باي

يستخدم علماء الرياضيات الحرف اليوناني الصغير π ، الذي يُكتب أحيانًا pi ، لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها . ^{[ 1 ]} في اللغة الإنجليزية، يُنطق π كـ "pie" ( / paɪ / PY ). ^{[ 2 ]} في الاستخدام الرياضي، يُفرّق الحرف الصغير π عن نظيره الكبير والمُكبّر Π ، الذي يدل على حاصل ضرب متتابعة ، على غرار دلالة Σ على المجموع .

تمت مناقشة اختيار الرمز π في القسم §  اعتماد الرمز π .

يُعرَّف π عادةً بأنه نسبة محيط الدائرة C إلى قطرها d :$${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$$ في الهندسة الإقليدية ، النسبة${\textstyle {\frac {C}{d}}}$تظل النسبة ثابتة بغض النظر عن حجم الدائرة. على سبيل المثال، إذا كان قطر دائرة ما ضعف قطر دائرة أخرى، فسيكون محيطها أيضًا ضعف محيط دائرة أخرى، مما يحافظ على النسبة.${\textstyle {\frac {C}{d}}}$[ ^{3 ]​}

هنا، محيط الدائرة هو طول القوس حول محيطها ، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا باستخدام النهايات - وهو مفهوم في حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، يمكن حساب طول قوس النصف العلوي من دائرة الوحدة مباشرةً، والمعطى بالإحداثيات الديكارتية، من خلال المعادلة التالية: ${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$، كتكامل : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

تم اقتراح تكامل كهذا كتعريف لـ π من قبل كارل فايرشتراس ، الذي عرّفه مباشرة على أنه تكامل في عام 1841. ^{[ أ ]}

لم يعد التكامل شائع الاستخدام في التعريف التحليلي الأولي، لأنه كما يوضح ريمرت (2012) ، عادةً ما يسبق حساب التفاضل حساب التكامل في المناهج الجامعية، لذا يُفضّل وجود تعريف لـ π لا يعتمد على الأخير. أحد هذه التعريفات، الذي وضعه ريتشارد بالتزر ^{[ 7 ]} وشاع استخدامه بفضل إدموند لانداو [ ^{8 ]،} هو التالي: π هو ضعف أصغر عدد موجب تكون عنده دالة جيب التمام مساوية للصفر. ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 9 ] π} هو أيضًا أصغر عدد موجب تكون عنده دالة الجيب مساوية للصفر، وهو الفرق بين ^أي صفرين متتاليين لدالة الجيب. يمكن تعريف جيب التمام والجيب بشكل مستقل عن الهندسة كمتسلسلة قوى [ ^{10 ]} أو كحل لمعادلة تفاضلية . ^{[ 9 ]}

وبالمثل، يمكن تعريف π باستخدام خصائص الدالة الأسية المركبة ، exp z ، لمتغير مركب z . وكما هو الحال مع دالة جيب التمام، يمكن تعريف الدالة الأسية المركبة بعدة طرق. وتكون مجموعة الأعداد المركبة التي تساوي فيها exp z واحدًا متتابعة حسابية (تخيلية) على الصورة التالية: $${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$ ويوجد عدد حقيقي موجب وحيد π يتمتع بهذه الخاصية. ^{[ 5 ] [ 11 ]}

π عدد غير نسبي ، أي أنه لا يمكن كتابته كنسبة بين عددين صحيحين . تُستخدم الكسور مثل 22/7 و 355 / 113 عادةً لتقريب قيمة π ، ولكن لا يوجد كسر عادي (نسبة بين عددين صحيحين) يمكن أن يكون قيمته الدقيقة. ^{[ 12 ]} ولأن π عدد غير نسبي ، فإن تمثيله العشري يتكون من عدد لا نهائي من الأرقام ، ولا يتخذ نمطًا متكررًا لا نهائيًا من الأرقام. هناك عدة براهين على أن π عدد غير نسبي ؛ وهي عمومًا براهين بالتناقض وتتطلب حساب التفاضل والتكامل. إن درجة إمكانية تقريب π بالأعداد النسبية (وتُسمى مقياس اللاعقلانية ) غير معروفة بدقة؛ وقد أثبتت التقديرات أن مقياس اللاعقلانية أكبر من أو يساوي على الأقل مقياس العدد e، ولكنه أصغر من مقياس أعداد ليوفيل . ^{[ 13 ]}

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

يكون${\displaystyle \pi }$رقم طبيعي ؟

المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

لا تتبع أرقام العدد π نمطًا واضحًا، وقد اجتازت اختبارات العشوائية الإحصائية ، بما في ذلك اختبارات التوزيع الطبيعي ؛ ويُطلق على العدد ذي الطول اللانهائي اسم العدد الطبيعي عندما تظهر جميع تسلسلات الأرقام الممكنة (بأي طول مُعطى) بنفس التواتر. ولم يتم إثبات أو دحض فرضية أن π عدد طبيعي. ^{[ 14 ]}

منذ ظهور الحواسيب، أصبح عدد كبير من أرقام π متاحًا لإجراء التحليلات الإحصائية. وقد أجرى ياسوماسا كانادا تحليلات إحصائية مفصلة على الأرقام العشرية لـ π ، ووجد أنها تتوافق مع التوزيع الطبيعي؛ فعلى سبيل المثال، خضعت ترددات الأرقام العشرة من 0 إلى 9 لاختبارات الدلالة الإحصائية ، ولم يُعثر على أي دليل على وجود نمط. ^{[ 15 ]} أي تسلسل عشوائي من الأرقام يحتوي على تسلسلات فرعية طويلة بشكل تعسفي تبدو غير عشوائية، وفقًا لنظرية القرد اللانهائي . وبالتالي، ولأن تسلسل أرقام π يجتاز الاختبارات الإحصائية للعشوائية، فإنه يحتوي على بعض تسلسلات الأرقام التي قد تبدو غير عشوائية، مثل تسلسل ستة أرقام 9 متتالية يبدأ من الخانة العشرية 762 في التمثيل العشري لـ π . ^{[ 16 ]}

إضافةً إلى كونه عددًا غير نسبي، فإن π هو أيضًا عدد متسامٍ ، مما يعني أنه ليس حلاً لأي معادلة متعددة الحدود غير ثابتة ذات معاملات نسبية ، مثل${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$[ ^{17 ] [ ب ]} هذا يتبع من ما يسمى بنظرية ليندمان-فايرشتراس ^، والتي تثبت أيضًا تجاوز الثابت e . ^{[ 17 ]}

إن تجاوز π له نتيجتان مهمتان: أولاً، لا يمكن التعبير عن π باستخدام أي توليفة محدودة من الأعداد النسبية والجذور التربيعية أو الجذور النونية ( مثل${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$أو${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ثانيًا، بما أنه لا يمكن إنشاء عدد متسامٍ باستخدام الفرجار والمسطرة ، فإنه من المستحيل " تربيع الدائرة ". بعبارة أخرى، يستحيل إنشاء مربع باستخدام الفرجار والمسطرة فقط، بحيث تكون مساحته مساوية تمامًا لمساحة دائرة معينة. ^{[ 18 ]} كان تربيع الدائرة من أهم مسائل الهندسة في العصور الكلاسيكية القديمة . ^{[ 19 ]} وقد حاول بعض هواة الرياضيات في العصر الحديث تربيع الدائرة وزعموا نجاحهم ، على الرغم من استحالة ذلك رياضيًا. ^{[ 20 ]} 

لا تزال مسألة ما إذا كان العددان π و e مستقلين جبريًا (أي متساميين نسبيًا) غير محلولة حتى الآن . ويمكن حل هذه المسألة من خلال حدسية شانيل ^{[ 21 ]} ، وهي تعميم غير مثبت حاليًا لنظرية ليندمان-فايرشتراس. ^{[ 22 ]} 

بما أن π عدد غير نسبي، فلا يمكن تمثيله ككسر عادي . ومع ذلك، مثل أي عدد، يمكن تمثيل π بسلسلة لانهائية من الكسور المتداخلة، والتي تسمى الكسر المستمر البسيط .

$${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots) }}}}}}}}}}}}}}}$$

يؤدي اقتطاع الكسر المستمر عند أي نقطة إلى تقريب كسري لـ π ؛ أول أربعة منها هي 3 ، و 22 / 7 ، و 333 / 106 ، و 355 / 113 . تُعد هذه الأعداد من بين أشهر التقريبات التاريخية وأكثرها استخدامًا لهذا الثابت. كل تقريب يتم توليده بهذه الطريقة هو أفضل تقريب كسري؛ أي أن كل تقريب منها أقرب إلى π من أي كسر آخر له نفس المقام أو مقام أصغر . ^{[ 23 ]} ولأن π عدد متسامٍ، فهو بحكم التعريف ليس جبريًا، وبالتالي لا يمكن أن يكون عددًا غير نسبي تربيعي . لذلك، لا يمكن أن يكون لـ π كسر مستمر دوري . على الرغم من أن الكسر المستمر البسيط لـ π (مع بسط جميعها 1، كما هو موضح أعلاه) لا يُظهر أي نمط واضح آخر، ^{[ 24 ] [ 25 ]} فإن العديد من الكسور المستمرة غير البسيطة تُظهر ذلك، مثل: ^{[ 26 ] [ ج ]}

