كسورية

الموسوعة الحرة
سجادة سيربينسكي - محيط لانهائي ومساحة صفرية
مجموعة ماندلبروت في الجزر
مجموعة ماندلبروت : حدودها عبارة عن منحنى كسوري ذو بعد هاوسدورف يساوي 2. (لاحظ أن الأقسام الملونة من الصورة ليست في الواقع جزءًا من مجموعة ماندلبروت، بل إنها تعتمد على مدى سرعة تباعد الدالة التي تنتجها.)
مجموعة ماندلبروت المكونة من 12 دائرة

التكبير على حدود مجموعة ماندلبروت

في الرياضيات ، الكسير هو شكل هندسي يحتوي على بنية مفصلة بمقاييس صغيرة بشكل تعسفي، وعادة ما يكون له بعد كسوري يتجاوز البعد الطوبولوجي بشكل صارم . تظهر العديد من الكسيريات متشابهة بمقاييس مختلفة، كما هو موضح في التكبيرات المتتالية لمجموعة ماندلبروت . [1] [2] [3] [4] يُطلق على هذا العرض للأنماط المتشابهة بمقاييس أصغر بشكل متزايد اسم التشابه الذاتي ، والمعروف أيضًا باسم التناظر المتوسع أو التناظر المتكشف؛ إذا كان هذا التكرار هو نفسه تمامًا في كل مقياس، كما هو الحال في إسفنجة منجر ، يُطلق على الشكل اسم التشابه الذاتي التآلفي . [5] تقع الهندسة الكسيرية ضمن الفرع الرياضي لنظرية القياس .

إحدى الطرق التي تختلف بها الكسور عن الأشكال الهندسية المحدودة هي كيفية قياسها . مضاعفة أطوال حافة مضلع مملوء تضاعف مساحتها بمقدار أربعة، وهو اثنان (نسبة طول الضلع الجديد إلى القديم) مرفوعًا إلى قوة اثنين (البعد التقليدي للمضلع المملوء). وبالمثل، إذا تضاعف نصف قطر الكرة المملوءة، فإن حجمها يتقاس بمقدار ثمانية، وهو اثنان (نسبة نصف القطر الجديد إلى القديم) مرفوعًا إلى قوة ثلاثة (البعد التقليدي للكرة المملوءة). ومع ذلك، إذا تضاعفت أطوال الكسور أحادية البعد، فإن المحتوى المكاني للكسور يتقاس بقوة ليست بالضرورة عددًا صحيحًا وهي في العموم أكبر من بعدها التقليدي. [1] تسمى هذه القوة البعد الكسري للكائن الهندسي، لتمييزه عن البعد التقليدي (الذي يسمى رسميًا البعد الطوبولوجي ). [6]

تحليليًا، لا يمكن التمييز بين العديد من الكسيريات في أي مكان . [1] [4] يمكن تصور منحنى كسوري لانهائي على أنه متعرج عبر الفضاء بشكل مختلف عن الخط العادي - على الرغم من أنه لا يزال أحادي البعد طوبولوجيًا ، فإن بعده الكسوري يشير إلى أنه يملأ الفضاء محليًا بكفاءة أكبر من الخط العادي. [1] [6]

سجادة سيربينسكي (حتى المستوى 6)، وهي عبارة عن كسوري ذو بعد طوبولوجي يبلغ 1 وبعد هاوسدورف يبلغ 1.893
القطعة المستقيمة تشبه جزءًا صحيحًا من نفسها، ولكنها ليست كسورية على الإطلاق

بدءًا من القرن السابع عشر مع مفاهيم التكرار ، انتقلت الكسيريات من خلال المعالجة الرياضية الصارمة بشكل متزايد إلى دراسة الوظائف المستمرة ولكن غير القابلة للاشتقاق في القرن التاسع عشر من خلال العمل الرائد لبرنارد بولزانو وبرنارد ريمان وكارل ويرستراس ، [7] وحتى صياغة كلمة كسيرية في القرن العشرين مع ازدهار الاهتمام اللاحق بالكسيريات والنمذجة القائمة على الكمبيوتر في القرن العشرين. [8] [9]

هناك بعض الخلاف بين علماء الرياضيات حول كيفية تعريف مفهوم الكسورية رسميًا. لخص ماندلبروت نفسه ذلك على أنه "جميل، صعب للغاية، ومفيد بشكل متزايد. هذه هي الكسوريات". [10] بشكل أكثر رسمية، في عام 1982، عرّف ماندلبروت الكسورية على النحو التالي: "الكسورية هي بحكم التعريف مجموعة يتجاوز فيها بُعد هاوسدورف-بيسيكوفيتش البعد الطوبولوجي بدقة ". [11] لاحقًا، رأى أن هذا مقيد للغاية، فبسط التعريف ووسعه إلى هذا: "الكسورية هي شكل هندسي خشن أو مجزأ يمكن تقسيمه إلى أجزاء، كل منها (على الأقل تقريبًا) نسخة مصغرة الحجم من الكل". [1] في وقت لاحق، اقترح ماندلبروت "استخدام الكسورية دون تعريف دقيق، واستخدام البعد الكسوري كمصطلح عام ينطبق على جميع المتغيرات". [12]

الإجماع بين علماء الرياضيات هو أن الكسيريات النظرية هي هياكل رياضية متكررة ومفصلة متشابهة ذاتيًا إلى ما لا نهاية، وقد تم صياغة العديد من الأمثلة عليها ودراستها. [1] [2] [3] لا تقتصر الكسيريات على الأنماط الهندسية، ولكن يمكنها أيضًا وصف العمليات في الوقت المناسب. [5] [4] [13] [14] [15] [16] تم تقديم أو دراسة أنماط كسيرية بدرجات متفاوتة من التشابه الذاتي في الوسائط المرئية والفيزيائية والسمعية [17] وتم العثور عليها في الطبيعة، [18] [19] [20] [21] والتكنولوجيا، [22] [23] [24] [25] والفن، [26] [27] والهندسة المعمارية . [28] الكسيريات ذات أهمية خاصة في مجال نظرية الفوضى لأنها تظهر في التصوير الهندسي لمعظم العمليات الفوضوية (عادةً إما كجاذبات أو كحدود بين أحواض الجذب). [29]

علم أصل الكلمة

تم صياغة مصطلح "الكسورية" بواسطة عالم الرياضيات بينوا ماندلبروت في عام 1975. [30] استند ماندلبروت في ذلك إلى الكلمة اللاتينية frāctus ، والتي تعني "مكسور" أو "مكسور"، واستخدمها لتوسيع مفهوم الأبعاد الكسرية النظرية إلى الأنماط الهندسية في الطبيعة . [1] [31] [32]

مقدمة

شجرة كسورية بسيطة
شجرة "فراكتالية" مكونة من إحدى عشر تكرارًا

غالبًا ما تحمل كلمة "فركتل" دلالات مختلفة للعامة مقارنة بالرياضيين، حيث من المرجح أن يكون الجمهور على دراية بالفن الكسيري أكثر من المفهوم الرياضي. من الصعب تعريف المفهوم الرياضي رسميًا، حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات، ولكن يمكن فهم السمات الرئيسية مع القليل من الخلفية الرياضية.

إن خاصية "التشابه الذاتي"، على سبيل المثال، يمكن فهمها بسهولة عن طريق القياس على تكبير الصورة باستخدام عدسة أو جهاز آخر يقوم بتكبير الصورة الرقمية للكشف عن بنية جديدة أدق لم تكن مرئية من قبل. ولكن إذا تم ذلك على الكسور، فلن تظهر أي تفاصيل جديدة؛ ولا يتغير شيء ويتكرر نفس النمط مرارًا وتكرارًا، أو بالنسبة لبعض الكسور، يظهر نفس النمط تقريبًا مرارًا وتكرارًا. إن التشابه الذاتي في حد ذاته ليس بالضرورة مخالفًا للحدس (على سبيل المثال، فكر الناس في التشابه الذاتي بشكل غير رسمي كما في الانحدار اللانهائي في المرايا المتوازية أو الهومونكولوس ، الرجل الصغير داخل رأس الرجل الصغير داخل الرأس ...). الفرق بالنسبة للكسور هو أن النمط المعاد إنتاجه يجب أن يكون مفصلاً. [1] : 166، 18  [2] [31]

ترتبط فكرة التفصيل هذه بميزة أخرى يمكن فهمها دون الكثير من الخلفية الرياضية: يشير وجود بُعد كسوري أكبر من بُعده الطوبولوجي، على سبيل المثال، إلى كيفية تدرج الكسورية مقارنة بالطريقة التي يتم بها إدراك الأشكال الهندسية عادةً. على سبيل المثال، يُفهم الخط المستقيم تقليديًا على أنه أحادي البعد؛ إذا تم تقسيم مثل هذا الشكل إلى قطع يبلغ طول كل منها ثلث طول الأصل، فسيكون هناك دائمًا ثلاث قطع متساوية. يُفهم المربع الصلب على أنه ثنائي الأبعاد؛ إذا تم تقسيم مثل هذا الشكل إلى قطع يقل حجم كل منها بمقدار 1/3 في كلا البعدين، فسيكون هناك ما مجموعه 3 2 = 9 قطع.

