النسبية الخاصة

Special relativity
Principle of relativity Theory of relativity Formulations
Foundations Einstein's postulates Inertial frame of reference Speed of light Maxwell's equations Lorentz transformation
Consequences Time dilation Length contraction Relativistic mass Mass–energy equivalence Relativity of simultaneity Relativistic Doppler effect Thomas precession Relativistic disk Bell's spaceship paradox Ehrenfest paradox
Spacetime Minkowski spacetime Spacetime diagram World line Light cone
Dynamics Proper time Proper mass Four-momentum
History Precursors Galilean relativity Galilean transformation Aether theories
People Einstein Sommerfeld Michelson Morley FitzGerald Herglotz Lorentz Poincaré Minkowski Fizeau Abraham Born Planck von Laue Ehrenfest Tolman Dirac
Physics portal  Category
v t e

في الفيزياء ، نظرية النسبية الخاصة ، أو النسبية الخاصة باختصار، هي نظرية علمية للعلاقة بين المكان والزمان . في ورقة ألبرت أينشتاين عام 1905، حول الديناميكا الكهربائية للأجسام المتحركة ، تم تقديم النظرية على أنها تستند إلى فرضيتين فقط : ^{[ص 1] [1] [2]}

1. قوانين الفيزياء ثابتة ( متطابقة ) في جميع الأطر المرجعية بالقصور الذاتي (أي الأطر المرجعية التي لا يوجد بها تسارع ). وهذا ما يعرف بمبدأ النسبية .
2. سرعة الضوء في الفراغ هي نفسها لجميع المراقبين، بغض النظر عن حركة مصدر الضوء أو المراقب. وهذا ما يعرف بمبدأ ثبات الضوء، أو مبدأ ثبات سرعة الضوء.

تمت صياغة الفرضية الأولى لأول مرة من قبل جاليليو جاليلي (انظر الثبات الجليلي ).

وصف ألبرت أينشتاين النسبية الخاصة في ورقة بحثية نُشرت في 26 سبتمبر 1905 بعنوان "حول الديناميكا الكهربائية للأجسام المتحركة". [ ^{ص 1]} بدت معادلات ماكسويل للكهرومغناطيسية غير متوافقة مع ميكانيكا نيوتن ، وفشلت تجربة ميكلسون-مورلي في اكتشاف حركة الأرض ضد الأثير المضيء المفترض . أدى هذا إلى تطوير تحويلات لورنتز ، بواسطة هندريك لورنتز ، والتي تضبط المسافات والأوقات للأجسام المتحركة. تصحح النسبية الخاصة قوانين الميكانيكا حتى الآن للتعامل مع المواقف التي تنطوي على جميع الحركات وخاصة تلك التي تسير بسرعة قريبة من سرعة الضوء (المعروفة باسمالسرعات النسبية ). اليوم، ثبت أن النسبية الخاصة هي النموذج الأكثر دقة للحركة عند أي سرعة عندما تكون التأثيرات الجاذبية والكمية قابلة للإهمال.^[3][4]ومع ذلك، لا يزال نموذج نيوتن صالحًا كتقريب بسيط ودقيق عند السرعات المنخفضة (بالنسبة لسرعة الضوء)، على سبيل المثال، الحركات اليومية على الأرض.

للنسبية الخاصة مجموعة واسعة من النتائج التي تم التحقق منها تجريبياً. ^[5] وهي تشمل نسبية التزامن ، وانكماش الطول ، وتمدد الزمن ، وصيغة جمع السرعة النسبية، وتأثير دوبلر النسبي ، والكتلة النسبية ، وحد السرعة العالمي ، وتكافؤ الكتلة والطاقة ، وسرعة السببية ومبادرة توماس . ^{[1] [2]} فقد استبدلت، على سبيل المثال، المفهوم التقليدي للوقت العالمي المطلق بمفهوم الوقت الذي يعتمد على الإطار المرجعي والموقع المكاني . فبدلاً من وجود فترة زمنية ثابتة بين حدثين، يوجد فترة زمنية ثابتة في الزمكان . وبالاقتران مع قوانين الفيزياء الأخرى، تتنبأ مسلمتا النسبية الخاصة بتكافؤ الكتلة والطاقة ، كما هو موضح في صيغة تكافؤ الكتلة والطاقة ⁠ ⁠${\displaystyle E=mc^{2}}$ ، حيث هي سرعة الضوء في الفراغ. ^{[6] [7]} كما يوضح أيضًا كيف ترتبط ظاهرتا الكهرباء والمغناطيسية. ^{[1] [2]}${\displaystyle c}$

من السمات المميزة للنسبية الخاصة استبدال تحويلات جاليليو لميكانيكا نيوتن بتحويلات لورنتز . لا يمكن تعريف الزمان والمكان بشكل منفصل عن بعضهما البعض (كما كان يُعتقد سابقًا). بل إن الزمان والمكان متشابكان في استمرارية واحدة تُعرف باسم "الزمكان" . يمكن للأحداث التي تحدث في نفس الوقت بالنسبة لمراقب واحد أن تحدث في أوقات مختلفة بالنسبة لمراقب آخر.

حتى بعد عدة سنوات عندما طور أينشتاين النسبية العامة ، والتي قدمت زمكانًا منحنيًا لدمج الجاذبية، لم يتم استخدام عبارة "النسبية الخاصة". الترجمة المستخدمة أحيانًا هي "النسبية المقيدة"؛ "النسبية الخاصة" تعني في الواقع "حالة خاصة". ^{[ص 2] [ص 3] [ص 4] [ملاحظة 1]} تم بناء بعض أعمال ألبرت أينشتاين في النسبية الخاصة على العمل السابق لهندريك لورينتز وهنري بوانكاريه . أصبحت النظرية مكتملة بشكل أساسي في عام 1907، مع أوراق هيرمان مينكوفسكي حول الزمكان. ^[4]

النظرية "خاصة" لأنها تنطبق فقط في الحالة الخاصة حيث يكون الزمكان "مسطحًا"، أي حيث يكون انحناء الزمكان (نتيجة لموتر الطاقة والزخم وتمثيل الجاذبية ) مهملاً. ^{[8] [ملاحظة 2]} لاستيعاب الجاذبية بشكل صحيح، صاغ أينشتاين النسبية العامة في عام 1915. النسبية الخاصة، على عكس بعض الأوصاف التاريخية، تستوعب التسارع بالإضافة إلى إطارات التسارع المرجعية . ^{[9] [10]}

كما يُقبل الآن أن تكون النسبية الجليلية تقريبًا للنسبية الخاصة صالحًا للسرعات المنخفضة، فإن النسبية الخاصة تعتبر تقريبًا للنسبية العامة صالحًا للحقول الجاذبية الضعيفة ، أي على مقياس صغير بدرجة كافية (على سبيل المثال، عندما تكون قوى المد والجزر مهملة) وفي ظروف السقوط الحر . لكن النسبية العامة تتضمن هندسة غير إقليدية لتمثيل التأثيرات الجاذبية على أنها انحناء هندسي للزمكان. تقتصر النسبية الخاصة على الزمكان المسطح المعروف باسم فضاء مينكوفسكي . طالما يمكن نمذجة الكون على أنه متعدد شعب زائف ريماني ، يمكن تعريف إطار ثابت لورنتز يلتزم بالنسبية الخاصة لجوار صغير بدرجة كافية لكل نقطة في هذا الزمكان المنحني .

كان جاليليو جاليلي قد افترض بالفعل أنه لا توجد حالة سكون مطلقة ومحددة جيدًا (لا توجد إطارات مرجعية مميزة )، وهو مبدأ يُطلق عليه الآن مبدأ جاليليو النسبي . وسّع أينشتاين هذا المبدأ بحيث يفسر السرعة الثابتة للضوء، ^[11] وهي الظاهرة التي لوحظت في تجربة ميكلسون-مورلي. كما افترض أنه ينطبق على جميع قوانين الفيزياء ، بما في ذلك قوانين الميكانيكا والديناميكا الكهربائية . ^[12]

لقد ميز أينشتاين بين فرضيتين أساسيتين بدا أنهما الأكثر تأكيدًا، بغض النظر عن صحة القوانين المعروفة آنذاك في الميكانيكا أو الديناميكا الكهربائية. كانت هاتان الفرضيتان هما ثبات سرعة الضوء في الفراغ واستقلال القوانين الفيزيائية (خاصة ثبات سرعة الضوء) عن اختيار النظام القصوري. في عرضه الأولي للنسبية الخاصة في عام 1905، عبر عن هاتين الفرضيتين على النحو التالي: ^{[ص 1]}

• مبدأ النسبية - القوانين التي تخضع لها حالات الأنظمة الفيزيائية للتغيير لا تتأثر، سواء كانت هذه التغييرات في الحالة مرتبطة بأحد نظامين في حركة انتقالية منتظمة بالنسبة لبعضهما البعض. ^{[ص 1]}
• مبدأ سرعة الضوء الثابتة - "... ينتشر الضوء دائمًا في الفضاء الفارغ بسرعة محددة [سرعة] c مستقلة عن حالة حركة الجسم الباعث" (من المقدمة). ^{[ص 1]} أي أن الضوء في الفراغ ينتشر بسرعة c (ثابت ثابت، مستقل عن الاتجاه) في نظام واحد على الأقل من الإحداثيات بالقصور الذاتي ("النظام الثابت")، بغض النظر عن حالة حركة مصدر الضوء.

كان الدافع وراء ثبات سرعة الضوء هو نظرية ماكسويل في الكهرومغناطيسية ^[13] ونقص الأدلة على الأثير المضيء . ^[14] هناك أدلة متضاربة حول مدى تأثر أينشتاين بالنتيجة الصفرية لتجربة مايكلسون-مورلي. ^{[15] [16]} على أي حال، ساعدت النتيجة الصفرية لتجربة مايكلسون-مورلي مفهوم ثبات سرعة الضوء على اكتساب قبول واسع النطاق وسريع.

إن اشتقاق النسبية الخاصة لا يعتمد فقط على هذين المبدأين الصريحين، بل يعتمد أيضًا على العديد من الافتراضات الضمنية ( الموجودة في كل نظريات الفيزياء تقريبًا )، بما في ذلك تماثل الفضاء وتجانسه واستقلال قضبان القياس والساعات عن تاريخها الماضي. ^{[ص 6]}

بعد العرض الأصلي الذي قدمه أينشتاين للنسبية الخاصة في عام 1905، تم اقتراح العديد من المجموعات المختلفة من الافتراضات في اشتقاقات بديلة مختلفة. ^[17] لكن المجموعة الأكثر شيوعًا من الافتراضات تظل تلك التي استخدمها أينشتاين في ورقته الأصلية. بيان أكثر رياضية لمبدأ النسبية قدمه أينشتاين لاحقًا، والذي يقدم مفهوم البساطة غير المذكور أعلاه هو:

مبدأ النسبية الخاص : إذا تم اختيار نظام إحداثيات K بحيث تكون القوانين الفيزيائية صحيحة في أبسط صورها فيما يتعلق به، فإن نفس القوانين تكون صحيحة فيما يتعلق بأي نظام إحداثيات آخر K ′ يتحرك في انتقال منتظم بالنسبة إلى K. ^[18]

قدم هنري بوانكاريه الإطار الرياضي لنظرية النسبية من خلال إثبات أن تحويلات لورنتز هي مجموعة فرعية من مجموعة بوانكاريه لتحويلات التناظر. استنتج أينشتاين فيما بعد هذه التحويلات من بديهياته.

تقدم العديد من أوراق أينشتاين اشتقاقات لتحويل لورنتز بناءً على هذين المبدأين. ^{[ص 7]}

تلعب الأطر المرجعية دورًا حاسمًا في نظرية النسبية. يشير مصطلح الإطار المرجعي كما يُستخدم هنا إلى منظور رصدي في الفضاء لا يخضع لأي تغيير في الحركة (التسارع)، والذي يمكن من خلاله قياس موضع على طول ثلاثة محاور مكانية (أي في حالة السكون أو السرعة الثابتة). بالإضافة إلى ذلك، يتمتع الإطار المرجعي بالقدرة على تحديد قياسات وقت الأحداث باستخدام "ساعة" (أي جهاز مرجعي له دورية منتظمة).

الحدث هو حدث يمكن تعيين لحظة فريدة واحدة وموقع في الفضاء بالنسبة لإطار مرجعي: إنه "نقطة" في الزمكان . نظرًا لأن سرعة الضوء ثابتة في النسبية بغض النظر عن الإطار المرجعي، يمكن استخدام نبضات الضوء لقياس المسافات بشكل لا لبس فيه والرجوع إلى الأوقات التي حدثت فيها الأحداث إلى الساعة، على الرغم من أن الضوء يستغرق وقتًا للوصول إلى الساعة بعد حدوث الحدث.

على سبيل المثال، يمكن اعتبار انفجار مفرقعة نارية "حدثًا". يمكننا تحديد الحدث بشكل كامل من خلال إحداثياته ​​المكانية الزمنية الأربعة: يحدد وقت حدوثه وموقعه المكاني ثلاثي الأبعاد نقطة مرجعية. دعنا نسمي هذا الإطار المرجعي S.

في نظرية النسبية، غالبًا ما نرغب في حساب إحداثيات حدث ما من إطارات مرجعية مختلفة. تُسمى المعادلات التي تربط القياسات التي تم إجراؤها في إطارات مرجعية مختلفة بمعادلات التحويل .

للحصول على نظرة ثاقبة حول كيفية مقارنة إحداثيات الزمكان التي يقيسها المراقبون في إطارات مرجعية مختلفة مع بعضها البعض، من المفيد العمل بإعداد مبسط مع إطارات في تكوين قياسي . ^{[19] : 107} وبعناية، يسمح هذا بتبسيط الرياضيات دون فقدان العمومية في الاستنتاجات التي تم التوصل إليها. في الشكل 2-1، يتم عرض إطارين مرجعيين جاليليين (أي إطارات فضاء ثلاثية تقليدية) في حركة نسبية. ينتمي الإطار S إلى مراقب أول O ، وينتمي الإطار S ′ (يُنطق "S prime" أو "S dash") إلى مراقب ثان O ′ .

• يتم توجيه المحاور x و y و z للإطار S بالتوازي مع المحاور الأساسية المقابلة للإطار S ′ .
• يتحرك الإطار S ′ ، من أجل التبسيط، في اتجاه واحد: اتجاه x للإطار S بسرعة ثابتة v كما تم قياسها في الإطار S.
• تتطابق أصول الإطارات S وS ′ عندما يكون الوقت t = 0 للإطار S و t ′ = 0 للإطار S ′ .

نظرًا لعدم وجود إطار مرجعي مطلق في نظرية النسبية، فإن مفهوم "الحركة" لا وجود له بشكل صارم، حيث قد يتحرك كل شيء بالنسبة إلى إطار مرجعي آخر. بدلاً من ذلك، يُقال عن أي إطارين يتحركان بنفس السرعة في نفس الاتجاه أنهما يتحركان معًا . وبالتالي، فإن S و S ′ ليسا يتحركان معًا .

يعود مبدأ النسبية ، الذي ينص على أن القوانين الفيزيائية لها نفس الشكل في كل إطار مرجعي بالقصور الذاتي ، إلى غاليليو ، وتم دمجه في الفيزياء النيوتونية. ولكن في أواخر القرن التاسع عشر، أدى وجود الموجات الكهرومغناطيسية إلى دفع بعض الفيزيائيين إلى اقتراح أن الكون مليء بمادة أطلقوا عليها " الأثير "، والتي افترضوا أنها ستعمل كوسيط تنتشر من خلاله هذه الموجات أو الاهتزازات (على غرار الطريقة التي ينتشر بها الصوت عبر الهواء في كثير من النواحي). كان يُعتقد أن الأثير هو إطار مرجعي مطلق يمكن قياس جميع السرعات من خلاله، ويمكن اعتباره ثابتًا وغير متحرك بالنسبة للأرض أو أي نقطة مرجعية ثابتة أخرى. كان من المفترض أن يكون الأثير مرنًا بدرجة كافية لدعم الموجات الكهرومغناطيسية، في حين يمكن لهذه الموجات التفاعل مع المادة، مع عدم تقديم أي مقاومة للأجسام التي تمر من خلاله (كانت خاصيته الوحيدة هي أنه يسمح للموجات الكهرومغناطيسية بالانتشار). أدت نتائج تجارب مختلفة، بما في ذلك تجربة مايكلسون-مورلي في عام 1887 (والتي تم التحقق منها لاحقًا بتجارب أكثر دقة وإبداعًا)، إلى نظرية النسبية الخاصة، من خلال إظهار أن الأثير غير موجود. ^[20] كان حل أينشتاين هو التخلص من فكرة الأثير وحالة السكون المطلقة. في النسبية، فإن أي إطار مرجعي يتحرك بحركة منتظمة سوف يلاحظ نفس قوانين الفيزياء. على وجه الخصوص، يتم قياس سرعة الضوء في الفراغ دائمًا على أنها c ، حتى عند قياسها بواسطة أنظمة متعددة تتحرك بسرعات مختلفة (ولكن ثابتة).

من مبدأ النسبية وحده دون افتراض ثبات سرعة الضوء (أي باستخدام خواص الفضاء والتناظر الذي ينطوي عليه مبدأ النسبية الخاصة) يمكن إثبات أن تحولات الزمكان بين الإطارات القصورية إما إقليدية أو جاليلية أو لورنتزية. في حالة لورنتزية، يمكن للمرء بعد ذلك الحصول على الحفاظ على الفاصل النسبي وسرعة حدية محدودة معينة. تشير التجارب إلى أن هذه السرعة هي سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ص 8] [21]}

لقد استند أينشتاين باستمرار في استنتاجه لثبات لورنتز (النواة الأساسية للنسبية الخاصة) على مبدأين أساسيين هما النسبية وثبات سرعة الضوء. فقد كتب:

إن الفكرة الأساسية التي تقوم عليها نظرية النسبية الخاصة هي أن الافتراضات المتعلقة بالنسبية وثبات سرعة الضوء متوافقة إذا ما افترضنا وجود نوع جديد من العلاقات (تحويل لورنتز) لتحويل إحداثيات وأوقات الأحداث... إن المبدأ العالمي لنظرية النسبية الخاصة موجود في الفرضية التالية: إن قوانين الفيزياء ثابتة فيما يتصل بتحويلات لورنتز (بالنسبة للانتقال من نظام بالقصور الذاتي إلى أي نظام بالقصور الذاتي يتم اختياره بشكل تعسفي). وهذا مبدأ مقيد للقوانين الطبيعية... ^{[ص 5]}

وهكذا فإن العديد من المعالجات الحديثة للنسبية الخاصة تستند إلى الفرضية الوحيدة لتغاير لورنتز الشامل، أو على نحو مكافئ، إلى الفرضية الوحيدة لزمكان مينكوفسكي . ^{[ص 9] [ص 10]}

بدلاً من اعتبار تباين لورنتز الشامل مبدأً مشتقًا، تعتبره هذه المقالة بمثابة الفرضية الأساسية للنسبية الخاصة. يتم تقديم نهج الفرضيتين التقليديين للنسبية الخاصة في عدد لا يحصى من الكتب المدرسية والعروض التقديمية الشعبية. ^[22] تشمل الكتب المدرسية التي تبدأ بالفرضية الفردية لزمكان مينكوفسكي تلك التي كتبها تايلور وويلر ^[11] وكالاهان. ^[23] هذا هو النهج الذي اتبعته أيضًا مقالات ويكيبيديا الزمكان ورسم مينكوفسكي .

