مفارقة راسل

هذه المقالة جزء من سلسلة حول برتراند راسل
آراء حول الفلسفة آراء حول المجتمع ( مؤسسة السلام ) أستاذية الفلسفة قضية محكمة التعيين مفارقة راسل تدوين بيانو-راسل مناظرة كوبليستون-راسل بيان راسل-أينشتاين محكمة راسل إبريق شاي راسل نظرية الأوصاف الذرية المنطقية
ف ت هـ

في المنطق الرياضي ، مفارقة راسل (المعروفة أيضًا باسم تناقض راسل ) هي مفارقة نظرية المجموعات التي نشرها الفيلسوف والرياضي البريطاني برتراند راسل في عام 1901. ^{[1] [2]} تُظهر مفارقة راسل أن كل نظرية مجموعات تحتوي على مبدأ الفهم غير المقيد تؤدي إلى تناقضات. ^[3] تم اكتشاف المفارقة بالفعل بشكل مستقل في عام 1899 من قبل عالم الرياضيات الألماني إرنست زيرميلو . ^[4] ومع ذلك، لم ينشر زيرميلو الفكرة، التي ظلت معروفة فقط لديفيد هيلبرت وإدموند هوسرل وأكاديميين آخرين في جامعة جوتنجن . في نهاية تسعينيات القرن التاسع عشر، أدرك جورج كانتور -الذي يُعتبر مؤسس نظرية المجموعات الحديثة- أن نظريته ستؤدي إلى تناقض، كما أخبر هيلبرت وريتشارد ديديكيند في رسالة. ^[5]

وفقًا لمبدأ الفهم غير المقيد، لأي خاصية محددة جيدًا بما فيه الكفاية ، توجد مجموعة كل الأشياء التي لها تلك الخاصية فقط. دع R تكون مجموعة كل المجموعات التي ليست أعضاء في أنفسها. (تسمى هذه المجموعة أحيانًا "مجموعة راسل"). إذا لم تكن R عضوًا في نفسها، فإن تعريفها يستلزم أنها عضو في نفسها؛ ومع ذلك، إذا كانت عضوًا في نفسها، فهي ليست عضوًا في نفسها، لأنها مجموعة كل المجموعات التي ليست أعضاء في أنفسها. التناقض الناتج هو مفارقة راسل. في الرموز:

${\displaystyle {\text{دع }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{ثم }}R\in R\iff R\not \in R}$

أظهر راسل أيضًا أنه يمكن اشتقاق نسخة من المفارقة في النظام البديهي الذي بناه الفيلسوف والرياضي الألماني جوتلوب فريجه ، وبالتالي تقويض محاولة فريجه لتقليص الرياضيات إلى المنطق والتشكيك في برنامج المنطقيين . تم اقتراح طريقتين مؤثرتين لتجنب المفارقة في عام 1908: نظرية النوع الخاصة براسل ونظرية مجموعة زيرميلو . على وجه الخصوص، قيدت بديهيات زيرميلو مبدأ الفهم غير المحدود. مع المساهمات الإضافية لأبراهام فرانكل ، تطورت نظرية مجموعة زيرميلو إلى نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل القياسية الآن (المعروفة باسم ZFC عند تضمين بديهية الاختيار ). الفرق الرئيسي بين حل راسل وزرميلو للمفارقة هو أن زيرميلو عدل بديهيات نظرية المجموعة مع الحفاظ على لغة منطقية قياسية، بينما عدل راسل اللغة المنطقية نفسها. لقد تبين أن لغة ZFC، بمساعدة Thoralf Skolem ، هي لغة المنطق من الدرجة الأولى . ^[6]

إن أغلب المجموعات التي نصادفها عادة ليست أعضاء في أنفسها. فلنسمي المجموعة "طبيعية" إذا لم تكن عضوًا في نفسها، ولنسميها "غير طبيعية" إذا كانت عضوًا في نفسها. ومن الواضح أن كل مجموعة يجب أن تكون طبيعية أو غير طبيعية. على سبيل المثال، لننظر إلى مجموعة المربعات في المستوى . هذه المجموعة ليست مربعًا في المستوى، وبالتالي فهي ليست عضوًا في نفسها وبالتالي فهي طبيعية. وعلى النقيض من ذلك، فإن المجموعة التكميلية التي تحتوي على كل شيء ليس مربعًا في المستوى ليست مربعًا في المستوى، وبالتالي فهي أحد أعضائها وبالتالي فهي غير طبيعية.