تتضمن بعض التقريبات لقيمة باي ما يلي :

• الأعداد الصحيحة : 3
• الكسور : تشمل الكسور التقريبية ( مرتبة حسب تزايد الدقة ) 22/7 ، 333/106 ، 355/113 ، 52163/16604 ، 103993/33102 ، 104348/33215 ، و 245850922 / 78256779 . [ 23 ] ( القائمة عبارة عن ^{مصطلحات} مختارة من OEIS : A063674 و OEIS : A063673 ) .​​​​​​^​​​  
• الأرقام : أول 50 رقمًا عشريًا هي 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^{[ 27 ]} (انظر OEIS : A000796  )

الأرقام في أنظمة الأرقام الأخرى

• الأرقام الثنائية الـ 48 الأولى ( الأساس 2) (تسمى بتات ) هي 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (انظر OEIS : A004601  )
• الأرقام الـ 36 الأولى في النظام الثلاثي (الأساس 3) هي 10.010 211 012 222 010 211 002 111 110 221 222 220... (انظر OEIS : A004602  )
• الأرقام العشرون الأولى في النظام الست عشري (الأساس 16) هي 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^{[ 28 ]} (انظر OEIS : A062964  )
• الأرقام الخمسة الأولى في النظام الستيني (الأساس 60) هي 3؛8،29،44،0،47 ^{[ 29 ]} (انظر OEIS : A060707  )

يمكن التعبير عن أي عدد مركب ، ولنقل z ، باستخدام زوج من الأعداد الحقيقية . في نظام الإحداثيات القطبية ، يُستخدم أحد العددين ( نصف القطر أو r ) لتمثيل بُعد z عن نقطة الأصل في المستوى المركب ، والآخر (الزاوية أو φ ) يمثل الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة من خط الأعداد الحقيقية الموجبة: ^{[ 30 ]}

$${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$

حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق${\displaystyle i^{2}=-1}$. يمكن ربط الظهور المتكرر لـ π في التحليل المركب بسلوك الدالة الأسية لمتغير مركب، والتي يصفها صيغة أويلر : ^{[ 31 ]}

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$

حيث يمثل الثابت e أساس اللوغاريتم الطبيعي . تُنشئ هذه الصيغة علاقة بين القوى التخيلية لـ e ونقاط على دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل في المستوى المركب.${\displaystyle \varphi =\pi }$ينتج عن صيغة أويلر هوية أويلر ، التي تشتهر في الرياضيات لاحتوائها على خمسة ثوابت رياضية مهمة: ^{[ 31 ] [ 32 ]}

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

يوجد n عددًا مركبًا مختلفًا z يحقق ⁠${\displaystyle z^{n}=1}$وتسمى هذه "الجذور النونية للوحدة " [ ^{33 ] ويتم} إعطاؤها بالصيغة التالية:

$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

كانت أول خوارزمية مسجلة لحساب قيمة π بدقة هي منهج هندسي باستخدام المضلعات ، ابتكره  عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس حوالي عام 250 قبل الميلاد ، مُطبقًا طريقة الاستنفاد . ^{[ 37 ]} هيمنت هذه الخوارزمية المضلعية لأكثر من 1000 عام، ونتيجة لذلك يُشار إلى π أحيانًا باسم ثابت أرخميدس. ^{[ 38 ]} حسب أرخميدس الحدين الأعلى والأدنى لـ π برسم سداسي منتظم داخل وخارج دائرة، ومضاعفة عدد الأضلاع تباعًا حتى وصل إلى مضلع منتظم ذي 96 ضلعًا . بحساب محيطات هذه المضلعات، أثبت أن 223/71 < π < 22/7 ( أي 3.1408 < π < 3.1429 ) . ^{[ 39 ]} ربما أدى الحد الأعلى الذي وضعه أرخميدس ، وهو 22/7 ، إلى انتشار الاعتقاد الشعبي بأن π يساوي 22/7 . ^[ 40 ] حوالي عام 150 ميلادي ، أعطى العالم اليوناني الروماني بطليموس ^، في كتابه المجسطي ، قيمة لـ π تبلغ 3.1416، والتي ربما يكون قد حصل ^عليها من أرخميدس أو من أبولونيوس البرغي . ^{[ 41 ] [ 42 ]} 

في الصين القديمة ، تضمنت قيم π 3.1547 (حوالي عام 1  ميلادي)،${\displaystyle {\sqrt {10}}}$(100  ميلادي، حوالي 3.1623)، و 142 / 45 ( القرن الثالث، حوالي 3.1556). ^{[ 43 ]} حوالي عام 265 ميلادي ، ابتكر عالم الرياضيات ليو هوي، من عهد تساو وي، خوارزمية تكرارية تعتمد على المضلعات ، استخدمها لإنشاء مضلع ذي 3072 ضلعًا لتقريب قيمة π إلى 3.1416. ^{[ 44 ] [ 45 ]} لاحقًا، ابتكر ليو طريقة أسرع لحساب π وحصل على قيمة 3.14 باستخدام مضلع ذي 96 ضلعًا، مستفيدًا من حقيقة أن الفروق في مساحة المضلعات المتتالية تُشكل متسلسلة هندسية بمعامل 4. ^{[ 44 ]} حوالي عام 480 ميلادي، حسب زو تشونغ تشي أن    ${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$واقترح التقريبات${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035\ldots }$و${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857\ldots }$، والتي أطلق عليها اسم " ميلو " (نسبة التقارب) و " يويلو " (نسبة التقريب) على التوالي، وذلك بتكرار العملية باستخدام خوارزمية ليو هوي حتى مضلع ذي 12288 ضلعًا. وبفضل القيمة الصحيحة لأول سبعة أرقام عشرية، ظلت نتيجة زو هي أدق تقريب لقيمة π على مدى 800 عام تالية. ^{[ 46 ]}

استخدم الفلكي الهندي أريابهاتا قيمة 3.1416 في كتابه "أريابهاتيا" (499  م). ^{[ 47 ]} وفي حوالي عام 1220، حسب فيبوناتشي القيمة 3.1418 باستخدام طريقة مضلعية طُوِّرت بشكل مستقل عن أرخميدس. ^{[ 48 ]} ويبدو أن الكاتب الإيطالي دانتي قد استخدم هذه القيمة.${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$[ ^{48 ]​}

أنتج الفلكي الفارسي جمشيد الكاشي تسعة أرقام ستينية ، أي ما يعادل تقريبًا 16 رقمًا عشريًا، في عام 1424، باستخدام مضلع ذي${\textstyle 3\times 2^{28}}$^{[ 49 ]} وهو الرقم القياسي العالمي الذي ظل قائماً لمدة 180 عاماً تقريباً. ^{[ 50 ]} وفي عام 1579، حقق عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت تسعة أرقام باستخدام مضلع من${\textstyle 3\times 2^{17}}$^[ 50 ^] وصل عالم الرياضيات الفلمنكي أدريان فان رومين إلى 15 منزلة عشرية عام 1593. ^{[ 50 ]} وفي عام 1596، وصل عالم الرياضيات الهولندي ^لودولف فان كولين إلى 20 رقمًا، وهو رقم قياسي رفعه لاحقًا إلى 35 رقمًا (ونتيجة لذلك، أُطلق على π اسم "عدد لودولف" في ألمانيا حتى أوائل القرن العشرين). ^{[ 51 ]} ووصل العالم الهولندي ويليبرورد سنيليوس إلى 34 رقمًا عام 1621، ^{[ 52 ]} ووصل عالم الفلك النمساوي كريستوف غرينبرغر إلى 38 رقمًا عام 1630 باستخدام 1040 ^ضلعًا . ^{[ 53 ]} وتمكن كريستيان هويغنز من الوصول إلى 10 منازل عشرية عام 1654 باستخدام طريقة مختلفة قليلاً تُعادل استقراء ريتشاردسون . ^{[ 54 ]}