حدد حدثًا ليكون له إحداثيات الزمكان ( t ، x ، y ، z ) في النظام S و ( t ′ ، x ′ ، y ′ ، z ′ ) في إطار مرجعي يتحرك بسرعة v على المحور x بالنسبة إلى هذا الإطار، S ′ . ثم يحدد تحويل لورنتز أن هذه الإحداثيات مرتبطة بالطريقة التالية: حيث هو عامل لورنتز و c هي سرعة الضوء في الفراغ، وسرعة v لـ S ′ ، بالنسبة إلى S ، موازية لمحور x . من أجل التبسيط، لا تتأثر إحداثيات y و z ؛ يتم تحويل إحداثيات x و t فقط. تشكل تحويلات لورنتز هذه مجموعة ذات معلمة واحدة من التعيينات الخطية ، تسمى هذه المعلمة السرعة . $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$

يؤدي حل معادلات التحويل الأربعة أعلاه للإحداثيات غير الأولية إلى تحويل لورنتز العكسي: $${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}$$

يوضح هذا أن الإطار غير المجهز يتحرك بسرعة − v ، كما تم قياسه في الإطار المجهز. ^[24]

لا يوجد شيء خاص بشأن المحور x . يمكن تطبيق التحويل على المحور y أو المحور z ، أو في أي اتجاه موازٍ للحركة (التي تنحرف بفعل عامل γ ) وعمودي؛ راجع مقال تحويل لورنتز للحصول على التفاصيل.

الكمية التي لا تتغير تحت تحويلات لورنتز تُعرف باسم مقياس لورنتز .

كتابة تحويل لورنتز ومعكوسه من حيث فروق الإحداثيات، حيث يكون لحدث واحد إحداثيات ( x ₁ ، t ₁ ) و ( x ′ ₁ ، t ′ ₁ ) ، وحدث آخر له إحداثيات ( x ₂ ، t ₂ ) و ( x ′ ₂ ، t ′ ₂ ) ، ويتم تعريف الفروق على أنها

• المعادلة 1:    ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$
• المعادلة 2:    ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

نحن نحصل

• المعادلة 3:    ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$
• المعادلة رقم 4:    ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$ ${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

إذا أخذنا الفروقات بدلاً من أخذ الفروق، نحصل على

• المعادلة 5:    ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$
• المعادلة 6:    ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$ ${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

تعتبر مخططات الزمكان ( مخططات مينكوفسكي ) مساعدة مفيدة للغاية لتصور كيفية تحول الإحداثيات بين إطارات مرجعية مختلفة. وعلى الرغم من أنه ليس من السهل إجراء حسابات دقيقة باستخدامها كما هو الحال مع استدعاء تحويلات لورنتز مباشرة، فإن قوتها الرئيسية تكمن في قدرتها على توفير فهم بديهي لنتائج السيناريو النسبي. ^[21]

لرسم مخطط الزمكان، ابدأ بالتفكير في إطارين مرجعيين جاليليين، S وS′، في تكوين قياسي، كما هو موضح في الشكل 2-1. ^{[21] [25] : 155–199}

الشكل 3-1أ . ارسم المحورين و للإطار S. المحور أفقي والمحور (في الواقع ) رأسي، وهو عكس الاتفاقية المعتادة في علم الحركة. المحور مُقاس بعامل بحيث يكون لكلا المحورين وحدات طول مشتركة. في الرسم البياني الموضح، تكون المسافة بين خطوط الشبكة وحدة واحدة. تمثل الخطوط القطرية بزاوية 45 درجة خطوط العالم لفوتونين يمران عبر الأصل في الوقت. ميل هذه الخطوط العالمية هو 1 لأن الفوتونات تتقدم وحدة واحدة في الفضاء لكل وحدة زمنية. تم رسم حدثين و على هذا الرسم البياني بحيث يمكن مقارنة إحداثياتهما في الإطارين S و S. ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t=0.}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle {\text{B}},}$

الشكل 3-1ب . ارسم المحورين و للإطار S'. يمثل المحور خط العالم لأصل نظام إحداثيات S' كما تم قياسه في الإطار S. في هذا الشكل، يميل كل من المحورين و عن المحاور غير المجهزة بزاوية حيث يشترك المحوران المجهزان وغير المجهزين في أصل مشترك لأن الإطارين S وS' تم إعدادهما في تكوين قياسي، بحيث عندما${\displaystyle x'}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle v=c/2.}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$${\displaystyle \beta =v/c.}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t'=0.}$

الشكل 3-1ج . الوحدات في المحاور المجهزة لها مقياس مختلف عن الوحدات في المحاور غير المجهزة. من تحويلات لورنتز، نلاحظ أن إحداثيات في نظام الإحداثيات المجهز تتحول إلى في نظام الإحداثيات غير المجهز. وبالمثل، فإن إحداثيات في نظام الإحداثيات المجهز تتحول إلى في النظام غير المجهز. ارسم خطوط الشبكة بالتوازي مع المحور من خلال النقاط كما تم قياسها في الإطار غير المجهز، حيث هو عدد صحيح. وبالمثل، ارسم خطوط الشبكة بالتوازي مع المحور من خلال كما تم قياسها في الإطار غير المجهز. باستخدام نظرية فيثاغورس، نلاحظ أن المسافة بين الوحدات تساوي مضروبة في المسافة بين الوحدات، كما تم قياسها في الإطار S. هذه النسبة دائمًا أكبر من 1، وفي النهاية تقترب من اللانهاية كما${\displaystyle (x',ct')}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$${\displaystyle (x',ct')}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$${\displaystyle ct'}$${\textstyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \beta \to 1.}$

الشكل 3-1د . نظرًا لأن سرعة الضوء ثابتة، فإن خطوط العالم لفوتونين يمران عبر الأصل في الوقت لا تزال مرسومة كخطوط قطرية 45 درجة. ترتبط إحداثيات و الأولية بالإحداثيات غير الأولية من خلال تحويلات لورنتز ويمكن قياسها تقريبًا من الرسم البياني (على افتراض أنه تم رسمه بدقة كافية)، ولكن الميزة الحقيقية لمخطط مينكوفسكي هي أنه يمنحنا رؤية هندسية للسيناريو. على سبيل المثال، في هذا الشكل، نلاحظ أن الحدثين المنفصلين زمنيًا واللذين كان لهما إحداثيات x مختلفة في الإطار غير الأولي هما الآن في نفس الموضع في الفضاء. ${\displaystyle t'=0}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle {\text{B}}}$

في حين أن الإطار غير المجهز يتم رسمه بمحاور مكانية وزمنية تلتقي بزوايا قائمة، فإن الإطار المجهز يتم رسمه بمحاور تلتقي بزوايا حادة أو منفرجة. يرجع هذا التباين إلى التشوهات التي لا يمكن تجنبها في كيفية تعيين إحداثيات الزمكان على المستوى الديكارتي ، لكن الإطارات متكافئة بالفعل.

يمكن استخلاص عواقب النسبية الخاصة من معادلات تحويل لورنتز . ^[26] تؤدي هذه التحويلات، وبالتالي النسبية الخاصة، إلى تنبؤات فيزيائية مختلفة عن تلك الخاصة بميكانيكا نيوتن في جميع السرعات النسبية، وأكثر وضوحًا عندما تصبح السرعات النسبية قابلة للمقارنة بسرعة الضوء. سرعة الضوء أكبر بكثير من أي شيء يواجهه معظم البشر لدرجة أن بعض التأثيرات التي تنبأت بها النسبية تكون في البداية غير بديهية .

في النسبية الجليلية، طول الجسم ( ⁠ ⁠${\displaystyle \Delta r}$ ) ^{[ملاحظة 3]} والفصل الزمني بين حدثين ( ⁠ ⁠${\displaystyle \Delta t}$ ) هما متغيران مستقلان، لا تتغير قيمهما عند ملاحظتهما من إطارات مرجعية مختلفة. ^{[ملاحظة 4] [ملاحظة 5]}

في النسبية الخاصة، مع ذلك، فإن التداخل بين الإحداثيات المكانية والزمانية يولد مفهوم الفاصل الثابت ، والذي يشار إليه بـ ⁠ ⁠${\displaystyle \Delta s^{2}}$ : ^{[ملاحظة 6]} $${\displaystyle \Delta s^{2}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})}$$

يؤدي التداخل بين المكان والزمان إلى إلغاء المفاهيم المفترضة ضمناً للتزامن المطلق والمزامنة عبر الإطارات غير المتحركة.

شكل ⁠ ⁠${\displaystyle \Delta s^{2}}$ ، كونه الفرق بين مربع الفاصل الزمني ومربع المسافة المكانية، يوضح تناقضًا أساسيًا بين المسافات الإقليدية والزمكانية. ^{[ملاحظة 7]} ثبات هذا الفاصل هو خاصية لتحويل لورنتز العام (يُسمى أيضًا تحويل بوانكاريه ) ، مما يجعله تساوي قياس الزمكان. يمتد تحويل لورنتز العام إلى تحويل لورنتز القياسي (الذي يتعامل مع الترجمات بدون دوران، أي تعزيزات لورنتز ، في اتجاه x) مع جميع الترجمات والانعكاسات والدوران الأخرى بين أي إطار قصور ديكارتي. ^{[30] : 33–34}

في تحليل السيناريوهات المبسطة، مثل مخططات الزمكان، غالبًا ما يتم استخدام شكل ذو أبعاد مخفضة للفاصل الثابت: $${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$$

إن إثبات أن الفاصل الزمني ثابت أمر بسيط في حالة الأبعاد المنخفضة ومع الإطارات في التكوين القياسي: ^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}&=c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}\\&=\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}\end{aligned}}}$$

ومن ثم فإن القيمة مستقلة عن الإطار الذي يتم قياسها فيه. ${\displaystyle \Delta s^{2}}$

عند النظر في الأهمية المادية لـ ⁠ ⁠${\displaystyle \Delta s^{2}}$ ، هناك ثلاث حالات يجب ملاحظتها: ^{[21] [31] : 25–39}

• Δs ² > 0: في هذه الحالة، يفصل بين الحدثين وقت أكبر من المكان، ومن ثم يقال إنهما منفصلان زمنيًا . وهذا يعني أن ⁠ ⁠${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert <c}$ ، وبالنظر إلى تحويل لورنتز ⁠ ⁠${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\ \Delta t)}$ ، فمن الواضح أن هناك أقل من حيث (على وجه الخصوص، ⁠ ⁠ ). بعبارة أخرى، بالنظر إلى حدثين منفصلين زمنيًا، فمن الممكن إيجاد إطار يحدث فيه الحدثان في نفس المكان. في هذا الإطار، يُطلق على الفصل الزمني، ⁠ ⁠ ، الوقت المناسب .${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Delta x'=0}$${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$${\displaystyle \Delta s/c}$
• Δs ² < 0: في هذه الحالة، يفصل بين الحدثين مساحة أكبر من الزمن، ومن ثم يقال إنهما منفصلان مكانيًا . وهذا يعني أن ⁠ ⁠${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert >c}$ ، وبالنظر إلى تحويل لورنتز ⁠ ⁠${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2})}$ ، يوجد أقل من الذي (على وجه الخصوص، ⁠ ⁠ ). بعبارة أخرى، بالنظر إلى حدثين منفصلين مكانيًا، فمن الممكن إيجاد إطار يحدث فيه الحدثان في نفس الوقت. في هذا الإطار، يُطلق على الفصل في المكان، ⁠ ⁠ ، المسافة المناسبة ، أو الطول المناسب . بالنسبة للقيم الأكبر من والأقل من ⁠ ⁠ ، فإن علامة التغييرات، مما يعني أن الترتيب الزمني للأحداث المنفصلة مكانيًا يتغير اعتمادًا على الإطار الذي يُنظر فيه إلى الأحداث. لكن الترتيب الزمني للأحداث المنفصلة مكانيًا مطلق، لأن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن تكون أكبر من هي إذا ⁠ ⁠ .${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Delta t'=0}$${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$${\displaystyle \Delta t'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$${\displaystyle v>c}$
• Δs ² = 0: في هذه الحالة، يُقال إن الحدثين منفصلان مثل الضوء . وهذا يعني أن ⁠ ⁠${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert =c}$ ، وهذه العلاقة مستقلة عن الإطار بسبب ثبات ⁠ ⁠${\displaystyle s^{2}}$ . ومن هذا، نلاحظ أن سرعة الضوء موجودة في كل إطار بالقصور الذاتي. بعبارة أخرى، انطلاقًا من افتراض تباين لورنتز العالمي، فإن السرعة الثابتة للضوء هي نتيجة مشتقة، وليست فرضية كما في صياغة الفرضيتين للنظرية الخاصة.${\displaystyle c}$

لنفترض أن حدثين يحدثان في مكانين مختلفين ويحدثان في نفس الوقت في الإطار المرجعي لمراقب بالقصور الذاتي. وقد يحدثان بشكل غير متزامن في الإطار المرجعي لمراقب بالقصور الذاتي آخر (عدم وجود تزامن مطلق ).

من المعادلة 3 (تحويل لورنتز الأمامي من حيث اختلافات الإحداثيات) $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)}$$

من الواضح أن الحدثين المتزامنين في الإطار S (اللذين يُلبّيان Δ t = 0 )، ليسا بالضرورة متزامنين في إطار بالقصور الذاتي آخر S ′ (اللذين يُلبّيان Δ t ′ = 0 ). فقط إذا كان هذان الحدثان محليين بشكل إضافي في الإطار S (اللذين يُلبّيان Δ x = 0 )، فسيكونان متزامنين في إطار آخر S ′ .

يمكن اعتبار تأثير سانياك مظهرًا من مظاهر نسبية التزامن. ^[32] نظرًا لأن نسبية التزامن هي تأثير من الدرجة الأولى في ⁠ ⁠${\displaystyle v}$ ، ^[21] فإن الأجهزة القائمة على تأثير سانياك لتشغيلها، مثل جيروسكوبات الليزر الحلقية وجيروسكوبات الألياف الضوئية ، قادرة على مستويات شديدة من الحساسية. ^{[ص 14]}

إن الفاصل الزمني بين حدثين ليس ثابتًا من مراقب إلى آخر، ولكنه يعتمد على السرعات النسبية لإطارات مرجعية المراقبين.

لنفترض أن الساعة في حالة سكون في النظام غير المجهز S. عندئذٍ يتم تحديد موقع الساعة على دقتين مختلفتين بواسطة Δ x = 0. لإيجاد العلاقة بين الأوقات بين هذه الدقتين كما تم قياسها في كلا النظامين، يمكن استخدام المعادلة 3 لإيجاد:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$ للأحداث المرضية ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

يوضح هذا أن الوقت (Δ t ′ ) بين الدقتين كما يظهر في الإطار الذي تتحرك فيه الساعة ( S ′ ) أطول من الوقت (Δ t ) بين هاتين الدقتين كما تم قياسه في إطار سكون الساعة ( S ). يفسر تمدد الوقت عددًا من الظواهر الفيزيائية؛ على سبيل المثال، عمر الميونات عالية السرعة الناتجة عن اصطدام الأشعة الكونية بالجسيمات في الغلاف الجوي الخارجي للأرض والتحرك نحو السطح أكبر من عمر الميونات التي تتحرك ببطء، والتي تم إنشاؤها وتحللها في المختبر. ^[33]

كلما سمع المرء عبارة مفادها أن "الساعات المتحركة تعمل ببطء"، فيتعين عليه أن يتخيل إطارًا مرجعيًا بالقصور الذاتي مكتظًا بساعات متطابقة ومتزامنة. وبينما تتحرك الساعة المتحركة عبر هذه المجموعة، تتم مقارنة قراءتها عند أي نقطة معينة بساعة ثابتة عند نفس النقطة. ^{[34] : 149–152}

إن القياسات التي سنحصل عليها إذا نظرنا بالفعل إلى ساعة متحركة لن تكون، بشكل عام، هي نفسها على الإطلاق، لأن الوقت الذي سنراه سيتأخر بسبب السرعة المحدودة للضوء، أي أن الأوقات التي نراها ستكون مشوهة بسبب تأثير دوبلر . يجب أن نفهم دائمًا أن قياسات التأثيرات النسبية قد تم إجراؤها بعد استبعاد تأثيرات السرعة المحدودة للضوء. ^{[34] : 149–152}

كان بول لانجفين ، أحد المؤيدين الأوائل لنظرية النسبية، سببًا في نشر النظرية في مواجهة مقاومة العديد من الفيزيائيين لمفاهيم أينشتاين الثورية. ومن بين مساهماته العديدة في أسس النسبية الخاصة، كان العمل المستقل حول العلاقة بين الكتلة والطاقة، والفحص الدقيق لمفارقة التوأم، والتحقيقات في أنظمة الإحداثيات الدوارة. وكثيرًا ما يُربط اسمه بمفهوم افتراضي يُسمى "ساعة الضوء" (طورها في الأصل لويس وتولمان في عام 1909 ^[35] ) والذي استخدمه لإجراء اشتقاق جديد لتحويل لورنتز. ^[36]

يُتصور أن الساعة الضوئية عبارة عن صندوق من الجدران العاكسة تمامًا حيث تنعكس إشارة الضوء ذهابًا وإيابًا من وجوه متقابلة. غالبًا ما يتم تدريس مفهوم تمدد الوقت باستخدام ساعة ضوئية تتحرك في حركة جمودية منتظمة بشكل عمودي على خط يربط بين المرآتين. ^{[37] [38] [39] [40]} (استخدم لانجفين نفسه ساعة ضوئية موجهة بالتوازي مع خط حركتها. ^[36] )

فكر في السيناريو الموضح في الشكل 4-3أ. تمسك المراقبة أ بساعة ضوئية بطول 1000 متر بالإضافة إلى مؤقت إلكتروني تقيس به المدة التي تستغرقها النبضة للقيام برحلة ذهابًا وإيابًا لأعلى ولأسفل على طول ساعة الضوء. وعلى الرغم من أن المراقبة أ تسير بسرعة على طول قطار، إلا أنه من وجهة نظرها يحدث انبعاث النبضة واستقبالها في نفس المكان، وتقيس الفاصل الزمني باستخدام ساعة واحدة تقع في الموضع الدقيق لهذين الحدثين. بالنسبة للفاصل الزمني بين هذين الحدثين، تجد المراقبة أ ⁠ ⁠ . الفاصل الزمني المقاس باستخدام ساعة واحدة ثابتة في إطار مرجعي معين يسمى الفاصل الزمني المناسب . ^[41]${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{\text{A}}=2L/c}$