نرى أنه بالنسبة للأشياء العادية المتشابهة ذاتيًا، فإن كونها ذات أبعاد n يعني أنه عندما يتم تقسيمها إلى قطع يتم تصغير حجم كل منها بعامل مقياس 1/ r ، يكون هناك إجمالي r n قطعة. الآن، ضع في اعتبارك منحنى كوخ . يمكن تقسيمه إلى أربع نسخ فرعية، يتم تصغير حجم كل منها بعامل مقياس 1/3. لذا، وبالقياس الصارم، يمكننا اعتبار "بعد" منحنى كوخ هو العدد الحقيقي الفريد D الذي يرضي 3 D = 4. يُسمى هذا العدد البعد الكسري لمنحنى كوخ؛ إنه ليس البعد المُدرك تقليديًا للمنحنى. بشكل عام، فإن الخاصية الرئيسية للكسور هي أن البعد الكسري يختلف عن البعد المفهوم تقليديًا ( يُسمى رسميًا البعد الطوبولوجي).

كسوري ثلاثي الأبعاد تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر

يؤدي هذا أيضًا إلى فهم ميزة ثالثة، وهي أن الكسيريات كمعادلات رياضية "لا يمكن اشتقاقها في أي مكان ". بمعنى ملموس، يعني هذا أنه لا يمكن قياس الكسيريات بالطرق التقليدية. [1] [4] [33] للتوضيح، في محاولة العثور على طول منحنى غير كسوري متموج، يمكن للمرء أن يجد أجزاء مستقيمة من بعض أدوات القياس صغيرة بما يكفي لوضعها من طرف إلى طرف فوق الأمواج، حيث يمكن أن تصبح القطع صغيرة بما يكفي لاعتبارها متوافقة مع المنحنى بالطريقة العادية للقياس بشريط القياس . ولكن عند قياس منحنى كسوري "متعرج" إلى ما لا نهاية مثل ندفة الثلج كوخ، فلن يجد المرء أبدًا جزءًا مستقيمًا صغيرًا بما يكفي ليتوافق مع المنحنى، لأن النمط المسنن سيظهر دائمًا مرة أخرى، بمقاييس صغيرة تعسفية، مما يسحب في الأساس المزيد من شريط القياس إلى الطول الإجمالي المقاس في كل مرة يحاول فيها المرء أن يناسبه بشكل أضيق وأضيق على المنحنى. والنتيجة هي أنه يجب أن يحتاج المرء إلى شريط لا نهائي لتغطية المنحنى بالكامل تمامًا، أي أن ندفة الثلج لها محيط لا نهائي. [1]

تاريخ

ندفة الثلج كوش هي كسوري يبدأ بمثلث متساوي الأضلاع ثم يستبدل الثلث الأوسط من كل قطعة مستقيمة بزوج من قطع المستقيم التي تشكل نتوءًا متساوي الأضلاع
مجموعة كانتور (ثلاثية)

يتتبع تاريخ الكسيريات مسارًا من الدراسات النظرية بشكل أساسي إلى التطبيقات الحديثة في رسومات الكمبيوتر ، مع مساهمة العديد من الأشخاص البارزين في أشكال الكسيرية القياسية على طول الطريق. [8] [9] أحد الموضوعات الشائعة في العمارة الأفريقية التقليدية هو استخدام التدرج الكسير، حيث تميل الأجزاء الصغيرة من الهيكل إلى أن تبدو مشابهة للأجزاء الأكبر، مثل قرية دائرية مصنوعة من منازل دائرية. [34] وفقًا لبيكوفر ، بدأت الرياضيات وراء الكسيريات تتشكل في القرن السابع عشر عندما فكر عالم الرياضيات والفيلسوف جوتفريد لايبنتز في التشابه الذاتي المتكرر (على الرغم من أنه ارتكب خطأ الاعتقاد بأن الخط المستقيم فقط هو المتشابه الذاتي بهذا المعنى). [35]

في كتاباته، استخدم لايبنتز مصطلح "الأسس الكسرية"، لكنه أبدى أسفه لأن "الهندسة" لم تكن تعرفها بعد. [1] : 405  في الواقع، وفقًا لروايات تاريخية مختلفة، بعد تلك النقطة، عالج عدد قليل من علماء الرياضيات القضايا وظل عمل أولئك الذين فعلوا ذلك غامضًا إلى حد كبير بسبب المقاومة لمثل هذه المفاهيم الناشئة غير المألوفة، والتي يشار إليها أحيانًا باسم "الوحوش" الرياضية. [33] [8] [9] وبالتالي، لم يكن الأمر كذلك إلا بعد مرور قرنين من الزمان عندما قدم كارل ويرستراس في 18 يوليو 1872 أول تعريف للدالة ذات الرسم البياني الذي يُعتبر اليوم كسوري، وله الخاصية غير البديهية لكونه مستمرًا في كل مكان ولكنه غير قابل للاشتقاق في أي مكان في الأكاديمية الملكية البروسية للعلوم. [8] : 7  [9]

بالإضافة إلى ذلك، يصبح فرق الحاصل كبيرًا بشكل تعسفي مع زيادة مؤشر الجمع. [36] بعد ذلك بوقت قصير، في عام 1883، نشر جورج كانتور ، الذي حضر محاضرات ويرستراس، [9] أمثلة لمجموعات فرعية من الخط الحقيقي تُعرف باسم مجموعات كانتور ، والتي كانت لها خصائص غير عادية ويتم التعرف عليها الآن على أنها كسورية. [8] : 11–24  أيضًا في الجزء الأخير من ذلك القرن، قدم فيليكس كلاين وهنري بوانكاريه فئة من الكسور التي أصبحت تُسمى الكسور "العكسية الذاتية". [1] : 166 

مجموعة جوليا ، وهي كسيرية مرتبطة بمجموعة ماندلبروت
يمكن إنشاء حشية Sierpinski بواسطة شجرة كسورية.

جاء أحد المعالم التالية في عام 1904، عندما قدم هيلج فون كوخ ، الذي وسع أفكار بوانكاريه وكان غير راضٍ عن التعريف التجريدي والتحليلي لفايرشتراس، تعريفًا أكثر هندسية يتضمن صورًا مرسومة يدويًا لوظيفة مماثلة، والتي تسمى الآن ندفة الثلج كوخ . [8] : 25  [9] جاء معلم آخر بعد عقد من الزمان في عام 1915، عندما بنى فاكلاف سيربينسكي مثلثه الشهير ثم، بعد عام واحد، سجادته . بحلول عام 1918، توصل عالما رياضيات فرنسيان، بيير فاتو وجاستون جوليا ، على الرغم من عملهما بشكل مستقل، في وقت واحد بشكل أساسي إلى نتائج تصف ما يُنظر إليه الآن على أنه سلوك كسوري مرتبط برسم خرائط الأعداد المركبة والوظائف التكرارية وتؤدي إلى أفكار أخرى حول الجاذبات والطاردات (أي النقاط التي تجذب أو تطرد نقاطًا أخرى)، والتي أصبحت مهمة جدًا في دراسة الكسيريات. [4] [8] [9]

بعد وقت قصير جدًا من تقديم هذا العمل، بحلول مارس 1918، وسع فيليكس هاوسدورف تعريف "البعد"، مما كان له تأثير كبير على تطور تعريف الكسيريات، للسماح للمجموعات بأن يكون لها أبعاد غير صحيحة. [9] تم أخذ فكرة المنحنيات المتشابهة ذاتيًا إلى أبعد من ذلك بواسطة بول ليفي ، الذي وصف في ورقته عام 1938 المنحنيات والأسطح المستوية أو الفضائية المكونة من أجزاء مماثلة للكل ، منحنى كسوري جديد، منحنى ليفي سي . [ملاحظات 1]

جاذب غريب يظهر مقياسًا متعدد الكسور
مثلث مركز كتلة موحد كسوري
2x 120 درجة متكررة IFS

افترض باحثون مختلفون أنه بدون مساعدة الرسومات الحاسوبية الحديثة، كان الباحثون الأوائل مقيدين بما يمكنهم تصويره في الرسومات اليدوية، وبالتالي افتقروا إلى الوسائل اللازمة لتصور الجمال وتقدير بعض الآثار المترتبة على العديد من الأنماط التي اكتشفوها (على سبيل المثال، لا يمكن تصور مجموعة جوليا إلا من خلال بضع تكرارات كرسومات بسيطة للغاية). [1] : 179  [33] [9] ومع ذلك، تغير هذا في الستينيات، عندما بدأ بينوا ماندلبروت في الكتابة عن التشابه الذاتي في أوراق مثل ما هو طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسري ، [37] [38] والذي استند إلى عمل سابق أجراه لويس فراي ريتشاردسون .