أحدث تطوير تقنيات المتسلسلات اللانهائية في القرنين السادس عشر والسابع عشر ثورةً في حساب قيمة π . المتسلسلة اللانهائية هي مجموع حدود متتالية لانهائية . وقد مكّنت المتسلسلات اللانهائية علماء الرياضيات من حساب π بدقةٍ تفوق بكثير دقة أرخميدس وغيره ممن استخدموا التقنيات الهندسية. ^{[ 55 ]} مع أن المتسلسلات اللانهائية استُخدمت لحساب π بشكلٍ ملحوظ من قِبل علماء رياضيات أوروبيين مثل جيمس غريغوري وغوتفريد فيلهلم لايبنتز ، إلا أن هذا النهج ظهر أيضًا في مدرسة كيرالا في القرنين الرابع عشر أو الخامس عشر. ^{[ 56 ] [ 57 ]} وفي حوالي عام 1500، قدّم نيلاكانثا سوماياجي في كتابه "تانتراسامغراها " متسلسلة لانهائية يمكن استخدامها لحساب π ، مكتوبة على شكل أبيات شعرية سنسكريتية . ^{[ 56 ]} عُرضت المتسلسلات دون برهان، ولكن البراهين وردت في العمل اللاحق "يوكتيبهاشا" ، الذي نُشر حوالي عام 1530. وصف العمل عدة متسلسلات لانهائية، بما في ذلك متسلسلات الجيب (التي ينسبها نيلاكانثا إلى مادهافا من "سانغاماغراما ")، وجيب التمام، وظل الزاوية العكسي، والتي تُعرف أحيانًا باسم متسلسلات مادهافا . وتُسمى متسلسلة ظل الزاوية العكسي أحيانًا متسلسلة غريغوري أو متسلسلة غريغوري-لايبنيتز. ^{[ 56 ]} استخدم مادهافا المتسلسلات اللانهائية لتقدير قيمة π إلى 11 رقمًا حوالي عام 1400. ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}

في عام 1593، نشر فرانسوا فييت ما يُعرف الآن باسم صيغة فييت ، وهو ناتج لانهائي (بدلاً من مجموع لانهائي ، والذي يُستخدم عادةً في حسابات π ): ^{[ 61 ]}

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

في عام 1655، نشر جون واليس ما يُعرف الآن باسم منتج واليس ، وهو أيضًا منتج لانهائي: ^{[ 62 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

في ستينيات القرن السابع عشر، اكتشف العالم الإنجليزي إسحاق نيوتن والرياضي الألماني غوتفريد فيلهلم لايبنتز علم التفاضل والتكامل ، مما أدى إلى تطوير العديد من المتسلسلات اللانهائية لتقريب قيمة π . استخدم نيوتن نفسه متسلسلة دالة الجيب العكسي لحساب تقريب مكون من 15 رقمًا لقيمة π في عام 1665 أو 1666، وكتب: "أشعر بالخجل من إخباركم بعدد الأرقام التي استخدمتها في هذه الحسابات، إذ لم يكن لدي أي عمل آخر في ذلك الوقت." ^{[ 63 ]}

في عام 1671، اكتشف جيمس جريجوري ، وبشكل مستقل، اكتشف لايبنتز في عام 1673، متسلسلة تايلور لتوسيع دالة الظل العكسي : ^{[ 56 ] [ 64 ] [ 65 ]}

$${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

هذه السلسلة، التي تسمى أحيانًا سلسلة غريغوري-لايبنيتز ، تساوي${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$عند تقييمها باستخدام${\displaystyle z=1}$[ ^{65 ]} لولا^​​​${\displaystyle {1}}$، يتقارب ببطء غير عملي (أي يقترب من الإجابة تدريجياً جداً)، ويستغرق حوالي عشرة أضعاف عدد الحدود لحساب كل رقم إضافي. ^{[ 66 ]}

في عام 1699، استخدم عالم الرياضيات الإنجليزي أبراهام شارب متسلسلة غريغوري-لايبنيتز لـ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$لحساب قيمة π إلى 71 رقمًا، محطمًا الرقم القياسي السابق البالغ 39 رقمًا، والذي تم تحقيقه باستخدام خوارزمية مضلعية. ^{[ 67 ]}

في عام 1706، استخدم جون ماشين سلسلة غريغوري-ليبنيز لإنتاج خوارزمية تقاربت بشكل أسرع بكثير: ^{[ 68 ] [ 69 ] [ 70 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

وصل ماشين إلى 100 رقم من أرقام π باستخدام هذه الصيغة. ^{[ 71 ]} ابتكر رياضيون آخرون صيغًا مشابهة، تُعرف الآن باسم صيغ ماشين ، والتي استُخدمت لتحقيق العديد من الأرقام القياسية المتتالية في حساب أرقام π . ^{[ 72 ] [ 71 ]}

قام إسحاق نيوتن بتسريع تقارب سلسلة غريغوري-ليبنيز في عام 1684 (في عمل غير منشور؛ اكتشف آخرون النتيجة بشكل مستقل): ^{[ 73 ]}

قام ليونارد أويلر بنشر هذه السلسلة في كتابه المدرسي عن حساب التفاضل والتكامل عام 1755، واستخدمها لاحقًا مع صيغ شبيهة بصيغ ماشين، بما في ذلك${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$والتي تمكن من خلالها من حساب 20 رقمًا من π في ساعة واحدة. ^{[ 74 ]}

في عام 1844، سجل زكرياس داس رقماً قياسياً، حيث استخدم صيغة شبيهة بصيغة ماشين لحساب 200 رقم عشري من π ذهنياً بناءً على طلب عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس . ^{[ 75 ]} ظلت الصيغ الشبيهة بصيغة ماشين الطريقة الأكثر شيوعاً لحساب π حتى عصر الحواسيب، واستُخدمت لتسجيل أرقام قياسية لمدة 250 عاماً، وبلغت ذروتها في تقريب مكون من 620 رقماً في عام 1946 على يد دانيال فيرغسون - وهو أفضل تقريب تم تحقيقه دون استخدام آلة حاسبة. ^{[ 76 ]} 

في عام 1853، قام عالم الرياضيات البريطاني ويليام شانكس بحساب قيمة π حتى 607 أرقام، لكنه أخطأ في الرقم 528، مما جعل جميع الأرقام اللاحقة غير صحيحة. ورغم أنه قام بحساب 100 رقم إضافي في عام 1873، ليصل المجموع إلى 707، إلا أن خطأه السابق جعل جميع الأرقام الجديدة غير صحيحة أيضاً. ^{[ 77 ]}

معدل التقارب

تتقارب بعض المتسلسلات اللانهائية لـ π أسرع من غيرها. عند اختيار متسلسلتين لانهائيتين لـ π ، يميل علماء الرياضيات عمومًا إلى استخدام المتسلسل الأسرع تقاربًا، لأن التقارب الأسرع يقلل من حجم العمليات الحسابية اللازمة لحساب π بدقة معينة. ^{[ 78 ]} ومن المتسلسلات اللانهائية البسيطة لـ π متسلسلة غريغوري-لايبنيز : ^{[ 79 ]}

$${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$

مع إضافة حدود هذه المتسلسلة اللانهائية إلى المجموع، يقترب المجموع الكلي تدريجيًا من π ، ومع عدد كافٍ من الحدود ، يمكن أن يقترب من π بالقدر المطلوب. إلا أن التقارب بطيء جدًا، فبعد 500,000 حد، لا ينتج سوى خمسة أرقام عشرية صحيحة لـ π . ^{[ 80 ]}   

المتسلسلة اللانهائية لـ π (التي نشرها نيلاكانثا في القرن الخامس عشر) والتي تتقارب بشكل أسرع من متسلسلة غريغوري-لايبنيتز هي: ^{[ 81 ] [ 82 ]}

$${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$

يقارن الجدول التالي معدلات التقارب لهاتين السلسلتين:

المتسلسلات اللانهائية لـ π	بعد الفصل الدراسي الأول	بعد الفصل الدراسي الثاني	بعد الفصل الدراسي الثالث	بعد الفصل الدراسي الرابع	بعد الفصل الدراسي الخامس	يتقارب إلى:
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots }$	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	π = 3.1415 ...
${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-\cdots }$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

بعد خمسة حدود، يكون مجموع متسلسلة غريغوري-لايبنيتز ضمن نطاق 0.2 من القيمة الصحيحة لـ π ، بينما يكون مجموع متسلسلة نيلاكانثا ضمن نطاق 0.002 من القيمة الصحيحة. تتقارب متسلسلة نيلاكانثا بشكل أسرع، وهي أكثر فائدة لحساب أرقام π . ومن المتسلسلات التي تتقارب بشكل أسرع متسلسلة ماشين ومتسلسلة تشودنوفسكي ، حيث تُنتج الأخيرة 14 رقمًا عشريًا صحيحًا لكل حد. ^{[ 78 ]}

لم تكن جميع التطورات الرياضية المتعلقة بـ π تهدف إلى زيادة دقة التقريبات. فعندما حل أويلر مسألة بازل في عام 1735، ووجد القيمة الدقيقة لمجموع مقلوب المربعات، أسس صلة بين π والأعداد الأولية التي ساهمت فيما بعد في تطوير ودراسة دالة زيتا لريمان : ^{[ 83 ]}

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

أثبت العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت عام 1768 أن π عدد غير نسبي ، أي أنه لا يساوي ناتج قسمة أي عددين صحيحين. ^{[ 12 ]} استغل لامبرت في برهانه تمثيل دالة الظل باستخدام الكسور المستمرة. ^{[ 84 ]} كما أثبت عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجندر عام 1794 أن π² ^عدد غير نسبي أيضًا. وفي عام 1882، أثبت عالم الرياضيات الألماني فرديناند فون ليندمان أن π عدد متسامٍ ، ^{[ 85 ]} مؤكدًا بذلك تخمينًا طرحه كل من ليجندر وأويلر. ^{[ 86 ] [ 87 ] [ د ]}

أول استخدام معروف للحرف اليوناني π لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها كان من قبل عالم الرياضيات الويلزي ويليام جونز في عام 1706.