يوضح الشكل 4-3ب هذين الحدثين من وجهة نظر المراقب ب، الذي كان متوقفًا بجوار المسارات بينما يمر القطار بسرعة ⁠ ⁠${\displaystyle v}$ . وبدلاً من القيام بحركات مستقيمة لأعلى ولأسفل، يرى المراقب ب النبضات تتحرك على طول خط متعرج. ومع ذلك، وبسبب فرضية ثبات سرعة الضوء، فإن سرعة النبضات على طول هذه الخطوط القطرية هي نفسها التي رآها المراقب أ لنبضاتها لأعلى ولأسفل. يقيس ب سرعة المكون الرأسي لهذه النبضات بحيث يكون إجمالي وقت الرحلة ذهابًا وإيابًا للنبضات ⁠ ⁠ . لاحظ أنه بالنسبة للمراقب ب، حدث انبعاث واستقبال نبضة الضوء في أماكن مختلفة، وقام بقياس الفاصل الزمني باستخدام ساعتين ثابتتين ومتزامنتين تقعان في موضعين مختلفين في إطاره المرجعي. وبالتالي فإن الفاصل الزمني الذي قاسه ب لم يكن فاصلًا زمنيًا مناسبًا لأنه لم يقيسه بساعة ساكنة واحدة. ^[41]${\displaystyle c}$${\textstyle \pm {\sqrt {c^{2}-v^{2}}},}$${\textstyle t_{\text{B}}=2L{\big /}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}={}}$${\displaystyle \textstyle t_{\text{A}}{\big /}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

في الوصف أعلاه لساعة الضوء التي وضعها لانجفين، كان وصف أحد المراقبين بأنه ثابت والآخر متحرك تعسفيًا تمامًا. فمن الممكن أن يكون المراقب ب يحمل ساعة الضوء ويتحرك بسرعة 100 ميل إلى اليسار، وفي هذه الحالة سوف يدرك المراقب أ أن ساعة ب تعمل بسرعة أبطأ من ساعته المحلية. ${\displaystyle v}$

لا يوجد تناقض هنا، لأنه لا يوجد مراقب مستقل C سيتفق مع كل من A وB. يقوم المراقب C بالضرورة بإجراء قياساته من إطاره المرجعي الخاص. إذا تطابق إطار المرجع هذا مع إطار مرجع A، فسيوافق C على قياس A للوقت. إذا تطابق إطار مرجع C مع إطار مرجع B، فسيوافق C على قياس B للوقت. إذا لم يتطابق إطار مرجع C مع إطار A أو إطار B، فسيختلف قياس C للوقت مع قياس A و B للوقت. ^[42]

تؤدي المعاملة بالمثل لتمدد الزمن بين مراقبين في إطارات قصور ذاتي منفصلة إلى ما يسمى بمفارقة التوأم ، والتي عبر عنها لانجفين في شكلها الحالي عام 1911. ^[43] تخيل لانجفين مغامرًا يرغب في استكشاف مستقبل الأرض. يستقل هذا المسافر مقذوفًا قادرًا على السفر بسرعة 99.995٪ من سرعة الضوء. بعد القيام برحلة ذهابًا وإيابًا من وإلى نجم قريب تستغرق عامين فقط من حياته، يعود إلى الأرض التي يزيد عمرها عن مائتي عام.

تبدو هذه النتيجة محيرة لأن كلاً من المسافر والمراقب الأرضي سيرى الآخر متحركًا، وبالتالي، نظرًا للتبادلية في تمدد الوقت، فقد يتوقع المرء في البداية أن يجد كل منهما أن الآخر قد تقدم في العمر بشكل أقل. في الواقع، لا يوجد أي تناقض على الإطلاق، لأنه من أجل أن يقارن المراقبان أوقاتهما الحقيقية، يجب كسر تناسق الموقف: يجب على أحد المراقبين على الأقل تغيير حالة حركته لتتناسب مع حالة الآخر. ^[44]

ومع ذلك، فإن معرفة الحل العام للمفارقة لا يؤدي على الفور إلى القدرة على حساب نتائج كمية صحيحة. وقد تم تقديم العديد من الحلول لهذه اللغز في الأدبيات وتمت مراجعتها في مقال مفارقة التوأم . وسوف نفحص فيما يلي أحد هذه الحلول للمفارقة.

هدفنا الأساسي هو إثبات أنه بعد الرحلة، يتفق التوأمان تمامًا بشأن من يتقدم في العمر وكم يبلغ، بغض النظر عن تجاربهما المختلفة. يوضح الشكل 4-4 سيناريو حيث يطير التوأم المسافر بسرعة 0.6 درجة مئوية إلى نجم يبعد 3 سنوات ضوئية ومنه. أثناء الرحلة، يرسل كل توأم إشارات زمنية سنوية (مقاسة بأوقاته الخاصة) إلى الآخر. بعد الرحلة، تتم مقارنة الأعداد التراكمية. في المرحلة الخارجية من الرحلة، يتلقى كل توأم إشارات الآخر بمعدل أقل قدره ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle f'=f{\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}}$ . في البداية، يكون الموقف متماثلًا تمامًا: لاحظ أن كل توأم يتلقى إشارة الآخر لمدة عام واحد عند عامين يتم قياسهما على ساعته الخاصة. ينكسر التناظر عندما يستدير التوأم المسافر عند علامة السنوات الأربع كما تم قياسها بواسطة ساعته. خلال السنوات الأربع المتبقية من رحلته، يتلقى إشارات بمعدل معزز قدره ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle f''=f{\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}}$ . يختلف الوضع تمامًا مع التوأم الثابت. وبسبب تأخر سرعة الضوء، فإنه لا يرى أخته تدور حول نفسها إلا بعد مرور ثماني سنوات على ساعته. وبالتالي، فإنه يتلقى إشارات بمعدلات معززة من أخته لفترة وجيزة نسبيًا فقط. وعلى الرغم من أن التوأمين يختلفان في مقاييسهما الخاصة للوقت الإجمالي، فإننا نرى في الجدول التالي، وكذلك من خلال الملاحظة البسيطة لمخطط مينكوفسكي، أن كل توأم يتفق تمامًا مع الآخر فيما يتعلق بالعدد الإجمالي للإشارات المرسلة من أحدهما إلى الآخر. وبالتالي لا توجد مفارقة. ^{[34] : 152–159}

غرض	تم قياسه من خلال البقاء في المنزل	الشكل 4-4	تم قياسه من قبل المسافر	الشكل 4-4
إجمالي وقت الرحلة	${\displaystyle T={\frac {2L}{v}}}$	10 سنوات	${\displaystyle T'={\frac {2L}{\gamma v}}}$	8 سنوات
العدد الإجمالي للنبضات المرسلة	${\displaystyle fT={\frac {2fL}{v}}}$	10	${\displaystyle fT'={\frac {2fL}{\gamma v}}}$	8
الوقت الذي يتم فيه اكتشاف تحول المسافر	${\displaystyle t_{1}={\frac {L}{v}}+{\frac {L}{c}}}$	8 سنوات	${\displaystyle t_{1}'={\frac {L}{\gamma v}}}$	4 سنوات
عدد النبضات المستلمة بالمعدل الأولي ${\displaystyle f'}$	${\displaystyle f't_{1}}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1+\beta )\left({\frac {1-\beta }{1+\beta }}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}}$	4	${\displaystyle f't_{1}'}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}\left({\frac {1-\beta }{1+\beta }}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta )}$	2
الوقت المتبقي من الرحلة	${\displaystyle t_{2}={\frac {L}{v}}-{\frac {L}{c}}}$	2 سنة	${\displaystyle t_{2}'={\frac {L}{\gamma v}}}$	4 سنوات
عدد الإشارات المستلمة بالمعدل النهائي ${\displaystyle f''}$	${\displaystyle f''t_{2}}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta )\left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}}$	4	${\displaystyle f''t_{2}'}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}\left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1+\beta )}$	8
العدد الإجمالي للنبضات المستلمة	${\displaystyle {\frac {2fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}}$ ${\displaystyle ={\frac {2fL}{\gamma v}}}$	8	${\displaystyle {\frac {2fL}{v}}}$	10
حساب التوأم لمقدار العمر الذي يجب أن يبلغه التوأم الآخر	${\displaystyle T'={\frac {2L}{\gamma v}}}$	8 سنوات	${\displaystyle T={\frac {2L}{v}}}$	10 سنوات

قد تكون أبعاد الجسم (على سبيل المثال الطول) كما يقيسها مراقب واحد أصغر من نتائج قياسات الجسم نفسه التي أجراها مراقب آخر (على سبيل المثال، تتضمن مفارقة السلم سلمًا طويلًا يسافر بسرعة تقترب من سرعة الضوء ويوجد داخل مرآب أصغر).

وبالمثل، افترض أن قضيب قياس في حالة سكون ومحاذٍ على طول المحور السيني في النظام غير المبدئي S. في هذا النظام، يُكتب طول هذا القضيب على هيئة Δ x . لقياس طول هذا القضيب في النظام S ′ ، الذي يتحرك فيه القضيب، يجب قياس المسافات x ′ إلى نقاط نهاية القضيب في نفس الوقت في ذلك النظام S ′ . بعبارة أخرى، يتميز القياس بـ Δ t ′ = 0 ، والتي يمكن دمجها مع المعادلة 4 لإيجاد العلاقة بين الطولين Δ x وΔ x ′ :

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$  للأحداث المرضية ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

يوضح هذا أن طول (Δ x ′ ) القضيب كما تم قياسه في الإطار الذي يتحرك فيه ( S ′ )، أقصر من طوله (Δ x ) في إطار سكونه ( S ).

إن تمدد الزمن وتقلص الطول ليسا مجرد ظاهرتين. إن تمدد الزمن مرتبط بشكل صريح بطريقتنا في قياس الفترات الزمنية بين الأحداث التي تقع في نفس المكان في نظام إحداثيات معين (يُطلق عليها الأحداث "المحلية المشتركة"). هذه الفترات الزمنية (والتي يمكن قياسها تجريبياً من قبل مراقبين ذوي صلة) تختلف في نظام إحداثيات آخر يتحرك بالنسبة للنظام الأول، ما لم تكن الأحداث، بالإضافة إلى كونها محلية مشتركة، متزامنة أيضاً. وعلى نحو مماثل، يرتبط تقلص الطول بالمسافات التي نقيسها بين أحداث منفصلة ولكنها متزامنة في نظام إحداثيات معين من اختيارنا. إذا لم تكن هذه الأحداث محلية مشتركة، ولكن تفصل بينها مسافة (مساحة)، فلن تحدث على نفس المسافة المكانية من بعضها البعض عند رؤيتها من نظام إحداثيات متحرك آخر.

لنفترض وجود إطارين S و S ′ في التكوين القياسي. يتحرك جسيم في S في اتجاه x بسرعة متجهة ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$ . ما سرعته في الإطار S ′ ؟ ${\displaystyle \mathbf {u'} }$

يمكننا أن نكتب

$${\displaystyle \mathbf {|u|} =u=dx/dt\,.}$$

( 7 )

$${\displaystyle \mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt'\,.}$$

( 8 )

يؤدي استبدال التعبيرات من وإلى المعادلة 5 في المعادلة 8 ، متبوعًا بالتلاعبات الرياضية المباشرة والاستبدال العكسي من المعادلة 7 إلى تحويل لورنتز للسرعة إلى ⁠ ⁠ : ${\displaystyle dx'}$${\displaystyle dt'}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u'}$

$${\displaystyle u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-v\,dt)}{\gamma \left(dt-{\dfrac {v\,dx}{c^{2}}}\right)}}={\frac {{\dfrac {dx}{dt}}-v}{1-{\dfrac {v}{c^{2}}}\,{\dfrac {dx}{dt}}}}={\frac {u-v}{1-{\dfrac {uv}{c^{2}}}}}.}$$

( 9 )

يتم الحصول على العلاقة العكسية عن طريق تبادل الرموز الأولية وغير الأولية واستبدالها بـ ⁠ ⁠ . ${\displaystyle v}$${\displaystyle -v}$

$${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.}$$

( 10 )

بالنسبة لعدم المحاذاة على طول المحور السيني، نكتب: ^{[12] : 47–49}${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ u_{2},\ u_{3})=(dx/dt,\ dy/dt,\ dz/dt)\ .}$$

( 11 )

$${\displaystyle \mathbf {u'} =(u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}')=(dx'/dt',\ dy'/dt',\ dz'/dt')\ .}$$

( 12 )

التحويلات الأمامية والعكسية لهذه الحالة هي:

$${\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}'={\frac {u_{2}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}'={\frac {u_{3}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ .}$$

( 13 )

$${\displaystyle u_{1}={\frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}={\frac {u_{2}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}={\frac {u_{3}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ .}$$

( 14 )

يمكن تفسير المعادلة 10 والمعادلة 14 على أنهما تعطيان محصلة السرعتين و ⁠ ⁠ ، وتحلان محل الصيغة التي تصلح في النسبية الجليلية. وعند تفسيرهما بهذه الطريقة، يشار إليهما عادةً باسم صيغتي إضافة السرعة النسبية (أو التركيب) ، وهي صالحة للمحاور الثلاثة S و S ′ المحاذية لبعضها البعض (على الرغم من عدم وجودها بالضرورة في التكوين القياسي). ^{[12] : 47–49}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u'} }$${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$

نلاحظ النقاط التالية:

• إذا كان جسم (مثل الفوتون ) يتحرك بسرعة الضوء في إطار واحد (أي u = ± c أو u ′ = ± c ) ، فإنه سيتحرك أيضًا بسرعة الضوء في أي إطار آخر، ويتحرك بسرعة | v | < c .
• السرعة المحصلة لسرعتين مقدارهما أقل من c تكون دائمًا سرعة مقدارها أقل من c .
• إذا كان كل من | u | و | v | (ومن ثم أيضًا | u ′ | و | v ′ |) صغيرين بالنسبة لسرعة الضوء (أي، على سبيل المثال، |انت/ج⁠ | ≪ 1 )، ثم يتم استرداد التحويلات الجاليلية البديهية من معادلات التحويل للنسبية الخاصة
• إن ربط إطار بالفوتون ( ركوب شعاع الضوء كما يعتقد أينشتاين) يتطلب معالجة خاصة للتحولات.

لا يوجد شيء خاص بشأن اتجاه x في التكوين القياسي. تنطبق الصيغة المذكورة أعلاه على أي اتجاه؛ وتسمح الاتجاهات الثلاثة المتعامدة بالتعامل مع جميع الاتجاهات في الفضاء عن طريق تحليل متجهات السرعة إلى مكوناتها في هذه الاتجاهات. راجع صيغة إضافة السرعة للحصول على التفاصيل.

يؤدي تكوين تعزيزين لورنتز غير متوازيين (أي تحويلين لورنتز غير متوازيين، ولا يتضمن أي منهما دورانًا) إلى تحويل لورنتز ليس تعزيزًا خالصًا ولكنه عبارة عن تكوين تعزيز ودوران.

تنتج دوران توماس عن النسبية في التزامن. في الشكل 4-5أ، يرتفع قضيب بطول في إطار سكونه (أي بطول مناسب ⁠ ⁠ ) رأسيًا على طول المحور y في إطار الأرض. ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

في الشكل 4-5ب، يُلاحظ نفس القضيب من إطار صاروخ يتحرك بسرعة إلى اليمين. إذا تخيلنا ساعتين تقعان عند الطرفين الأيسر والأيمن للقضيب ومتزامنتين في إطار القضيب ، فإن نسبية التزامن تجعل المراقب في إطار الصاروخ يلاحظ (لا يرى) الساعة عند الطرف الأيمن للقضيب وهي تتقدم في الوقت بمقدار ⁠ ⁠ ، ويُلاحظ القضيب مائلًا وفقًا لذلك. ^{[31] : 98–99}${\displaystyle v}$${\displaystyle Lv/c^{2}}$

على عكس التأثيرات النسبية من الدرجة الثانية مثل انكماش الطول أو تمدد الزمن، يصبح هذا التأثير مهمًا جدًا حتى عند السرعات المنخفضة إلى حد ما. على سبيل المثال، يمكن رؤية ذلك في دوران الجسيمات المتحركة ، حيث يمثل تقدم توماس تصحيحًا نسبيًا ينطبق على دوران الجسيم الأولي أو دوران الجيروسكوب العياني ، ويربط السرعة الزاوية لدوران الجسيم الذي يتبع مدارًا منحنيًا بالسرعة الزاوية للحركة المدارية. ^{[31] : 169–174}

يوفر دوران توماس الحل لـ "مفارقة المقياس والثقب" المعروفة. ^{[ص 15] [31] : 98–99}

في الشكل 4-6، الفاصل الزمني بين الحدثين A ("السبب") وB ("النتيجة") "شبيه بالزمن"؛ أي أن هناك إطار مرجعي يحدث فيه الحدثان A وB في نفس المكان في الفضاء ، ويفصل بينهما فقط وقوعهما في أوقات مختلفة. إذا سبق A الحدث B في هذا الإطار، فإن A يسبق B في جميع الإطارات التي يمكن الوصول إليها من خلال تحويل لورنتز. من الممكن أن تنتقل المادة (أو المعلومات) (بسرعة أقل من سرعة الضوء) من موقع A، بدءًا من وقت A، إلى موقع B، وصولاً إلى وقت B، وبالتالي يمكن أن تكون هناك علاقة سببية (حيث A هو السبب وB هو النتيجة).

الفاصل الزمني AC في الرسم البياني "شبيه بالفضاء"؛ أي أنه يوجد إطار مرجعي يحدث فيه الحدثان A وC في وقت واحد، منفصلين في الفضاء فقط. وهناك أيضًا إطارات تسبق فيها A الحدث C (كما هو موضح) وإطارات تسبق فيها C الحدث A. ولكن لا يمكن الوصول إلى أي إطارات من خلال تحويل لورنتز، حيث يحدث الحدثان A وC في نفس المكان. وإذا كان من الممكن وجود علاقة سببية بين الحدثين A وC، فإن ذلك سيؤدي إلى مفارقات السببية.

على سبيل المثال، إذا كان من الممكن إرسال الإشارات بسرعة أكبر من الضوء، فمن الممكن إرسال الإشارات إلى ماضي المرسل (المراقب ب في المخططات). ^{[45] [ص 16]} ومن الممكن بعد ذلك إنشاء مجموعة متنوعة من المفارقات السببية.