الآن، نفكر في مجموعة كل المجموعات الطبيعية، R ، ونحاول تحديد ما إذا كانت R طبيعية أم غير طبيعية. إذا كانت R طبيعية، فسوف تكون موجودة في مجموعة كل المجموعات الطبيعية (نفسها)، وبالتالي تكون غير طبيعية؛ من ناحية أخرى، إذا كانت R غير طبيعية، فلن تكون موجودة في مجموعة كل المجموعات الطبيعية (نفسها)، وبالتالي تكون طبيعية. وهذا يؤدي إلى الاستنتاج بأن R ليست طبيعية ولا غير طبيعية: مفارقة راسل.

يُستخدم مصطلح " نظرية المجموعة الساذجة " بطرق مختلفة. في أحد الاستخدامات، تُعَد نظرية المجموعة الساذجة نظرية رسمية، يتم صياغتها بلغة من الدرجة الأولى مع مسند ثنائي غير منطقي ، وتتضمن بديهية الامتداد : ${\displaystyle \in }$

${\displaystyle \لكل x\,\لكل y\,(\لكل z\,(z\in x\iff z\in y)\يعني x=y)}$

ومخطط البديهية للفهم غير المقيد :

${\displaystyle \يوجد y\لكل x(x\in y\iff \varphi(x))}$

لأي مسند به x كمتغير حر داخل . استبدل للحصول على ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x\notin x}$${\displaystyle \varphi(x)}$

${\displaystyle \يوجد y\لكل x(x\في y\إذا x\ليس في x)}$

ثم من خلال التمثيل الوجودي (إعادة استخدام الرمز ) والتمثيل العالمي لدينا ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y\in y\iff y\notin y,}$

تناقض. لذلك، فإن نظرية المجموعة الساذجة هذه غير متسقة . ^[7]

قبل مفارقة راسل (وغيرها من المفارقات المماثلة التي تم اكتشافها في ذلك الوقت، مثل مفارقة بورالي-فورتي )، كان المفهوم الشائع لفكرة المجموعة هو "المفهوم التوسعي للمجموعة"، كما رواها فون نيومان ومورغنسترن: ^[8]

المجموعة عبارة عن مجموعة عشوائية من الأشياء، ولا يتم فرض أي قيود على طبيعة وعدد هذه الأشياء، عناصر المجموعة المعنية. تشكل العناصر المجموعة وتحددها على هذا النحو، دون أي ترتيب أو علاقة من أي نوع بينها.

وعلى وجه الخصوص، لم يكن هناك تمييز بين المجموعات والفئات الخاصة كمجموعات من الأشياء. بالإضافة إلى ذلك، كان يُنظر إلى وجود كل عنصر من عناصر المجموعة على أنه كافٍ لوجود مجموعة العناصر المذكورة. ومع ذلك، أظهرت مفارقات مثل مفارقة راسل وبورالي-فورتي استحالة هذا المفهوم للمجموعة، من خلال أمثلة لمجموعات من الأشياء التي لا تشكل مجموعات، على الرغم من وجود كل هذه الأشياء.

من مبدأ انفجار المنطق الكلاسيكي ، يمكن إثبات أي قضية من خلال تناقض . لذلك، فإن وجود تناقضات مثل مفارقة راسل في نظرية المجموعات البديهية أمر كارثي؛ لأنه إذا كان من الممكن إثبات صحة أي صيغة، فإن ذلك يدمر المعنى التقليدي للحقيقة والزيف. علاوة على ذلك، نظرًا لأن نظرية المجموعات كانت تُعتبر الأساس للتطور البديهي لجميع فروع الرياضيات الأخرى، فقد هددت مفارقة راسل أسس الرياضيات ككل. وقد حفز هذا قدرًا كبيرًا من البحث في مطلع القرن العشرين لتطوير نظرية مجموعات متسقة (خالية من التناقض).

