزيك لفت الانتباه إلى هذا الافتراض من خلال تسميته "قانون نيوتن الصفري". ^[33] مرشح آخر لـ "قانون الصفر" هو حقيقة أنه في أي لحظة، يتفاعل الجسم مع القوى المطبقة عليه في تلك اللحظة. ^[34] وبالمثل، تم وصف فكرة أن القوى تضيف متجهات متشابهة (أو بعبارة أخرى تخضع لمبدأ التراكب )، وفكرة أن القوى تغير طاقة الجسم، على أنهما "قانون رابع". ^{[ملاحظة 8]}

تُعرف دراسة سلوك الأجسام الضخمة باستخدام قوانين نيوتن باسم ميكانيكا نيوتن. وتُعد بعض المشكلات النموذجية في ميكانيكا نيوتن جديرة بالملاحظة بشكل خاص لأسباب مفاهيمية أو تاريخية.

إذا سقط جسم من حالة السكون بالقرب من سطح الأرض، ففي غياب مقاومة الهواء، سيتسارع بمعدل ثابت. يُعرف هذا بالسقوط الحر . السرعة التي يتم الوصول إليها أثناء السقوط الحر تتناسب مع الوقت المنقضي، والمسافة المقطوعة تتناسب مع مربع الوقت المنقضي. ^[39] ومن المهم أن التسارع هو نفسه لجميع الأجسام، بغض النظر عن كتلتها. يتبع هذا من الجمع بين قانون نيوتن الثاني للحركة وقانونه للجاذبية الكونية . ينص الأخير على أن مقدار قوة الجاذبية من الأرض على الجسم هو حيث هي كتلة الجسم الساقط، هي كتلة الأرض، هي ثابت نيوتن، و هي المسافة من مركز الأرض إلى موقع الجسم، والتي تقترب جدًا من نصف قطر الأرض. وبضبط هذا على ، تلغي كتلة الجسم من كلا جانبي المعادلة، مما يترك تسارعًا يعتمد على ، ، و ، ويمكن اعتباره ثابتًا. عادةً ما يشار إلى هذه القيمة الخاصة للتسارع : $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ma}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

إذا لم يتم تحرير الجسم من السكون ولكن تم إطلاقه بدلاً من ذلك لأعلى و/أو أفقيًا بسرعة غير صفرية، فإن السقوط الحر يصبح حركة مقذوفة . ^[40] عندما يمكن إهمال مقاومة الهواء، تتبع المقذوفات مسارات على شكل قطع مكافئ ، لأن الجاذبية تؤثر على الحركة الرأسية للجسم وليس أفقيته. عند ذروة مسار المقذوف، تكون سرعته الرأسية صفرًا، لكن تسارعه لأسفل، كما هو الحال في جميع الأوقات. يعد ضبط المتجه الخاطئ على الصفر ارتباكًا شائعًا بين طلاب الفيزياء. ^[41]${\displaystyle g}$

عندما يكون الجسم في حركة دائرية منتظمة، فإن القوة المؤثرة عليه تغير اتجاه حركته ولكن ليس سرعته. بالنسبة للجسم المتحرك في دائرة نصف قطرها بسرعة ثابتة ، فإن تسارعه له مقدار ويتجه نحو مركز الدائرة. ^{[ملاحظة 9]} وبالتالي فإن القوة المطلوبة للحفاظ على هذا التسارع، والتي تسمى القوة المركزية ، تتجه أيضًا نحو مركز الدائرة ولها مقدار . يمكن تقريب العديد من المدارات ، مثل مدار القمر حول الأرض، من خلال الحركة الدائرية المنتظمة. في مثل هذه الحالات، تكون القوة المركزية هي الجاذبية، ووفقًا لقانون نيوتن للجاذبية العامة لها مقدار ، حيث هي كتلة الجسم الأكبر الذي يدور حوله. لذلك، يمكن حساب كتلة الجسم من ملاحظات جسم آخر يدور حوله. ^{[43] : 130}${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$${\displaystyle mv^{2}/r}$${\displaystyle GMm/r^{2}}$${\displaystyle M}$

إن كرة المدفع التي ابتكرها نيوتن هي تجربة فكرية تقارن بين حركة المقذوفات والحركة الدائرية المنتظمة. إن كرة المدفع التي تُقذف بشكل ضعيف من حافة جرف شاهق سوف تصطدم بالأرض في نفس الوقت كما لو كانت قد سقطت من وضع السكون، وذلك لأن قوة الجاذبية تؤثر فقط على زخم كرة المدفع في الاتجاه الهابط، ولا يتضاءل تأثيرها بالحركة الأفقية. وإذا أُطلقت كرة المدفع بسرعة أفقية أولية أكبر، فإنها ستسافر لمسافة أبعد قبل أن تصطدم بالأرض، ولكنها ستظل تصطدم بالأرض في نفس الوقت. ومع ذلك، إذا أُطلقت كرة المدفع بسرعة أولية أكبر، فإن انحناء الأرض يصبح ذا أهمية: فالأرض نفسها سوف تنحني بعيدًا عن كرة المدفع الساقطة. وسوف تسقط كرة المدفع السريعة جدًا بعيدًا عن مسارها المستقيم بالقصور الذاتي بنفس المعدل الذي تنحني به الأرض بعيدًا تحتها؛ بعبارة أخرى، سوف تكون في مدار (بتخيل أنها لا تتباطأ بسبب مقاومة الهواء أو العوائق). ^[44]

لنفترض وجود جسم ذي كتلة قادر على الحركة على طول المحور، ولنفترض وجود نقطة توازن عند الموضع . أي عند ، تكون القوة المحصلة المؤثرة على الجسم متجهة صفرية، ووفقًا لقانون نيوتن الثاني، لن يتسارع الجسم. إذا كانت القوة المؤثرة على الجسم متناسبة مع الإزاحة من نقطة التوازن، وموجهة إلى نقطة التوازن، فإن الجسم سيقوم بحركة توافقية بسيطة . بكتابة القوة على النحو التالي ، يصبح قانون نيوتن الثاني . تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على الحل حيث يكون التردد مساويًا لـ ، ويمكن حساب الثوابت و بمعرفة، على سبيل المثال، موضع وسرعة الجسم في وقت معين، مثل . ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle F=-kx}$$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\,.}$$$${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle t=0}$

أحد الأسباب التي تجعل المذبذب التوافقي مثالاً مهمًا من الناحية المفاهيمية هو أنه تقريب جيد للعديد من الأنظمة القريبة من التوازن الميكانيكي المستقر. ^{[ملاحظة 10]} على سبيل المثال، يتمتع البندول بتوازن مستقر في الوضع الرأسي: إذا كان ساكنًا هناك، فسيظل هناك، وإذا تم دفعه قليلاً، فسوف يتأرجح ذهابًا وإيابًا. وبإهمال مقاومة الهواء والاحتكاك في المحور، فإن القوة المؤثرة على البندول هي الجاذبية، ويصبح قانون نيوتن الثاني حيث هو طول البندول و هي زاويته من العمودي. عندما تكون الزاوية صغيرة، يكون جيب يساوي تقريبًا (انظر متسلسلة تايلور )، وبالتالي فإن هذا التعبير يبسط إلى معادلة مذبذب توافقي بسيط بتردد . $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$