قام ليونارد أويلر بنشر استخدام الحرف اليوناني π في الأعمال التي نشرها في عامي 1736 و 1748.

أول استخدام مسجل للرمز π في هندسة الدائرة كان في كتاب أوتريد Clavis Mathematicae (1648)، ^{[ 88 ] [ 89 ]} حيث تم دمج الحرفين اليونانيين π و δ في الكسر ⁠${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}}$للدلالة على نسب نصف المحيط إلى نصف القطر ، والمحيط إلى القطر، أي ما يُرمز إليه حاليًا بـ π . ^{[ 1 ] [ 90 ] [ 91 ] [ 92 ]} (قبل ذلك، كان علماء الرياضيات يستخدمون أحيانًا أحرفًا مثل c أو p بدلًا من ذلك. ^{[ 89 ]} ) استخدم بارو نفس الترميز، ^{[ 93 ]} بينمااستخدم غريغوري بدلاً من ذلك${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$لتمثيل 6.28... . ^{[ 94 ] [ 91 ]}

أول استخدام معروف للحرف اليوناني π وحده لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها كان من قبل عالم الرياضيات الويلزي ويليام جونز في كتابه " Synopsis Palmariorum Matheseos ; or, a New Introduction to the Mathematics " الصادر عام 1706. ^{[ 68 ] [ 95 ]} يظهر الحرف اليوناني في الصفحة  243 في عبارة "${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$المحيط ( π )، المحسوب لدائرة نصف قطرها واحد. مع ذلك، يذكر جونز أن معادلاته لـ π هي من "قلم السيد جون ماشين البارع حقًا "، مما أدى إلى تكهنات بأن ماشين ربما استخدم الحرف اليوناني قبل جونز. ^{[ 89 ]} لم يتبنَّ علماء الرياضيات الآخرون ترميز جونز على الفور، إذ ظل ترميز الكسر مستخدمًا حتى عام 1767. ^{[ 90 ] [ 96 ]}

بدأ أويلر باستخدام الصيغة المكونة من حرف واحد بدءًا من مقالته "شرح خصائص الهواء" عام 1727 ، على الرغم من أنه استخدم π = 6.28... ، وهي نسبة المحيط إلى نصف القطر، في هذا العمل وبعض كتاباته اللاحقة. ^{[ 97 ]} استخدم أويلر لأول مرة π = 3.14... في كتابه "الميكانيكا" عام 1736 ، ^{[ 98 ]} واستمر في ذلك في كتابه واسع الانتشار " مقدمة في تحليل اللانهائيات " عام 1748 (كتب: "للاختصار، سنكتب هذا العدد على شكل π ؛ وبالتالي فإن π يساوي نصف محيط دائرة نصف قطرها 1 "). ^{[ 99 ]} نظرًا لأن أويلر كان يراسل بكثرة مع علماء الرياضيات الآخرين في أوروبا، فقد انتشر استخدام الحرف اليوناني بسرعة، وتم اعتماد هذه الممارسة عالميًا بعد ذلك في العالم الغربي ، ^{[ 89 ]} على الرغم من أن التعريف ظل يختلف بين 3.14... و 6.28... حتى عام 1761. ^{[ 100 ]}

في معظم الحسابات العددية التي تتضمن π ، تكفي بضعة أرقام لتحقيق دقة كافية. ووفقًا ليورغ أرندت وكريستوف هانيل، فإن تسعة وثلاثين رقمًا كافية لإجراء معظم الحسابات الكونية ، لأن هذه هي الدقة اللازمة لحساب محيط الكون المرئي بدقة تصل إلى ذرة واحدة. مع الأخذ في الاعتبار الأرقام الإضافية اللازمة للتعويض عن أخطاء التقريب الحسابي ، يخلص أرندت إلى أن بضع مئات من الأرقام تكفي لأي تطبيق علمي. على الرغم من ذلك، فقد بذل العلماء جهودًا مضنية لحساب π بآلاف وملايين الأرقام. ^{[ 101 ]} قد يُعزى هذا الجهد جزئيًا إلى نزعة الإنسان لتحطيم الأرقام القياسية، وغالبًا ما تتصدر هذه الإنجازات المتعلقة بـ π عناوين الأخبار في جميع أنحاء العالم. ^{[ 102 ]} كما أن لها فوائد عملية، مثل اختبار الحواسيب العملاقة ، واختبار خوارزميات التحليل العددي (بما في ذلك خوارزميات الضرب عالية الدقة ) - وفي الرياضيات البحتة نفسها، توفير بيانات لتقييم عشوائية أرقام π . ^{[ 103 ] [ 104 ]} 

أحدث تطور الحواسيب في منتصف القرن العشرين ثورةً جديدةً في البحث عن أرقام العدد π . فقد تمكن عالما الرياضيات جون رينش وليفي سميث من الوصول إلى 1120 رقمًا في عام 1949 باستخدام آلة حاسبة مكتبية. ^{[ 105 ]} وفي العام نفسه، وباستخدام متسلسلة الظل العكسي اللانهائية ، حقق فريق بقيادة جورج رايتويسنر وجون فون نيومان 2037 رقمًا في عملية حسابية استغرقت 70 ساعة من وقت الحاسوب على جهاز ENIAC . ^{[ 106 ] [ 107 ]} تم تحطيم الرقم القياسي، الذي كان يعتمد دائمًا على متسلسلة arctan، بشكل متكرر (3089 رقمًا في عام 1955، ^{[ 108 ]} 7480 رقمًا في عام 1957؛ 10000 رقم في عام 1958؛ 100000 رقم في عام 1961) حتى تم الوصول إلى مليون رقم في عام 1973. ^{[ 106 ]}

ساهم تطوران إضافيان في عام 1980 تقريبًا في تسريع القدرة على حساب π . أولًا، اكتشاف خوارزميات تكرارية جديدة لحساب π ، والتي كانت أسرع بكثير من المتسلسلات اللانهائية؛ وثانيًا، ابتكار خوارزميات ضرب سريعة قادرة على ضرب الأعداد الكبيرة بسرعة فائقة. ^{[ 109 ]} تُعد هذه الخوارزميات ذات أهمية خاصة في حسابات π الحديثة لأن معظم وقت الحاسوب يُخصص للضرب. ^{[ 110 ]} وتشمل هذه الخوارزميات خوارزمية كاراتسوبا ، وضرب توم-كوك ، والطرق القائمة على تحويل فورييه . ^{[ 111 ]}

نُشرت الخوارزميات التكرارية بشكل مستقل في الفترة ما بين عامي 1975 و1976 من قِبل الفيزيائي يوجين سلامين والعالم ريتشارد برنت . ^{[ 112 ]} تتجنب هذه الخوارزميات الاعتماد على المتسلسلات اللانهائية. تُكرر الخوارزمية التكرارية عملية حسابية محددة، حيث تستخدم كل تكرارة مخرجات الخطوات السابقة كمدخلات، وتُنتج نتيجة في كل خطوة تتقارب مع القيمة المطلوبة. في الواقع، ابتكر كارل فريدريش غاوس هذا النهج قبل أكثر من 160 عامًا ، فيما يُعرف الآن باسم طريقة المتوسط ​​الحسابي الهندسي (طريقة AGM) أو خوارزمية غاوس-ليجندر . ^{[ 112 ]} بعد تعديلها من قِبل سلامين وبرنت، يُشار إليها أيضًا باسم خوارزمية برنت-سلامين.