في عام 1975، [31] عزز ماندلبروت مئات السنين من الفكر والتطور الرياضي من خلال صياغة كلمة "فراكتال" ووضح تعريفه الرياضي بتصورات مذهلة تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر. وقد استحوذت هذه الصور، مثل مجموعة ماندلبروت الأساسية ، على خيال الناس؛ وكان العديد منها قائمًا على التكرار، مما أدى إلى المعنى الشائع لمصطلح "فراكتال". [39] [33] [8] [35]

في عام 1980، قدم لورين كاربنتر عرضًا تقديميًا في SIGGRAPH حيث قدم برنامجه لإنشاء وتقديم المناظر الطبيعية المولدة بشكل كسري. [40]

التعريف والخصائص

أحد الأوصاف التي يستشهد بها كثيرًا والتي نشرها ماندلبروت لوصف الكسيريات الهندسية هو " شكل هندسي خشن أو مجزأ يمكن تقسيمه إلى أجزاء، كل منها عبارة عن نسخة مصغرة الحجم من الكل (على الأقل تقريبًا)"؛ [1] وهذا مفيد بشكل عام ولكنه محدود. يختلف المؤلفون حول التعريف الدقيق للكسيريات ، ولكنهم عادةً ما يشرحون الأفكار الأساسية للتشابه الذاتي والعلاقة غير العادية بين الكسيريات والفضاء الذي يتم تضمينها فيه. [1] [5] [2] [4] [41]

هناك نقطة متفق عليها وهي أن الأنماط الكسورية تتميز بأبعاد كسورية ، ولكن في حين أن هذه الأرقام تحدد التعقيد (أي تغيير التفاصيل مع تغيير المقياس)، فإنها لا تصف بشكل فريد ولا تحدد تفاصيل كيفية إنشاء أنماط كسورية معينة. [42] في عام 1975 عندما صاغ ماندلبروت كلمة "كسورية"، فعل ذلك للإشارة إلى كائن يكون بعد هاوسدورف-بيسيكوفيتش الخاص به أكبر من بعده الطوبولوجي . [31] ومع ذلك، لا يتم تلبية هذا الشرط من خلال المنحنيات التي تملأ الفراغات مثل منحنى هيلبرت . [ملاحظات 2]

نظرًا للمتاعب التي ينطوي عليها إيجاد تعريف واحد للكسور، يزعم البعض أن الكسور لا ينبغي تعريفها بدقة على الإطلاق. وفقًا لفالكونر ، يجب أن تتميز الكسور عمومًا فقط بتشكيلة من السمات التالية؛ [2]

  • التشابه الذاتي، والذي قد يشمل:
  • التشابه الذاتي الدقيق: متطابق في جميع المقاييس، مثل ندفة الثلج كوخ
  • التشابه الذاتي شبه: يقترب من نفس النمط بمقاييس مختلفة؛ قد يحتوي على نسخ صغيرة من الكسير بأكمله في أشكال مشوهة ومتدهورة؛ على سبيل المثال، أقمار مجموعة ماندلبروت هي تقريبات للمجموعة بأكملها، ولكنها ليست نسخًا دقيقة.
  • التشابه الذاتي الإحصائي: يكرر النمط عشوائيًا بحيث يتم الحفاظ على المقاييس العددية أو الإحصائية عبر المقاييس؛ على سبيل المثال، الكسيريات المولدة عشوائيًا مثل المثال المعروف لساحل بريطانيا حيث لا يتوقع المرء العثور على جزء مُقاس ومتكرر بدقة مثل الوحدة المتكررة التي تحدد الكسيريات مثل ندفة الثلج لكوش. [4]
  • التشابه الذاتي النوعي: كما هو الحال في سلسلة زمنية [13]
  • القياس المتعدد الكسور : يتميز بوجود أكثر من بعد كسوري أو قاعدة قياس
  • بنية دقيقة أو مفصلة على مقاييس صغيرة بشكل تعسفي. إحدى نتائج هذه البنية هي أن الكسيريات قد يكون لها خصائص ناشئة [43] (مرتبطة بالمعيار التالي في هذه القائمة).
  • عدم انتظام محلي وعالمي لا يمكن وصفه بسهولة بلغة الهندسة الإقليدية التقليدية بخلاف كونه حدًا لتسلسل متكرر من المراحل. بالنسبة لصور الأنماط الكسورية، تم التعبير عن ذلك بعبارات مثل "تكديس الأسطح بسلاسة" و"دوامات فوق دوامات"؛ [6] انظر التقنيات الشائعة لتوليد الكسور .

كمجموعة، تشكل هذه المعايير إرشادات لاستبعاد حالات معينة، مثل تلك التي قد تكون متشابهة ذاتيًا دون وجود سمات كسورية نموذجية أخرى. على سبيل المثال، يكون الخط المستقيم متشابهًا ذاتيًا ولكنه ليس كسوريًا لأنه يفتقر إلى التفاصيل، ويمكن وصفه بسهولة باللغة الإقليدية دون الحاجة إلى التكرار. [1] [4]

تقنيات شائعة لتوليد الكسيريات

نمط التفرع المتشابه ذاتيًا تم نمذجته باستخدام مبادئ أنظمة L [21]

يمكن إنشاء صور الكسيريات باستخدام برامج توليد الكسيريات . وبسبب تأثير الفراشة ، فإن التغيير الصغير في متغير واحد قد يؤدي إلى نتيجة غير متوقعة .

كسوري تم إنشاؤه بواسطة قاعدة التقسيم المحدود لرابط متناوب

التطبيقات

الكسيريات المحاكاة

لقد تم تصميم الأنماط الكسورية على نطاق واسع، وإن كان ذلك ضمن نطاق من المقاييس وليس إلى ما لا نهاية، وذلك بسبب الحدود العملية للزمن والمكان الماديين. قد تحاكي النماذج الكسور النظرية أو الظواهر الطبيعية ذات السمات الكسورية. قد تكون مخرجات عملية النمذجة عبارة عن رسومات فنية للغاية، أو مخرجات للتحقيق، أو معايير للتحليل الكسورية . يتم سرد بعض التطبيقات المحددة للكسورية على التكنولوجيا في مكان آخر. يشار إلى الصور والمخرجات الأخرى للنمذجة عادةً بأنها "كسورية" حتى لو لم يكن لها خصائص كسورية صارمة، مثل عندما يكون من الممكن تكبير منطقة من الصورة الكسورية لا تظهر أي خصائص كسورية. أيضًا، قد تتضمن هذه أدوات حسابية أو عرضية ليست من خصائص الكسورية الحقيقية.

قد تكون الكسيريات النموذجية عبارة عن أصوات، [17] صور رقمية، أنماط كهروكيميائية، إيقاعات يومية ، [49] إلخ. تم إعادة بناء الأنماط الكسيرية في الفضاء المادي ثلاثي الأبعاد [24] : 10  وافتراضيًا، وغالبًا ما يطلق عليها " النمذجة الحاسوبية ". [46] يتم إنشاء نماذج الكسيريات عمومًا باستخدام برامج توليد الكسيريات التي تنفذ تقنيات مثل تلك الموضحة أعلاه. [4] [13] [24] كمثال واحد، يمكن نمذجة الأشجار والسراخس وخلايا الجهاز العصبي [21] والأوعية الدموية والرئتين، [46] وأنماط التفرع الأخرى في الطبيعة على جهاز كمبيوتر باستخدام خوارزميات متكررة وتقنيات أنظمة L. [ 21]

إن الطبيعة التكرارية لبعض الأنماط واضحة في بعض الأمثلة - فرع من شجرة أو سعف من سرخس هو نسخة مصغرة من الكل: ليس متطابقًا، ولكنه متشابه في الطبيعة. وعلى نحو مماثل، تم استخدام الكسور العشوائية لوصف/إنشاء العديد من الأشياء غير المنتظمة للغاية في العالم الحقيقي، مثل السواحل والجبال. أحد قيود النمذجة الكسورية هو أن تشابه نموذج كسوري مع ظاهرة طبيعية لا يثبت أن الظاهرة التي يتم نمذجتها تتشكل من خلال عملية مماثلة لخوارزميات النمذجة.