يمكن تخميد المذبذب التوافقي ، غالبًا عن طريق الاحتكاك أو السحب اللزج، وفي هذه الحالة تتسرب الطاقة من المذبذب وتنخفض سعة التذبذبات بمرور الوقت. كما يمكن تشغيل المذبذب التوافقي بواسطة قوة مطبقة، مما قد يؤدي إلى ظاهرة الرنين . ^[46]

تتعامل الفيزياء النيوتونية مع المادة على أنها لم تُخلق ولم تُدمر، رغم أنه يمكن إعادة ترتيبها. قد تكون الحالة هي أن جسمًا موضع اهتمام يكتسب كتلة أو يفقدها بسبب إضافة مادة إليه أو إزالتها منه. في مثل هذه الحالة، يمكن تطبيق قوانين نيوتن على قطع المادة الفردية، مع تتبع القطع التي تنتمي إلى جسم الاهتمام بمرور الوقت. على سبيل المثال، إذا كان صاروخ ذو كتلة ، يتحرك بسرعة ، يقذف المادة بسرعة نسبية للصاروخ، فأين القوة الخارجية الصافية (على سبيل المثال، قوة الجاذبية لكوكب). ^{[23] : 139}${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}-\mathbf {u} {\frac {dM}{dt}}\,}$$${\displaystyle \mathbf {F} }$

طور الفيزيائيون مفهوم الطاقة بعد عصر نيوتن، لكنه أصبح جزءًا لا يتجزأ مما يُعتبر فيزياء "نيوتن". يمكن تصنيف الطاقة على نطاق واسع إلى حركية ، بسبب حركة الجسم، وإمكانية ، بسبب موضع الجسم بالنسبة للآخرين. الطاقة الحرارية ، الطاقة التي يحملها تدفق الحرارة، هي نوع من الطاقة الحركية غير المرتبطة بالحركة العيانية للأجسام ولكن بدلاً من ذلك بحركات الذرات والجزيئات التي تتكون منها. وفقًا لنظرية العمل والطاقة ، عندما تؤثر قوة على جسم أثناء تحرك ذلك الجسم على طول خط القوة، فإن القوة تعمل على الجسم، وكمية العمل المنجز تساوي التغير في طاقة الجسم الحركية. ^{[ملاحظة 11]} في العديد من الحالات ذات الأهمية، يكون صافي العمل الذي تقوم به القوة عندما يتحرك الجسم في حلقة مغلقة - بدءًا من نقطة ما، والتحرك على طول مسار ما، والعودة إلى النقطة الأولية - صفرًا. إذا كانت هذه هي الحالة، فيمكن كتابة القوة من حيث تدرج دالة تسمى الإمكانات القياسية : ^{[42] : 303} وهذا صحيح بالنسبة للعديد من القوى بما في ذلك قوة الجاذبية، ولكن ليس بالنسبة للاحتكاك؛ في الواقع، يمكن التعبير عن أي مشكلة تقريبًا في كتاب مدرسي للميكانيكا لا تتضمن الاحتكاك بهذه الطريقة. ^{[45] : 19} يمكن فهم حقيقة أنه يمكن كتابة القوة بهذه الطريقة من قانون الحفاظ على الطاقة . بدون احتكاك لتبديد طاقة الجسم إلى حرارة، ستتداول طاقة الجسم بين الأشكال الحركية الكامنة وغير الحرارية بينما تظل الكمية الإجمالية ثابتة. يجب أن يكون أي مكسب للطاقة الحركية، والذي يحدث عندما تتسارع القوة الصافية على الجسم إلى سرعة أعلى، مصحوبًا بفقدان للطاقة الكامنة. لذا، يتم تحديد القوة الصافية على الجسم من خلال الطريقة التي تقل بها الطاقة الكامنة. $${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}$$

الجسم الصلب هو جسم حجمه كبير جدًا بحيث لا يمكن إهماله ويحافظ على نفس الشكل بمرور الوقت. في ميكانيكا نيوتن، غالبًا ما يتم فهم حركة الجسم الصلب من خلال فصلها إلى حركة مركز كتلة الجسم وحركة حول مركز الكتلة.

يمكن فهم الجوانب المهمة لحركة الجسم الممتد من خلال تخيل كتلة ذلك الجسم مركزة في نقطة واحدة، تُعرف باسم مركز الكتلة. يعتمد موقع مركز كتلة الجسم على كيفية توزيع مادة ذلك الجسم. بالنسبة لمجموعة من الأجسام النقطية ذات الكتل عند مواضع ، يقع مركز الكتلة عند حيث تكون الكتلة الكلية للمجموعة. في غياب قوة خارجية صافية، يتحرك مركز الكتلة بسرعة ثابتة في خط مستقيم. ينطبق هذا، على سبيل المثال، على الاصطدام بين جسمين. ^[49] إذا لم تكن القوة الخارجية الكلية صفراً، فإن مركز الكتلة يتغير في السرعة كما لو كان جسمًا نقطيًا ذا كتلة . يتبع هذا من حقيقة أن القوى الداخلية داخل المجموعة، القوى التي تمارسها الأجسام على بعضها البعض، تحدث في أزواج متوازنة وفقًا لقانون نيوتن الثالث. في نظام مكون من جسمين أحدهما أكبر كتلة من الآخر، سيتطابق مركز الكتلة تقريبًا مع موقع الجسم الأكثر كتلة. ^{[18] : 22–24}${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

عندما يتم تطبيق قوانين نيوتن على الأجسام الممتدة الدوارة، فإنها تؤدي إلى كميات جديدة مماثلة لتلك التي تم استدعاؤها في القوانين الأصلية. نظير الكتلة هو عزم القصور الذاتي ، ونظير الزخم هو الزخم الزاوي ، ونظير القوة هو عزم الدوران .