شاع استخدام الخوارزميات التكرارية بعد عام 1980 لسرعتها الفائقة مقارنةً بخوارزميات المتسلسلات اللانهائية؛ فبينما تزيد المتسلسلات اللانهائية عدد الأرقام الصحيحة بشكل تراكمي في الحدود المتتالية، تُضاعف الخوارزميات التكرارية عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة. على سبيل المثال، تُضاعف خوارزمية برنت-سلامين عدد الأرقام في كل تكرار. وفي عام 1984، ابتكر الأخوان جون وبيتر بورواين خوارزمية تكرارية تُضاعف عدد الأرقام أربع مرات في كل خطوة؛ وفي عام 1987، ابتكرا خوارزمية أخرى تُضاعف عدد الأرقام خمس مرات في كل خطوة. ^{[ 113 ]} استخدم عالم الرياضيات الياباني ياسوماسا كانادا الطرق التكرارية لتحقيق عدة أرقام قياسية في حساب قيمة π بين عامي 1995 و2002. ^{[ 114 ]} إلا أن هذا التقارب السريع له ثمنه، إذ تتطلب الخوارزميات التكرارية ذاكرة أكبر بكثير من المتسلسلات اللانهائية. ^{[ 114 ]}

لا تعتمد حاسبات π الحديثة على الخوارزميات التكرارية حصراً. فقد اكتُشفت متسلسلات لانهائية جديدة في ثمانينيات وتسعينيات القرن الماضي، تتميز بسرعة مماثلة للخوارزميات التكرارية، ولكنها أبسط وأقل استهلاكاً للذاكرة. ^{[ 114 ]} وقد تم التنبؤ بالخوارزميات التكرارية السريعة في عام 1914، عندما نشر عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان عشرات الصيغ الجديدة المبتكرة لحساب π ، والتي تميزت بأناقتها وعمقها الرياضي وسرعة تقاربها. ^{[ 115 ]} إحدى صيغه، والمبنية على المعادلات النمطية ، هي

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}396^{4k}}}.}$$

تتقارب هذه المتسلسلة بسرعة أكبر بكثير من معظم متسلسلات دالة الظل العكسي، بما في ذلك صيغة ماشين. ^{[ 116 ]} كان بيل جوسبر أول من استخدمها لتحقيق تقدم في حساب π ، مسجلاً رقماً قياسياً بلغ 17  مليون رقم في عام 1985. ^{[ 117 ]} استبقت صيغ رامانوجان الخوارزميات الحديثة التي طورها الأخوان بورفين ( جوناثان وبيتر ) والأخوان تشودنوفسكي . ^{[ 118 ]} صيغة تشودنوفسكي التي طُورت في عام 1987 هي

ينتج حوالي 14 رقمًا من π لكل حد ^{[ 119 ]} وقد تم استخدامه في العديد من حسابات π القياسية ، بما في ذلك أول حساب يتجاوز  مليار (10 ⁹ ) رقمًا في عام 1989 بواسطة الأخوين تشودنوفسكي، و10  تريليونات (10 ¹³ ) رقمًا في عام 2011 بواسطة ألكسندر يي وشيغيرو كوندو، ^{[ 120 ]} و100  تريليون رقم بواسطة إيما هاروكا إيواو في عام 2022. ^{[ 121 ] [ 122 ]} للاطلاع على صيغ مماثلة، انظر أيضًا متسلسلة رامانوجان-ساتو .

في عام 2006، استخدم عالم الرياضيات سيمون بلوف خوارزمية علاقة الأعداد الصحيحة PSLQ ^{[ 123 ]} لتوليد العديد من الصيغ الجديدة لـ π ، والتي تتوافق مع القالب التالي:

$${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

حيث q هو e ^π (ثابت جيلفوند)، و k عدد فردي ، و a و b و c أعداد نسبية معينة قام بلوف بحسابها. ^{[ 124 ]}

إبرة بوفون . يتم إسقاط الإبرتين أ و ب بشكل عشوائي.

توضع نقاط عشوائية على مربع ويتم رسم دائرة داخله.

يمكن استخدام طرق مونت كارلو ، التي تقيّم نتائج تجارب عشوائية متعددة، لإنشاء تقريبات لـ π . ^{[ 125 ]} إبرة بوفون هي إحدى هذه التقنيات: إذا تم إسقاط إبرة طولها ℓ n مرة على سطح مرسوم عليه خطوط متوازية تفصل بينها t وحدة، وإذا توقفت x من تلك المرات عند عبورها خطًا ( x > 0 )، فيمكن تقريب π بناءً على عدد مرات السقوط: ^{[ 126 ]}

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$

هناك طريقة أخرى لحساب قيمة π باستخدام طريقة مونت كارلو ، وهي رسم دائرة داخل مربع، ووضع نقاط عشوائية داخل المربع. ستكون نسبة النقاط داخل الدائرة إلى العدد الإجمالي للنقاط مساوية تقريبًا لـ π /4 . ^{[ 127 ]}

هناك طريقة أخرى لحساب π باستخدام الاحتمالات، وهي البدء بمسار عشوائي ، يتم توليده من خلال سلسلة من رميات العملة (العادلة): متغيرات عشوائية مستقلة X_{_k} بحيث X _{_k} ∈ {−1,1} باحتمالات متساوية. المسار العشوائي المرتبط هو

$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$

بحيث يتم سحب W n لكل قيمة _n من توزيع ذي الحدين المُزاح والمُقاس . ومع تغير n ، تُحدد W _n عملية عشوائية (منفصلة) . ومن ثم يمكن حساب π باستخدام ^{[ 128 ].}

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

إن طريقة مونت كارلو هذه مستقلة عن أي علاقة بالدوائر، وهي نتيجة لنظرية النهاية المركزية ، التي تمت مناقشتها أدناه .

تُعدّ طرق مونت كارلو هذه لتقريب قيمة π بطيئة للغاية مقارنةً بالطرق الأخرى، ولا تُقدّم أي معلومات حول العدد الدقيق للأرقام التي تمّ الحصول عليها. ولذلك، لا تُستخدم أبدًا لتقريب قيمة π عندما تكون السرعة أو الدقة مطلوبة. ^{[ 129 ]}

تم اكتشاف خوارزميتين في عام 1995 فتحتا آفاقًا جديدة للبحث في العدد π . تُعرف هاتان الخوارزميتان بخوارزميات الصنبور، لأنهما، مثل الماء المتساقط من الصنبور ، تُنتجان أرقامًا مفردة من π لا يُعاد استخدامها بعد حسابها. ^{[ 130 ] [ 131 ]} وهذا على عكس المتسلسلات اللانهائية أو الخوارزميات التكرارية، التي تحتفظ بجميع الأرقام الوسيطة وتستخدمها حتى الوصول إلى النتيجة النهائية. ^{[ 130 ]}

ابتكر عالما الرياضيات ستان واجن وستانلي رابينوفيتز خوارزمية بسيطة للصنبور في عام 1995. ^{[ 131 ] [ 132 ] [ 133 ]} سرعتها مماثلة لخوارزميات دالة الظل العكسي، ولكنها ليست بنفس سرعة الخوارزميات التكرارية. ^{[ 132 ]}

تم اكتشاف خوارزمية أخرى للصنبور، وهي خوارزمية استخراج الأرقام BBP ، في عام 1995 بواسطة سيمون بلوف: ^{[ 134 ] [ 135 ]}

تتميز هذه الصيغة، على عكس الصيغ السابقة، بقدرتها على إنتاج أي رقم سداسي عشري منفرد للعدد π دون الحاجة إلى حساب جميع الأرقام السابقة. ^{[ 134 ]} يمكن استخراج الأرقام الثنائية المنفردة من الأرقام السداسية العشرية المنفردة، كما يمكن استخراج الأرقام الثمانية من رقم سداسي عشري واحد أو رقمين سداسيين عشريين. من التطبيقات المهمة لخوارزميات استخراج الأرقام التحقق من صحة الادعاءات الجديدة لحسابات قياسية للعدد π : فبعد الادعاء بتحقيق رقم قياسي جديد، يتم تحويل النتيجة العشرية إلى سداسية عشرية، ثم تُستخدم خوارزمية استخراج الأرقام لحساب عدة أرقام سداسية عشرية مختارة عشوائيًا قرب النهاية؛ فإذا تطابقت، فهذا يوفر مقياسًا للثقة بصحة الحساب بأكمله. ^{[ 120 ]}

بين عامي 1998 و2000، استخدم مشروع الحوسبة الموزعة PiHex صيغة بيلارد (تعديل لخوارزمية BBP) لحساب البت رقم كوادريليون (10^ ¹⁵ ) من π ، والذي تبين أنه يساوي صفرًا. ^{[ 136 ]} في سبتمبر 2010، استخدم موظف في شركة ياهو تطبيق Hadoop الخاص بالشركة على ألف جهاز كمبيوتر على مدار 23 يومًا لحساب 256 بتًا من π عند البت رقم اثنين كوادريليون (2×10^ ¹⁵ )، والذي يصادف أيضًا أنه يساوي صفرًا. ^{[ 137 ]}

في عام 2022، وجد بلوف خوارزمية أساس 10 لحساب أرقام π . ^{[ 138 ]}

يظهر العدد π في صيغ ^حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية القائمة على الدوائر ، مثل القطع الناقص والكرات والمخاريط والحلقات . ^{[ 139 ]} فيما يلي بعض الصيغ الأكثر شيوعًا التي تتضمن π . [ ^{140 ]}

• محيط دائرة نصف ^قطرها r هو 2πr . ^[ 141 ^]
• مساحة الدائرة التي نصف قطرها r هي πr² ^.
• مساحة القطع الناقص الذي نصف محوره الأكبر a ونصف محوره الأصغر b هي πab . ^{[ 142 ]}
• حجم الكرة التي نصف قطرها r هو 4 / 3 πr 3 ^.
• مساحة سطح الكرة التي نصف قطرها r هي 4πr² ^.