الظواهر الطبيعية ذات السمات الكسورية

تُظهر الكسور التقريبية الموجودة في الطبيعة تشابهًا ذاتيًا على نطاقات مقياس ممتدة ولكنها محدودة. على سبيل المثال، يتم استخدام الارتباط بين الكسور والأوراق حاليًا لتحديد كمية الكربون الموجودة في الأشجار. [50] تشمل الظواهر المعروفة التي تتميز بخصائص كسورية ما يلي:

الكسيريات في علم الأحياء الخلوي

غالبًا ما تظهر الكسور في عالم الكائنات الحية حيث تنشأ من خلال عمليات التفرع وتكوين أنماط معقدة أخرى. أظهر إيان وونغ وزملاؤه أن الخلايا المهاجرة يمكن أن تشكل كسورًا عن طريق التجمع والتفرع . [ 70] تعمل الخلايا العصبية من خلال العمليات على سطح الخلية، مع الظواهر التي يتم تعزيزها من خلال زيادة نسبة السطح إلى الحجم إلى حد كبير. نتيجة لذلك، غالبًا ما نجد أن الخلايا العصبية تتشكل في أنماط كسورية. [71] هذه العمليات حاسمة في فسيولوجيا الخلية والأمراض المختلفة . [72]

كما وجد أن العديد من الهياكل الخلوية الفرعية تتجمع في أشكال كسورية. وقد أظهر دييغو كرابف أنه من خلال عمليات التفرع تتجمع خيوط الأكتين في الخلايا البشرية في أنماط كسورية. [57] وبالمثل أظهر ماثياس فايس أن الشبكة الإندوبلازمية تعرض سمات كسورية. [73] والفهم الحالي هو أن الكسورية موجودة في كل مكان في علم الأحياء الخلوي، من البروتينات ، إلى العضيات ، إلى الخلايا الكاملة.

في الأعمال الإبداعية

منذ عام 1999، قامت العديد من المجموعات العلمية بإجراء تحليل كسوري على أكثر من 50 لوحة رسمها جاكسون بولوك عن طريق صب الطلاء مباشرة على قماش أفقي. [74] [75] [76]

في الآونة الأخيرة، تم استخدام التحليل الكسورية لتحقيق معدل نجاح بنسبة 93% في التمييز بين صور بولوك الحقيقية والتقليدية. [77] وقد أظهر علماء الأعصاب الإدراكية أن صور بولوك الكسورية تسبب نفس تقليل الإجهاد لدى المراقبين مثل الصور الكسورية المولدة بواسطة الكمبيوتر وكسور الطبيعة. [78]

يمكن لتقنية ديكالكومانيا ، التي يستخدمها فنانون مثل ماكس إيرنست ، إنتاج أنماط تشبه الكسورية. [79] وتتضمن الضغط على الطلاء بين سطحين وفصلهما عن بعضهما.

اقترح عالم التحكم الآلي رون إيجلاش أن الهندسة الكسورية والرياضيات منتشرة في الفن الأفريقي والألعاب والعرافة والتجارة والعمارة. تظهر المنازل الدائرية في دوائر من الدوائر، والمنازل المستطيلة في مستطيلات من المستطيلات، وما إلى ذلك. يمكن أيضًا العثور على أنماط التدرج هذه في المنسوجات الأفريقية والنحت وحتى تسريحات الشعر المجدولة. [ 27] [80] اقترح هوكي سيتونكير أيضًا خصائص مماثلة في الفن التقليدي الإندونيسي والباتيك والزخارف الموجودة في المنازل التقليدية. [81] [82]

وقد ناقش عالم الرياضيات الإثنوغرافي رون إيجلاش التخطيط المخطط لمدينة بنين باستخدام الكسيريات كأساس، ليس فقط في المدينة نفسها والقرى ولكن حتى في غرف المنازل. وعلق قائلاً: "عندما جاء الأوروبيون لأول مرة إلى إفريقيا، اعتبروا العمارة غير منظمة وبالتالي بدائية. ولم يخطر ببالهم أبدًا أن الأفارقة ربما كانوا يستخدمون شكلًا من أشكال الرياضيات لم يكتشفوه بعد". [83]

في مقابلة أجريت عام 1996 مع مايكل سيلفربلات ، أوضح ديفيد فوستر والاس أن بنية المسودة الأولى من "المزاح اللانهائي" التي أعطاها لمحرره مايكل بيتش كانت مستوحاة من الكسيريات، وتحديدًا مثلث سيربينسكي (المعروف أيضًا باسم حشية سيربينسكي)، لكن الرواية المحررة "تشبه حشية سيربينسكي غير المتوازنة". [26]

تحتوي بعض أعمال الفنان الهولندي MC Escher ، مثل Circle Limit III ، على أشكال تتكرر إلى ما لا نهاية وتصبح أصغر وأصغر كلما اقتربت من الحواف، في نمط يبدو دائمًا هو نفسه إذا تم تكبير الصورة.

التأثيرات الجمالية والنفسية للتصميم القائم على الكسور: [84] تتميز الأنماط الكسورية المنتشرة بشكل كبير في الطبيعة بمكونات متشابهة ذاتيًا تتكرر عند مقاييس حجم مختلفة. يمكن التأثير على التجربة الإدراكية للبيئات التي صنعها الإنسان بإدراج هذه الأنماط الطبيعية. وقد أظهرت الأعمال السابقة اتجاهات متسقة في تفضيل وتقديرات تعقيد الأنماط الكسورية. ومع ذلك، تم جمع معلومات محدودة حول تأثير الأحكام البصرية الأخرى. هنا نفحص التجربة الجمالية والإدراكية لتصميمات "الغابة العالمية" الكسورية المثبتة بالفعل في المساحات التي صنعها الإنسان ونوضح كيف ترتبط مكونات النمط الكسورية بالتجارب النفسية الإيجابية التي يمكن الاستفادة منها لتعزيز رفاهية شاغليها. هذه التصاميم عبارة عن أنماط كسورية مركبة تتكون من "بذور أشجار" كسورية فردية تتحد لإنشاء "غابة كسورية عالمية". تتمتع أنماط "بذور الأشجار" المحلية والتكوين العالمي لمواقع بذور الأشجار وأنماط "الغابة العالمية" الناتجة بشكل عام بصفات كسورية. وتمتد هذه التصاميم عبر وسائط متعددة، ولكنها تهدف جميعها إلى تقليل إجهاد شاغليها دون الانتقاص من وظيفة وتصميم المساحة بشكل عام. وفي هذه السلسلة من الدراسات، نؤسس أولاً علاقات متباينة بين السمات المرئية المختلفة، مع زيادة تعقيد النمط والتفضيل وتقييمات المشاركة مع التعقيد الكسري مقارنة بتقييمات الانتعاش والاسترخاء التي تظل كما هي أو تنخفض مع التعقيد. وبعد ذلك، نحدد أن أنماط الكسور المكونة المحلية ("بذرة الشجرة") تساهم في إدراك التصميم الكسري العام، ونتناول كيفية تحقيق التوازن بين التأثيرات الجمالية والنفسية (مثل التجارب الفردية للمشاركة والاسترخاء المتصورين) في تركيبات التصميم الكسري. وتوضح هذه المجموعة من الدراسات أن تفضيل الكسور مدفوع بتوازن بين الإثارة المتزايدة (الرغبة في المشاركة والتعقيد) وانخفاض التوتر (الرغبة في الاسترخاء أو الانتعاش). إن تركيبات هذه الأنماط المركبة من "الغابات العالمية" ذات التعقيد المتوسط ​​إلى العالي والمكونة من مكونات "بذور الأشجار" تحقق التوازن بين هذه الاحتياجات المتناقضة، ويمكن أن تكون بمثابة تطبيق عملي للأنماط الحيوية في البيئات التي صنعها الإنسان لتعزيز رفاهية السكان.