في عام 1908، اقترح إرنست زيرميلو بديهية لنظرية المجموعة التي تجنبت مفارقات نظرية المجموعة الساذجة من خلال استبدال فهم المجموعة التعسفي بمسلمات وجود أضعف، مثل بديهية الانفصال ( Aussonderung ). (لم يكن تجنب المفارقة هو نية زيرميلو الأصلية، ولكن بدلاً من ذلك توثيق الافتراضات التي استخدمها في إثبات نظرية الترتيب الجيد .) ^[9] أدت التعديلات على هذه النظرية البديهية التي اقترحها في عشرينيات القرن العشرين أبراهام فرانكل وثورالف سكوليم وزرميلو نفسه إلى ظهور نظرية المجموعة البديهية المسماة ZFC . أصبحت هذه النظرية مقبولة على نطاق واسع بمجرد توقف بديهية الاختيار لزيرميلو عن كونها مثيرة للجدل، وظلت ZFC نظرية المجموعة البديهية الأساسية حتى يومنا هذا.

لا يفترض ZFC أنه لكل خاصية مجموعة من الأشياء التي تلبي تلك الخاصية. بل يؤكد أنه مع أي مجموعة X ، توجد أي مجموعة فرعية من X يمكن تعريفها باستخدام منطق الدرجة الأولى . لا يمكن إنشاء الكائن R المحدد بواسطة مفارقة راسل أعلاه كمجموعة فرعية من أي مجموعة X ، وبالتالي فهو ليس مجموعة في ZFC. في بعض امتدادات ZFC، ولا سيما في نظرية مجموعة فون نيومان-بيرنايز-غودل ، تسمى الكائنات مثل R بالفئات المناسبة .

لا يتحدث ZFC عن الأنواع، على الرغم من أن التسلسل الهرمي التراكمي لديه فكرة عن الطبقات التي تشبه الأنواع. لم يقبل Zermelo نفسه أبدًا صياغة Skolem لـ ZFC باستخدام لغة المنطق من الدرجة الأولى. كما يلاحظ José Ferreirós، أصر Zermelo بدلاً من ذلك على أن "الدوال القياسية (الشروط أو المسندات) المستخدمة لفصل المجموعات الفرعية، بالإضافة إلى وظائف الاستبدال، يمكن أن تكون" تعسفية تمامًا " [ganz beliebig ]"؛ التفسير الحديث لهذا البيان هو أن Zermelo أراد تضمين الكميات من الدرجة الأعلى من أجل تجنب مفارقة Skolem . حوالي عام 1930، قدم زيرميلو أيضًا (على ما يبدو بشكل مستقل عن فون نيومان)، بديهية الأساس ، وبالتالي -كما لاحظ فيريروس- "من خلال حظر المجموعات "الدائرية" و"غير الأساسية"، فقد دمج [ZFC] أحد الدوافع الحاسمة لنظرية النوع [TT] - مبدأ أنواع الحجج". سمح هذا ZFC من الدرجة الثانية الذي فضله زيرميلو، بما في ذلك بديهية الأساس، بتسلسل هرمي تراكمي غني. يكتب فيريروس أن "طبقات زيرميلو هي في الأساس نفس الأنواع في الإصدارات المعاصرة من نظرية النوع البسيطة التي قدمها جودل وتارسكي. يمكن للمرء أن يصف التسلسل الهرمي التراكمي الذي طور فيه زيرميلو نماذجه على أنه عالم من نظرية النوع التراكمي حيث يُسمح بالأنواع غير المحدودة. (بمجرد أن نتبنى وجهة نظر غير تنبؤية، والتخلي عن فكرة إنشاء الفئات، فليس من غير الطبيعي قبول الأنواع غير المحدودة.) وبالتالي، يمكن اعتبار نظرية النوع البسيطة وZFC الآن أنظمة "تتحدث" بشكل أساسي عن نفس الأشياء المقصودة. الفرق الرئيسي هو أن نظرية النوع تعتمد على منطق قوي من الدرجة الأعلى، بينما استخدم زيرميلو منطقًا من الدرجة الثانية، ويمكن أيضًا إعطاء ZFC صياغة من الدرجة الأولى. "الوصف" من الدرجة الأولى للتسلسل الهرمي التراكمي أضعف كثيرًا، كما يتضح من وجود نماذج قابلة للعد (مفارقة سكوليم)، ولكن "تتمتع ببعض المزايا المهمة." ^[10]

في ZFC، إذا كانت المجموعة A ، فمن الممكن تعريف المجموعة B التي تتكون بالضبط من المجموعات الموجودة في A والتي ليست أعضاء في نفسها. لا يمكن أن تكون المجموعة B في A بنفس المنطق في مفارقة راسل. يوضح هذا الاختلاف في مفارقة راسل أنه لا توجد مجموعة تحتوي على كل شيء.