بعض الصيغ المذكورة أعلاه هي حالات خاصة لحجم الكرة ذات الأبعاد n ومساحة سطح حدودها، الكرة ذات الأبعاد ( n -1) ، كما هو موضح أدناه .

إلى جانب الدوائر، توجد منحنيات أخرى ذات عرض ثابت . وبحسب نظرية باربييه ، فإن محيط كل منحنى ذي عرض ثابت يساوي π ضعف عرضه. يتميز مثلث رولو (المُشكَّل من تقاطع ثلاث دوائر بأضلاع مثلث متساوي الأضلاع كأنصاف أقطارها) بأصغر مساحة ممكنة بالنسبة لعرضه، بينما تتميز الدائرة بأكبر مساحة. كما توجد منحنيات غير دائرية ملساء ، بل وحتى جبرية، ذات عرض ثابت. ^{[ 143 ]}

تتضمن التكاملات المحددة التي تصف محيط أو مساحة أو حجم الأشكال الناتجة عن الدوائر عادةً قيمًا تتضمن π . على سبيل المثال، يُعطى التكامل الذي يحدد نصف مساحة دائرة نصف قطرها واحد بالصيغة التالية: ^{[ 144 ]}

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

في ذلك التكامل، الدالة${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$يمثل الارتفاع فوق${\displaystyle x}$المحور π لنصف دائرة ( الجذر التربيعي هو نتيجة لنظرية فيثاغورس )، ويحسب التكامل المساحة أسفل نصف الدائرة. وجود مثل هذه التكاملات يجعل π دورة جبرية . ^{[ 145 ]}

تعتمد الدوال المثلثية على الزوايا ، ويستخدم علماء الرياضيات الراديان كوحدة قياس. يلعب π دورًا هامًا في الزوايا المقاسة بالراديان، والتي تُعرَّف بحيث تُغطي الدائرة الكاملة زاوية مقدارها 2π راديان  . قياس الزاوية 180° يساوي π  راديان، و 1° = π /180 راديان . ^{[ 146 ]}

للدوال المثلثية الشائعة دورات هي مضاعفات π ؛ على سبيل المثال، الجيب وجيب التمام لهما دورة 2π ، لذلك لأي زاوية θ وأي عدد صحيح k ، ^{[ 147 ]}$${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

يرتبط ظهور العدد π في العديد من معادلات الرياضيات والعلوم بعلاقته الوثيقة بالهندسة. ومع ذلك، يظهر π أيضًا في العديد من المواقف الطبيعية التي لا تبدو مرتبطة بالهندسة.

في العديد من التطبيقات، يلعب دورًا مميزًا كقيمة ذاتية . على سبيل المثال، يمكن نمذجة وتر مهتز مثالي على أنه رسم بياني لدالة f على الفترة [ 0، 1 ] ، مع نهايات ثابتة f (0) = f (1) = 0. أنماط اهتزاز الوتر هي حلول للمعادلة التفاضلية .${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$أو​​${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$وبالتالي ، فإن λ هي قيمة ذاتية لمؤثر المشتقة الثانية .${\displaystyle f\mapsto f''}$وتخضع هذه الدالة لنظرية ستورم-ليوفيل، ^حيث تأخذ قيمًا محددة فقط. يجب أن تكون موجبة، لأن المؤثر سالب تمامًا ، لذا من الملائم كتابة λ = ν² ، حيث ν > 0 يُسمى العدد الموجي . عندئذٍ ، تحقق الدالة f ( x ) = sin( πx ) الشروط الحدية والمعادلة التفاضلية مع ν = π . ^{[ 148 ]}

إن القيمة π هي في الواقع أصغر قيمة للعدد الموجي، وهي مرتبطة بالنمط الأساسي لاهتزاز الوتر. إحدى طرق إثبات ذلك هي تقدير الطاقة التي تحقق متباينة ويرتينجر : ^{[ 149 ]} لدالة${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$مع f (0) = f (1) = 0 و f و f ′ كلاهما قابل للتكامل التربيعي ، لدينا:

$${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$

يتحقق التساوي تحديدًا عندما تكون f من مضاعفات sin( πx ) . هنا، يظهر π كثابت أمثل في متراجحة ويرتينجر، ويترتب على ذلك أنه أصغر عدد موجي، باستخدام التوصيف التبايني للقيمة الذاتية. ونتيجة لذلك، فإن π هو أصغر قيمة مفردة لمؤثر المشتقة على فضاء الدوال على [ 0, 1 ] التي تتلاشى عند كلا طرفي الفضاء ( فضاء سوبوليف ).${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$).

يظهر العدد π في مسائل القيم الذاتية المماثلة في التحليل متعدد الأبعاد. وكما ذُكر سابقًا ، يمكن تمييزه من خلال دوره كأفضل ثابت في متباينة المحيط المتساوي : المساحة A المحصورة بمنحنى جوردان مستوٍ محيطه P تحقق المتباينة

$${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

ويتحقق التساوي بوضوح بالنسبة للدائرة، لأنه في هذه ^الحالة A = πr² و P = ^2πr . [ ^{151 ]}

في نهاية المطاف، وكنتيجة لمتباينة المحيط المتساوي، يظهر π في الثابت الأمثل لمتباينة سوبوليف الحرجة في n بُعدًا، مما يُحدد دور π في العديد من الظواهر الفيزيائية أيضًا، على سبيل المثال تلك الخاصة بنظرية الكمون الكلاسيكية . ^{[ 152 ] [ 153 ] [ 154 ]} في بُعدين، تكون متباينة سوبوليف الحرجة هي

$${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$

لدالة f سلسة ذات دعم مضغوط في R ² ،${\displaystyle \nabla f}$هو تدرج الدالة f ، و${\displaystyle \|f\|_{2}}$و${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$^{تشير على} التوالي إلى معيار L2 ^ومعيار L1 . إن متباينة سوبوليف مكافئة لمتباينة المحيط المتساوي (في أي بُعد)، مع نفس الثوابت المثلى.

يمكن تعميم متباينة فيرتينجر أيضًا لتشمل متباينات بوانكاريه ذات الأبعاد الأعلى ، والتي توفر أفضل الثوابت لطاقة ديريشليه لغشاء ذي n بُعد. وبالتحديد، π هو أكبر ثابت بحيث

$${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

لكل مجموعة جزئية محدبة G من R ⁿ ذات قطر 1، ودوال قابلة للتكامل التربيعي u على G ذات متوسط ​​صفر. ^{[ 155 ]} وكما أن متباينة ويرتينجر هي الشكل التبايني لمسألة القيم الذاتية لـ Dirichlet في بُعد واحد، فإن متباينة بوانكاريه هي الشكل التبايني لمسألة القيم الذاتية لـ Neumann ، في أي بُعد.