  • نموذج كسوري لسطح جبل (رسوم متحركة)
    نموذج كسوري لسطح جبل (رسوم متحركة)
  • صورة متكررة ثلاثية الأبعاد
    صورة متكررة ثلاثية الأبعاد
  • صورة فراشة كسورية متكررة
    صورة فراشة كسورية متكررة
  • شعلة كسوري
    شعلة كسوري

الاستجابات الفسيولوجية

يبدو أن البشر متكيفون بشكل خاص مع معالجة الأنماط الكسورية ذات البعد الكسوري بين 1.3 و1.5. [85] عندما ينظر البشر إلى الأنماط الكسورية ذات البعد الكسوري بين 1.3 و1.5، فإن هذا يميل إلى تقليل الإجهاد الفسيولوجي. [86] [87]

التطبيقات في التكنولوجيا

انظر أيضا

ملحوظات

  1. ^ الورقة الأصلية، ليفي، بول (1938). "Les Courbes Planes ou gauches et les Surfaces composées de parts semblables au tout". مجلة المدرسة البوليتكنيكية : 227-247، 249-291.، تُرجم في إدغار، الصفحات 181-239.
  2. ^ خريطة منحنى هيلبرت ليست تماثلية ، لذا فهي لا تحافظ على البعد الطوبولوجي. البعد الطوبولوجي وبُعد هاوسدورف لصورة خريطة هيلبرت في R 2 كلاهما 2. لاحظ، مع ذلك، أن البعد الطوبولوجي لرسم خريطة هيلبرت (مجموعة في R 3 ) هو 1.