يتم حساب الزخم الزاوي بالنسبة لنقطة مرجعية. ^[50] إذا كان متجه الإزاحة من نقطة مرجعية إلى جسم هو وكان الجسم لديه زخم ، فإن الزخم الزاوي للجسم بالنسبة لتلك النقطة هو، باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ، أخذ المشتق الزمني للزخم الزاوي يعطي يتلاشى الحد الأول لأن ونقطة في نفس الاتجاه. الحد المتبقي هو عزم الدوران، عندما يكون عزم الدوران صفرًا، يكون الزخم الزاوي ثابتًا، تمامًا كما هو الحال عندما تكون القوة صفرًا، يكون الزخم ثابتًا. ^{[18] : 14–15} يمكن أن يتلاشى عزم الدوران حتى عندما تكون القوة غير صفرية، إذا كان الجسم موجودًا عند نقطة المرجع ( ) أو إذا تم توجيه القوة ومتجه الإزاحة على طول نفس الخط. ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle m\mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

يمكن إيجاد الزخم الزاوي لمجموعة من الكتل النقطية، وبالتالي لجسم ممتد، عن طريق إضافة مساهمات كل نقطة. يوفر هذا وسيلة لتوصيف دوران الجسم حول محور، عن طريق إضافة الزخم الزاوي لقطعه الفردية. تعتمد النتيجة على المحور المختار وشكل الجسم ومعدل الدوران. ^{[18] : 28}

ينص قانون نيوتن للجاذبية الكونية على أن أي جسم يجذب أي جسم آخر على طول الخط المستقيم الذي يربط بينهما. يتناسب حجم القوة الجاذبة مع حاصل ضرب كتلتيهما، ويتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بينهما. يُعرف إيجاد شكل المدارات التي ينتجها قانون قوة التربيع العكسي باسم مشكلة كبلر . يمكن حل مشكلة كبلر بعدة طرق، بما في ذلك إثبات أن متجه لابلاس-رونج-لينز ثابت، ^[51] أو عن طريق تطبيق تحويل ثنائي على مذبذب توافقي ثنائي الأبعاد. ^[52] ومهما كانت طريقة حلها، فإن النتيجة هي أن المدارات ستكون مقاطع مخروطية ، أي قطع ناقص (بما في ذلك الدوائر)، أو قطع مكافئ ، أو قطع زائد . يتم تحديد انحراف المدار، وبالتالي نوع المقطع المخروطي، من خلال الطاقة والزخم الزاوي للجسم المداري. لا تمتلك الكواكب طاقة كافية للهروب من الشمس، ولهذا فإن مداراتها تكون على شكل قطع ناقص، إلى حد كبير؛ ولأن الكواكب تجذب بعضها البعض، فإن المدارات الفعلية ليست قطاعات مخروطية تمامًا.

إذا أضيفت كتلة ثالثة، تصبح مشكلة كبلر مشكلة الأجسام الثلاثة، والتي لا يوجد لها عمومًا حل دقيق في شكل مغلق . أي أنه لا توجد طريقة للبدء من المعادلات التفاضلية التي تنطوي عليها قوانين نيوتن، وبعد تسلسل محدود من العمليات الحسابية القياسية، الحصول على معادلات تعبر عن حركات الأجسام الثلاثة بمرور الوقت. ^{[53] [54] يمكن تطبيق} الأساليب العددية للحصول على نتائج مفيدة، وإن كانت تقريبية، لمشكلة الأجسام الثلاثة. ^[55] يمكن تخزين مواضع وسرعات الأجسام في متغيرات داخل ذاكرة الكمبيوتر؛ تُستخدم قوانين نيوتن لحساب كيفية تغير السرعات على مدى فترة زمنية قصيرة، ومعرفة السرعات، يمكن حساب تغييرات الموضع خلال تلك الفترة الزمنية. يتم تكرار هذه العملية لحساب مسارات الأجسام تقريبًا. وبشكل عام، كلما كانت الفترة الزمنية أقصر، كان التقريب أكثر دقة. ^[56]

تسمح قوانين نيوتن للحركة بإمكانية الفوضى . ^{[57] [58]} وهذا يعني، من الناحية النوعية، أن الأنظمة الفيزيائية التي تخضع لقوانين نيوتن يمكن أن تظهر اعتمادًا حساسًا على ظروفها الأولية: يمكن أن يؤدي التغيير الطفيف في موضع أو سرعة جزء من النظام إلى تصرف النظام بأكمله بطريقة مختلفة جذريًا في غضون فترة زمنية قصيرة. تشمل الأمثلة الجديرة بالذكر مشكلة الأجسام الثلاثة، والبندول المزدوج ، والبلياردو الديناميكي ، ومشكلة فيرمي-باستا-أولام-تسينغو .

يمكن تطبيق قوانين نيوتن على السوائل من خلال اعتبار السائل مكونًا من قطع لا نهائية في الصغر، كل منها يمارس قوى على القطع المجاورة. معادلة أويلر لزخم الحركة هي تعبير عن قانون نيوتن الثاني المعدل لديناميكيات السوائل. ^{[59] [60]} يوصف السائل بحقل السرعة، أي دالة تعين متجه سرعة لكل نقطة في المكان والزمان. يمكن لجسم صغير يحمله تدفق السائل أن يغير سرعته لسببين: أولاً، لأن مجال السرعة في موضعه يتغير بمرور الوقت، وثانيًا، لأنه يتحرك إلى موقع جديد حيث يكون لحقل السرعة قيمة مختلفة. وبالتالي، عندما يتم تطبيق قانون نيوتن الثاني على جزء لا نهائي في الصغر من السائل، فإن التسارع له حدان، وهو مزيج يُعرف باسم المشتق الكلي أو المادي . تعتمد كتلة الجزء اللانهائي في الصغر على كثافة السائل ، وتوجد قوة صافية عليه إذا تغير ضغط السائل من جانب إلى آخر. وعليه، يصبح حيث تكون الكثافة، ويكون الضغط، ويمثل تأثيرًا خارجيًا مثل قوة الجاذبية. يؤدي دمج تأثير اللزوجة إلى تحويل معادلة أويلر إلى معادلة نافير-ستوكس : حيث تكون اللزوجة الحركية . ^[59]${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \nu }$

من الممكن رياضيًا لمجموعة من الكتل النقطية، تتحرك وفقًا لقوانين نيوتن، أن تطلق بعضها بعيدًا بقوة بحيث تطير إلى ما لا نهاية في وقت محدود. ^[61] يعتمد هذا السلوك غير المادي، المعروف باسم "تفرد عدم التصادم"، ^[54] على أن الكتل تشبه النقاط وقادرة على الاقتراب من بعضها البعض بشكل تعسفي، بالإضافة إلى عدم وجود حد سرعة نسبي في الفيزياء النيوتونية. ^[62]

لم يُعرف بعد ما إذا كانت معادلات أويلر ونافير-ستوكس تظهر سلوكًا مشابهًا للحلول السلسة في البداية "التي تنفجر" في وقت محدود. إن مسألة وجود حلول نافيير-ستوكس وسلاسة حلها هي إحدى مسائل جائزة الألفية . ^[63]

يمكن صياغة الميكانيكا الكلاسيكية رياضيًا بعدة طرق مختلفة، بخلاف الوصف "النيوتني" (الذي يتضمن بالطبع مساهمات من آخرين قبل نيوتن وبعده). المحتوى المادي لهذه الصياغات المختلفة هو نفسه المحتوى النيوتوني، لكنها توفر رؤى مختلفة وتسهل أنواعًا مختلفة من الحسابات. على سبيل المثال، تساعد ميكانيكا لاغرانج في توضيح العلاقة بين التناظرات وقوانين الحفاظ، وهي مفيدة عند حساب حركة الأجسام المقيدة، مثل الكتلة المقيدة بالتحرك على طول مسار منحني أو على سطح كرة. ^{[18] : 48} ميكانيكا هاملتون مناسبة للفيزياء الإحصائية ، ^{[64] [65] : 57} تؤدي إلى مزيد من التبصر حول التناظر، ^{[18] : 251} ويمكن تطويرها إلى تقنيات متطورة لنظرية الاضطراب . ^{[18] : 284} ونظرًا لاتساع نطاق هذه الموضوعات، فإن المناقشة هنا ستقتصر على معالجات موجزة لكيفية إعادة صياغة قوانين نيوتن للحركة.