فكر في مخططات الزمكان في الشكل 4-7. يقف كل من A وB بجانب مسار سكة حديدية، عندما يمر قطار فائق السرعة، مع ركوب C في آخر عربة من القطار وركوب D في العربة الرائدة. تكون خطوط العالم الخاصة بـ A وB عمودية ( ct )، مما يميز الموضع الثابت لهذين المراقبين على الأرض، بينما تكون خطوط العالم الخاصة بـ C وD مائلة للأمام ( ct ′ )، مما يعكس الحركة السريعة للمراقبين C وD الثابتين في قطارهما، كما يُلاحظان من الأرض.

1. الشكل 4-7أ. يقع حدث "إرسال رسالة من قبل B إلى D"، أثناء مرور السيارة الرائدة، في أصل إطار D. يرسل D الرسالة عبر القطار إلى C في السيارة الخلفية، باستخدام "جهاز اتصال فوري" وهمي. خط العالم لهذه الرسالة هو السهم الأحمر السميك على طول المحور، وهو خط التزامن في الإطارات المجهزة C وD. في الإطار الأرضي (غير المجهز) تصل الإشارة قبل إرسالها.${\displaystyle -x'}$
2. الشكل 4-7ب. إن حدث "إرسال C للرسالة إلى A"، الذي يقف بجوار خطوط السكة الحديدية، هو أصل إطاراتهما. الآن يرسل A الرسالة على طول المسارات إلى B عبر "جهاز اتصال لحظي". إن خط العالم لهذه الرسالة هو السهم الأزرق السميك، على طول المحور، وهو خط التزامن لإطارات A وB. وكما يُرى من مخطط الزمكان، فإن B سوف يتلقى الرسالة قبل إرسالها، وهو انتهاك للسببية. ^[46]${\displaystyle +x}$

ليس من الضروري أن تكون الإشارات لحظية لانتهاك السببية. حتى لو كانت الإشارة من D إلى C أقل عمقًا قليلاً من المحور (والإشارة من A إلى B أكثر انحدارًا قليلاً من المحور)، فسيظل من الممكن لـ B أن يتلقى رسالته قبل أن يرسلها. من خلال زيادة سرعة القطار إلى سرعات قريبة من الضوء، يمكن ضغط المحورين و بالقرب من الخط المنقط الذي يمثل سرعة الضوء. باستخدام هذا الإعداد المعدل، يمكن إثبات أنه حتى الإشارات التي تكون أسرع قليلاً من سرعة الضوء ستؤدي إلى انتهاك السببية. ^[47]${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle x'}$

لذلك، إذا أردنا الحفاظ على السببية ، فإن إحدى نتائج النسبية الخاصة هي أنه لا يمكن لإشارة معلوماتية أو جسم مادي أن يسافر بسرعة أكبر من الضوء في الفراغ.

لا يعني هذا أن كل السرعات التي تفوق سرعة الضوء مستحيلة. فمن الممكن وصف مواقف تافهة مختلفة حيث تتحرك بعض "الأشياء" (ليست مادة أو طاقة فعلية) أسرع من الضوء. ^[48] على سبيل المثال، يمكن للموقع الذي يصطدم فيه شعاع ضوء البحث بقاع سحابة أن يتحرك بسرعة أكبر من الضوء عندما يتم تدوير ضوء البحث بسرعة (على الرغم من أن هذا لا ينتهك السببية أو أي ظاهرة نسبية أخرى). ^{[49] [50]}

في عام 1850، أثبت هيبوليت فيزو وليون فوكو بشكل مستقل أن الضوء يسافر بشكل أبطأ في الماء منه في الهواء، وبالتالي أثبتا صحة تنبؤ نظرية موجة فرينل للضوء وأبطلا التنبؤ المقابل لنظرية نيوتن الجسيمية . ^[51] تم قياس سرعة الضوء في الماء الراكد. ما هي سرعة الضوء في الماء الجاري؟

في عام 1851، أجرى فيزو تجربة للإجابة على هذا السؤال، ويوضح الشكل 5-1 تمثيلًا مبسطًا لها. يتم تقسيم شعاع الضوء بواسطة مقسم شعاع، ويتم تمرير الشعاعين المنقسمين في اتجاهين متعاكسين عبر أنبوب من الماء المتدفق. يتم إعادة دمجهما لتكوين أهداب تداخل، مما يشير إلى اختلاف في طول المسار البصري، يمكن للمراقب رؤيته. أظهرت التجربة أن سحب الضوء بواسطة الماء المتدفق تسبب في إزاحة الأهداب، مما يدل على أن حركة الماء أثرت على سرعة الضوء.

وفقًا للنظريات السائدة في ذلك الوقت، فإن الضوء الذي يسافر عبر وسط متحرك سيكون عبارة عن مجموع بسيط لسرعته عبر الوسط بالإضافة إلى سرعة الوسط . وعلى عكس التوقعات، وجد فيزو أنه على الرغم من أن الضوء يبدو وكأنه يسحبه الماء، فإن حجم السحب كان أقل بكثير من المتوقع. إذا كانت هي سرعة الضوء في الماء الراكد، و هي سرعة الماء، و هي سرعة الضوء المحمولة في الماء في إطار المختبر مع تدفق الماء مضافًا إليه أو مطروحًا منه، إذن ${\displaystyle u'=c/n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u_{\pm }}$$${\displaystyle u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .}$$

كانت نتائج فيزو، على الرغم من اتساقها مع فرضية فرينل السابقة حول السحب الجزئي للأثير ، مربكة للغاية لعلماء الفيزياء في ذلك الوقت. من بين أمور أخرى، كان وجود مؤشر مصطلح الانكسار يعني أنه نظرًا لأنه يعتمد على الطول الموجي، فيجب أن يكون الأثير قادرًا على تحمل حركات مختلفة في نفس الوقت . ^{[ملاحظة 8]} تم اقتراح مجموعة متنوعة من التفسيرات النظرية لشرح معامل السحب لفرينل ، والتي كانت متعارضة تمامًا مع بعضها البعض. حتى قبل تجربة ميكلسون-مورلي، كانت نتائج فيزو التجريبية من بين عدد من الملاحظات التي خلقت موقفًا حرجًا في تفسير بصريات الأجسام المتحركة. ^[52]${\displaystyle n}$

من وجهة نظر النسبية الخاصة، فإن نتيجة فيزو ليست سوى تقريب للمعادلة 10 ، الصيغة النسبية لتكوين السرعات. ^[30]

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$ ${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx }$ ${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

بسبب السرعة المحدودة للضوء، إذا كانت الحركات النسبية للمصدر والمستقبل تتضمن مكونًا عرضيًا، فإن الاتجاه الذي يصل منه الضوء إلى المستقبل سوف ينزاح عن الموضع الهندسي في الفضاء للمصدر بالنسبة للمستقبل. يأخذ الحساب الكلاسيكي للإزاحة شكلين ويقدم تنبؤات مختلفة اعتمادًا على ما إذا كان المستقبل أو المصدر أو كليهما في حركة بالنسبة للوسط. (1) إذا كان المستقبل في حركة، فإن الإزاحة ستكون نتيجة انحراف الضوء . يمكن حساب زاوية سقوط الشعاع بالنسبة للمستقبل من مجموع متجه حركات المستقبل وسرعة الضوء الساقط. ^[53] (2) إذا كان المصدر في حركة، فإن الإزاحة ستكون نتيجة لتصحيح زمن الضوء . سيكون إزاحة الموضع الظاهري للمصدر من موضعه الهندسي نتيجة لحركة المصدر خلال الوقت الذي يستغرقه ضوءه للوصول إلى المستقبل. ^[54]

لقد فشل التفسير الكلاسيكي في الاختبار التجريبي. نظرًا لأن زاوية الانحراف تعتمد على العلاقة بين سرعة المستقبل وسرعة الضوء الساقط، فإن مرور الضوء الساقط عبر وسط انكساري يجب أن يغير زاوية الانحراف. في عام 1810، استخدم أراجو هذه الظاهرة المتوقعة في محاولة فاشلة لقياس سرعة الضوء، ^[55] وفي عام 1870، اختبر جورج إيري الفرضية باستخدام تلسكوب مملوء بالماء، ووجد أنه على عكس التوقعات، كان الانحراف المقاس مطابقًا للانحراف المقاس باستخدام تلسكوب مملوء بالهواء. ^[56] استخدمت محاولة "معقدة" لتفسير هذه النتائج فرضية السحب الأثيري الجزئي، ^[57] لكنها كانت غير متوافقة مع نتائج تجربة ميكلسون-مورلي، والتي طالبت على ما يبدو بسحب أثيري كامل . ^[58]

بافتراض وجود إطارات بالقصور الذاتي، فإن التعبير النسبي لانحراف الضوء ينطبق على كل من حالات تحرك المستقبل وتحرك المصدر. وقد تم نشر مجموعة متنوعة من الصيغ المكافئة مثلثيًا. يتم التعبير عنها من حيث المتغيرات في الشكل 5-2، وتشمل ^{[30] : 57–60}

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$   أو    أو${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$      ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

يعتمد تأثير دوبلر الكلاسيكي على ما إذا كان المصدر أو المستقبل أو كلاهما في حركة بالنسبة للوسط. تأثير دوبلر النسبي مستقل عن أي وسط. ومع ذلك، يمكن استنتاج إزاحة دوبلر النسبية للحالة الطولية، مع تحرك المصدر والمستقبل مباشرة نحو أو بعيدًا عن بعضهما البعض، كما لو كانت الظاهرة الكلاسيكية، ولكن مع تعديلها بإضافة مصطلح تمدد الوقت ، وهذا هو العلاج الموصوف هنا. ^{[59] [60]}

افترض أن المستقبل والمصدر يتحركان بعيدًا عن بعضهما البعض بسرعة نسبية كما يقيسها مراقب على المستقبل أو المصدر (اتفاقية الإشارة المعتمدة هنا هي أن تكون سالبة إذا كان المستقبل والمصدر يتحركان تجاه بعضهما البعض). افترض أن المصدر ثابت في الوسط. إذن أين سرعة الصوت؟ ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle f_{r}=\left(1-{\frac {v}{c_{s}}}\right)f_{s}}$$${\displaystyle c_{s}}$

بالنسبة للضوء، ومع تحرك المستقبل بسرعات نسبية، فإن الساعات على المستقبل تتمدد زمنيًا بالنسبة للساعات عند المصدر. سيقيس المستقبل التردد المستقبل بحيث يكون حيث $${\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \right)f_{s}={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.}$$

• ${\displaystyle \beta =v/c}$  و
• ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$هو عامل لورنتز .

يتم الحصول على تعبير مماثل للتحول الدوبلري النسبي عند إجراء التحليل في الإطار المرجعي للمستقبل مع مصدر متحرك. ^{[61] [21]}

يعد تأثير دوبلر المستعرض أحد التنبؤات الجديدة الرئيسية لنظرية النسبية الخاصة.

من الناحية الكلاسيكية، قد يتوقع المرء أنه إذا كان المصدر والمستقبل يتحركان عرضيًا بالنسبة لبعضهما البعض دون وجود مكون طولي لحركتيهما النسبية، فلا ينبغي أن يكون هناك تحول دوبلر في الضوء الذي يصل إلى المستقبل.

تتنبأ النسبية الخاصة بخلاف ذلك. يوضح الشكل 5-3 متغيرين شائعين لهذا السيناريو. يمكن تحليل كلا المتغيرين باستخدام حجج تمدد الزمن البسيطة. ^[21] في الشكل 5-3أ، يلاحظ المستقبل الضوء القادم من المصدر وهو يتحول إلى اللون الأزرق بعامل ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$ . في الشكل 5-3ب، يتحول الضوء إلى اللون الأحمر بنفس العامل.

إن تمدد الزمن وتقلص الطول ليسا مجرد أوهام بصرية، بل هما تأثيران حقيقيان. ولا تعد قياسات هذه التأثيرات من صنع ظاهرة دوبلر ، ولا هي نتيجة لإهمال أخذ الوقت الذي يستغرقه الضوء للانتقال من حدث إلى مراقب بعين الاعتبار.

يُجري العلماء تمييزًا أساسيًا بين القياس أو الملاحظة من ناحية، والمظهر المرئي ، أو ما يراه المرء من ناحية أخرى. إن الشكل المقاس لجسم ما هو صورة افتراضية لجميع نقاط الجسم كما توجد في لحظة واحدة من الزمن. لكن المظهر المرئي للجسم يتأثر بأطوال الوقت المتفاوتة التي يستغرقها الضوء للسفر من نقاط مختلفة على الجسم إلى عين المرء.

لسنوات عديدة، لم يكن التمييز بين الاثنين موضع تقدير بشكل عام، وكان يُعتقد عمومًا أن الجسم المتقلص الطول الذي يمر بجانب المراقب سيُرى في الواقع على أنه متقلص الطول. في عام 1959، أشار جيمس تيريل وروجر بينروز بشكل مستقل إلى أن تأثيرات تأخر الوقت التفاضلي في الإشارات التي تصل إلى المراقب من الأجزاء المختلفة للجسم المتحرك تؤدي إلى أن المظهر المرئي للجسم المتحرك بسرعة يختلف تمامًا عن شكله المقاس. على سبيل المثال، سيبدو الجسم المتراجع متقلصًا ، وسيبدو الجسم المقترب ممدودًا، وسيكون للجسم المار مظهرًا منحرفًا يشبه الدوران. ^{[ص 19] [ص 20] [62] [63]} تحتفظ الكرة المتحركة بالخطوط العريضة الدائرية لجميع السرعات، ولأي مسافة، ولجميع زوايا الرؤية، على الرغم من أن سطح الكرة والصور عليها ستبدو مشوهة. ^{[64] [65]}

يوضح الشكلان 5-4 و5-5 أجسامًا تتحرك عرضيًا إلى خط البصر. في الشكل 5-4، يُنظر إلى المكعب من مسافة أربعة أضعاف طول أضلاعه. عند السرعات العالية، تبدو أضلاع المكعب العمودية على اتجاه الحركة ذات شكل زائدي. المكعب في الواقع ليس مدورًا. بل إن الضوء القادم من مؤخرة المكعب يستغرق وقتًا أطول للوصول إلى العينين مقارنة بالضوء القادم من الأمام، وخلال هذا الوقت يكون المكعب قد تحرك إلى اليمين. عند السرعات العالية، تتخذ الكرة في الشكل 5-5 مظهر قرص مسطح مائل حتى 45 درجة من خط البصر. إذا لم تكن حركات الأجسام عرضية تمامًا ولكنها تتضمن بدلاً من ذلك مكونًا طوليًا، فقد تُرى تشوهات مبالغ فيها في المنظور. ^[66] أصبح هذا الوهم معروفًا بدوران تيريل أو تأثير تيريل-بينروز . ^{[ملاحظة 9]}

يأتي مثال آخر حيث يتعارض المظهر المرئي مع القياس من ملاحظة الحركة الظاهرية الأسرع من الضوء في العديد من المجرات الراديوية ، وأجرام BL Lac ، والكوازارات ، وغيرها من الأجسام الفلكية التي تقذف نفاثات من المادة بسرعة نسبية بزوايا ضيقة بالنسبة للمشاهد. ينتج عن ذلك وهم بصري واضح يعطي مظهر السفر أسرع من الضوء. ^{[67] [68] [69]} في الشكل 5-6، تتدفق مجرة ​​M87 بنفث عالي السرعة من الجسيمات دون الذرية مباشرة تقريبًا نحونا، لكن دوران بينروز-تيريل يتسبب في ظهور النفاثة وكأنها تتحرك جانبيًا بنفس الطريقة التي تم بها تمديد مظهر المكعب في الشكل 5-4. ^[70]

يتناول القسم العواقب المترتبة على تحويل لورنتز بشكل صارم علم الحركة ، أي دراسة حركة النقاط والأجسام وأنظمة الأجسام دون النظر إلى القوى التي تسببت في الحركة. ويناقش هذا القسم الكتل والقوى والطاقة وما إلى ذلك، وبالتالي يتطلب النظر في التأثيرات الفيزيائية التي تتجاوز تلك التي يشملها تحويل لورنتز نفسه.

عندما تقترب سرعة الجسم من سرعة الضوء من وجهة نظر المراقب، تزداد كتلته النسبية مما يجعل من الصعب جدًا تسريعه من داخل إطار مرجع المراقب.

محتوى الطاقة لجسم ساكن بكتلة m يساوي mc ² . يعني الحفاظ على الطاقة أنه في أي تفاعل، يجب أن يكون انخفاض مجموع كتل الجسيمات مصحوبًا بزيادة في طاقات الحركة للجسيمات بعد التفاعل. وبالمثل، يمكن زيادة كتلة الجسم عن طريق أخذ الطاقات الحركية.

بالإضافة إلى الأوراق المشار إليها أعلاه - والتي تقدم اشتقاقات لتحويل لورنتز وتصف أسس النسبية الخاصة - كتب أينشتاين أيضًا أربع أوراق على الأقل تقدم حججًا استدلالية لتكافؤ الكتلة والطاقة (وقابليتها للتحول)، حيث E = mc ² .

تكافؤ الكتلة والطاقة هو نتيجة للنسبية الخاصة. الطاقة والزخم، اللذان هما منفصلان في ميكانيكا نيوتن، يشكلان متجهًا رباعيًا في النسبية، وهذا يربط مكون الزمن (الطاقة) بمكونات المكان (الزخم) بطريقة غير تافهة. بالنسبة لجسم ساكن، يكون متجه الطاقة والزخم الرباعي هو ( E / c ، 0، 0، 0) : له مكون زمني وهو الطاقة، وثلاث مكونات مكانية تساوي صفرًا. من خلال تغيير الإطارات باستخدام تحويل لورنتز في اتجاه x بقيمة صغيرة للسرعة v، يصبح متجه الطاقة والزخم الرباعي ( E / c ، Ev / c ² ، 0، 0) . الزخم يساوي الطاقة مضروبة في السرعة مقسومة على c ² . وعلى هذا النحو، فإن الكتلة النيوتونية لجسم، وهي نسبة الزخم إلى السرعة للسرعات البطيئة، تساوي E / c ² .