من خلال عمل زيرميلو وآخرين، وخاصة جون فون نيومان ، أصبح هيكل ما يراه البعض على أنه الأشياء "الطبيعية" التي وصفها ZFC واضحًا في النهاية: إنها عناصر كون فون نيومان ، V ، التي تم بناؤها من المجموعة الفارغة عن طريق تكرار عملية مجموعة القوى بشكل غير نهائي . وبالتالي ، أصبح من الممكن الآن مرة أخرى التفكير في المجموعات بطريقة غير بديهية دون الوقوع في مأزق مفارقة راسل، أي من خلال التفكير في عناصر V. ما إذا كان من المناسب التفكير في المجموعات بهذه الطريقة هو نقطة خلاف بين وجهات النظر المتنافسة حول فلسفة الرياضيات .

تتضمن الحلول الأخرى لمفارقة راسل، والتي تعتمد على استراتيجية أساسية أقرب إلى تلك الخاصة بنظرية النوع ، أسس كوين الجديدة ونظرية مجموعة سكوت-بوتر . وهناك نهج آخر يتلخص في تعريف علاقة العضوية المتعددة باستخدام مخطط فهم معدَّل بشكل مناسب، كما هو الحال في نظرية المجموعة ذات الامتداد المزدوج .

اكتشف راسل المفارقة في مايو ^[11] أو يونيو 1901. ^[12] وفقًا لروايته الخاصة في مقدمة الفلسفة الرياضية لعام 1919 ، فقد "حاول اكتشاف بعض العيوب في دليل كانتور على عدم وجود كاردينال أعظم". ^[13] في رسالة عام 1902، ^[14] أعلن اكتشافه لغوتلوب فريج للمفارقة في كتاب فريج لعام 1879 ، وصاغ المشكلة من حيث المنطق ونظرية المجموعات، وبشكل خاص من حيث تعريف فريج للدالة : ^{[أ] [ب]}

هناك نقطة واحدة فقط واجهت فيها صعوبة. لقد ذكرت (ص 17 [ص 23 أعلاه]) أن الدالة أيضًا يمكن أن تعمل كعنصر غير محدد. كنت أعتقد هذا سابقًا، لكن هذا الرأي يبدو لي الآن مشكوكًا فيه بسبب التناقض التالي. دع w تكون محمولًا: أي أن تكون محمولًا لا يمكن أن يُقال عن نفسه. هل يمكن أن يُقال عن w عن نفسه؟ من كل إجابة يتبع نقيضها. لذلك يجب أن نستنتج أن w ليست محمولًا. وبالمثل لا توجد فئة (ككل) من تلك الفئات التي، إذا أخذنا كل منها ككل، لا تنتمي إلى نفسها. من هذا أستنتج أنه في ظل ظروف معينة، لا تشكل مجموعة قابلة للتعريف [Menge] كلًا.

سيواصل راسل تناول الأمر بالتفصيل في كتابه "مبادئ الرياضيات" عام 1903 ، حيث كرر مواجهته الأولى مع المفارقة: ^[15]

قبل أن نودع الأسئلة الأساسية، من الضروري أن نفحص بمزيد من التفصيل التناقض الفريد الذي سبق ذكره، فيما يتعلق بالمسندات التي لا يمكن التنبؤ بها في حد ذاتها. ... وأود أن أذكر أنني قد توصلت إلى هذا التناقض في محاولتي التوفيق بين دليل كانتور....