تختلف ميكانيكا لاجرانج عن صياغة نيوتن من خلال النظر في المسارات الكاملة دفعة واحدة بدلاً من التنبؤ بحركة الجسم في لحظة واحدة. ^{[18] : 109} من التقليدي في ميكانيكا لاجرانج الإشارة إلى الموضع والسرعة بـ . أبسط مثال على ذلك هو جسيم نقطي ضخم، يمكن كتابة لاجرانج له على أنه الفرق بين طاقاته الحركية والكامنة: حيث تكون الطاقة الحركية وطاقة الوضع هي بعض وظائف الموضع، . المسار الفيزيائي الذي سيتخذه الجسيم بين نقطة أولية ونقطة نهائية هو المسار الذي يكون فيه تكامل لاجرانج "ثابتًا". أي أن المسار الفيزيائي له الخاصية التي تجعل الاضطرابات الصغيرة فيه، وفقًا لتقريب أولي، لا تغير تكامل لاجرانج. يوفر حساب الاختلافات الأدوات الرياضية لإيجاد هذا المسار. ^{[42] : 485} يؤدي تطبيق حساب التغيرات على مهمة إيجاد المسار إلى الحصول على معادلة أويلر-لاجرانج للجسيم، وتقييم المشتقات الجزئية لللاجرانج يعطي إعادة صياغة لقانون نيوتن الثاني. الجانب الأيسر هو المشتق الزمني للزخم، والجانب الأيمن هو القوة، ممثلة من حيث الطاقة الكامنة. ^{[9] : 737}${\displaystyle q}$${\displaystyle {\dot {q}}}$$${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$${\displaystyle V(q)}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{f}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {q}})=-{\frac {dV}{dq}},}$$

يزعم لاندو وليفشيتز أن صيغة لاجرانج تجعل المحتوى المفاهيمي للميكانيكا الكلاسيكية أكثر وضوحًا من البدء بقوانين نيوتن. ^[26] توفر ميكانيكا لاجرانج إطارًا مناسبًا لإثبات نظرية نويثر ، التي تربط بين التناظرات وقوانين الحفاظ. ^[66] يمكن اشتقاق قانون الحفاظ على الزخم من خلال تطبيق نظرية نويثر على لاجرانج لنظام متعدد الجسيمات، وبالتالي فإن قانون نيوتن الثالث هو نظرية وليس افتراضًا. ^{[18] : 124}

في ميكانيكا هاميلتون ، يتم تمثيل ديناميكيات النظام بدالة تسمى هاميلتون، والتي في العديد من الحالات ذات الأهمية تساوي الطاقة الكلية للنظام. ^{[9] : 742} هاميلتون هي دالة لمواضع وزخم جميع الأجسام التي يتكون منها النظام، وقد تعتمد أيضًا بشكل صريح على الزمن. يتم إعطاء المشتقات الزمنية لمتغيرات الموضع والزخم من خلال المشتقات الجزئية لـ هاميلتون، عبر معادلات هاميلتون . ^{[18] : 203} أبسط مثال على ذلك هو كتلة نقطية مقيدة بالتحرك في خط مستقيم، تحت تأثير جهد محتمل. عند الكتابة لإحداثيات الموضع وزخم الجسم، فإن هاميلتون هو في هذا المثال، معادلات هاميلتون هي و بتقييم هذه المشتقات الجزئية، تصبح المعادلة السابقة هي التي تعيد إنتاج العبارة المألوفة بأن زخم الجسم هو حاصل ضرب كتلته وسرعته. المشتق الزمني للزخم هو والذي، عند تحديد المشتق السالب للجهد المحتمل مع القوة، يكون مجرد قانون نيوتن الثاني مرة أخرى. ^{[57] [9] : 742}${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {p}{m}},}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {dV}{dq}},}$$

كما هو الحال في صيغة لاغرانج، في ميكانيكا هاملتون يمكن استنتاج الحفاظ على الزخم باستخدام نظرية نوثر، مما يجعل قانون نيوتن الثالث فكرة يمكن استنتاجها بدلاً من افتراضها. ^{[18] : 251}

من بين المقترحات لإصلاح المناهج الدراسية القياسية للفيزياء التمهيدية مقترح يدرس مفهوم الطاقة قبل مفهوم القوة، وهو ما يسمى في الأساس "ميكانيكا هاملتون التمهيدية". ^{[67] [68]}

توفر معادلة هاملتون-جاكوبي صيغة أخرى للميكانيكا الكلاسيكية، وهي الصيغة التي تجعلها مماثلة رياضيًا لبصريات الموجة . ^{[18] : 284  [69]} تستخدم هذه الصيغة أيضًا الدوال هاملتونية، ولكن بطريقة مختلفة عن الصيغة الموضحة أعلاه. يتم استنتاج المسارات التي تسلكها الأجسام أو مجموعات الأجسام من دالة المواضع والزمن . يتم دمج الدالات هاملتونية في معادلة هاملتون-جاكوبي، وهي معادلة تفاضلية لـ . تتحرك الأجسام بمرور الوقت بطريقة تجعل مساراتها عمودية على أسطح الثابت ، على غرار كيفية انتشار شعاع الضوء في الاتجاه العمودي على جبهته الموجية. هذا هو أبسط ما يمكن التعبير عنه في حالة كتلة نقطة واحدة، حيث تكون دالة ، وتتحرك كتلة النقطة في الاتجاه الذي يتغير على طوله بشكل حاد. بعبارة أخرى، زخم الكتلة النقطية هو منحدر : معادلة هاملتون -جاكوبي للكتلة النقطية هي يمكن رؤية العلاقة بقوانين نيوتن من خلال النظر في كتلة نقطية تتحرك في جهد مستقل عن الزمن ، وفي هذه الحالة تصبح معادلة هاملتون-جاكوبي بأخذ منحدر كلا الجانبين، يصبح هذا تبادل ترتيب المشتقات الجزئية على الجانب الأيسر، واستخدام قواعد القوة والسلسلة على الحد الأول على الجانب الأيمن، تجميع المصطلحات التي تعتمد على منحدر ، هذه إعادة تعبير أخرى عن قانون نيوتن الثاني. ^[70] التعبير بين قوسين هو مشتق كلي أو مادي كما هو مذكور أعلاه، ^[71] حيث يشير المصطلح الأول إلى كيفية تغير الدالة المتباينة بمرور الوقت في موقع ثابت، ويلتقط المصطلح الثاني كيف سيرى الجسيم المتحرك قيمًا مختلفة لتلك الدالة أثناء انتقاله من مكان إلى آخر: ${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$$${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {d}{dt}}.}$$