مراجع

  1. ^ abcdefghijklmnop Mandelbrot, Benoît B. (1983). الهندسة الكسورية للطبيعة. ماكميلان. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. ^ abcde Falconer, Kenneth (2003). الهندسة الكسورية: الأسس والتطبيقات الرياضية . John Wiley & Sons. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. ^ ab Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos . لندن: Thames and Hudson. ص. 148. ISBN 978-0-500-27693-8.
  4. ^ abcdefghij فيتشيك، تاماس (1992). ظاهرة النمو الكسري . سنغافورة / نيو جيرسي: العالم العلمي. ص 31، 139-146. رقم ISBN 978-981-02-0668-0.
  5. ^ abc Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures . باريس/نيويورك: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
  6. ^ abc Mandelbrot, Benoît B. (2004). Fractals and Chaos . Berlin: Springer. p. 38. ISBN 978-0-387-20158-0المجموعة الكسورية هي المجموعة التي يتجاوز فيها البعد الكسوري (هاوسدورف-بيسيكوفيتش) البعد الطوبولوجي بشكل صارم
  7. ^ سيجال، إس إل (يونيو 1978). "استمرار مثال ريمان للدالة المستمرة "غير القابلة للاشتقاق". مجلة الذكاء الرياضي . 1 (2): 81-82. doi :10.1007/BF03023065. S2CID  120037858.
  8. ^ abcdefgh Edgar, Gerald (2004). Classics on Fractals . Boulder, CO: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8.
  9. ^ abcdefghi Trochet, Holly (2009). "A History of Fractal Geometry". MacTutor History of Mathematics . مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2012.
  10. ^ ماندلبروت، بينوا (8 يوليو 2013). "محاضرة 24/7 عن الكسيريات". جوائز نوبل للحماقة العلمية 2006. بحث غير محتمل. مؤرشف من الأصل في 11 ديسمبر 2021.
  11. ^ ماندلبروت، بي بي: الهندسة الكسورية للطبيعة. دبليو إتش فريمان وشركاه، نيويورك (1982)؛ ص 15.
  12. ^ إدغار، جيرالد (2007). القياس والطوبولوجيا والهندسة الكسورية. مجلة سبرينغر للعلوم والأعمال التجارية. ص 7. رقم ISBN 978-0-387-74749-1.
  13. ^ abc Peters, Edgar (1996). الفوضى والنظام في أسواق رأس المال: نظرة جديدة للدورات والأسعار وتقلبات السوق . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-13938-6.
  14. ^ Krapivsky, PL; Ben-Naim, E. (1994). "التعدد في القياسات في الكسيريات العشوائية". Physics Letters A. 196 ( 3–4): 168. Bibcode :1994PhLA..196..168K. doi :10.1016/0375-9601(94)91220-3.
  15. ^ حسن، MK؛ رودجرز، GJ (1995). "نماذج التفتت والكسيريات العشوائية". رسائل الفيزياء أ . 208 (1-2): 95. رمز Bibcode :1995PhLA..208...95H. doi :10.1016/0375-9601(95)00727-k.
  16. ^ حسن، MK؛ بافيل، NI؛ بانديت، RK؛ كورتس، J. (2014). "مجموعة كانتور ثنائية ونظيرتها الحركية والعشوائية". الفوضى، الانعزالية والكسيرية . 60 : 31-39. arXiv : 1401.0249 . Bibcode :2014CSF....60...31H. doi :10.1016/j.chaos.2013.12.010. S2CID  14494072.
  17. ^ ab Brothers, Harlan J. (2007). "التوسع الهيكلي في مجموعة باخ للتشيلو رقم 3". Fractals . 15 (1): 89–95. doi :10.1142/S0218348X0700337X.
  18. ^ ab Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). "الخصائص الكسورية لتقلبات فترة القلب البشري: التداعيات الفسيولوجية والمنهجية". مجلة علم وظائف الأعضاء . 587 (15): 3929–41. doi :10.1113/jphysiol.2009.169219. PMC 2746620. PMID  19528254 . 
  19. ^ ab Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). "البعد الكسري في المخيخ البشري المقاس بواسطة التصوير بالرنين المغناطيسي". مجلة الفيزياء الحيوية . 85 (6): 4041–4046. رمز Bibcode :2003BpJ....85.4041L. doi :10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704. PMID  14645092 . 
  20. ^ ab Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). "تحليل العد المربع لشكل الخلايا الدبقية الصغيرة في مرض الفصام ومرض الزهايمر والاضطراب العاطفي". Fractals . 16 (2): 103. doi :10.1142/S0218348X08003880.
  21. ^ abcde Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). "MicroMod-an L-systems approach to neural modelling". في Sarker, Ruhul (محرر). وقائع ورشة العمل: ورشة العمل المشتركة السادسة بين أستراليا واليابان حول الأنظمة الذكية والتطورية، دار الجامعة، جامعة نيو ساوث ويلز. ISBN 978-0-7317-0505-4. OCLC  224846454 . تم الاسترجاع في 3 فبراير 2012 . مكان الحدث: كانبيرا، أستراليا
  22. ^ ab Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). "التوصيف المتعدد الكسور لسعر الأراضي السكنية الحضرية في المكان والزمان". الجغرافيا التطبيقية . 34 : 161–170. Bibcode :2012AppGe..34..161H. doi :10.1016/j.apgeog.2011.10.016.
  23. ^ ab Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João VB; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). "الكشف الآلي عن اعتلال الشبكية التكاثري في الممارسة السريرية". طب العيون السريري . 2 (1): 109-122. doi : 10.2147/OPTH.S1579 . PMC 2698675. PMID  19668394 . 
  24. ^ abcd Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  25. ^ abc Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). "Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing". رسائل علوم الأرض والكواكب . 262 (3–4): 413. Bibcode :2007E&PSL.262..413V. doi :10.1016/j.epsl.2007.07.056. hdl : 2158/257208 . S2CID  128467785.
  26. ^ ab Wallace, David Foster (4 أغسطس 2006). "Bookworm on KCRW". Kcrw.com. مؤرشف من الأصل في 11 نوفمبر 2010. تم الاسترجاع في 17 أكتوبر 2010 .
  27. ^ ab Eglash, Ron (1999). "African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design". نيو برونزويك: مطبعة جامعة روتجرز. مؤرشف من الأصل في 3 يناير 2018. تم الاسترجاع في 17 أكتوبر 2010 .
  28. ^ ab Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) البعد الكسري للهندسة المعمارية بيرهاوزر، بازل. doi :10.1007/978-3-319-32426-5.
  29. ^ بارانجر، مايكل. "الفوضى والتعقيد والإنتروبيا: محاضرة في الفيزياء لغير الفيزيائيين" (PDF) .
  30. ^ بينوا ماندلبروت، Objets فركتلات ، 1975، ص. 4
  31. ^ abcd Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (2008). "Benoît Mandelbrot: In his own words". Mathematical people : profiles and interviews . Wellesley, MA: AK Peters. p. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
  32. ^ "fractal" . قاموس أكسفورد الإنجليزي (الطبعة الإلكترونية). مطبعة جامعة أكسفورد . (يشترط الاشتراك أو العضوية في المؤسسة المشاركة.)
  33. ^ أ ب ج د جوردون، نايجل (2000). مقدمة في الهندسة الكسورية. داكسفورد: أيقونة. ص 71. رقم ISBN 978-1-84046-123-7.
  34. ^ Eglash, Ron (1999). African Fractals Modern Computing and Indigenous Design . Rutgers University Press. ISBN 978-0-8135-2613-3.
  35. ^ ab Pickover, Clifford A. (2009). كتاب الرياضيات: من فيثاغورس إلى البعد السابع والخمسين، 250 معلمًا في تاريخ الرياضيات. ستيرلينج. ص 310. ISBN 978-1-4027-5796-9.
  36. ^ "هندسة الكسورية". www-history.mcs.st-and.ac.uk . تم الاسترجاع في 11 أبريل 2017 .
  37. ^ ماندلبروت، ب. (1967). "ما طول ساحل بريطانيا؟". ساينس . 156 (3775): 636–638. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. مؤرشف من الأصل في 19 أكتوبر 2021. تم الاسترجاع في 31 أكتوبر 2020 .
  38. ^ باتي، مايكل (4 أبريل 1985). "الكسيريات – الهندسة بين الأبعاد". مجلة نيو ساينتست . 105 (1450): 31.
  39. ^ Russ, John C. (1994). Fractal Surfaces. المجلد 1. Springer. ص 1. ISBN 978-0-306-44702-0تم الاسترجاع في 5 فبراير 2011 .
  40. ^ "Vol Libre, an amazing CG film from 1980". kottke.org . 29 يوليو 2009 . تم الاسترجاع في 12 فبراير 2023 .
  41. ^ إدغار، جيرالد (2008). القياس والطوبولوجيا والهندسة الكسورية . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ص. 1. ISBN 978-0-387-74748-4.
  42. ^ كاربيريين، أودري (2004). تعريف مورفولوجيا الخلايا الدبقية الصغيرة: الشكل والوظيفة والأبعاد الكسرية . جامعة تشارلز ستورت. doi :10.13140/2.1.2815.9048.
  43. ^ سبنسر، جون؛ توماس، مايكل إس سي؛ ماكليلاند، جيمس إل. (2009). نحو نظرية موحدة للتنمية: إعادة النظر في نظرية الاتصال والأنظمة الديناميكية . أكسفورد/نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-530059-8.
  44. ^ فريم، أنجوس (3 أغسطس 1998). "أنظمة الوظائف المتكررة". في بيكوفر، كليفورد أ. (محرر). الفوضى والكسيريات: رحلة رسومية حاسوبية: تجميع لعشر سنوات من الأبحاث المتقدمة. إلسفير. ص 349-351. رقم ISBN 978-0-444-50002-1تم الاسترجاع في 4 فبراير 2012 .
  45. ^ "سجادة هافرمان". WolframAlpha . تم الاسترجاع في 18 أكتوبر 2012 .
  46. ^ abcd Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (2005). "الجوانب الكسورية للتحسين البنائي للأوعية الدموية ثلاثية الأبعاد". في Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (المحررون). الكسور في علم الأحياء والطب. Springer. ص 55-66. ISBN 978-3-7643-7172-2.
  47. ^ JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. قواعد التقسيم المحدود . الهندسة المطابقة والديناميكيات، المجلد 5 (2001)، ص 153-196.
  48. ^ كاربوني، أليساندرا؛ جروموف، ميخائيل؛ بروسينكيفيتش، برزيميسلاف (2000). تشكيل الأنماط في علم الأحياء والرؤية والديناميكيات. مجلة وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 978-981-02-3792-9.
  49. ^ فتح الله الشيخ، حسن م. (2011). "البعد الكسري لساعة ذبابة الفاكهة اليومية". الكسور . 19 (4): 423-430. doi :10.1142/S0218348X11005476.
  50. ^ "مطاردة الأبعاد الخفية". نوفا . بي بي إس. دبليو بي إم بي-ماريلاند. 28 أكتوبر 2008.
  51. ^ صادق، ساناز (2017). "غشاء البلازما مقسم بواسطة شبكة أكتين قشرية متشابهة ذاتيًا". Physical Review X. 7 ( 1): 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode :2017PhRvX...7a1031S. doi :10.1103/PhysRevX.7.011031. PMC 5500227. PMID  28690919 . 
  52. ^ فالكونر، كينيث (2013). الكسيريات، مقدمة قصيرة جدًا . مطبعة جامعة أكسفورد.
  53. ^ لوفجوي، شون (1982). "علاقة المساحة بالمحيط لمناطق المطر والسحب". ساينس . 216 (4542): 185-187. رمز Bibcode :1982Sci...216..185L. doi :10.1126/science.216.4542.185. PMID  17736252. S2CID  32255821.
  54. ^ كانون، جيمس دبليو؛ فلويد، ويليام جيه؛ بيري، والتر آر. (2000). "نمو البلورات، نمو الخلايا البيولوجية والهندسة". في كاربوني، أليساندرا؛ جروموف، ميخائيل؛ بروسينكيفيتش، برزيميسلاف (المحررون). تكوين الأنماط في علم الأحياء والرؤية والديناميكيات . مجلة وورلد ساينتيفيك. ص 65-82. رقم ISBN 978-981-02-3792-9.
  55. ^ سينغ، شامكور؛ مازا، ماركو (2019)، "الكهرباء في الغازات الحبيبية تؤدي إلى نمو كسوري مقيد"، التقارير العلمية ، 9 (1)، مجموعة النشر نيتشر: 9049، arXiv : 1812.06073 ، رمز Bibcode : 2019NatSR...9.9049S، doi : 10.1038/s41598-019-45447-x ، PMC 6588598 ، PMID  31227758 
  56. ^ سورنيت، ديدييه (2004). الظواهر الحرجة في العلوم الطبيعية: الفوضى، والكسيريات، والتنظيم الذاتي، والاضطراب: المفاهيم والأدوات . سبرينغر. ص 128-140. ISBN 978-3-540-40754-6.
  57. ^ abc Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, JA (1999), "الطوبولوجيا المعقدة في التشتت الفوضوي: ملاحظة معملية"، Nature ، 399 (6734): 315، Bibcode :1999Natur.399..315S، doi :10.1038/20573، S2CID  4361904
  58. ^ د. سيكل؛ ب. كايل؛ إي. ليندمارك؛ ب. بيستروم (2021). "علاقة التدرج الكسورية بين مداخل الأنهار والبحيرات". رسائل البحوث الجيوفيزيائية . 48 (9): e2021GL093366. رمز Bibcode : 2021GeoRL..4893366S. doi : 10.1029/2021GL093366. ISSN  0094-8276. S2CID  235508504.