الطاقة والزخم من خصائص المادة والإشعاع، ومن المستحيل استنتاج أنهما يشكلان متجهًا رباعيًا فقط من المسلمتين الأساسيتين للنسبية الخاصة بمفردهما، لأن هاتين المسلمتين لا تتحدثان عن المادة أو الإشعاع، بل تتحدثان فقط عن المكان والزمان. لذلك يتطلب الاشتقاق بعض التفكير الفيزيائي الإضافي. في ورقته البحثية لعام 1905، استخدم أينشتاين المبادئ الإضافية التي يجب أن تحتفظ بها ميكانيكا نيوتن للسرعات البطيئة، بحيث يكون هناك مقياس طاقة واحد وزخم ثلاثي المتجهات عند السرعات البطيئة، وأن قانون الحفاظ على الطاقة والزخم صحيح تمامًا في النسبية. علاوة على ذلك، افترض أن طاقة الضوء تتحول بنفس عامل إزاحة دوبلر مثل تردده، والذي أثبت سابقًا أنه صحيح بناءً على معادلات ماكسويل. ^{[ص 1]} كانت أولى أوراق أينشتاين حول هذا الموضوع "هل يعتمد قصور الجسم على محتواه من الطاقة؟" في عام 1905. ^{[ص 21]} على الرغم من أن حجة أينشتاين في هذه الورقة مقبولة عالميًا تقريبًا من قبل علماء الفيزياء على أنها صحيحة، بل وواضحة بذاتها، فقد اقترح العديد من المؤلفين على مر السنين أنها خاطئة. ^[71] يقترح مؤلفون آخرون أن الحجة كانت غير حاسمة فحسب لأنها اعتمدت على بعض الافتراضات الضمنية. ^[72]

أقر أينشتاين بالجدل الدائر حول اشتقاقه في بحثه المسحي لعام 1907 حول النسبية الخاصة. حيث لاحظ أنه من المشكل الاعتماد على معادلات ماكسويل في الحجة الاستدلالية حول الكتلة والطاقة. يمكن تنفيذ الحجة في بحثه لعام 1905 بانبعاث أي جسيمات عديمة الكتلة، لكن معادلات ماكسويل تُستخدم ضمناً لتوضيح أن انبعاث الضوء على وجه الخصوص لا يمكن تحقيقه إلا من خلال بذل العمل. لإصدار موجات كهرومغناطيسية، كل ما عليك فعله هو هز جسيم مشحون، وهذا بوضوح بذل عمل، بحيث يكون الانبعاث طاقة. ^{[ص 22] [ملاحظة 10]}

في رابع أوراقه البحثية التي كتبها عام 1905 بعنوان Annus mirabilis ، ^{[ص 21]} قدم أينشتاين حجة استدلالية لتكافؤ الكتلة والطاقة. ورغم أن الدراسات اللاحقة أثبتت، كما ناقشنا أعلاه، أن حججه لم تصل إلى مستوى إثبات قاطع على نطاق واسع، فإن الاستنتاجات التي توصل إليها في هذه الورقة البحثية صمدت أمام اختبار الزمن.

اتخذ أينشتاين افتراضات أولية تتمثل في صيغته التي اكتشفها مؤخرًا لتحول دوبلر النسبي ، وقوانين حفظ الطاقة وحفظ الزخم ، والعلاقة بين تردد الضوء وطاقته كما توضحها معادلات ماكسويل .

الشكل 6-1 (أعلى). ضع في اعتبارك نظامًا من الموجات الضوئية المستوية ذات التردد الذي ينتقل في اتجاه نسبي إلى المحور السيني للإطار المرجعي S. يتم تحديد التردد (وبالتالي الطاقة) للموجات كما تم قياسها في الإطار S ′ الذي يتحرك على طول المحور السيني بسرعة من خلال صيغة إزاحة دوبلر النسبية التي طورها أينشتاين في بحثه عام 1905 حول النسبية الخاصة: ^{[ص 1]}${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

الشكل 6-1 (أسفل). افترض وجود جسم عشوائي ثابت في الإطار المرجعي S. دع هذا الجسم يصدر زوجًا من نبضات الضوء المتساوية الطاقة في اتجاهين متعاكسين بزاوية بالنسبة للمحور x. كل نبضة لها طاقة ⁠ ⁠ . وبسبب حفظ الزخم، يظل الجسم ثابتًا في S بعد انبعاث النبضتين. دع تكون طاقة الجسم قبل انبعاث النبضتين وبعد انبعاثهما. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L/2}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{1}}$

بعد ذلك، ضع في اعتبارك نفس النظام المرصود من الإطار S ′ والذي يتحرك على طول المحور x بسرعة نسبية للإطار S. في هذا الإطار، سيتم إزاحة الضوء من النبضات الأمامية والخلفية بشكل نسبي وفقًا لتأثير دوبلر. لتكن طاقة الجسم المقاسة في الإطار المرجعي S ′ قبل انبعاث النبضتين وبعد انبعاثهما. نحصل على العلاقات التالية: ^{[ص 21]}${\displaystyle v}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=E_{1}+{\tfrac {1}{2}}L+{\tfrac {1}{2}}L=E_{1}+L\\[5mu]H_{0}&=H_{1}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1+(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}}$

ومن المعادلات أعلاه نحصل على ما يلي:

${\displaystyle \quad \quad (H_{0}-E_{0})-(H_{1}-E_{1})=L\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)}$

( 6-1 )

إن الاختلافين في الشكل اللذين نراهما في المعادلة أعلاه لهما تفسير فيزيائي مباشر. بما أن و هما طاقات الجسم العشوائي في الإطارين المتحرك والثابت، و يمثلان الطاقات الحركية للأجسام قبل وبعد انبعاث الضوء (باستثناء ثابت إضافي يحدد نقطة الصفر للطاقة ويتم ضبطه تقليديًا على الصفر). وبالتالي، ${\displaystyle H-E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H_{0}-E_{0}}$${\displaystyle H_{1}-E_{1}}$

${\displaystyle \quad \quad K_{0}-K_{1}=L\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)}$

( 6-2 )

باستخدام توسع سلسلة تايلور وإهمال الحدود ذات الترتيب الأعلى، حصل على

${\displaystyle \quad \quad K_{0}-K_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {L}{c^{2}}}v^{2}}$

( 6-3 )

بمقارنة التعبير أعلاه مع التعبير الكلاسيكي للطاقة الحركية ، KE  = 1/2⁠ mv ² ، ثم لاحظ أينشتاين: "إذا أعطى الجسم طاقة L في شكل إشعاع، فإن كتلته تقل بمقدار L / c ^2. "

لقد لاحظ ريندلر أن حجة أينشتاين الاستدلالية كانت تشير إلى أن الطاقة تساهم في الكتلة فحسب. وفي عام 1905، سمح تعبير أينشتاين الحذر عن العلاقة بين الكتلة والطاقة باحتمال وجود كتلة "خاملة" قد تظل موجودة بعد إزالة كل طاقة الجسم. ولكن بحلول عام 1907، كان أينشتاين مستعدًا للتأكيد على أن كل كتلة بالقصور الذاتي تمثل احتياطيًا من الطاقة. "إن مساواة كل الكتلة بالطاقة تتطلب فعلًا من الإيمان الجمالي، وهو ما يميز أينشتاين جدًا". ^{[12] : 81-84} وقد تم تأكيد فرضية أينشتاين الجريئة بشكل واضح في السنوات التي تلت اقتراحه الأصلي.

ولعدة أسباب، نادرًا ما يتم تدريس الاشتقاق الأصلي لأينشتاين حاليًا. وبجانب المناقشة القوية التي لا تزال مستمرة حتى يومنا هذا حول صحة الاشتقاق الأصلي رسميًا، فإن الاعتراف بالنسبية الخاصة باعتبارها ما أسماه أينشتاين "نظرية المبدأ" أدى إلى التحول بعيدًا عن الاعتماد على الظواهر الكهرومغناطيسية إلى أساليب الإثبات الديناميكية البحتة. ^[73]

نظرًا لأنه لا يمكن لأي شيء أن يسافر أسرع من الضوء، فقد يستنتج المرء أن الإنسان لا يمكنه أبدًا السفر أبعد من الأرض عن ~100 سنة ضوئية. قد تعتقد بسهولة أن المسافر لن يتمكن أبدًا من الوصول إلى أكثر من الأنظمة الشمسية القليلة الموجودة ضمن حدود 100 سنة ضوئية من الأرض. ومع ذلك، وبسبب تمدد الزمن، يمكن لمركبة فضائية افتراضية أن تسافر آلاف السنين الضوئية خلال حياة الراكب. إذا كان من الممكن بناء مركبة فضائية تتسارع بسرعة ثابتة تبلغ 1 جرام ، فستسافر بعد عام واحد بسرعة تقترب من سرعة الضوء كما تُرى من الأرض. يوصف هذا على النحو التالي: حيث v ( t ) هي السرعة في وقت t ، وa هو تسارع المركبة الفضائية و t هو وقت الإحداثيات كما يقيسه الأشخاص على الأرض. ^{[ص 23]} لذلك، بعد عام واحد من التسارع بسرعة 9.81 م/ث ² ، ستسافر المركبة الفضائية بسرعة v = 0.712 ج و0.946 ج بعد ثلاث سنوات، بالنسبة للأرض. بعد ثلاث سنوات من هذا التسارع، ومع تحقيق المركبة الفضائية لسرعة 94.6٪ من سرعة الضوء بالنسبة للأرض، سيؤدي تمدد الوقت إلى أن كل ثانية يتم تجربتها على المركبة الفضائية تقابل 3.1 ثانية على الأرض. أثناء رحلتهم، سيختبر الأشخاص على الأرض وقتًا أطول مما يختبرونه - حيث أن ساعاتهم (جميع الظواهر الفيزيائية) ستكون في الواقع أسرع بمقدار 3.1 مرة من ساعات المركبة الفضائية. ستستغرق رحلة ذهابًا وإيابًا مدتها 5 سنوات للمسافر 6.5 سنة أرضية وتغطي مسافة تزيد عن 6 سنوات ضوئية. ستؤدي رحلة ذهابًا وإيابًا مدتها 20 عامًا لهم (5 سنوات تسارع، و 5 سنوات تباطؤ، مرتين لكل منهما) إلى عودتهم إلى الأرض بعد السفر لمدة 335 سنة أرضية ومسافة 331 سنة ضوئية. ^[74] ستظهر رحلة كاملة مدتها 40 عامًا بسرعة 1 جي على الأرض لتستمر 58000 عام وتغطي مسافة 55000 سنة ضوئية. تستغرق الرحلة التي تستغرق 40 عامًا بسرعة 1.1 جي 148000 سنة أرضية وتغطي حوالي 140000 سنة ضوئية. يمكن أن تصل الرحلة في اتجاه واحد لمدة 28 عامًا (14 عامًا متسارعًا و14 عامًا متباطئًا كما تم قياسها بساعة رائد الفضاء) بسرعة 1 جي إلى 2000000 سنة ضوئية إلى مجرة ​​أندروميدا. ^[74] هذا التمدد الزمني نفسه هو السبب في أن الميون الذي يسافر بالقرب من c يسافر لمسافة أبعد بكثير من c مضروبًا في نصف عمره (عندما يكون في حالة سكون). ^[75]$${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}}}$$

إن فحص نواتج التصادم الناتجة عن مسرعات الجسيمات في مختلف أنحاء العالم يوفر للعلماء أدلة على بنية العالم دون الذري والقوانين الطبيعية التي تحكمه. إن تحليل نواتج التصادم، التي قد يتجاوز مجموع كتلها كتلة الجسيمات المتساقطة إلى حد كبير، يتطلب النسبية الخاصة. ^[76]

في ميكانيكا نيوتن، يتضمن تحليل التصادمات استخدام قوانين الحفاظ على الكتلة والزخم والطاقة . في ميكانيكا النسبية، لا يتم الحفاظ على الكتلة بشكل مستقل، لأنها تم تضمينها في إجمالي الطاقة النسبية. نوضح الاختلافات التي تنشأ بين المعالجات النيوتونية والنسبية لتصادمات الجسيمات من خلال فحص الحالة البسيطة لجسيمين متصادمين مرنين تمامًا ولهما كتلة متساوية. ( تمت مناقشة التصادمات غير المرنة في قوانين الحفاظ على الزمكان . يمكن اعتبار الاضمحلال الإشعاعي نوعًا من التصادم غير المرن المعكوس للزمن. ^[76] )

ينحرف التشتت المرن للجسيمات الأولية المشحونة عن المثالية بسبب إنتاج إشعاع الكبح . ^{[77] [78]}

يوضح الشكل 6-2 عرضًا للنتيجة المألوفة للاعبي البلياردو، وهي أنه إذا تم ضرب كرة ثابتة بشكل مرن بواسطة كرة أخرى من نفس الكتلة (بافتراض عدم وجود دوران جانبي، أو "إنجليزي")، فبعد الاصطدام، ستشكل المسارات المتباعدة للكرتين زاوية قائمة. (أ) في الإطار الثابت، تصطدم كرة ساقطة تتحرك بسرعة 2 فولت بكرة ثابتة. (ب) في مركز إطار الزخم، تقترب الكرتان من بعضهما البعض بشكل متماثل عند ± v . بعد الاصطدام المرن، ترتد الكرتان عن بعضهما البعض بسرعات متساوية ومعاكسة ± u . يتطلب الحفاظ على الطاقة أن | u | = | v |. (ج) بالعودة إلى الإطار الثابت، تكون سرعات الارتداد v ± u . حاصل الضرب النقطي ( v + u ) ⋅ ( v − u ) = v ² − u ² = 0 ، مما يشير إلى أن المتجهات متعامدة. ^{[12] : 26–27}

لنتأمل سيناريو التصادم المرن في الشكل 6-3 بين جسيم متحرك يصطدم بجسيم ثابت له نفس الكتلة. وعلى النقيض من الحالة النيوتونية، تكون الزاوية بين الجسيمين بعد التصادم أقل من 90 درجة، وتعتمد على زاوية التشتت، وتصبح أصغر فأصغر كلما اقتربت سرعة الجسيم الساقط من سرعة الضوء:

يتم تحديد الزخم النسبي والطاقة النسبية الكلية للجسيم بواسطة

${\displaystyle \quad \quad {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}\quad {\text{and}}\quad E=\gamma mc^{2}}$

( 6-4 )

ينص قانون الحفاظ على الزخم على أن مجموع زخمي الجسيم الوارد والجسيم الساكن (الذي يكون زخمه في البداية = 0) يساوي مجموع زخمي الجسيمات الناشئة:

${\displaystyle \quad \quad \gamma _{1}m{\vec {v_{1}}}+0=\gamma _{2}m{\vec {v_{2}}}+\gamma _{3}m{\vec {v_{3}}}}$

( 6-5 )

وبالمثل، فإن مجموع الطاقات النسبية الكلية للجسيم الوارد والجسيم الساكن (الذي له في البداية طاقة كلية mc ² ) يساوي مجموع الطاقات الكلية للجسيمات الناشئة:

${\displaystyle \quad \quad \gamma _{1}mc^{2}+mc^{2}=\gamma _{2}mc^{2}+\gamma _{3}mc^{2}}$

( 6-6 )

عند تحليل ( 6-5 ) إلى مكوناتها، واستبدالها باللابعدية ، واستبعاد المصطلحات المشتركة من ( 6-5 ) و( 6-6 ) نحصل على ما يلي: ^{[ص 24]}${\displaystyle v}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \quad \quad \beta _{1}\gamma _{1}=\beta _{2}\gamma _{2}\cos {\theta }+\beta _{3}\gamma _{3}\cos {\phi }}$

( 6-7 )

${\displaystyle \quad \quad \beta _{2}\gamma _{2}\sin {\theta }=\beta _{3}\gamma _{3}\sin {\phi }}$

( 6-8 )

${\displaystyle \quad \quad \gamma _{1}+1=\gamma _{2}+\gamma _{3}}$

( 6-9 )

ومن هذه نحصل على العلاقات التالية: ^{[ص 24]}

${\displaystyle \quad \quad \beta _{2}={\frac {\beta _{1}\sin {\phi }}{\{\beta _{1}^{2}\sin ^{2}{\phi }+\sin ^{2}(\phi +\theta )/\gamma _{1}^{2}\}^{1/2}}}}$

( 6-10 )

${\displaystyle \quad \quad \beta _{3}={\frac {\beta _{1}\sin {\theta }}{\{\beta _{1}^{2}\sin ^{2}{\theta }+\sin ^{2}(\phi +\theta )/\gamma _{1}^{2}\}^{1/2}}}}$

( 6-11 )

${\displaystyle \quad \quad \cos {(\phi +\theta )}={\frac {(\gamma _{1}-1)\sin {\theta }\cos {\theta }}{\{(\gamma _{1}+1)^{2}\sin ^{2}\theta +4\cos ^{2}\theta \}^{1/2}}}}$

( 6-12 )

بالنسبة للحالة المتماثلة حيث و ⁠ ⁠ ، ( 6-12 ) يأخذ الشكل الأبسط: ^{[ص 24]}${\displaystyle \phi =\theta }$${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{3}}$

${\displaystyle \quad \quad \cos {\theta }={\frac {\beta _{1}}{\{2/\gamma _{1}+3\beta _{1}^{2}-2\}^{1/2}}}}$

( 6-13 )

تربط تحويلات لورنتز إحداثيات الأحداث في إطار مرجعي واحد بإحداثيات إطار آخر. تُستخدم التركيبة النسبية للسرعات لجمع سرعتين معًا. الصيغ المستخدمة لإجراء الحسابات الأخيرة غير خطية، مما يجعلها أكثر تعقيدًا من الصيغ الجليلية المقابلة.

هذه اللاخطية هي من صنع اختيارنا للمعلمات. ^{[11] : 47–59} لقد لاحظنا سابقًا أنه في مخطط الزمكان x – ct ، تشكل النقاط عند بعض الفواصل الزمنية الزمكانية الثابتة من الأصل قطعًا زائدًا ثابتًا. لقد لاحظنا أيضًا أن أنظمة الإحداثيات لإطارين مرجعيين للزمكان في التكوين القياسي تدور بشكل زائد بالنسبة لبعضها البعض.

الدوال الطبيعية للتعبير عن هذه العلاقات هي النظائر الزائدية للدوال المثلثية . يوضح الشكل 7-1أ دائرة وحدة بها sin( a ) وcos( a )، والفرق الوحيد بين هذا الرسم البياني ودائرة الوحدة المألوفة في علم المثلثات الابتدائي هو أن a يتم تفسيرها، ليس على أنها الزاوية بين الشعاع والمحور x ، ولكن على أنها ضعف مساحة القطاع الذي اكتسحه الشعاع من المحور x . عدديًا، تكون قياسات الزاوية و 2 × المساحة لدائرة الوحدة متطابقة. يوضح الشكل 7-1ب قطعًا زائدًا وحدويًا به sinh( a ) وcosh( a )، حيث يتم تفسير a أيضًا على أنها ضعف المساحة الملونة. ^[79] يقدم الشكل 7-2 مخططات للوظائف sinh وcosh وtanh.