في الفيزياء الإحصائية ، تطبق نظرية الحركة للغازات قوانين نيوتن للحركة على أعداد كبيرة (عادةً ما تكون في حدود رقم أفوجادرو ) من الجسيمات. يمكن لنظرية الحركة أن تفسر، على سبيل المثال، الضغط الذي يمارسه الغاز على الحاوية التي يحملها كمجموع للعديد من اصطدامات الذرات، كل منها يمنح قدرًا ضئيلًا من الزخم. ^{[65] : 62}

معادلة لانجفين هي حالة خاصة من قانون نيوتن الثاني، وهي معدلة لحالة وصف جسم صغير يتعرض لقصف عشوائي من قبل جسيمات أصغر منه. ^{[72] : 235} ويمكن كتابتها حيث هو معامل السحب و هو قوة تتغير عشوائيًا من لحظة إلى أخرى، تمثل التأثير الصافي للاصطدامات مع الجسيمات المحيطة. يستخدم هذا لنمذجة الحركة البراونية . ^[73]$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {\xi } }$

يمكن تطبيق قوانين نيوتن الثلاثة على الظواهر التي تتضمن الكهرباء والمغناطيسية ، على الرغم من وجود التفاصيل الدقيقة والتحذيرات.

قانون كولومب للقوة الكهربائية بين جسمين مشحونين كهربائيًا وساكنين له نفس الشكل الرياضي لقانون نيوتن للجاذبية الكونية: القوة تتناسب طرديًا مع حاصل ضرب الشحنتين، وتتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بينهما، وموجهة على طول الخط المستقيم بينهما. قوة كولومب التي تمارسها شحنة على شحنة تساوي في المقدار القوة التي تمارسها على ، وتشير في الاتجاه المعاكس تمامًا. وبالتالي فإن قانون كولومب يتوافق مع قانون نيوتن الثالث. ^[74]${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$

تتعامل الكهرومغناطيسية مع القوى على أنها ناتجة عن مجالات تعمل على الشحنات. يوفر قانون قوة لورنتز تعبيرًا للقوة المؤثرة على جسم مشحون يمكن إدخاله في قانون نيوتن الثاني لحساب تسارعه. ^{[75] : 85} وفقًا لقانون قوة لورنتز، يتعرض الجسم المشحون في مجال كهربائي لقوة في اتجاه ذلك المجال، وهي قوة تتناسب مع شحنته وقوة المجال الكهربائي. بالإضافة إلى ذلك، يتعرض الجسم المشحون المتحرك في مجال مغناطيسي لقوة تتناسب أيضًا مع شحنته، في اتجاه عمودي على كل من المجال واتجاه حركة الجسم. باستخدام حاصل الضرب المتجهي ،${\displaystyle q}$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

إذا اختفى المجال الكهربائي ( )، فإن القوة ستكون عمودية على حركة الشحنة، تمامًا كما في حالة الحركة الدائرية المنتظمة التي تمت دراستها أعلاه، وستدور الشحنة (أو تتحرك بشكل عام في شكل حلزوني ) حول خطوط المجال المغناطيسي عند تردد السيكلوترون . ^{[72] : 222} تعمل مطيافية الكتلة عن طريق تطبيق المجالات الكهربائية و/أو المغناطيسية على الشحنات المتحركة وقياس التسارع الناتج، والذي يعطي وفقًا لقانون قوة لورنتز نسبة الكتلة إلى الشحنة . ^[76]${\displaystyle \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \omega =qB/m}$

لا تلتزم مجموعات الأجسام المشحونة دائمًا بقانون نيوتن الثالث: يمكن أن يكون هناك تغيير في زخم جسم ما دون حدوث تغيير تعويضي في زخم جسم آخر. يتم تفسير التناقض من خلال الزخم الذي يحمله المجال الكهرومغناطيسي نفسه. يتناسب الزخم لكل وحدة حجم من المجال الكهرومغناطيسي مع متجه بوينتينج . ^{[77] : 184  [78]}

هناك تعارض مفاهيمي دقيق بين الكهرومغناطيسية وقانون نيوتن الأول: تتنبأ نظرية ماكسويل للكهرومغناطيسية بأن الموجات الكهرومغناطيسية ستنتقل عبر الفضاء الفارغ بسرعة ثابتة ومحددة. وبالتالي، يبدو أن بعض المراقبين بالقصور الذاتي يتمتعون بمكانة مميزة على الآخرين، أي أولئك الذين يقيسون سرعة الضوء ويجدونها القيمة التي تنبأت بها معادلات ماكسويل. بعبارة أخرى، يوفر الضوء معيارًا مطلقًا للسرعة، إلا أن مبدأ القصور الذاتي ينص على أنه لا ينبغي أن يكون هناك مثل هذا المعيار. يتم حل هذا التوتر في نظرية النسبية الخاصة ، التي تعدل مفاهيم المكان والزمان بطريقة تجعل جميع المراقبين بالقصور الذاتي يتفقون على سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ملاحظة 12]}

في النسبية الخاصة، تنهار القاعدة التي أطلق عليها ويلكزك "قانون نيوتن الصفري": كتلة الجسم المركب ليست مجرد مجموع كتل القطع الفردية. ^{[81] : 33} يظل قانون نيوتن الأول، الحركة بالقصور الذاتي، صحيحًا. كما أن أحد أشكال قانون نيوتن الثاني، القائل بأن القوة هي معدل تغير الزخم، ينطبق أيضًا، كما ينطبق قانون حفظ الزخم. ومع ذلك، يتم تعديل تعريف الزخم. ومن بين عواقب هذا حقيقة أنه كلما تحرك الجسم بسرعة أكبر، زادت صعوبة تسريعه، وبالتالي، بغض النظر عن مقدار القوة المطبقة، لا يمكن تسريع الجسم إلى سرعة الضوء. اعتمادًا على المشكلة المطروحة، يمكن تمثيل الزخم في النسبية الخاصة كمتجه ثلاثي الأبعاد، ، حيث هي كتلة سكون الجسم و هو عامل لورنتز ، والذي يعتمد على سرعة الجسم. بدلاً من ذلك، يمكن تمثيل الزخم والقوة كمتجهات رباعية . ^{[82] : 107}${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$