كتب راسل إلى فريج عن المفارقة في الوقت الذي كان فريج يستعد فيه للمجلد الثاني من كتابه Grundgesetze der Arithmetik . ^[16] رد فريج على راسل بسرعة كبيرة؛ ظهرت رسالته المؤرخة في 22 يونيو 1902، مع تعليق فان هيجنوورت في Heijenoort 1967: 126-127. ثم كتب فريج ملحقًا يعترف بالمفارقة، ^[17] واقترح حلاً سيؤيده راسل في كتابه مبادئ الرياضيات ، ^[18] لكن البعض اعتبره لاحقًا غير مرضٍ. ^[19] من جانبه، كان راسل لديه عمله في المطابع وأضاف ملحقًا حول مبدأ الأنواع . ^[20]

في مقاله (1908) "دليل جديد على إمكانية وجود ترتيب جيد" (نُشر في نفس الوقت الذي نشر فيه "نظرية المجموعة البديهية الأولى") ^[21] ادعى إرنست زيرميلو اكتشافًا سابقًا للتناقض في نظرية المجموعة الساذجة لكانتور. يقول: "ومع ذلك، حتى الشكل الأولي الذي أعطاه راسل ⁹ للتناقضات النظرية للمجموعات كان من الممكن أن يقنعهم [ج. كونيغ، جوردان، ف. بيرنشتاين] بأن حل هذه الصعوبات لا ينبغي البحث عنه في التخلي عن الترتيب الجيد ولكن فقط في تقييد مناسب لمفهوم المجموعة". ^[22] الحاشية 9 هي حيث يضع ادعائه:

⁹ 1903 ، ص 366-368. ومع ذلك، فقد اكتشفت هذا التناقض بنفسي، بشكل مستقل عن راسل، وقد نقلته قبل عام 1903 إلى البروفيسور هيلبرت وغيره. ^[23]

أرسل فريجه نسخة من كتابه Grundgesetze der Arithmetik إلى هيلبرت؛ وكما ذكرنا أعلاه، ذكر المجلد الأخير لفريجه المفارقة التي نقلها راسل إلى فريجه. بعد استلام المجلد الأخير لفريجه، في 7 نوفمبر 1903، كتب هيلبرت رسالة إلى فريجه قال فيها، في إشارة إلى مفارقة راسل، "أعتقد أن الدكتور زيرميلو اكتشفها منذ ثلاث أو أربع سنوات". تم اكتشاف رواية مكتوبة لحجة زيرميلو الفعلية في Nachlass of Edmund Husserl . ^[24]

في عام 1923، اقترح لودفيج فيتجنشتاين "التخلص" من مفارقة راسل على النحو التالي:

السبب وراء عدم قدرة الدالة على أن تكون حجتها الخاصة هو أن إشارة الدالة تحتوي بالفعل على النموذج الأولي لحجتها، ولا يمكنها أن تحتوي نفسها. فلنفترض أن الدالة F(fx) يمكن أن تكون حجتها الخاصة: في هذه الحالة سيكون هناك اقتراح F(F(fx)) ، حيث يجب أن يكون للدالة الخارجية F والدالة الداخلية F معنيان مختلفان، لأن الدالة الداخلية لها الشكل O(fx) والدالة الخارجية لها الشكل Y(O(fx)) . الحرف "F" فقط هو المشترك بين الدالتين، لكن الحرف في حد ذاته لا يدل على شيء. يصبح هذا واضحًا على الفور إذا كتبنا بدلاً من F(Fu) (do): F(Ou). Ou = Fu . هذا يتخلص من مفارقة راسل. ( Tractatus Logico-Philosophicus ، 3.333)

لقد كتب راسل وألفريد نورث وايتهايد كتابهما "مبادئ الرياضيات" المكون من ثلاثة مجلدات على أمل تحقيق ما عجز فريجه عن تحقيقه. لقد سعيا إلى نفي مفارقات نظرية المجموعات الساذجة من خلال استخدام نظرية الأنواع التي ابتكراها لهذا الغرض. ورغم نجاحهما في إرساء أسس الحساب بطريقة ما، فإنه ليس من الواضح على الإطلاق أنهما نجحا في ذلك بوسائل منطقية بحتة. فبينما تجنب كتاب "مبادئ الرياضيات" المفارقات المعروفة وسمح باستنتاج قدر كبير من الرياضيات، فإن نظامه أدى إلى ظهور مشاكل جديدة.

على أية حال، أثبت كورت جودل في الفترة 1930-1931 أنه في حين أن منطق الكثير من كتاب مبادئ الرياضيات ، المعروف الآن باسم المنطق من الدرجة الأولى، مكتمل ، فإن حسابيات بيانو غير مكتملة بالضرورة إذا كانت متسقة . يُنظر إلى هذا على نطاق واسع للغاية - وإن لم يكن عالميًا - على أنه أظهر أن برنامج المنطق الخاص بفريجه من المستحيل إكماله.