يظهر الثابت π أيضًا كمعامل طيفي حرج في تحويل فورييه . وهو التحويل التكاملي الذي يحوّل دالة قابلة للتكامل ذات قيم مركبة f على خط الأعداد الحقيقية إلى الدالة المعرفة على النحو التالي:

$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

على الرغم من وجود عدة اصطلاحات مختلفة لتحويل فورييه ومعكوسه، فإن أي اصطلاح من هذا القبيل لا بد أن يتضمن ^π في مكان ما . ومع ذلك ^، فإن التعريف المذكور أعلاه هو الأكثر شيوعًا، إذ يُعطي المؤثر الوحدوي الوحيد على L² الذي يُعد أيضًا تشاكلًا جبريًا ^من L¹ إلى L∞ ^{. [ 156} ]

يتضمن مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ أيضًا العدد π . ويعطي مبدأ عدم اليقين حدًا أدنى دقيقًا لمدى إمكانية تحديد موقع دالة ما مكانيًا وتردديًا: وفقًا لاتفاقياتنا لتحويل فورييه،

تُناقش أدناه النتيجة الفيزيائية المتعلقة بعدم اليقين في رصد الموضع والزخم المتزامنين لنظام ميكانيكي كمي . إن ظهور π في صيغ تحليل فورييه هو في نهاية المطاف نتيجة لنظرية ستون-فون نيومان ، التي تؤكد تفرد تمثيل شرودنغر لمجموعة هايزنبرغ . ^{[ 157 ]}

تستخدم مجالات الاحتمالات والإحصاء التوزيع الطبيعي بشكل متكرر كنموذج بسيط للظواهر المعقدة؛ فعلى سبيل المثال، يفترض العلماء عمومًا أن الخطأ الرصدي في التجارب يتبع التوزيع الطبيعي. ^{[ 158 ]} وتتضمن دالة غاوس ، وهي دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ وانحراف معياري σ ، قيمة π بشكل طبيعي : ^{[ 159 ]}

$${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

عامل${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$يجعل ذلك المساحة تحت منحنى الدالة f مساوية للواحد، كما هو مطلوب لتوزيع احتمالي. وينتج هذا عن تغيير المتغيرات في التكامل الغاوسي : ^{[ 159 ]}

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }},}$$

وهذا يعني أن المساحة تحت منحنى الجرس الأساسي في الشكل تساوي الجذر التربيعي لـ π .

تُفسّر نظرية النهاية المركزية الدور المحوري للتوزيعات الطبيعية، وبالتالي لـ π ، في الاحتمالات والإحصاء. وترتبط هذه النظرية في جوهرها بالتوصيف الطيفي لـ π باعتباره القيمة الذاتية المرتبطة بمبدأ هايزنبرغ للشك، وحقيقة أن المساواة في مبدأ الشك لا تتحقق إلا للدالة الغاوسية. ^{[ 160 ]} وبصورة مكافئة، فإن π هو الثابت الوحيد الذي يجعل التوزيع الطبيعي الغاوسي e ^{− πx 2} مساويًا لتحويل فورييه الخاص به. ^{[ 161 ]} في الواقع، وفقًا لهو (1980) ، فإن "جوهر" إثبات النظريات الأساسية لتحليل فورييه يختزل إلى التكامل الغاوسي. ^{[ 157 ]}

يظهر الثابت π في صيغة غاوس-بونيه التي تربط الهندسة التفاضلية للأسطح بطوبولوجيتها . تحديدًا، إذا كان للسطح المضغوط Σ انحناء غاوس K ، فإن

$${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma ),}$$

حيث χ (Σ) هي خاصية أويلر ، وهي عدد صحيح. ^{[ 162 ]} مثال على ذلك مساحة سطح كرة S ذات انحناء 1 (بحيث يكون نصف قطر انحنائها ، الذي يتطابق مع نصف قطرها، مساويًا أيضًا لـ 1). يمكن حساب خاصية أويلر للكرة من مجموعات التماثل الخاصة بها ، وتبين أنها تساوي اثنين. وبالتالي لدينا

$${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi ,}$$

إعادة إنتاج صيغة مساحة سطح كرة نصف قطرها 1.

يظهر الثابت في العديد من الصيغ التكاملية الأخرى في علم الطوبولوجيا، ولا سيما تلك التي تتضمن فئات مميزة عبر تماثل تشيرن-ويل . ^{[ 163 ]}

تُعدّ التكاملات الكفافية لدالة على منحنى جوردان γ الموجب ( القابل للتقويم ) إحدى الأدوات الرئيسية في التحليل المركب _. وتنص صيغة كوشي التكاملية على أنه إذا كانت النقطة z₀ تقع داخل γ ، فإن ^{[ 164 ]}

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

على الرغم من أن المنحنى γ ليس دائرة، وبالتالي لا توجد علاقة واضحة بينه وبين الثابت π ، فإن برهانًا قياسيًا لهذه النتيجة يستخدم نظرية موريرا ، التي تنص على أن التكامل ثابت تحت تحويل المنحنى إلى دائرة، بحيث يمكن تحويله إلى دائرة ثم حساب تكامله صراحةً في الإحداثيات القطبية. وبشكل أعم، إذا لم يحتوِ منحنى مغلق قابل للتقويم γ على z ≠ ₀ ، فإن التكامل المذكور أعلاه يساوي 2πi مضروبًا في عدد لفات المنحنى.

يحدد الشكل العام لصيغة كوشي التكاملية العلاقة بين قيم الدالة التحليلية المركبة f ( z ) على منحنى جوردان γ وقيمة f ( z ) عند أي نقطة داخلية z ₀ من γ : ^{[ 165 ]}

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0}),}$$

بشرط أن تكون f ( z ) دالة تحليلية في المنطقة المحصورة بـ γ وتمتد بشكل متصل إلى γ . صيغة كوشي التكاملية هي حالة خاصة من نظرية الباقي ، والتي تنص على أنه إذا كانت g ( z ) دالة ميرومورفية على المنطقة المحصورة بـ γ ومتصلة في جوار γ ، فإن

$${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k}),}$$

حيث يكون المجموع هو مجموع البقايا عند أقطاب g ( z ) .

يُعد الثابت π شائعًا في حساب المتجهات ونظرية الكمون ، على سبيل المثال في قانون كولوم ، ^{[ 166 ]} وقانون جاوس ، ومعادلات ماكسويل ، وحتى معادلات أينشتاين للمجال . ^{[ 167 ] [ 168 ]} ولعل أبسط مثال على ذلك هو الكمون النيوتوني ثنائي الأبعاد ، الذي يمثل كمون مصدر نقطي عند نقطة الأصل، والذي يكون لحقله المرتبط به تدفق خارجي يساوي واحدًا عبر أي سطح مغلق أملس وموجه يحيط بالمصدر:

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$

عامل${\displaystyle 1/(2\pi )}$من الضروري ضمان ذلك${\displaystyle \Phi }$هو الحل الأساسي لمعادلة بواسون في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: ^{[ 169 ]}

$${\displaystyle \Delta \Phi =\delta ,}$$

أين${\displaystyle \delta }$هي دالة ديراك دلتا .

في الأبعاد الأعلى، توجد عوامل π بسبب عملية التطبيع بحجم الكرة n- الأبعاد . على سبيل المثال، في ثلاثة أبعاد، يكون الجهد النيوتوني كما يلي : ^{[ 169 ]}

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

والذي يحتوي على الحجم ثنائي الأبعاد (أي المساحة) للكرة ثنائية الأبعاد في المقام.

في الهندسة التفاضلية للمنحنيات ، يكون الانحناء الكلي لمنحنى مستوٍ أملس هو مقدار دورانه عكس اتجاه عقارب الساعة، بالراديان، من البداية إلى النهاية، ويتم حسابه كتكامل للانحناء الموجه بالنسبة لطول القوس:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds.}$$

بالنسبة لمنحنى مغلق، تساوي هذه الكمية 2πN ، حيث N عدد صحيح يُسمى رقم الانعطاف أو دليل المنحنى. N هو رقم الالتفاف حول نقطة الأصل لمنحنى الهودوغراف المُعطى بالمعامل arclength، وهو منحنى جديد يقع على دائرة الوحدة، ويُوصف بمتجه المماس المُعَيَّر عند كل نقطة على المنحنى الأصلي. وبالمثل، N هي درجة التحويل الذي يربط كل نقطة على المنحنى بالنقطة المقابلة لها على الهودوغراف، وهو ما يُشابه تحويل غاوس للأسطح.

دالة المضروب​${\displaystyle n!}$هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى n . تُوسّع دالة غاما مفهوم المضروب (المُعرّف عادةً للأعداد الصحيحة غير السالبة فقط) ليشمل جميع الأعداد المركبة، باستثناء الأعداد الحقيقية السالبة، مع دالة الوحدة.${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$عند حساب دالة غاما عند أنصاف الأعداد الصحيحة، تُعبّر النتيجة بشكل طبيعي بدلالة π . على سبيل المثال،${\displaystyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\sqrt {\pi }}}$و${\textstyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {5}{2}}{\bigr )}={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}}$[ ^{170 ]​}

يتم تعريف دالة جاما من خلال تطور منتج وييرشتراس الخاص بها: ^{[ 171 ]}

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}},}$$

حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني . تم تقييمه عند ⁠${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}}$ومربعة المعادلة​${\displaystyle \textstyle \gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=\pi }$يُختزل إلى صيغة جداء واليس. كما ترتبط دالة غاما بدالة زيتا لريمان ومتطابقات المحدد الوظيفي ، حيث يلعب الثابت π دورًا مهمًا .