  59. ^ D. Seekell؛ ML Pace؛ LJ Tranvik؛ C. Verpoorter (2013). "نهج قائم على الكسور لتوزيعات حجم البحيرة" (PDF) . رسائل البحوث الجيوفيزيائية . 40 (3): 517-521. رمز Bibcode : 2013GeoRL..40..517S. doi : 10.1002/grl.50139. S2CID  14482711.
  60. ^ BB Cael؛ DA Seekell (2016). "توزيع حجم بحيرات الأرض". التقارير العلمية . 6 : 29633. Bibcode :2016NatSR...629633C. doi :10.1038/srep29633. PMC 4937396. PMID  27388607 . 
  61. ^ أديسون، بول س. (1997). الكسور والفوضى: دورة مصورة. دار نشر سي آر سي. ص 44-46. رقم ISBN 978-0-7503-0400-9تم الاسترجاع في 5 فبراير 2011 .
  62. ^ Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (January 27, 2005). "Mass fractal dimensions and the compactness of protein". Physical Review E. 71 ( 1): 011912. Bibcode :2005PhRvE..71a1912E. doi :10.1103/PhysRevE.71.011912. PMID  15697635.
  63. ^ تاكيدا، ت؛ إيشيكاوا، أ؛ أوتومو، ك؛ كوباياشي، ي؛ ماتسوكا، ت (فبراير 1992). "البعد الكسري للشجرة الشجرية لخلية بوركينجي المخيخية أثناء التطور الجيني والتطور التطوري". أبحاث علوم الأعصاب . 13 (1): 19-31. doi :10.1016/0168-0102(92)90031-7. PMID  1314350. S2CID  4158401.
  64. ^ تاكاياسو، هـ. (1990). الكسيريات في العلوم الفيزيائية. مانشستر: مطبعة جامعة مانشستر. ص. 36. ISBN 978-0-7190-3434-3.
  65. ^ Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (April 1, 2015 ) . "حواف حلقات زحل كسورية". SpringerPlus . 4, 158: 158. doi : 10.1186/s40064-015-0926-6 . PMC 4392038. PMID  25883885. 
  66. ^ ماير، إيف؛ روك، سيلفي (1993). التقدم في تحليل الموجات وتطبيقاتها: وقائع المؤتمر الدولي "الموجات وتطبيقاتها"، تولوز، فرنسا – يونيو 1992. Atlantica Séguier Frontières. ص. 25. ISBN 978-2-86332-130-0تم الاسترجاع في 5 فبراير 2011 .
  67. ^ Ozhovan MI, Dmitriev IE, Batyukhnova OG البنية الكسرية لمسام التربة الطينية. الطاقة الذرية، 74، 241-243 (1993).
  68. ^ Sreenivasan, KR; Meneveau, C. (1986). "The Fractal Facets of Turbulence". مجلة ميكانيكا الموائع . 173 : 357–386. Bibcode :1986JFM...173..357S. doi :10.1017/S0022112086001209. S2CID  55578215.
  69. ^ دي سيلفا، سي إم؛ فيليب، جيه؛ تشوهان، كيه؛ مينيفو، سي؛ ماروسيك، آي. (2013). "الهندسة متعددة المقاييس وقياس الواجهة المضطربة وغير المضطربة في طبقات الحدود ذات رقم رينولدز المرتفع". مجلة الفيزياء . 111 (6039): 192-196. رمز Bibcode :2011Sci...333..192A. doi :10.1126/science.1203223. PMID  21737736. S2CID  22560587.
  70. ^ Leggett, Susan E.; Neronha, Zachary J.; Bhaskar, Dhananjay; Sim, Jea Yun; Perdikari, Theodora Myrto; Wong, Ian Y. (27 أغسطس 2019). "Motility-limited aggregation of mammary epithelial cells into fractal-like clusters". وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 116 (35): 17298–17306. Bibcode :2019PNAS..11617298L. doi : 10.1073/pnas.1905958116 . ISSN  0027-8424. PMC 6717304. PMID 31413194  . 
  71. ^ جيلينك، هربرت ف؛ فرنانديز، إدواردو (يونيو 1998). "الخلايا العصبية والكسور: ما مدى موثوقية وفائدة حسابات الأبعاد الكسورية؟". مجلة أساليب علم الأعصاب . 81 (1-2): 9-18. doi :10.1016/S0165-0270(98)00021-1. PMID  9696304. S2CID  3811866.
  72. ^ كروس، سيمون س. (1997). "الكسيريات في علم الأمراض". مجلة علم الأمراض . 182 (1): 1–8. doi : 10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1<1::AID-PATH808>3.0.CO;2-B . ISSN  1096-9896. PMID  9227334. S2CID  23274235.
  73. ^ Speckner, Konstantin; Stadler, Lorenz; Weiss, Matthias (July 9, 2018). "ديناميكيات شاذة لشبكة الشبكة الإندوبلازمية". Physical Review E. 98 ( 1): 012406. Bibcode :2018PhRvE..98a2406S. doi :10.1103/PhysRevE.98.012406. ISSN  2470-0045. PMID  30110830. S2CID  52010780.
  74. ^ تايلور، آر بي؛ وآخرون (1999). "التحليل الكسري للوحات التنقيط لبولوك". نيتشر . 399 (6735): 422. رمز Bibcode :1999Natur.399..422T. doi : 10.1038/20833 . S2CID  204993516.
  75. ^ تايلور، آر بي؛ وآخرون (2006). "التحليل الكسري: إعادة النظر في لوحات بولوك (رد)". نيتشر . 444 (7119): E10–11. رمز Bibcode :2006Natur.444E..10T. doi :10.1038/nature05399. S2CID  31353634.
  76. ^ لي، س.؛ أولسن، س.؛ جوتش، ب. (2007). "محاكاة وتحليل لوحات جاكسون بولوك". مجلة الرياضيات والفنون . 1 (2): 73-83. CiteSeerX 10.1.1.141.7470 . doi :10.1080/17513470701451253. S2CID  8529592. 
  77. ^ Shamar, L. (2015). "What Makes a Pollock Pollock: A Machine Vision Approach" (PDF) . International Journal of Arts and Technology . 8 : 1–10. CiteSeerX 10.1.1.647.365 . doi :10.1504/IJART.2015.067389. مؤرشف من الأصل (PDF) في 25 أكتوبر 2017. تم الاسترجاع في 24 أكتوبر 2017 . 
  78. ^ تايلور، آر بي؛ سبهار، بي؛ فان دونكيلار، بي؛ هاجرهال، سي إم (2011). "الاستجابات الإدراكية والفسيولوجية لكسور جاكسون بولوك". فرونتيرز في علم الأعصاب البشري . 5 : 1-13. doi : 10.3389/fnhum.2011.00060 . PMC 3124832. PMID  21734876 . 
  79. ^ فريم، مايكل؛ وماندلبروت، بينوا ب.؛ بانوراما الكسيريات واستخداماتها محفوظ في 23 ديسمبر 2007، على موقع واي باك مشين
  80. ^ نيلسون، برين (23 فبراير 2000). "الرياضيات المتطورة وراء تصميمات القرى الأفريقية / الأنماط الكسورية تستخدم التكرار على نطاق واسع وصغير". SFGATE . تم الاسترجاع في 12 فبراير 2023 .
  81. ^ سيتونجكير، هوكي؛ دحلان، رولان (2009). Fisika Batik: تنفيذ الأعمال الإبداعية التي تم تصميمها باستخدام تقنية فركتل الباتيك الحسابية . جاكرتا: جراميديا ​​بوستاكا أوتاما. ردمك 978-979-22-4484-7 
  82. ^ Rulistia, Novia D. (6 أكتوبر 2015). "تطبيق يرسم خريطة لقصة الباتيك الوطنية". صحيفة جاكرتا بوست . تم الاسترجاع في 25 سبتمبر 2016 .
  83. ^ كوتونين، ماونا (18 مارس 2016). "قصة المدن #5: مدينة بنين، العاصمة العظيمة في العصور الوسطى التي فقدت الآن دون أي أثر". تم استرجاعه في 2 أبريل 2018.
  84. ^ روبلز، كيلي إي.؛ روبرتس، ميشيل؛ فينجكام، كاثرين؛ سميث، جوليان إتش.؛ رولاند، كونور؛ موسليحي، سابا؛ ستادلوبر، سابرينا؛ ليسجاك، أناستازيا؛ ليسجاك، مارتن؛ تايلور، ريتشارد بي.؛ سبيهار، برانكا؛ سيرينو، مارجريت إي. (2021). "الجماليات والآثار النفسية للتصميم القائم على الكسورية". فرونتيرز في علم النفس . 12. doi : 10.3389/fpsyg.2021.699962 . ISSN  1664-1078. PMC 8416160. PMID 34484047  . 
  85. ^ تايلور، ريتشارد ب. (2016). "الانسياب الكسورية: علاقة حميمة بين الدماغ ومعالجة المحفزات الكسورية". في دي إيفا، أنطونيو (المحرر). الهندسة الكسورية للدماغ . سلسلة سبرينغر في علوم الأعصاب الحاسوبية. سبرينغر. ص 485-496. رقم ISBN 978-1-4939-3995-4.
  86. ^ تايلور، ريتشارد ب. (2006). "تقليل الإجهاد الفسيولوجي باستخدام الفن والعمارة الكسورية". ليوناردو . 39 (3): 245-251. doi :10.1162/leon.2006.39.3.245. S2CID  8495221.
  87. ^ لمزيد من المناقشة حول هذا التأثير، انظر Taylor, Richard P.; Spehar, Branka; Donkelaar, Paul Van; Hagerhall, Caroline M. (2011). "Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals". Frontiers in Human Neuroscience . 5 : 60. doi : 10.3389/fnhum.2011.00060 . PMC 3124832. PMID  21734876 . 
  88. ^ هولفيلد، روبرت جي؛ كوهين، ناثان (1999). "التشابه الذاتي والمتطلبات الهندسية لاستقلال التردد في الهوائيات". فراكتالات . 7 (1): 79-84. doi :10.1142/S0218348X99000098.
  89. ^ راينر، ريتشارد؛ والترايت، باتريك؛ بن خليفة، فؤاد؛ مولر، ستيفان؛ والشر، هربرت؛ فاغنر، ساندرين؛ كواي، روديجر؛ شليشتويج، مايكل؛ أمباشر، أوليفر؛ أمباشر، أو. (2012). "الهياكل الكسورية للترانزستورات منخفضة المقاومة ذات المساحة الكبيرة من AlGaN/GaN". ندوة دولية رابعة وعشرون حول أجهزة أشباه الموصلات والدوائر المتكاملة للطاقة عام 2012. ص 341-344. doi :10.1109/ISPSD.2012.6229091. ISBN 978-1-4577-1596-9. S2CID  43053855.
  90. ^ Zhiwei Huang؛ Yunho Hwang؛ Vikrant Aute؛ Reinhard Radermacher (2016). "مراجعة المبادلات الحرارية الكسورية" (PDF) المؤتمر الدولي للتبريد وتكييف الهواء . الورقة رقم 1725{{cite web}}:CS1 maint: postscript ( الرابط )
  91. ^ تشن، يانجوانج (2011). "نمذجة البنية الكسرية لتوزيعات حجم المدينة باستخدام وظائف الارتباط". PLOS ONE . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode :2011PLoSO...624791C. doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775. PMID  21949753 . 
  92. ^ "التطبيقات". مؤرشف من الأصل في 12 أكتوبر 2007. اطلع عليه بتاريخ 21 أكتوبر 2007 .
  93. ^ Azua-Bustos, Armando; Vega-Martínez, Cristian (أكتوبر 2013). ""اكتشاف "الحياة كما لا نعرفها"" من خلال التحليل الكسري"". المجلة الدولية لعلم الأحياء الفلكي . 12 (4): 314-320. doi :10.1017/S1473550413000177. hdl : 11336/26238 . S2CID  122793675.
  94. ^ سميث، روبرت ف.؛ موهر، ديفيد ن.؛ توريس، فيسينتي إي.؛ أوفورد، كينيث ب.؛ ميلتون الثالث، ل. جوزيف (1989). "القصور الكلوي لدى المرضى المجتمعيين المصابين ببيلة دموية دقيقة خفيفة بدون أعراض". وقائع مايو كلينيك . 64 (4): 409-414. doi :10.1016/s0025-6196(12)65730-9. PMID  2716356.
  95. ^ Landini, Gabriel (2011). "الكسيريات في المجهر". مجلة المجهر . 241 (1): 1–8. doi :10.1111/j.1365-2818.2010.03454.x. PMID  21118245. S2CID  40311727.
  96. ^ تشنغ، كيومينج (1997). "النمذجة المتعددة الكسور وتحليل الفجوات". الجيولوجيا الرياضية . 29 (7): 919-932. doi :10.1023/A:1022355723781. S2CID  118918429.
  97. ^ تشن، يانجوانج (2011). "نمذجة البنية الكسرية لتوزيعات حجم المدينة باستخدام وظائف الارتباط". PLOS ONE . 6 (9): e24791. arXiv : 1104.4682 . Bibcode :2011PLoSO...624791C. doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . PMC 3176775. PMID  21949753 . 
  98. ^ بيركل-إليزوندو، جيراردو؛ فالديز-سيبيدا، ريكاردو ديفيد (2006). "التحليل الكسري لأهرامات أمريكا الوسطى". ديناميكيات غير خطية وعلم النفس وعلوم الحياة . 10 (1): 105-122. PMID  16393505.
  99. ^ براون، كليفورد ت.؛ ويتشي، والتر آر تي؛ ليبوفيتش، لاري س. (2005). "الماضي المكسور: الكسيريات في علم الآثار". مجلة الطريقة والنظرية الأثرية . 12 : 37–78. doi :10.1007/s10816-005-2396-6. S2CID  7481018.
  100. ^ سعيدي، بانتيها؛ سورينسن، سورين أ. (2009). "نهج خوارزمي لتوليد حقول اختبار ما بعد الكارثة لوكلاء البحث والإنقاذ" (PDF) . وقائع المؤتمر العالمي للهندسة 2009 : 93-98. ISBN 978-988-17-0125-1.
  101. ^ "مكونات وحدة معالجة الرسوميات" (PDF) .
  102. ^ "براءات اختراع سوني".
  103. ^ "وصف القوام المبلط المختلط والمختلط".
  104. ^ "US8773422B1 - نظام وطريقة ومنتج برنامج كمبيوتر لتجميع العناصر الأولية المرتبة خطيًا". براءات اختراع جوجل . 4 ديسمبر 2007. تم الاسترجاع في 28 ديسمبر 2019 .
  105. ^ "US20110227921A1 - معالجة بيانات رسومات الكمبيوتر ثلاثية الأبعاد على محركات تظليل متعددة". براءات اختراع جوجل . 15 ديسمبر 2010. تم الاسترجاع في 27 ديسمبر 2019 .
  106. ^ "قواعد بيانات الاضطرابات في جامعة جونز هوبكنز".
  107. ^ لي، ي.؛ بيرلمان، إي.؛ وانج، إم.؛ يانج، ي.؛ مينيفو، سي.؛ بيرنز، آر.؛ تشن، إس.؛ سزالاي، إيه.؛ إيينك، جي. (2008). "مجموعة قاعدة بيانات الاضطرابات العامة وتطبيقاتها لدراسة التطور اللاجرانجي لزيادات السرعة في الاضطرابات". مجلة الاضطرابات . 9 : N31. arXiv : 0804.1703 . Bibcode :2008JTurb...9...31L. doi :10.1080/14685240802376389. S2CID  15768582.