يجب تعديل قانون نيوتن الثالث في النسبية الخاصة. يشير القانون الثالث إلى القوى بين جسمين في نفس اللحظة من الزمن، والسمة الرئيسية للنسبية الخاصة هي أن التزامن نسبي. الأحداث التي تحدث في نفس الوقت بالنسبة لمراقب واحد يمكن أن تحدث في أوقات مختلفة بالنسبة لآخر. لذلك، في إطار مرجعي لمراقب معين، قد لا يكون الفعل ورد الفعل متعاكسين تمامًا، وقد لا يكون الزخم الكلي للأجسام المتفاعلة محفوظًا. يتم استعادة الحفاظ على الزخم من خلال تضمين الزخم المخزن في المجال الذي يصف تفاعل الأجسام. ^{[83] [84]}

تُعد ميكانيكا نيوتن تقريبًا جيدًا للنسبية الخاصة عندما تكون السرعات المعنية صغيرة مقارنة بسرعة الضوء. ^{[85] : 131}

النسبية العامة هي نظرية للجاذبية تتقدم إلى ما هو أبعد من نظرية نيوتن. في النسبية العامة، تم إعادة تصور قوة الجاذبية في ميكانيكا نيوتن على أنها انحناء الزمكان . المسار المنحني مثل المدار، المنسوب إلى قوة الجاذبية في ميكانيكا نيوتن، ليس نتيجة لقوة تنحرف الجسم عن مسار مستقيم مثالي، بل هو محاولة الجسم للسقوط بحرية عبر خلفية منحنية هي نفسها بسبب وجود كتل أخرى. تلخص ملاحظة جون أرشيبالد ويلر التي أصبحت مثلًا بين علماء الفيزياء النظرية: "يخبر الزمكان المادة كيف تتحرك؛ تخبر المادة الزمكان كيف ينحني". ^{[86] [87]} فكر ويلر نفسه في هذه العلاقة المتبادلة كشكل حديث ومعمم لقانون نيوتن الثالث. ^[86] تُعطى العلاقة بين توزيع المادة وانحناء الزمكان من خلال معادلات مجال أينشتاين ، والتي تتطلب حساب الموتر للتعبير عنها. ^{[81] : 43  [88]}

إن نظرية نيوتن للجاذبية هي تقريب جيد لتوقعات النسبية العامة عندما تكون التأثيرات الجاذبية ضعيفة وتتحرك الأشياء ببطء مقارنة بسرعة الضوء. ^{[79] : 327  [89]}

ميكانيكا الكم هي نظرية فيزيائية تم تطويرها في الأصل لفهم الظواهر المجهرية: السلوك على نطاق الجزيئات أو الذرات أو الجسيمات دون الذرية. بشكل عام وبصورة فضفاضة، كلما كان النظام أصغر، كلما تطلب النموذج الرياضي المناسب فهم التأثيرات الكمومية. الأساس المفاهيمي لفيزياء الكم مختلف تمامًا عن الفيزياء الكلاسيكية . بدلاً من التفكير في كميات مثل الموضع والزخم والطاقة كخصائص يمتلكها الجسم ، يفكر المرء في النتيجة التي قد تظهر عند إجراء قياس من نوع مختار. تسمح ميكانيكا الكم للفيزيائي بحساب احتمالية أن يؤدي القياس المختار إلى نتيجة معينة. [ ^{90] [91]} القيمة المتوقعة للقياس هي متوسط ​​النتائج المحتملة التي قد تسفر عنها، مرجحة باحتمالات حدوثها. ^[92]

توفر نظرية إيرنفيست ارتباطًا بين قيم التوقعات الكمومية وقانون نيوتن الثاني، وهو ارتباط غير دقيق بالضرورة، حيث تختلف الفيزياء الكمومية اختلافًا جوهريًا عن الفيزياء الكلاسيكية. في الفيزياء الكمومية، يتم تمثيل الموضع والزخم بواسطة كيانات رياضية تُعرف باسم مشغلات هيرميتية ، وتُستخدم قاعدة بورن لحساب قيم التوقعات لقياس الموضع أو قياس الزخم. ستتغير قيم التوقعات هذه عمومًا بمرور الوقت؛ أي بناءً على الوقت الذي يتم فيه (على سبيل المثال) قياس الموضع، ستختلف احتمالات نتائجه المحتملة المختلفة. تقول نظرية إيرنفيست، بشكل تقريبي، أن المعادلات التي تصف كيف تتغير قيم التوقعات هذه بمرور الوقت لها شكل يذكرنا بقانون نيوتن الثاني. ومع ذلك، كلما كانت التأثيرات الكمومية أكثر وضوحًا في موقف معين، زادت صعوبة استخلاص استنتاجات ذات مغزى من هذا التشابه. ^{[ملاحظة 13]}

إن المفاهيم التي استشهد بها نيوتن في قوانينه للحركة ـ الكتلة والسرعة والزخم والقوة ـ لها سوابق في أعمال سابقة، كما تطور محتوى الفيزياء النيوتونية بعد عصر نيوتن. فقد جمع نيوتن بين معرفة الحركات السماوية ودراسة الأحداث على الأرض وأظهر أن نظرية واحدة في الميكانيكا يمكن أن تشمل كليهما. ^{[ملاحظة 14]}

غالبًا ما يعود موضوع الفيزياء إلى أرسطو ، لكن تاريخ المفاهيم المعنية غامض بسبب عوامل متعددة. ليس من السهل تحديد التطابق الدقيق بين المفاهيم الأرسطية والحديثة: لم يميز أرسطو بوضوح بين ما نسميه السرعة والقوة، واستخدم نفس المصطلح للكثافة واللزوجة ، وتصور الحركة دائمًا من خلال وسيط، وليس من خلال الفضاء. بالإضافة إلى ذلك، قد يُعزى بعض المفاهيم التي غالبًا ما يطلق عليها "أرسطو" بشكل أفضل إلى أتباعه والمعلقين عليه. ^[97] وجد هؤلاء المعلقون أن الفيزياء الأرسطية واجهت صعوبة في تفسير حركة المقذوفات. ^{[ملاحظة 15]} قسم أرسطو الحركة إلى نوعين: "طبيعية" و "عنيفة". كانت الحركة "الطبيعية" للمادة الصلبة الأرضية هي السقوط لأسفل، في حين أن الحركة "العنيفة" يمكن أن تدفع الجسم جانبيًا. علاوة على ذلك، في الفيزياء الأرسطية، تتطلب الحركة "العنيفة" سببًا مباشرًا؛ إن الجسم إذا انفصل عن سبب حركته "العنيفة"، فإنه يعود إلى سلوكه "الطبيعي". ومع ذلك، فإن الرمح يستمر في الحركة بعد أن يترك يد الرامي. وخلص أرسطو إلى أن الهواء المحيط بالرمح لابد وأن يكون مزودًا بالقدرة على تحريك الرمح إلى الأمام.