تُستخدم دالة جاما لحساب حجم الكرة ذات الأبعاد n ونصف _قطرها r في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، ومساحة سطح حدودها S _{n −1} ( r ) ، وهي الكرة ذات الأبعاد ( n −1 : ^{[ 172 ]}

$${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n},}$$

$${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n-1}.}$$

علاوة على ذلك، يتبين من المعادلة الوظيفية أن

$${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

يمكن استخدام دالة جاما لإنشاء تقريب بسيط لدالة المضروب n ! للأعداد الكبيرة n :${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$وهو ما يُعرف بتقريب ستيرلينغ . ^{[ 173 ]} أو بصورة مكافئة،

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

كتطبيق هندسي لتقريب ستيرلينغ، لنفترض أن Δ _n يمثل المجسم البسيط القياسي في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، وأن ( n + 1)Δ _n يمثل المجسم البسيط الذي تم تكبير جميع أضلاعه بمعامل n + 1. عندئذٍ

$${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

تتنبأ فرضية إيرهارت للحجم بأن هذا هو الحد الأعلى (الأمثل) لحجم جسم محدب يحتوي على نقطة شبكية صحيحة واحدة فقط . ^{[ 174 ]}

تُستخدم دالة زيتا لريمان ζ ( s ) في العديد من مجالات الرياضيات. عند حساب قيمتها عند s = 2، يمكن كتابتها على النحو التالي:

$${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

كان إيجاد حل بسيط لهذه المتسلسلة اللانهائية مسألةً شهيرةً في الرياضيات تُعرف بمسألة بازل . وقد حلّها ليونارد أويلر عام 1735 عندما أثبت أنها تساوي π² /6 ^. [ ^{83 ] تُفضي} نتيجة أويلر إلى نتيجة نظرية الأعداد التي تنص على أن احتمال كون عددين عشوائيين أوليين فيما بينهما (أي لا يشتركان في أي عوامل) يساوي 6/ π² ^{. [ 175 ]} يستند هذا الاحتمال إلى ملاحظة أن احتمال قابلية أي عدد للقسمة على عدد أولي p هو 1/ p (على سبيل المثال، كل عدد صحيح سابع يقبل القسمة على 7). وبالتالي ، فإن احتمال أن يكون كلا العددين قابلين للقسمة على هذا العدد الأولي هو 1/ p² ، واحتمال ألا يكون أحدهما على الأقل قابلاً للقسمة عليه هو 1 - 1/ p² ^{. بالنسبة} للأعداد الأولية المختلفة، تكون أحداث قابلية القسمة هذه مستقلةً عن بعضها البعض؛ لذا فإن احتمال كون عددين أوليين فيما بينهما يُعطى بضرب جميع الأعداد الأولية: ^{[ 176 ]}

$$\begin{aligned}\prod_{p}^{\infty}\left(1-{\frac{1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod_{p}^{\infty}{\frac{1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac{1}{1+{\frac{1}{2^{2}}}+{\frac{1}{3^{2}}}+\cdots}}\\[4pt]&={\frac{1}{\zeta(2)}}={\frac{6}{\pi^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام هذا الاحتمال بالتزامن مع مولد الأرقام العشوائية لتقريب قيمة π باستخدام أسلوب مونت كارلو. ^{[ 177 ]}

يُشير حلّ مسألة بازل إلى أن الكمية π، المُشتقة هندسيًا ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بتوزيع الأعداد الأولية. هذه حالة خاصة من حدسية ويل حول أعداد تاماغاوا ، التي تنص على تساوي نواتج لا نهائية مماثلة لكميات حسابية ، مُتمركزة عند كل عدد أولي p ، وكمية هندسية : مقلوب حجم فضاء متناظر محليًا . في حالة مسألة بازل، يكون هذا الفضاء هو الفضاء ^{الزائدي} _ثلاثي الأبعاد SL² ( R ) / SL² ( _Z ) . ^{[ 178} ]

كما أن دالة زيتا تحقق معادلة ريمان الوظيفية، والتي تتضمن π بالإضافة إلى دالة جاما:

$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

علاوة على ذلك، فإن مشتق دالة زيتا يحقق ما يلي:

$${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

نتيجةً لذلك، يمكن الحصول على π من المحدد الوظيفي للمذبذب التوافقي . ويمكن حساب هذا المحدد الوظيفي باستخدام توسيع الضرب، وهو مكافئ لصيغة واليس للضرب. ^{[ 179 ]} ويمكن إعادة صياغة الحساب في ميكانيكا الكم ، وتحديدًا في النهج التبايني لطيف ذرة الهيدروجين . ^{[ 180 ]}

يظهر الثابت π بشكل طبيعي في متسلسلات فورييه للدوال الدورية . الدوال الدورية هي دوال على المجموعة T = R / Z للأجزاء الكسرية من الأعداد الحقيقية. يُبين تحليل فورييه أن الدالة f ذات القيم المركبة على T يمكن كتابتها كتراكب خطي لانهائي للمؤثرات الوحدوية لـ T. أي، تشاكلات زمر متصلة من T إلى زمرة الدائرة U (1) للأعداد المركبة ذات المعامل الواحدي.

هي نظرية تنص على أن كل خاصية من خصائص T هي واحدة من الدوال الأسية المركبة${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$من بين هذه الخصائص، توجد خاصية فريدة، حتى الاقتران المركب، وهي عبارة عن تماثل زمر من T إلى الزمرة الضربية للأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة واحد. ^{[ 182 ]} ويُعرّف نيكولاس بورباكي الثابت π بأنه نصف مقدار مشتقة هذا التماثل. ^{[ 183 ]}

بصورة مكافئة، باستخدام مقياس هار على زمرة الدائرة، فإن مشتقات الخصائص الأخرى تكون مقاديرها مضاعفات صحيحة موجبة للعدد 2π . وبالتالي، فإن π هو العدد الموجب الوحيد الذي يجعل الزمرة T، المزودة بمقياس هار الخاص بها، ثنائية بونترياغين لشبكة المضاعفات الصحيحة للعدد 2π . [ 183 ] ​​[ ^{184 ] هذه صيغة من صيغ} جمع بواسون أحادية البعد .

في تحليل فورييه، يشير ظهور π بدلاً من 2π غالباً إلى الانتقال من الرموز العادية إلى التمثيلات الإسقاطية . الدالة الأسية الأساسية${\displaystyle e^{\pi ix}}$لا يُعدّ هذا العنصر خاصيةً للمجموعة T ، إذ يتغير إشارته بعد دورة واحدة للدائرة؛ بل يُعرّف تمثيلاً للغطاء المزدوج للمجموعة T. هذا أبسط مثال على التمثيل الإسقاطي، وتتكرر هذه الظاهرة على نطاق أوسع في التحليل التوافقي. على سبيل المثال، لا تُمثّل السبينورات الدورانات إلا بعد الانتقال إلى غطاء مزدوج، وبالمثل، تنشأ التمثيلات الميتابليكتية من غطاء مزدوج للمجموعة SL(2, R ) . تربط الأفكار نفسها أيضًا تحليل فورييه بالحساب، إذ تخضع دوال ثيتا والأشكال النمطية ذات الوزن النصفي بشكل طبيعي لهذه البنى الميتابليكتية ونظرية هايزنبرغ.

يرتبط الثابت π ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأشكال النمطية ودوال ثيتا . فعلى سبيل المثال، تتضمن خوارزمية تشودنوفسكي بشكل أساسي الثابت j لمنحنى إهليلجي .

الأشكال النمطية هي دوال هولومورفية في النصف العلوي من المستوى، وتتميز بخصائص تحويلها تحت المجموعة النمطية.${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$(أو مجموعاتها الفرعية المختلفة)، شبكة في المجموعة ⁠${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ومن الأمثلة على ذلك دالة جاكوبي ثيتا

$${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz\ +\ \pi in^{2}\tau },}$$

وهو نوع من الأشكال المعيارية يُسمى شكل جاكوبي . ^{[ 185 ]} يُكتب هذا أحيانًا بدلالة الاسم${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$.

الثابت π هو الثابت الوحيد الذي يجعل دالة جاكوبي ثيتا شكلاً ذاتياً ، أي أنها تتحول بطريقة محددة. وتتحقق بعض المتطابقات لجميع الأشكال الذاتية. ومن الأمثلة على ذلك:

$${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

وهذا يعني أن θ تتحول كتمثيل تحت زمرة هايزنبرغ المنفصلة. كما تتضمن الأشكال النمطية العامة ودوال ثيتا الأخرى π ، وذلك مرة أخرى بسبب نظرية ستون-فون نيومان . ^{[ 185 ]}