بالنسبة لدائرة الوحدة، يتم إعطاء ميل الشعاع بواسطة

${\displaystyle {\text{slope}}=\tan a={\frac {\sin a}{\cos a}}.}$

في المستوى الديكارتي، دوران النقطة ( x ، y ) إلى النقطة ( x ' ، y ' ) بزاوية θ يعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.}$

في مخطط الزمكان، تكون معلمة السرعة هي نظير المنحدر. يتم تعريف السرعة ، φ ، بواسطة ^{[21] : 96–99}${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta \equiv \tanh \phi \equiv {\frac {v}{c}},}$

أين

${\displaystyle \tanh \phi ={\frac {\sinh \phi }{\cosh \phi }}={\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{e^{\phi }+e^{-\phi }}}.}$

السرعة المحددة أعلاه مفيدة جدًا في النسبية الخاصة لأن العديد من التعبيرات تأخذ شكلًا أبسط إلى حد كبير عند التعبير عنها من حيث السرعة. على سبيل المثال، السرعة هي ببساطة إضافية في صيغة إضافة السرعة الخطية؛ ^{[11] : 47–59}

${\displaystyle \beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\tanh \phi _{1}+\tanh \phi _{2}}{1+\tanh \phi _{1}\tanh \phi _{2}}}=}$ ${\displaystyle \tanh(\phi _{1}+\phi _{2}),}$

أو بعبارة أخرى، ⁠ ⁠${\displaystyle \phi =\phi _{1}+\phi _{2}}$ .

تتخذ تحويلات لورنتز شكلًا بسيطًا عندما يتم التعبير عنها من حيث السرعة. يمكن كتابة عامل γ على النحو التالي:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\cosh \phi ,}$

${\displaystyle \gamma \beta ={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\tanh \phi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }}}}$ ${\displaystyle =\sinh \phi .}$

تسمى التحويلات التي تصف الحركة النسبية بسرعة موحدة وبدون دوران محاور إحداثيات الفضاء بالدفعات .

من خلال استبدال γ و γβ في التحويلات كما تم تقديمها مسبقًا وإعادة الكتابة في شكل مصفوفة، يمكن كتابة تعزيز لورنتز في اتجاه x على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},}$

ويمكن كتابة الدفعة العكسية للورنتيز في اتجاه x على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &\sinh \phi \\\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.}$

بعبارة أخرى، تمثل تعزيزات لورنتز دورات زائدية في فضاء مينكوفسكي. ^{[21] : 96–99}

إن مزايا استخدام الدوال الزائدية كبيرة لدرجة أن بعض الكتب المدرسية مثل الكتب الكلاسيكية التي كتبها تايلور وويلر تقدم استخدامها في مرحلة مبكرة للغاية. ^{[11] [ملاحظة 11]}

لقد تم ذكر المتجهات الأربعة أعلاه في سياق متجه الطاقة-الزخم 4 ، ولكن دون أي تأكيد كبير. في الواقع، لا يتطلب أي من الاشتقاقات الأولية للنسبية الخاصة ذلك. ولكن بمجرد فهمها، فإن المتجهات الأربعة ، وبشكل عام الموتر ، تبسط إلى حد كبير الرياضيات والفهم المفاهيمي للنسبية الخاصة. يؤدي العمل حصريًا مع مثل هذه الأشياء إلى صيغ ثابتة نسبيًا بشكل واضح ، وهي ميزة كبيرة في السياقات غير التافهة. على سبيل المثال، فإن إظهار الثبات النسبي لمعادلات ماكسويل في شكلها المعتاد ليس بالأمر التافه، في حين أنه مجرد حساب روتيني، في الواقع ليس أكثر من ملاحظة، باستخدام صيغة موتر قوة المجال . ^[80]

من ناحية أخرى، تعتمد النسبية العامة منذ البداية بشكل كبير على المتجهات الرباعية ، وبشكل عام على المتجهات الموجية، التي تمثل كيانات ذات صلة فيزيائية. ويتطلب ربط هذه الكيانات عبر معادلات لا تعتمد على إحداثيات محددة وجود متجهات قادرة على ربط هذه المتجهات الرباعية حتى داخل الزمكان المنحني ، وليس فقط داخل الزمكان المسطح كما هو الحال في النسبية الخاصة. إن دراسة المتجهات الموجية تقع خارج نطاق هذه المقالة، التي تقدم فقط مناقشة أساسية للزمكان.

إن مجموعة مكونة من${\displaystyle A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)}$ 4 عناصر هي "متجه مكون من 4 عناصر" إذا تم تحويل مكونها _A بين الإطارات وفقًا لتحويل لورنتز.

إذا كنت تستخدم إحداثيات${\displaystyle (ct,x,y,z)}$ ، فإن A هو متجه رباعي إذا تحول (في اتجاه x ) وفقًا لـ

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}'&=\gamma \left(A_{0}-(v/c)A_{1}\right)\\A_{1}'&=\gamma \left(A_{1}-(v/c)A_{0}\right)\\A_{2}'&=A_{2}\\A_{3}'&=A_{3}\end{aligned}}}$

وهو ما يأتي من استبدال ct بـ A ₀ و x بـ A ₁ ببساطة في العرض السابق لتحويل لورنتز.

كما هو الحال عادة، عندما نكتب x ، t ، وما إلى ذلك فإننا نعني عمومًا Δx ، Δt وما إلى ذلك.

يجب أن تكون المكونات الثلاثة الأخيرة لمتجه رباعي الأبعاد متجهًا قياسيًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد. لذلك، يجب أن يتحول متجه رباعي الأبعاد مثل ⁠ ⁠${\displaystyle (c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}$ تحت تحويلات لورنتز وكذلك الدورانات. ^{[81] : 36–59}

• الإغلاق تحت التركيبة الخطية: إذا كان A و B متجهين رباعيين ، فإن ⁠ ⁠${\displaystyle C=aA+aB}$ هو أيضًا متجه رباعي .
• ثبات حاصل الضرب الداخلي: إذا كان A و B متجهين رباعيين ، فإن حاصل ضربهما الداخلي (حاصل الضرب القياسي) يكون ثابتًا، أي أن حاصل ضربهما الداخلي مستقل عن الإطار الذي يتم حسابه فيه. لاحظ كيف يختلف حساب حاصل الضرب الداخلي عن حساب حاصل الضرب الداخلي لمتجه ثلاثي . فيما يلي، و هما متجهان ثلاثيان : ${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

  ${\displaystyle A\cdot B\equiv }$ ${\displaystyle A_{0}B_{0}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}\equiv }$ ${\displaystyle A_{0}B_{0}-{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}}$

بالإضافة إلى كونه ثابتًا تحت تحويل لورنتز، فإن الحاصل الداخلي أعلاه ثابت أيضًا تحت الدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد .

يقال إن متجهين متعامدين إذا ⁠ ⁠${\displaystyle A\cdot B=0}$ . على عكس الحالة مع المتجهات الثلاثية ، فإن المتجهات الرباعية المتعامدة ليست بالضرورة في زوايا قائمة مع بعضها البعض. القاعدة هي أن متجهين رباعيين يكونان متعامدين إذا كانا متباعدين بزوايا متساوية ومعاكسة عن خط 45 درجة وهو خط العالم لشعاع الضوء. وهذا يعني أن متجهًا رباعيًا يشبه الضوء يكون متعامدًا مع نفسه .

• ثبات حجم المتجه: حجم المتجه هو حاصل الضرب الداخلي لمتجه رباعي مع نفسه، وهو خاصية مستقلة عن الإطار. وكما هو الحال مع الفواصل الزمنية، قد يكون الحجم موجبًا أو سالبًا أو صفرًا، بحيث يشار إلى المتجهات على أنها شبيهة بالزمن أو شبيهة بالمكان أو خالية (شبيهة بالضوء). لاحظ أن المتجه الخالي ليس هو نفسه المتجه الصفري. المتجه الخالي هو المتجه الذي تكون فيه ⁠ ⁠${\displaystyle A\cdot A=0}$ ، بينما المتجه الصفري هو المتجه الذي تكون مكوناته كلها صفرًا. تشمل الحالات الخاصة التي توضح ثبات القاعدة الفاصل الزمني الثابت والطول الثابت لمتجه الزخم النسبي ⁠ ⁠ . ^{[21] : 178–181  [81] : 36–59}${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}}$

• متجه الإزاحة رباعي الأبعاد: يُعرف أيضًا باسم فصل الزمكان ، وهو ( Δt، Δx، Δy، Δz )، أو بالنسبة للفصلات اللانهائية في الصغر، ( dt ، dx ، dy ، dz ) .

  ${\displaystyle dS\equiv (dt,dx,dy,dz)}$

• متجه السرعة الرباعي: ينتج هذا عندما يتم تقسيم متجه الإزاحة الرباعي على ، حيث هو الوقت المناسب بين الحدثين اللذين ينتجان dt و dx و dy و dz . ${\displaystyle d\tau }$${\displaystyle d\tau }$

  ${\displaystyle V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left(1,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle (\gamma ,\gamma {\vec {v}})}$

السرعة 4 مماسّة لخط العالم للجسيم، ولها طول يساوي وحدة زمنية واحدة في إطار الجسيم.

لا يمتلك الجسيم المتسارع إطارًا بالقصور الذاتي يكون فيه دائمًا في حالة سكون. ومع ذلك، يمكن دائمًا العثور على إطار بالقصور الذاتي يتحرك لحظيًا مع الجسيم. يتيح هذا الإطار، إطار المرجع المتحرك لحظيًا (MCRF)، تطبيق النسبية الخاصة على تحليل الجسيمات المتسارعة.

نظرًا لأن الفوتونات تتحرك على خطوط فارغة، فلا يمكن تعريف سرعة 4 بالنسبة للفوتون . لا يوجد إطار يكون فيه الفوتون في حالة سكون، ولا يمكن إنشاء MCRF على طول مسار الفوتون.${\displaystyle d\tau =0}$

• متجه الطاقة والزخم رباعي:

  ${\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})}$

كما أشرنا من قبل، هناك معالجات مختلفة لمتجه الطاقة والزخم 4 بحيث يمكن للمرء أيضًا رؤيته معبرًا عنه على أنه أو ⁠ ⁠ . المكون الأول هو إجمالي الطاقة (بما في ذلك الكتلة) للجسيم (أو نظام الجسيمات) في إطار معين، في حين أن المكونات المتبقية هي زخمه المكاني. متجه الطاقة والزخم 4 هو كمية محفوظة.${\displaystyle (E,{\vec {p}})}$${\displaystyle (E,{\vec {p}}c)}$

• متجه التسارع الرباعي: ينتج هذا عن أخذ المشتق لمتجه السرعة الرباعي بالنسبة إلى${\displaystyle \tau .}$

  ${\displaystyle A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\gamma ,\gamma {\vec {v}})=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {d\gamma }{dt}},{\frac {d(\gamma {\vec {v}})}{dt}}\right)}$

• القوة المتجهية 4: هذا هو المشتق لمتجه الزخم 4 بالنسبة إلى${\displaystyle \tau .}$

  ${\displaystyle F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right)=}$ ${\displaystyle \gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\vec {f}}\right)}$

كما هو متوقع، فإن المكونات النهائية للمتجهات الأربعة المذكورة أعلاه هي جميعها متجهات ثلاثية قياسية تتوافق مع الزخم المكاني الثلاثي والقوة الثلاثية وما إلى ذلك. ^{[21] : 178–181  [81] : 36–59}

تنص الفرضية الأولى للنسبية الخاصة على تكافؤ جميع الإطارات القصورية. يجب أن ينطبق القانون الفيزيائي الموجود في إطار واحد على جميع الإطارات، لأنه بخلاف ذلك سيكون من الممكن التمييز بين الإطارات. تفشل الزخم النيوتوني في التصرف بشكل صحيح تحت تحويل لورنتز، وفضل أينشتاين تغيير تعريف الزخم إلى تعريف يتضمن 4 متجهات بدلاً من التخلي عن الحفاظ على الزخم.

يجب أن تستند القوانين الفيزيائية إلى بنيات مستقلة عن الإطار. وهذا يعني أن القوانين الفيزيائية قد تأخذ شكل معادلات تربط بين المقاييس، والتي تكون دائمًا مستقلة عن الإطار. ومع ذلك، تتطلب المعادلات التي تتضمن متجهات رباعية استخدام موتر ذي رتبة مناسبة، والتي يمكن اعتبارها في حد ذاتها مبنية من متجهات رباعية . ^{[21] : 186}

من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن النسبية الخاصة تنطبق فقط على الإطارات القصورية، وأنها غير قادرة على التعامل مع الأجسام المتسارعة أو الإطارات المرجعية المتسارعة. في الواقع، يمكن تحليل الأجسام المتسارعة بشكل عام دون الحاجة إلى التعامل مع الإطارات المتسارعة على الإطلاق. فقط عندما تكون الجاذبية كبيرة تصبح النسبية العامة مطلوبة. ^[82]

ومع ذلك، فإن التعامل السليم مع إطارات التسارع يتطلب بعض العناية. والفرق بين النسبية الخاصة والعامة هو أن (1) في النسبية الخاصة، تكون جميع السرعات نسبية، ولكن التسارع مطلق. (2) في النسبية العامة، تكون جميع الحركات نسبية، سواء كانت بالقصور الذاتي أو التسارع أو الدوران. ولاستيعاب هذا الاختلاف، تستخدم النسبية العامة الزمكان المنحني. ^[82]

في هذا القسم، نقوم بتحليل العديد من السيناريوهات التي تتضمن إطارات مرجعية متسارعة.

مفارقة سفينة الفضاء ديوان-بيران-بيل ( مفارقة سفينة الفضاء لبيل ) هي مثال جيد لمشكلة حيث يمكن أن يؤدي التفكير البديهي غير المدعوم بالرؤية الهندسية لنهج الزمكان إلى حدوث مشكلات.

في الشكل 7-4، تطفو مركبتان فضائيتان متطابقتان في الفضاء وهما في حالة سكون بالنسبة لبعضهما البعض. وهما متصلتان بخيط قادر فقط على قدر محدود من التمدد قبل أن ينقطع. وفي لحظة معينة في إطارنا، إطار المراقب، تتسارع كلتا المركبتين الفضائيتين في نفس الاتجاه على طول الخط الفاصل بينهما بنفس التسارع الصحيح الثابت. ^{[ملاحظة 12]} هل ينقطع الخيط؟

عندما كانت المفارقة جديدة وغير معروفة نسبيًا، واجه حتى الفيزيائيون المحترفون صعوبة في التوصل إلى الحل. يؤدي خطان من المنطق إلى استنتاجات متعاكسة. كلتا الحجتين، اللتين يتم تقديمهما أدناه، معيبة على الرغم من أن إحداهما تعطي الإجابة الصحيحة. ^{[21] : 106، 120-122}

1. بالنسبة للمراقبين في إطار الراحة، تبدأ المركبات الفضائية بمسافة L وتظل المسافة بينهما ثابتة أثناء التسارع. أثناء التسارع، تكون L مسافة متقلصة الطول للمسافة L ' = γL في إطار المركبات الفضائية المتسارعة. بعد فترة زمنية طويلة بما فيه الكفاية، ستزداد γ إلى عامل كبير بما يكفي لكسر الخيط.
2. ليكن A و B هما المركبتان الفضائيتان الأمامية والخلفية. في إطار المركبتين الفضائيتين، ترى كل مركبة فضائية المركبة الفضائية الأخرى وهي تفعل نفس الشيء الذي تفعله. تقول A أن B لها نفس التسارع الذي لديه، وترى B أن A تطابقها في كل حركة. لذا تظل المركبتان الفضائيتان على نفس المسافة بينهما، ولا ينقطع الخيط. ^{[21] : 106، 120–122}

المشكلة في الحجة الأولى هي أنه لا يوجد "إطار للسفينتين الفضائيتين". لا يمكن أن يكون هناك، لأن السفينتين الفضائيتين تقيسان مسافة متزايدة بينهما. ولأنه لا يوجد إطار مشترك للسفينتين الفضائيتين، فإن طول الخيط غير محدد بشكل جيد. ومع ذلك، فإن الاستنتاج صحيح، والحجة صحيحة في الغالب. ومع ذلك، فإن الحجة الثانية تتجاهل تمامًا نسبية التزامن. ^{[21] : 106، 120-122}

يجعل مخطط الزمكان (الشكل 7-5) الحل الصحيح لهذه المفارقة واضحًا تقريبًا على الفور. يتسارع مراقبان في زمكان مينكوفسكي بتسارع ثابت المقدار لوقت مناسب (التسارع والوقت المنقضي يقيسهما المراقبان أنفسهما، وليس بعض المراقبين بالقصور الذاتي). إنهما يتحركان معًا وقصور ذاتي قبل وبعد هذه المرحلة. في هندسة مينكوفسكي، يتبين أن الطول على طول خط التزامن أكبر من الطول على طول خط التزامن ⁠ ⁠ . ${\displaystyle k}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle A'B''}$${\displaystyle AB}$

يمكن حساب الزيادة في الطول بمساعدة تحويل لورنتز. إذا انتهى التسارع، كما هو موضح في الشكل 7-5، فستظل السفن عند إزاحة ثابتة في إطار ما ⁠ ⁠${\displaystyle S'}$ . إذا كانت و هي مواضع السفن في ⁠ ⁠ ، فإن المواضع في الإطار هي: ^[83]${\displaystyle x_{A}}$${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}}$

إن "المفارقة" تأتي من الطريقة التي بنى بها بيل مثاله. ففي المناقشة المعتادة لانكماش لورنتز، يكون طول السكون ثابتًا ويقصر طول الحركة عند قياسه في إطار ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ . وكما هو موضح في الشكل 7-5، فإن مثال بيل يؤكد أن أطوال الحركة والمقاسة في إطار ثابتة، وبالتالي يجبر طول إطار السكون في إطار على الزيادة. ${\displaystyle AB}$${\displaystyle A'B'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A'B''}$${\displaystyle S'}$

يمكن أن تؤدي بعض إعدادات مشكلة النسبية الخاصة إلى فهم الظواهر المرتبطة عادةً بالنسبية العامة، مثل آفاق الحدث . في النص المصاحب لقسم "القطع الزائد الثابت" من المقالة الزمكان ، تمثل القطع الزائد الأرجواني مسارات فعلية يتتبعها مسافر متسارع باستمرار في الزمكان. أثناء فترات التسارع الإيجابي، تقترب سرعة المسافر من سرعة الضوء، بينما عند قياسها في إطارنا، يتناقص تسارع المسافر باستمرار.