وجد جون فيلوبونوس ، وهو مفكر يوناني بيزنطي نشط خلال القرن السادس، هذا الأمر سخيفًا: نفس الوسيط، الهواء، كان مسؤولًا بطريقة ما عن دعم الحركة وإعاقتها. قال فيلوبونوس إنه إذا كانت فكرة أرسطو صحيحة، فإن الجيوش ستطلق الأسلحة عن طريق النفخ عليها بالمنفاخ. جادل فيلوبونوس بأن تحريك الجسم يضفي صفة، الزخم ، والتي ستكون موجودة داخل الجسم نفسه. طالما كان زخمه مستدامًا، سيستمر الجسم في الحركة. ^{[99] : 47} في القرون التالية، تم تقديم نسخ من نظرية الزخم من قبل أفراد بما في ذلك نور الدين البترجي وابن سينا ​​وأبو البركات البغدادي ويوحنا بوريدان وألبرت ساكسونيا . في الماضي، يمكن اعتبار فكرة الزخم بمثابة رائد لمفهوم الزخم الحديث. ^{[ملاحظة 16]} إن الحدس القائل بأن الأجسام تتحرك وفقًا لنوع ما من الزخم لا يزال قائمًا لدى العديد من طلاب الفيزياء التمهيدية. ^[101]

قدم الفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت مفهوم القصور الذاتي من خلال "قوانين الطبيعة" في كتابه العالم ( Traité du monde et de la lumière ) الذي كتبه في الفترة من 1629 إلى 1633. ومع ذلك، ادعى كتاب العالم وجهة نظر عالمية مركزية الشمس ، وفي عام 1633، أدت هذه النظرة إلى نشوء صراع كبير بين جاليليو جاليلي ومحاكم التفتيش الكاثوليكية الرومانية . كان ديكارت على علم بهذا الجدل ولم يرغب في التورط فيه. لم يتم نشر كتاب العالم حتى عام 1664، بعد عشر سنوات من وفاته. ^[102]

يعود الفضل في مفهوم القصور الذاتي الحديث إلى جاليليو. واستنادًا إلى تجاربه، استنتج جاليليو أن السلوك "الطبيعي" للجسم المتحرك هو الاستمرار في الحركة، حتى يتدخل شيء آخر في حركته. وفي كتابه " علمان جديدان " (1638) كتب جاليليو: ^{[103] [104]}

تخيل أي جسيم يتم إسقاطه على طول مستوى أفقي بدون احتكاك؛ فإننا نعلم، مما تم شرحه بمزيد من التفصيل في الصفحات السابقة، أن هذا الجسيم سوف يتحرك على طول نفس المستوى بحركة منتظمة ودائمة، بشرط ألا يكون للمستوى حدود.

أدرك جاليليو أنه في حركة المقذوفات، تؤثر جاذبية الأرض على الحركة الرأسية ولكن ليس الأفقية. ^[105] ومع ذلك، لم تكن فكرة جاليليو عن القصور الذاتي هي بالضبط الفكرة التي سيتم تدوينها في قانون نيوتن الأول. اعتقد جاليليو أن الجسم الذي يتحرك لمسافة طويلة بالقصور الذاتي سيتبع منحنى الأرض. تم تصحيح هذه الفكرة من قبل إسحاق بيكمان وديكارت وبيير جاسندي ، الذين أدركوا أن الحركة بالقصور الذاتي يجب أن تكون حركة في خط مستقيم. ^[106] نشر ديكارت قوانينه الطبيعية (قوانين الحركة) مع هذا التصحيح في مبادئ الفلسفة ( Principia Philosophiae ) في عام 1644، مع تخفيف الجزء الشمسي. ^{[107] [102]}

القانون الأول للطبيعة: كل شيء إذا ترك لنفسه فإنه يستمر في نفس الحالة؛ لذلك فإن أي جسم متحرك يستمر في الحركة حتى يوقفه شيء.

القانون الثاني للطبيعة: كل جسم متحرك إذا ترك لوحده فإنه يتحرك في خط مستقيم؛ لذلك فإن أي جسم يتحرك في دائرة يميل دائمًا إلى الابتعاد عن مركز الدائرة.

وفقًا للفيلسوف الأمريكي ريتشارد جيه بلاكويل ، فقد وضع العالم الهولندي كريستيان هويجنز نسخته المختصرة من القانون في عام 1656. ^[108] ولم يتم نشره حتى عام 1703، بعد ثماني سنوات من وفاته، في الفقرة الافتتاحية لكتاب De Motu Corporum ex Percussione .

الفرضية الأولى: أي جسم متحرك بالفعل سوف يستمر في الحركة إلى الأبد بنفس السرعة وفي خط مستقيم ما لم يتم إعاقته.

وفقًا لهويجنز، كان هذا القانون معروفًا بالفعل لدى جاليليو وديكارت وغيرهما. ^[108]

طرح كريستيان هويجنز في كتابه "ساعة التذبذب" (1673) الفرضية القائلة بأن "بفعل الجاذبية، أياً كان مصدرها، يحدث أن تتحرك الأجسام بحركة تتألف من حركة منتظمة في اتجاه أو آخر وحركة إلى أسفل بسبب الجاذبية". وقد عمم قانون نيوتن الثاني هذه الفرضية من الجاذبية إلى جميع القوى. ^[109]

من أهم خصائص الفيزياء النيوتونية أن القوى يمكن أن تعمل عن بعد دون الحاجة إلى اتصال مادي. ^{[ملاحظة 17]} على سبيل المثال، تجذب الشمس والأرض بعضهما البعض جاذبيًا، على الرغم من أنهما منفصلتان بملايين الكيلومترات. يتناقض هذا مع الفكرة التي تبناها ديكارت من بين آخرين، والتي مفادها أن جاذبية الشمس تحافظ على الكواكب في مدارها عن طريق تدويرها في دوامة من المادة الشفافة، الأثير . ^[116] نظر نيوتن في التفسيرات الأثيرية للقوة لكنه رفضها في النهاية. ^[114] لقد خلقت دراسة المغناطيسية التي أجراها ويليام جيلبرت وآخرون سابقة للتفكير في القوى غير المادية ، ^[114] وعجز نيوتن عن إيجاد تفسير مرضٍ كميًا لقانونه في الجاذبية من حيث النموذج الأثيري، فأعلن في النهاية: " لا أدعي أي فرضيات ": سواء كان من الممكن إيجاد نموذج مثل دوامات ديكارت لدعم نظريات الحركة والجاذبية في كتاب المبادئ أم لا ، فإن الأساس الأول للحكم عليها يجب أن يكون التنبؤات الناجحة التي قدمتها. ^[117] والواقع أنه منذ زمن نيوتن فشلت كل محاولة لمثل هذا النموذج .