في عام 2001، أقيم مؤتمر دولي مئوي للاحتفال بالذكرى المئوية الأولى لمفارقة راسل في ميونيخ وتم نشر وقائعه. ^[12]

يحتوي هذا القسم على العديد من المشاكل. يرجى المساعدة في تحسينه أو مناقشة هذه المشاكل على صفحة المناقشة . ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسائل ) لا يذكر هذا القسم أي مصادر .يرجى المساعدة في تحسين هذا القسم من خلال إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها . ( مارس 2021 )( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة ) من المحتمل أن يحتوي هذا القسم على أبحاث أصلية .يرجى تحسينه من خلال التحقق من الادعاءات المقدمة وإضافة الاستشهادات المضمنة . يجب إزالة البيانات التي تتكون فقط من الأبحاث الأصلية. ( مارس 2021 )( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة ) [ مشكوك فيه – ناقش ] ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

هناك بعض الإصدارات من هذه المفارقة التي هي أقرب إلى مواقف الحياة الواقعية وقد تكون أسهل في الفهم لغير المنطقيين. على سبيل المثال، تفترض مفارقة الحلاق أن الحلاق يحلق كل الرجال الذين لا يحلقون لأنفسهم والرجال الذين لا يحلقون لأنفسهم فقط. عندما يفكر المرء فيما إذا كان الحلاق يجب أن يحلق لنفسه أم لا، تبدأ مفارقة مماثلة في الظهور. ^[25]

يبدو أن أحد الحجج السهلة التي تفنّد "الروايات الشائعة" مثل مفارقة الحلاق هي أن مثل هذا الحلاق غير موجود، أو أن الحلاق ليس رجلاً، وبالتالي يمكن أن يوجد دون مفارقة. إن الهدف الكامل من مفارقة راسل هو أن الإجابة "مثل هذه المجموعة غير موجودة" تعني أن تعريف مفهوم المجموعة ضمن نظرية معينة غير مرضٍ. لاحظ الفرق بين العبارات "مثل هذه المجموعة غير موجودة" و"إنها مجموعة فارغة ". إنه مثل الفرق بين القول "لا يوجد دلو" والقول "الدلو فارغ".

قد يكون هناك استثناء ملحوظ لما سبق وهو مفارقة جريلينج-نيلسون ، حيث تكون الكلمات والمعنى عناصر السيناريو وليس الأشخاص وقص الشعر. ورغم أنه من السهل دحض مفارقة الحلاق بالقول إن مثل هذا الحلاق غير موجود (ولا يمكن أن يوجد)، فمن المستحيل أن نقول شيئًا مماثلاً عن كلمة محددة بشكل ذي معنى.

إن إحدى الطرق التي تم بها إضفاء الطابع الدرامي على هذه المفارقة هي كما يلي: لنفترض أن كل مكتبة عامة عليها أن تقوم بتجميع فهرس بجميع كتبها. وبما أن الفهرس نفسه هو أحد كتب المكتبة، فإن بعض أمناء المكتبات يدرجونه في الفهرس من أجل استكماله؛ في حين يغفله آخرون لأنه من الواضح أنه أحد كتب المكتبة. والآن لنتخيل أن كل هذه الفهارس تُرسل إلى المكتبة الوطنية. وبعضها يدرج نفسه في قوائمها، والبعض الآخر لا يدرج نفسه. ويقوم أمين المكتبة الوطنية بتجميع فهرسين رئيسيين ـ أحدهما يضم جميع الفهارس التي تدرج نفسها، والآخر يضم جميع الفهارس التي لا تدرج نفسها.

السؤال هنا هو: هل ينبغي لهذه الفهارس الرئيسية أن تسرد نفسها؟ إن "فهرس كل الفهارس التي تسرد نفسها" لا يشكل مشكلة. فإذا لم يقم أمين المكتبة بإدراجه في قائمته الخاصة، فإنه يظل فهرسًا حقيقيًا للفهارس التي تسرد نفسها. وإذا أدرجه، فإنه يظل فهرسًا حقيقيًا للفهارس التي تسرد نفسها. ولكن كما لا يمكن لأمين المكتبة أن يخطئ في الفهرس الرئيسي الأول، فإنه محكوم عليه بالفشل في الثاني. وعندما يتعلق الأمر بـ "فهرس كل الفهارس التي لا تسرد نفسها"، فلا يمكن لأمين المكتبة إدراجه في قائمته الخاصة، لأنه بذلك سيشمل نفسه، وبالتالي ينتمي إلى الفهرس الآخر، فهرس الفهارس التي تسرد نفسها. ولكن إذا أغفل أمين المكتبة إدراجه، فإن الفهرس يكون غير مكتمل. وفي كلتا الحالتين، لا يمكن أن يكون فهرسًا رئيسيًا حقيقيًا للفهارس التي لا تسرد نفسها.