يوضح الشكل 7-6 بالتفصيل مختلف سمات حركات المسافر. في أي لحظة معينة، يتشكل محورها المكاني من خلال خط يمر عبر الأصل وموضعها الحالي على القطع الزائد، بينما يكون محورها الزمني هو المماس للقطع الزائد عند موضعها. تقترب معامل السرعة من حد واحد مع الزيادة. وبالمثل، تقترب من اللانهاية. ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \gamma }$

يتوافق شكل القطع الزائد الثابت مع مسار التسارع الصحيح الثابت. ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي:

1. نتذكر أن ⁠ ⁠${\displaystyle \beta =ct/x}$ .
2. وبما أننا نستنتج${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2}}$ أن .​${\displaystyle \beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}}$​
3. ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}/s}$
4. من قانون القوة النسبية، ⁠ ⁠ .${\displaystyle F=dp/dt=}$${\displaystyle dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct)}$
5. الاستبدال من الخطوة 2 والتعبير عن من الخطوة 3 يعطي ⁠ ⁠ ، وهو تعبير ثابت. ^{[84] : 110–113}${\displaystyle \beta (ct)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle F=mc^{2}/s}$

يوضح الشكل 7-6 سيناريو محسوبًا محددًا. يقف تيرينس (أ) وستيلا (ب) معًا في البداية على بعد 100 ساعة ضوئية من الأصل. تنطلق ستيلا في الوقت 0، وتتسارع مركبتها الفضائية بمعدل 0.01  ثانية في الساعة. كل عشرين ساعة، يرسل تيرينس تحديثات لاسلكية إلى ستيلا حول الوضع في الوطن (خطوط خضراء متصلة). تتلقى ستيلا هذه الإرساليات المنتظمة، لكن المسافة المتزايدة (المُعوّضة جزئيًا عن طريق تمدد الوقت) تجعلها تتلقى اتصالات تيرينس في وقت لاحق وأخيرًا كما تم قياسها على ساعتها، ولا تتلقى أبدًا أي اتصالات من تيرينس بعد 100 ساعة على ساعته (خطوط خضراء متقطعة). ^{[84] : 110–113}

بعد مرور 100 ساعة وفقًا لساعة تيرينس، تدخل ستيلا منطقة مظلمة. لقد سافرت خارج مستقبل تيرينس الشبيه بالزمن. من ناحية أخرى، يمكن لترينس الاستمرار في تلقي رسائل ستيلا إليه إلى أجل غير مسمى. عليه فقط الانتظار لفترة كافية. تم تقسيم الزمكان إلى مناطق مميزة تفصل بينها أفق حدث ظاهري . طالما استمرت ستيلا في التسارع، فلن تتمكن أبدًا من معرفة ما يحدث خلف هذا الأفق. ^{[84] : 110–113}

أدى البحث النظري في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية إلى اكتشاف انتشار الموجات. وجدت المعادلات التي تعمم التأثيرات الكهرومغناطيسية أن سرعة الانتشار المحدودة للحقول الكهرومغناطيسية E و B تتطلب سلوكيات معينة على الجسيمات المشحونة. تشكل الدراسة العامة للشحنات المتحركة جهد ليينارد-ويشرت ، وهو خطوة نحو النسبية الخاصة.

يؤدي تحويل لورنتز للمجال الكهربائي لشحنة متحركة إلى إطار مرجعي لمراقب غير متحرك إلى ظهور مصطلح رياضي يُطلق عليه عادةً المجال المغناطيسي . وعلى العكس من ذلك، يختفي المجال المغناطيسي الناتج عن شحنة متحركة ويصبح مجالًا كهروستاتيكيًا بحتًا في إطار مرجعي متحرك مشترك. وبالتالي فإن معادلات ماكسويل هي ببساطة ملاءمة تجريبية للتأثيرات النسبية الخاصة في نموذج كلاسيكي للكون. نظرًا لأن المجالات الكهربائية والمغناطيسية تعتمد على الإطار المرجعي وبالتالي تتشابك، فيمكننا التحدث عن المجالات الكهرومغناطيسية . توفر النسبية الخاصة قواعد التحويل لكيفية ظهور المجال الكهرومغناطيسي في إطار بالقصور الذاتي في إطار بالقصور الذاتي آخر.

إن معادلات ماكسويل في شكلها الثلاثي الأبعاد متوافقة بالفعل مع المحتوى الفيزيائي للنسبية الخاصة، على الرغم من أنها أسهل في التعامل معها في شكل متغير واضح ، أي في لغة حساب الموتر . ^[80]

يمكن دمج النسبية الخاصة مع ميكانيكا الكم لتشكيل ميكانيكا الكم النسبية والديناميكا الكهربائية الكمومية . إن كيفية توحيد النسبية العامة وميكانيكا الكم هي إحدى المشكلات التي لم يتم حلها في الفيزياء ؛ الجاذبية الكمومية و" نظرية كل شيء "، والتي تتطلب توحيدًا يشمل النسبية العامة أيضًا، هي مجالات نشطة ومستمرة في البحث النظري.

أوضح نموذج بور-سومرفيلد الذري المبكر البنية الدقيقة لذرات الفلزات القلوية باستخدام النسبية الخاصة والمعرفة الأولية بميكانيكا الكم في ذلك الوقت. ^[85]

في عام 1928، وضع بول ديراك معادلة موجية نسبية مؤثرة ، تُعرف الآن باسم معادلة ديراك تكريمًا له، ^{[ص 25]} وهي متوافقة تمامًا مع النسبية الخاصة والنسخة النهائية من نظرية الكم الموجودة بعد عام 1926. لم تصف هذه المعادلة الزخم الزاوي الجوهري للإلكترونات المسمى الدوران فحسب ، بل أدت أيضًا إلى التنبؤ بجسيم مضاد للإلكترون ( البوزيترون )، ^{[ص 25] [ص 26]} ولا يمكن تفسير البنية الدقيقة بالكامل إلا بالنسبية الخاصة. كانت الأساس الأول لميكانيكا الكم النسبية .

من ناحية أخرى، يؤدي وجود الجسيمات المضادة إلى استنتاج مفاده أن ميكانيكا الكم النسبية لا تكفي لنظرية أكثر دقة واكتمالاً لتفاعلات الجسيمات. بدلاً من ذلك، تصبح نظرية الجسيمات التي يتم تفسيرها على أنها حقول كمية، تسمى نظرية المجال الكمومي ، ضرورية؛ حيث يمكن إنشاء الجسيمات وتدميرها في جميع أنحاء المكان والزمان.

النسبية الخاصة في فضاء مينكوفسكي الخاص بها تكون دقيقة فقط عندما تكون القيمة المطلقة للإمكانات الجاذبية أقل بكثير من c ² في منطقة الاهتمام. ^[86] في مجال جاذبية قوي، يجب استخدام النسبية العامة . تصبح النسبية العامة نسبية خاصة عند حد مجال ضعيف. في المقاييس الصغيرة جدًا، مثل طول بلانك وما دونه، يجب أخذ التأثيرات الكمومية في الاعتبار مما يؤدي إلى الجاذبية الكمومية . ولكن في المقاييس العيانية وفي غياب المجالات الجاذبية القوية، يتم اختبار النسبية الخاصة تجريبياً بدرجة عالية للغاية من الدقة (10 ⁻²⁰ ) ^[87] وبالتالي يتم قبولها من قبل مجتمع الفيزياء. النتائج التجريبية التي يبدو أنها تتعارض معها ليست قابلة للتكرار وبالتالي يُعتقد على نطاق واسع أنها ترجع إلى أخطاء تجريبية. ^[88]

النسبية الخاصة متسقة ذاتيا رياضيا، وهي جزء عضوي من جميع النظريات الفيزيائية الحديثة، وأبرزها نظرية المجال الكمومي ، ونظرية الأوتار ، والنسبية العامة (في الحالة المحدودة للحقول الجاذبية التي يمكن إهمالها).

تتبع ميكانيكا نيوتن رياضيًا النسبية الخاصة عند السرعات الصغيرة (مقارنة بسرعة الضوء) - وبالتالي يمكن اعتبار ميكانيكا نيوتن نسبية خاصة للأجسام البطيئة الحركة. راجع الميكانيكا الكلاسيكية لمناقشة أكثر تفصيلاً.

تُفسَّر العديد من التجارب التي سبقت ورقة أينشتاين عام 1905 الآن على أنها دليل على النسبية. ومن المعروف أن أينشتاين كان على علم بتجربة فيزو قبل عام 1905، ^[89] وخلص المؤرخون إلى أن أينشتاين كان على علم على الأقل بتجربة ميكلسون-مورلي منذ عام 1899 على الرغم من ادعاءاته في سنواته الأخيرة بأنها لم تلعب أي دور في تطويره للنظرية. ^[16]

• قامت تجربة فيزو (1851، وكررها مايكلسون ومورلي في عام 1886) بقياس سرعة الضوء في الوسائط المتحركة، وكانت النتائج متوافقة مع الإضافة النسبية للسرعات الخطية.
• لقد قدمت تجربة مايكلسون-مورلي الشهيرة (1881، 1887) دعمًا إضافيًا للافتراض القائل بأن اكتشاف سرعة مرجعية مطلقة أمر غير قابل للتحقيق. ويجب أن نذكر هنا أنه على عكس العديد من الادعاءات البديلة، لم تقل هذه التجربة الكثير عن ثبات سرعة الضوء فيما يتعلق بسرعة المصدر والمراقب، حيث كان كل من المصدر والمراقب يسافران معًا بنفس السرعة في جميع الأوقات.
• أظهرت تجربة تروتون -نوبل (1903) أن عزم الدوران على المكثف لا يعتمد على الموضع وإطار المرجع بالقصور الذاتي.
• أظهرت تجارب رايلي وبريس (1902، 1904) أن انكماش الطول لا يؤدي إلى ازدواجية الانكسار بالنسبة لمراقب يتحرك مع الراصد، وذلك وفقًا لمبدأ النسبية.

تعمل مسرعات الجسيمات على تسريع وقياس خصائص الجسيمات التي تتحرك بسرعة تقترب من سرعة الضوء، حيث يتوافق سلوكها مع نظرية النسبية ويتعارض مع ميكانيكا نيوتن السابقة . لن تعمل هذه الآلات ببساطة إذا لم يتم تصميمها وفقًا لمبادئ النسبية. بالإضافة إلى ذلك، تم إجراء عدد كبير من التجارب الحديثة لاختبار النسبية الخاصة. بعض الأمثلة:

• اختبارات الطاقة النسبية والزخم – اختبار السرعة الحدية للجسيمات
• تجربة إيفز-ستيلويل – اختبار تأثير دوبلر النسبي وتمدد الزمن
• الاختبار التجريبي لتمدد الزمن – التأثيرات النسبية على نصف عمر الجسيم سريع الحركة
• تجربة كينيدي-ثورندايك – تمدد الزمن وفقًا لتحويلات لورنتز
• تجربة هيوز-دريفر – اختبار تماثل الخواص بين الفضاء والكتلة
• عمليات البحث الحديثة عن انتهاك لورنتز – اختبارات حديثة مختلفة
• أثبتت التجارب التي أجريت لاختبار نظرية الانبعاث أن سرعة الضوء لا تعتمد على سرعة الباعث.
• تجارب لاختبار فرضية سحب الأثير - لا يوجد "عرقلة لتدفق الأثير".

تستخدم النسبية الخاصة فضاء مينكوفسكي "المسطح" رباعي الأبعاد - وهو مثال على الزمكان . يبدو أن فضاء مينكوفسكي مشابه جدًا للفضاء الإقليدي القياسي ثلاثي الأبعاد ، ولكن هناك فرق جوهري فيما يتعلق بالزمن.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم تعريف التفاضل في المسافة (عنصر الخط) ds على النحو التالي: حيث d x = ( dx ₁ ، dx ₂ ، dx ₃ ) هي تفاضلات الأبعاد المكانية الثلاثة. في هندسة مينكوفسكي، يوجد بُعد إضافي بإحداثيات X ⁰ مشتقة من الزمن، بحيث يتحقق التفاضل في المسافة حيث d X = ( dX ₀ ، dX ₁ ، dX ₂ ، dX ₃ ) هي تفاضلات أبعاد الزمكان الأربعة. يشير هذا إلى بصيرة نظرية عميقة: النسبية الخاصة هي ببساطة تناظر دوراني لزمكاننا، على غرار التناظر الدوراني للفضاء الإقليدي (انظر الشكل 10-1). ^[91] تمامًا كما يستخدم الفضاء الإقليدي مقياسًا إقليديًا ، فإن الزمكان يستخدم مقياس مينكوفسكي .$${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},}$$$${\displaystyle ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},}$$في الأساس، يمكن التعبير عن النسبية الخاصة باعتبارها ثبات أي فاصل زمني في الزمكان (أي المسافة رباعية الأبعاد بين أي حدثين) عند النظر إليها من أي إطار مرجعي بالقصور الذاتي . ويمكن استخلاص جميع معادلات وتأثيرات النسبية الخاصة من هذا التناظر الدوراني ( مجموعة بوانكاريه ) لزمكان مينكوفسكي.

يعتمد الشكل الفعلي لـ ds أعلاه على المقياس وعلى الخيارات لإحداثيات X ^0. لجعل إحداثيات الوقت تبدو مثل إحداثيات الفضاء، يمكن التعامل معها على أنها خيالية : X ₀ = ict (يُسمى هذا دوران ويك ). وفقًا لميزنر وثورن وويلر (1971، §2.3)، فإن الفهم الأعمق لكل من النسبية الخاصة والعامة سيأتي في النهاية من دراسة مقياس مينكوفسكي (الموصوف أدناه) وأخذ X ⁰ = ct ، بدلاً من مقياس إقليدي "مقنع" باستخدام ict كإحداثي زمني.

يستخدم بعض المؤلفين X ⁰ = t ، مع عوامل c في مكان آخر للتعويض؛ على سبيل المثال، يتم تقسيم الإحداثيات المكانية بواسطة c أو يتم تضمين عوامل c ^±2 في الموتر المتري. ^[92] يمكن استبدال هذه الاتفاقيات العديدة باستخدام وحدات طبيعية حيث c = 1. ثم يكون للمكان والزمان وحدات متكافئة، ولا تظهر عوامل c في أي مكان.

إذا قمنا بتقليص الأبعاد المكانية إلى 2، حتى نتمكن من تمثيل الفيزياء في فضاء ثلاثي الأبعاد، فسنرى أن الخطوط الجيوديسية الصفرية تقع على طول مخروط مزدوج (انظر الشكل 10-2) محدد بالمعادلة؛ أو ببساطة ما هي معادلة دائرة نصف قطرها  c dt . $${\displaystyle ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},}$$ $${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}$$$${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},}$$

إذا قمنا بتوسيع هذا إلى ثلاثة أبعاد مكانية، فإن الجيوديسيات الصفرية هي المخروط رباعي الأبعاد: لذا $${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}$$$${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.}$$

كما هو موضح في الشكل 10-3، يمكن تصور الجيوديسيات الصفرية كمجموعة من المجالات المتحدة المركز المستمرة ذات نصف القطر =  c dt .

يمثل هذا المخروط المزدوج الصفري "خط الرؤية" لنقطة في الفضاء. أي عندما ننظر إلى النجوم ونقول "الضوء القادم من هذا النجم الذي أستقبله عمره X سنة"، فإننا ننظر إلى أسفل خط الرؤية هذا: خط جيوديسي صفري. نحن ننظر إلى حدث على مسافة بعيدة وزمن د / ث في الماضي. ولهذا السبب يُعرف المخروط المزدوج الصفري أيضًا باسم "مخروط الضوء". (تمثل النقطة الموجودة في الجزء السفلي الأيسر من الشكل 10-2 النجم، ويمثل الأصل الراصد، ويمثل الخط "خط الرؤية" الجيوديسي الصفري). ${\textstyle d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}$

المخروط الموجود في منطقة − t هو المعلومات التي "تستقبلها" النقطة، بينما المخروط الموجود في قسم + t هو المعلومات التي "ترسلها" النقطة.

يمكن تصوير هندسة فضاء مينكوفسكي باستخدام مخططات مينكوفسكي ، والتي تعد مفيدة أيضًا في فهم العديد من التجارب الفكرية في النسبية الخاصة.

في الأعلى، يوضح تحويل لورنتز لإحداثيات الزمن وإحداثيات الفضاء الثلاثة أنهما متشابكان. وهذا صحيح بشكل عام: حيث تتحد أزواج معينة من الكميات "الشبيهة بالزمن" و"الشبيهة بالمكان" بشكل طبيعي على قدم المساواة تحت نفس تحويل لورنتز.

يمكن إعادة صياغة تحويل لورنتز في التكوين القياسي أعلاه، أي لتعزيز في اتجاه x ، إلى شكل مصفوفة على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct-\gamma \beta x\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$

في ميكانيكا نيوتن، توصف الكميات التي لها مقدار واتجاه رياضيًا بأنها متجهات ثلاثية الأبعاد في الفضاء الإقليدي، وبشكل عام يتم تحديد معلماتها بالزمن. في النسبية الخاصة، يتم توسيع هذا المفهوم عن طريق إضافة الكمية الزمنية المناسبة إلى كمية متجهة شبيهة بالمكان، ولدينا متجهات رباعية الأبعاد، أو " أربعة متجهات "، في فضاء مينكوفسكي. تتم كتابة مكونات المتجهات باستخدام تدوين مؤشر الموتر ، حيث أن هذا له العديد من المزايا. يوضح التدوين أن المعادلات متباينة بشكل واضح تحت مجموعة بوانكاريه ، وبالتالي تجاوز الحسابات المملة للتحقق من هذه الحقيقة. في بناء مثل هذه المعادلات، غالبًا ما نجد أن المعادلات التي كان يُعتقد سابقًا أنها غير ذات صلة هي في الواقع مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بكونها جزءًا من نفس معادلة الموتر. إن التعرف على الكميات الفيزيائية الأخرى كموتر يبسط قوانين تحويلها. في جميع أنحاء هذا المثال، تعتبر المؤشرات العليا (المؤشرات العلوية) مؤشرات متعارضة وليست أسسًا إلا عندما تشير إلى مربع (يجب أن يكون هذا واضحًا من السياق)، والمؤشرات السفلية (المؤشرات السفلية) مؤشرات متبادلة. وللتبسيط والاتساق مع المعادلات السابقة، سيتم استخدام إحداثيات ديكارت.

أبسط مثال على متجه رباعي هو موضع حدث في الزمكان، والذي يشكل مكونًا زمنيًا ct ومكونًا مكانيًا x = ( x ، y ، z ) ، في متجه رباعي الموضع متضاد مع مكونات: حيث نحدد X ⁰ = ct بحيث يكون لإحداثي الوقت نفس بُعد المسافة مثل الأبعاد المكانية الأخرى؛ بحيث يتم التعامل مع المكان والزمان على قدم المساواة. ^{[93] [94] [95]} الآن يمكن كتابة تحويل المكونات المتضادة لمتجه الموضع رباعي بشكل مضغوط على النحو التالي: حيث يوجد مجموع ضمني على من 0 إلى 3، و هي مصفوفة . $${\displaystyle X^{\nu }=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})=(ct,x,y,z)=(ct,\mathbf {x} ).}$$$${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }X^{\nu }}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

بشكل عام، يتم تحويل جميع المكونات المتضادة لأربعة متجهات من إطار إلى إطار آخر عن طريق تحويل لورنتز : ${\displaystyle T^{\nu }}$$${\displaystyle T^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }T^{\nu }}$$

تتضمن أمثلة المتجهات الأربعة الأخرى السرعة الرباعية ،${\displaystyle U^{\mu }}$ والتي تُعرف بأنها المشتق لمتجه الموضع الرابع بالنسبة للزمن الحقيقي : حيث يكون عامل لورنتز هو: $${\displaystyle U^{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}=\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\gamma (v)(c,\mathbf {v} ).}$$$${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\qquad v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}.}$$

الطاقة النسبية والزخم النسبي لجسم ما هما على التوالي مكونان زمني ومكاني لمتجه رباعي الزخم متضاد التغير : حيث m هي الكتلة الثابتة . ${\displaystyle E=\gamma (v)mc^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m\mathbf {v} }$ $${\displaystyle P^{\mu }=mU^{\mu }=m\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right).}$$

التسارع الرباعي هو المشتق الزمني المناسب للسرعة الرباعية: $${\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}.}$$

إن قواعد التحويل للسرعات والتسارعات ثلاثية الأبعاد صعبة للغاية؛ فحتى في التكوين القياسي تكون معادلات السرعة معقدة للغاية بسبب عدم خطيتها. ومن ناحية أخرى، فإن تحويل السرعات والتسارعات الرباعية الأبعاد يكون أبسط عن طريق مصفوفة تحويل لورنتز.