اقترح يوهانس كيبلر أن الجاذبية متبادلة - على سبيل المثال، يجذب القمر الأرض بينما تجذب الأرض القمر - لكنه لم يزعم أن مثل هذه الأزواج متساوية ومعاكسة. ^[118] في مبادئ الفلسفة (1644)، قدم ديكارت فكرة أنه أثناء الاصطدام بين الأجسام، تظل "كمية الحركة" دون تغيير. حدد ديكارت هذه الكمية بشكل غير دقيق إلى حد ما من خلال إضافة حاصل ضرب سرعة و "حجم" كل جسم، حيث يتضمن "الحجم" بالنسبة له كل من الحجم ومساحة السطح. ^[119] علاوة على ذلك، فكر ديكارت في الكون على أنه ممتلئ ، أي مليء بالمادة، لذلك تتطلب كل حركة جسمًا لإزاحة وسط أثناء تحركه.

خلال خمسينيات القرن السابع عشر، درس هويجنز الاصطدامات بين الكرات الصلبة واستنتج مبدأ يُعرف الآن باسم الحفاظ على الزخم. ^{[120] [121] استنتج} كريستوفر رين لاحقًا نفس القواعد الخاصة بالاصطدامات المرنة التي توصل إليها هويجنز، وطبق جون واليس الحفاظ على الزخم لدراسة الاصطدامات غير المرنة . استشهد نيوتن بعمل هويجنز ورين وواليس لدعم صحة قانونه الثالث. ^[122]

توصل نيوتن إلى مجموعته المكونة من ثلاثة قوانين تدريجيًا. في مخطوطة كتبها إلى هويجنز عام 1684 ، أدرج أربعة قوانين: مبدأ القصور الذاتي، وتغير الحركة بالقوة، وبيان حول الحركة النسبية يُطلق عليه اليوم اسم الثبات الجليلي ، والقاعدة التي تنص على أن التفاعلات بين الأجسام لا تغير حركة مركز كتلتها. في مخطوطة لاحقة، أضاف نيوتن قانون الفعل ورد الفعل، بينما قال إن هذا القانون والقانون المتعلق بمركز الكتلة يقتضيان بعضهما البعض. ربما استقر نيوتن على العرض في كتاب المبادئ، مع ثلاثة قوانين أساسية ثم بيانات أخرى تم تقليصها إلى نتائج تكميلية، خلال عام 1685. ^[123]

عبر نيوتن عن قانونه الثاني بقوله إن القوة المؤثرة على الجسم تتناسب مع تغير حركته أو زخمه. وبحلول الوقت الذي كتب فيه كتابه " المبادئ"، كان قد طور بالفعل حساب التفاضل والتكامل (الذي أطلق عليه " علم التدفقات ")، لكنه لم يستخدمه صراحةً في كتابه "المبادئ "، ربما لأنه كان يعتقد أن الحجج الهندسية في تقليد إقليدس أكثر صرامة. ^{[125] : 15  [126]} وبالتالي، فإن كتاب "المبادئ" لا يعبر عن التسارع كمشتق ثانٍ للموضع، وبالتالي فهو لا يعطي القانون الثاني على أنه . وقد كتب هذا الشكل من القانون الثاني (للحالة الخاصة للقوة الثابتة) على الأقل في وقت مبكر من عام 1716، بواسطة جاكوب هيرمان ؛ وسوف يستخدمه ليونهارد أويلر كفرضية أساسية في أربعينيات القرن الثامن عشر. ^[127] كان أويلر رائدًا في دراسة الأجسام الصلبة ^[128] وأسس النظرية الأساسية لديناميكا الموائع. ^{[129] تخلى} بيير سيمون لابلاس في كتابه Traité de mécanique céleste (1798-1825) المكون من خمسة مجلدات عن الهندسة وطور الميكانيكا من خلال التعبيرات الجبرية البحتة، بينما حل الأسئلة التي تركها كتاب Principia مفتوحة، مثل نظرية كاملة للمد والجزر . ^[130]${\displaystyle F=ma}$

لقد أصبح مفهوم الطاقة جزءاً أساسياً من ميكانيكا نيوتن في فترة ما بعد نيوتن. فقد أظهر حل هويجنز لمشكلة تصادم الكرات الصلبة أنه في هذه الحالة لا يتم الحفاظ على الزخم فحسب، بل وأيضاً الطاقة الحركية (أو بالأحرى، كمية يمكننا تحديدها بأثر رجعي على أنها نصف إجمالي الطاقة الحركية). ولم يتم حل مسألة ما يتم الحفاظ عليه أثناء جميع العمليات الأخرى، مثل التصادمات غير المرنة والحركة التي تتباطأ بسبب الاحتكاك، حتى القرن التاسع عشر. وقد تداخلت المناقشات حول هذا الموضوع مع النزاعات الفلسفية بين وجهات النظر الميتافيزيقية لنيوتن ولايبنتز، كما تم استخدام أشكال مختلفة من مصطلح "القوة" في بعض الأحيان للإشارة إلى ما نسميه أنواع الطاقة. على سبيل المثال، في عام 1742، كتبت إميلي دو شاتليه ، "تتكون القوة الميتة من ميل بسيط للحركة: مثل ميل الزنبرك المستعد للاسترخاء؛ أما القوة الحية فهي تلك التي يمتلكها الجسم عندما يكون في حركة فعلية". في المصطلحات الحديثة، تتوافق "القوة الميتة" و"القوة الحية" مع الطاقة الكامنة والطاقة الحركية على التوالي. ^[131] لم يتم تأسيس مبدأ الحفاظ على الطاقة كمبدأ عالمي حتى تم فهم أن طاقة العمل الميكانيكي يمكن تبديدها إلى حرارة. ^{[132] [133]} مع إعطاء مفهوم الطاقة أساسًا متينًا، يمكن بعد ذلك اشتقاق قوانين نيوتن ضمن صيغ الميكانيكا الكلاسيكية التي تضع الطاقة أولاً، كما هو الحال في صيغ لاغرانج وهاملتون الموصوفة أعلاه.

تستخدم العروض الحديثة لقوانين نيوتن رياضيات المتجهات، وهو موضوع لم يتم تطويره حتى أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. نشأ جبر المتجهات، الذي ابتكره جوشيا ويلارد جيبس ​​وأوليفر هيفيسايد ، من نظام الرباعيات السابق الذي اخترعه ويليام روان هاملتون وحل محله إلى حد كبير . ^{[134] [135]}

• قوانين أويلر للحركة
• تاريخ الميكانيكا الكلاسيكية
• قائمة القوانين التي تحمل نفس الاسم
• قائمة المعادلات في الميكانيكا الكلاسيكية
• قائمة القوانين العلمية التي سميت بأسماء أشخاص
• قائمة الكتب المدرسية في الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم
• قبة نورتون

• قوانين نيوتن للديناميكيات - محاضرات فاينمان في الفيزياء
• Chakrabarty, Deepto; Dourmashkin, Peter; Tomasik, Michelle; Frebel, Anna ; Vuletic, Vladan (2016). "الميكانيكا الكلاسيكية". MIT OpenCourseWare . تم الاسترجاع في 17 يناير 2022 .