كما هو موضح أعلاه بالنسبة لمفارقة الحلاق، فإن مفارقة راسل ليست صعبة التوسع. خذ على سبيل المثال:

• فعل متعدٍ ⟨V⟩ ، يمكن تطبيقه على صيغته الموضوعية .

شكّل الجملة:

إن ⟨V⟩ هو ⟨V⟩ كل (وفقط أولئك) الذين لا ⟨V⟩ أنفسهم ،

في بعض الأحيان يتم استبدال "الكل" بـ "كل ⟨V⟩ ".

مثال على ذلك هو "الطلاء":

الرسام الذي يرسم هو كل (وفقط أولئك) الذين لا يرسمون أنفسهم .

أو "انتخب"

المنتخب أو ( الممثل ) الذي ينتخب كل من لا ينتخب نفسه.

في حلقة الموسم الثامن من The Big Bang Theory ، "The Skywalker Intrusion"، قام شيلدون كوبر بتحليل أغنية " Play That Funky Music "، مستنتجًا أن الكلمات تقدم مثالًا موسيقيًا لمفارقة راسل. ^[26]

تتضمن المفارقات التي تندرج ضمن هذا المخطط ما يلي:

• الحلاق مع "الحلاقة" .
• مفارقة راسل الأصلية مع "يحتوي على": الحاوية (المجموعة) التي تحتوي على كل (الحاويات) التي لا تحتوي على نفسها.
• مفارقة جريلنج -نيلسون مع "الواصف": الواصف (الكلمة) الذي يصف كل الكلمات التي لا تصف نفسها.
• مفارقة ريتشارد مع "denote": الرقم (الدال) الذي يدل على جميع الدالات (الأرقام) التي لا تدل على نفسها. (في هذه المفارقة، يتم تعيين رقم لكل أوصاف الأرقام. المصطلح "الذي يدل على جميع الدالات (الأرقام) التي لا تدل على نفسها" يسمى هنا ريتشاردي .)
• "أنا أكذب"، أي مفارقة الكاذب ومفارقة إبيميندس ، والتي تعود أصولها إلى العصور القديمة.
• مفارقة راسل-مايهيل

• مفارقة بورالي -فورتي ، حول نوع الترتيب لجميع ترتيبات الآبار
• مفارقة كليين -روسير ، والتي توضح أن حساب لامدا الأصلي غير متسق، من خلال عبارة نفي الذات
• مفارقة كاري (التي سميت على اسم هاسكل كاري )، والتي لا تتطلب النفي
• أصغر مفارقة عدد صحيح غير مثيرة للاهتمام
• مفارقة جيرارد في نظرية النوع

• القانون الأساسي الخامس
• حجة كانتور القطرية  – إثبات في نظرية المجموعات
• مبرهنات عدم الاكتمال لغودل  – النتائج المحدودة في المنطق الرياضي
• مسألة هيلبرت الأولى  – القضية في المنطق الرياضيالصفحات التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه
• " في الدلالة "
• مفارقات نظرية المجموعات
• مفارقة كوين
• مرجع ذاتي
• الحلقة الغريبة  – بنية دورية تمر عبر عدة مستويات في نظام هرمي
• المجموعة الشاملة  – المجموعة الرياضية التي تحتوي على جميع الكائنات

• كابلان، جيفري (2022). "مفارقة راسل - شرح بسيط لمشكلة عميقة". يوتيوب . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2023 .

• "مفارقة راسل". موسوعة الفلسفة على الإنترنت .
• إيرفين، أندرو ديفيد (2016). "مفارقة راسل". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "تناقض راسل". MathWorld .
• "مفارقة راسل". Cut-the-Knot . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2023 .