يتحول التدرج الرباعي لحقل قياسي φ بشكل متغاير وليس بشكل معاكس: وهو ما يمثل النقل لـ: فقط في الإحداثيات الديكارتية. إنه المشتق المتغاير الذي يتحول في التغاير الظاهر، وفي الإحداثيات الديكارتية يحدث هذا للاختزال إلى مشتقات جزئية، ولكن ليس في إحداثيات أخرى. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y'}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z'}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{c}}{\dfrac {\partial \phi }{\partial t}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial y}}&{\dfrac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &+\beta \gamma &0&0\\+\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle (\partial _{\mu '}\phi )=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }(\partial _{\nu }\phi )\qquad \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$$

بشكل عام، مكونات المتغير المشترك لتحويل رباعي المتجهات وفقًا للتحويل العكسي لورنتز: حيث هي المصفوفة العكسية لـ ⁠ ⁠ . $${\displaystyle T_{\mu '}=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }T_{\nu },}$$${\displaystyle \Lambda _{\mu '}{}^{\nu }}$${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

تحدد مسلمات النسبية الخاصة الشكل الدقيق الذي تتخذه مصفوفات تحويل لورنتز.

بشكل عام، يمكن وصف معظم الكميات الفيزيائية على أفضل وجه بأنها (مكونات) للموترات . لذا للتحويل من إطار إلى آخر، نستخدم قانون تحويل الموتر المعروف ^[96] حيث هو مصفوفة مقلوب ⁠ ⁠ . يتم تحويل جميع الموترات بهذه القاعدة. $${\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\phi }T_{\sigma \upsilon \cdots \phi }^{\mu \nu \cdots \rho }}$$${\displaystyle \Lambda _{\chi '}{}^{\psi }}$${\displaystyle \Lambda ^{\chi '}{}_{\psi }}$

مثال على موتر غير متماثل رباعي الأبعاد من الدرجة الثانية هو الزخم الزاوي النسبي ، والذي يتكون من ستة مكونات: ثلاثة هي الزخم الزاوي الكلاسيكي ، والثلاثة الأخرى مرتبطة بزيادة مركز كتلة النظام. المشتق من الزخم الزاوي النسبي فيما يتعلق بالزمن المناسب هو عزم الدوران النسبي، وهو أيضًا موتر غير متماثل من الدرجة الثانية .

موتر المجال الكهرومغناطيسي هو مجال موتر آخر غير متماثل من الدرجة الثانية ، مع ستة مكونات: ثلاثة للمجال الكهربائي وثلاثة أخرى للمجال المغناطيسي . يوجد أيضًا موتر الإجهاد والطاقة للمجال الكهرومغناطيسي، وهو موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي .

يسمح الموتر المتري بتحديد حاصل الضرب الداخلي لمتجهين، والذي يسمح بدوره بتعيين مقدار للمتجه. ونظرًا للطبيعة الرباعية الأبعاد للزمكان، فإن مقياس مينكوفسكي η يحتوي على مكونات (صالحة مع إحداثيات مختارة بشكل مناسب) يمكن ترتيبها في مصفوفة 4 × 4 : والتي تساوي مقلوبها، ⁠ ⁠ ، في تلك الإطارات. طوال الوقت نستخدم العلامات كما هو مذكور أعلاه، ويستخدم مؤلفون مختلفون اتفاقيات مختلفة - انظر علامات مينكوفسكي البديلة المترية .$${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }}$

مجموعة بوانكاريه هي المجموعة الأكثر عمومية للتحويلات التي تحافظ على مقياس مينكوفسكي: وهذا هو التناظر الفيزيائي الذي يكمن وراء النسبية الخاصة. $${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }}$$

يمكن استخدام المقياس لرفع وخفض المؤشرات على المتجهات والموترات. يمكن إنشاء الثوابت باستخدام المقياس، والحاصل الداخلي لمتجه T رباعي المتجهات مع متجه S رباعي المتجهات آخر هو: $${\displaystyle T^{\alpha }S_{\alpha }=T^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }S^{\beta }=T_{\alpha }\eta ^{\alpha \beta }S_{\beta }={\text{invariant scalar}}}$$

تعني كلمة ثابت أنها تأخذ نفس القيمة في جميع الإطارات القصورية، لأنها عددية (موتر رتبة 0)، وبالتالي لا تظهر أي Λ في تحويلها البسيط. حجم المتجه الرباعي T هو الجذر التربيعي الموجب للحاصل الداخلي مع نفسه: $${\displaystyle |\mathbf {T} |={\sqrt {T^{\alpha }T_{\alpha }}}}$$

يمكننا أن نوسع هذه الفكرة لتشمل موتر من الدرجة الأعلى، بالنسبة لموتر من الدرجة الثانية يمكننا تكوين الثوابت: وبالمثل بالنسبة للموتر من الدرجة الأعلى. توفر التعبيرات الثابتة، وخاصة المنتجات الداخلية للمتجهات الأربعة مع نفسها، معادلات مفيدة للحسابات، لأنه لا يحتاج المرء إلى إجراء تحويلات لورنتز لتحديد الثوابت. $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\gamma }T^{\gamma }{}_{\alpha }={\text{invariant scalars}},}$$

تتحول فروق الإحداثيات أيضًا بشكل معاكس: لذا فإن الطول التربيعي لتفاضل متجه الموضع الرباعي dX ^μ المُنشأ باستخدام هو ثابت. لاحظ أنه عندما يكون عنصر الخط d X ² سالبًا فإن √ − d X ² هو تفاضل الزمن المناسب ، بينما عندما يكون d X ² موجبًا فإن √ d X ² هو تفاضل المسافة المناسبة . $${\displaystyle dX^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }dX^{\nu }}$$$${\displaystyle d\mathbf {X} ^{2}=dX^{\mu }\,dX_{\mu }=\eta _{\mu \nu }\,dX^{\mu }\,dX^{\nu }=-(c\,dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$$

إن السرعة الرباعية U ^μ لها شكل ثابت: مما يعني أن جميع متجهات السرعة الرباعية لها مقدار c . وهذا تعبير عن حقيقة أنه لا يوجد شيء مثل السكون الإحداثي في ​​النسبية: على الأقل، أنت تتحرك دائمًا للأمام عبر الزمن. ينتج عن التمييز بين المعادلة أعلاه بواسطة τ ما يلي: لذا في النسبية الخاصة، يكون متجه التسارع الرباعي ومتجه السرعة الرباعي متعامدين. $${\displaystyle \mathbf {U} ^{2}=\eta _{\nu \mu }U^{\nu }U^{\mu }=-c^{2}\,,}$$$${\displaystyle 2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.}$$

إن المقدار الثابت لمتجه الزخم الرباعي يولد علاقة الطاقة بالزخم : $${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }P_{\mu }P_{\nu }=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}.}$$

يمكننا أن نستنتج ما هو هذا الثابت من خلال القول أولاً بأنه نظرًا لأنه قياسي، فلا يهم في أي إطار مرجعي نحسبه، ثم من خلال التحويل إلى إطار حيث يكون الزخم الكلي صفرًا. $${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=-\left({\frac {E_{\text{rest}}}{c}}\right)^{2}=-(mc)^{2}.}$$

نرى أن طاقة السكون ثابتة مستقلة. ويمكن حساب طاقة السكون حتى بالنسبة للجسيمات والأنظمة المتحركة، من خلال ترجمتها إلى إطار يكون فيه الزخم صفرًا.

ترتبط طاقة السكون بالكتلة وفقًا للمعادلة الشهيرة التي ناقشناها أعلاه: $${\displaystyle E_{\text{rest}}=mc^{2}.}$$

كتلة الأنظمة المقاسة في إطار مركز الزخم (حيث الزخم الكلي يساوي صفرًا) تُعطى بواسطة الطاقة الكلية للنظام في هذا الإطار. وقد لا تكون مساوية لمجموع كتل الأنظمة الفردية المقاسة في إطارات أخرى.

لاستخدام قانون نيوتن الثالث للحركة ، يجب تعريف كلتا القوتين على أنهما معدل تغير الزخم بالنسبة لنفس إحداثيات الوقت. أي أن الأمر يتطلب القوة ثلاثية الأبعاد المحددة أعلاه. لسوء الحظ، لا يوجد موتر في 4D يحتوي على مكونات متجه القوة ثلاثي الأبعاد بين مكوناته.

إذا لم يكن الجسيم يتحرك بسرعة c ، فيمكن تحويل القوة ثلاثية الأبعاد من الإطار المرجعي المتحرك للجسيم إلى الإطار المرجعي للمراقب. وهذا ينتج عنه متجه رباعي يسمى القوة الرباعية . وهو معدل تغير متجه الطاقة وزخم الحركة الرباعي المذكور أعلاه فيما يتعلق بالوقت المناسب. والنسخة المتغيرة من القوة الرباعية هي: $${\displaystyle F_{\nu }={\frac {dP_{\nu }}{d\tau }}=mA_{\nu }}$$

في إطار الراحة للجسم، يكون مكون الوقت للقوة الرباعية صفرًا ما لم تتغير " الكتلة الثابتة " للجسم (يتطلب هذا نظامًا غير مغلق يتم فيه إضافة أو إزالة الطاقة/الكتلة مباشرة من الجسم) وفي هذه الحالة يكون سالبًا لمعدل تغير الكتلة، مضروبًا في c . بشكل عام، على الرغم من ذلك، فإن مكونات القوة الرباعية لا تساوي مكونات القوة الثلاثية، لأن القوة الثلاثية تُعرف بمعدل تغير الزخم بالنسبة إلى زمن الإحداثيات، أي dp / dt بينما تُعرف القوة الرباعية بمعدل تغير الزخم بالنسبة إلى الزمن الحقيقي، أي dp / dτ .

في وسط مستمر، تتحد كثافة القوة ثلاثية الأبعاد مع كثافة القدرة لتكوين متجه متغير رباعي الأبعاد. الجزء المكاني هو نتيجة تقسيم القوة على خلية صغيرة (في فضاء ثلاثي الأبعاد) على حجم تلك الخلية. مكون الوقت هو −1/ c مضروبًا في القدرة المنقولة إلى تلك الخلية مقسومًا على حجم الخلية. سيتم استخدام هذا أدناه في القسم الخاص بالكهرومغناطيسية.

الناس

• ماكس بلانك
• هيرمان مينكوفسكي
• ماكس فون لاوي
• أرنولد سومرفيلد
• ماكس بورن
• ميليفا ماريتش

النسبية

• تاريخ النسبية الخاصة
• النسبية الخاصة المزدوجة
• حساب التفاضل والتكامل بوندي
• مزامنة أينشتاين
• حجة رييدجيك-بوتنام
• النسبية الخاصة (الصيغ البديلة)
• نزاع حول أولوية النسبية

الفيزياء

• تجارب فكرية لأينشتاين
• علم الكونيات الفيزيائي
• معادلات أويلر النسبية
• نظرية لورنتز للأثير
• مشكلة المغناطيس المتحرك والموصل
• تشكيل الموجات
• التوصيل الحراري النسبي
• القرص النسبي
• صلابة المولود
• إحداثيات الميلاد

الرياضيات

• مجموعة لورنتز
• النسبية في صيغة APS

فلسفة

• الواقعية
• تقاليد

المفارقات

• مفارقة إيرنفست
• مفارقة سفينة الفضاء بيل
• مفارقة تركيب السرعة
• مفارقة المنارة

• أينشتاين، ألبرت (1920). النسبية: النظرية الخاصة والعامة .
• أينشتاين، ألبرت (1996). معنى النسبية . فاين كوميونيكيشنز. ISBN 1-56731-136-9 
• لوغونوف، أناتولي أ. (2005). هنري بوانكاريه ونظرية النسبية (ترجمة من الروسية بواسطة ج. بونتوكورفو وف. أو. سولوفييف، تحرير ف. أ. بتروف). نوكا، موسكو.

• تشارلز ميسنر ، وكيب ثورن ، وجون أرشيبالد ويلر (1971) الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-0334-3 
• Post, EJ, 1997 (1962) البنية الرسمية للكهرومغناطيسية: التغاير العام والكهرومغناطيسية . منشورات دوفر.
• ولفجانج ريندلر (1991). مقدمة إلى النسبية الخاصة (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-853952-0 ؛ ISBN 0-19-853952-5  
• هارفي ر. براون (2005). النسبية الفيزيائية: بنية الزمكان من منظور ديناميكي، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 0-19-927583-1 ؛ رقم ISBN 978-0-19-927583-0  
• قادر، أصغر (1989). النسبية: مقدمة للنظرية الخاصة. سنغافورة: منشورات علمية عالمية . ص. 128. رمز الكتاب : 1989rist.book.....Q. ISBN 978-9971-5-0612-4.
• الفرنسية، AP (1968). النسبية الخاصة (فيزياء تمهيدية لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) (الطبعة الأولى). WW Norton & Company. ISBN 978-0393097931.
• سيلبرشتاين، لودويك (1914). نظرية النسبية .
• لورانس سكلار (1977). الفضاء والزمان والزمكان. مطبعة جامعة كاليفورنيا. ISBN 978-0-520-03174-6.
• لورانس سكلار (1992). فلسفة الفيزياء . مطبعة وست فيو. رقم ISBN 978-0-8133-0625-4.
• سيرجي ستيبانوف (2018). العالم النسبي. دي جرويتر. رقم ISBN 9783110515879.
• تايلور، إدوين، وجون أرشيبالد ويلر (1992). فيزياء الزمكان (الطبعة الثانية). دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-2327-1 . 
• تيبلر، بول، ولوويلين، رالف (2002). الفيزياء الحديثة (الطبعة الرابعة). دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-4345-0 . 

• ألفاجير، ت.؛ فارلي، ف. ج. م.؛ كجيلمان، ج.؛ والين، ل.؛ وآخرون. (1964). "اختبار الفرضية الثانية للنسبية الخاصة في منطقة الجيغا إلكترون فولت". رسائل الفيزياء . 12 (3): 260-262. رمز Bibcode :1964PhL....12..260A. doi :10.1016/0031-9163(64)91095-9.
• داريجول، أوليفييه (2004). "لغز العلاقة بين بوانكاريه وأينشتاين". إيزيس . 95 (4): 614-26. doi :10.1086/430652. PMID  16011297. S2CID  26997100.
• وولف، بيتر؛ بيتيت، جيرارد (1997). "اختبار النسبية الخاصة باستخدام الأقمار الصناعية باستخدام نظام تحديد المواقع العالمي". المراجعة الفيزيائية أ . 56 (6): 4405-09. رمز Bibcode :1997PhRvA..56.4405W. doi :10.1103/PhysRevA.56.4405.
• موسوعة النسبية الخاصة
• ريندلر، ولفجانج (2011). "النسبية الخاصة: الحركة". سكولاربيديا . 6 (2): 8520. رمز Bibcode :2011SchpJ...6.8520R. doi : 10.4249/scholarpedia.8520 .

• Zur Elektrodynamik bewegter العمل الأصلي لكوربر أينشتاين باللغة الألمانية، Annalen der Physik ، برن 1905
• حول الديناميكا الكهربائية للأجسام المتحركة الترجمة الإنجليزية كما نشرت في كتاب مبدأ النسبية عام 1923 .

• ضوء أينشتاين مقدمة غير تقنية (مقاطع أفلام وعروض توضيحية) حائزة على جوائز، مدعومة بعشرات الصفحات من التوضيحات والرسوم المتحركة الإضافية، على المستويات مع أو بدون الرياضيات.
• مقدمة لنظرية النسبية ، من معهد ماكس بلانك للفيزياء الجاذبية.
• الصوت: Cain/Gay (2006) – Astronomy Cast. نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين

• حساب بوندي ك – مقدمة بسيطة للنظرية النسبية الخاصة.
• Greg Egan's Foundations Archived 2013-04-25 at the Wayback Machine.
• The Hogg Notes on Special Relativity A good introduction to special relativity at the undergraduate level, using calculus.
• Relativity Calculator: Special Relativity Archived 2013-03-21 at the Wayback Machine – An algebraic and integral calculus derivation for E = mc².
• MathPages – Reflections on Relativity A complete online book on relativity with an extensive bibliography.
• Special Relativity An introduction to special relativity at the undergraduate level.
• Relativity: the Special and General Theory at Project Gutenberg, by Albert Einstein
• Special Relativity Lecture Notes is a standard introduction to special relativity containing illustrative explanations based on drawings and spacetime diagrams from Virginia Polytechnic Institute and State University.
• Understanding Special Relativity The theory of special relativity in an easily understandable way.
• An Introduction to the Special Theory of Relativity (1964) by Robert Katz, "an introduction ... that is accessible to any student who has had an introduction to general physics and some slight acquaintance with the calculus" (130 pp; pdf format).
• Lecture Notes on Special Relativity by J D Cresser Department of Physics Macquarie University.
• SpecialRelativity.net – An overview with visualizations and minimal mathematics.
• Relativity 4-ever? The problem of superluminal motion is discussed in an entertaining manner.

• Raytracing Special Relativity Software visualizing several scenarios under the influence of special relativity.
• Real Time Relativity Archived 2013-05-08 at the Wayback Machine The Australian National University. Relativistic visual effects experienced through an interactive program.
• Spacetime travel A variety of visualizations of relativistic effects, from relativistic motion to black holes.
• Through Einstein's Eyes Archived 2013-05-14 at the Wayback Machine The Australian National University. Relativistic visual effects explained with movies and images.
• Warp Special Relativity Simulator A computer program to show the effects of traveling close to the speed of light.
• Animation clip on YouTube visualizing the Lorentz transformation.
• Original interactive FLASH Animations from John de Pillis illustrating Lorentz and Galilean frames, Train and Tunnel Paradox, the Twin Paradox, Wave Propagation, Clock Synchronization, etc.
• lightspeed An OpenGL-based program developed to illustrate the effects of special relativity on the appearance of moving objects.
• Animation showing the stars near Earth, as seen from a spacecraft accelerating rapidly to light speed.