قراءة إضافية

  • بارنسلي، مايكل ف.؛ ورايزنج، هاولي؛ الكسور في كل مكان . بوسطن: أكاديميك بريس بروفيشنال، 1993. ISBN 0-12-079061-0 
  • دوارتي، جيرمان أ.؛ السرد الكسري. حول العلاقة بين الأشكال الهندسية والتكنولوجيا وتأثيرها على فضاءات السرد . بيليفيلد: النسخة المنقحة، 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6 
  • فالكونر، كينيث؛ تقنيات في الهندسة الكسورية . جون وايلي وأولاده، 1997. ISBN 0-471-92287-0 
  • يورجنز، هارتموت؛ Heinz-Otto, هاينز أوتو ; و سوب، ديتمار؛ الفوضى والفركتلات: حدود جديدة للعلوم . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، 1992. ISBN 0-387-97903-4 
  • ماندلبروت، بينوا ب.؛ الهندسة الكسورية للطبيعة . نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه، 1982. ISBN 0-7167-1186-9 
  • بيتجن، هاينز-أوتو؛ وسوب، ديتمار؛ محرران؛ علم الصور الكسورية . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، 1988. ISBN 0-387-96608-0 
  • بيكوفر، كليفورد أ .؛ محرر؛ الفوضى والكسور: رحلة رسومية حاسوبية – مجموعة من الأبحاث المتقدمة على مدار عشر سنوات . إلسيفير، 1998. ISBN 0-444-50002-2 
  • جونز، جيسي؛ الكسيريات لجهاز ماكنتوش ، مطبعة مجموعة وايت، كورتي ماديرا، كاليفورنيا، 1993. ISBN 1-878739-46-8 . 
  • Lauwerier, Hans; Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures , ترجمة صوفيا جيل هوفستادت، مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، 1991. ISBN 0-691-08551-X ، غلاف ورقي. ISBN 0-691-02445-6، غلاف ورقي. "تم تأليف هذا الكتاب لجمهور واسع..." يتضمن برامج BASIC نموذجية في ملحق.  
  • سبروت، جوليان كلينتون (2003). الفوضى وتحليل السلاسل الزمنية . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-850839-7.
  • Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; and Kampman, Eric; Exploring Fractals on the Macintosh, Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6 
  • Lesmoir-Gordon, Nigel; ألوان اللانهاية: الجمال والقوة والإحساس بالكسور . 2004. ISBN 1-904555-05-5 (يأتي الكتاب مع قرص DVD ذي صلة بالفيلم الوثائقي الذي أخرجه آرثر سي كلارك والذي قدم مقدمة لمفهوم الكسور ومجموعة ماندلبروت .) 
  • ليو، هواجي؛ الفن الكسري ، تشانغشا: مطبعة هونان للعلوم والتكنولوجيا، 1997، ISBN 9787535722348 . 
  • جوييه، جان فرانسوا؛ الفيزياء والهياكل الكسورية (مقدمة بقلم ب. ماندلبروت)؛ ماسون، 1996. ISBN 2-225-85130-1 ، ونيويورك: سبرينغر فيرلاغ، 1996. ISBN 978-0-387-94153-0 . نفدت طبعته. متوفر بنسخة PDF على. "الفيزياء والهياكل الكسورية" (بالفرنسية). Jfgouyet.fr . تم الاسترجاع في 17 أكتوبر 2010 .  
  • فالكونر، كينيث (2013). الكسيريات، مقدمة قصيرة جدًا . مطبعة جامعة أكسفورد.
تحتوي ويكيميديا ​​كومنز على وسائط متعلقة بـ Fractal.
يحتوي موقع ويكيبيديا على كتاب حول موضوع: الكسيريات
  • الكسيريات في أرشيفات مكتبة الكونجرس على شبكة الإنترنت (تم أرشفتها في 16 نوفمبر 2001)
  • "مطاردة البعد الخفي"، برنامج PBS NOVA ، تم بثه لأول مرة في 24 أغسطس 2011
  • بينوا ماندلبروت: الكسيريات وفن الخشونة (تم أرشفته في 17 فبراير 2014، على موقع واي باك مشين )، TED ، فبراير 2010
  • معادلات قياس الكسور المتشابهة ذاتيا استنادا إلى حساب الترتيب الكسري (2007)
تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=فركتال&oldid=1246707159"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate