الرياضيات

تطورت نظرية الأعداد من خلال معالجة الأعداد ، أي الأعداد الطبيعية.${\displaystyle (\mathbb {N} ),}$ثم توسعت لاحقاً لتشمل الأعداد الصحيحة${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$والأعداد النسبية${\displaystyle (\mathbb {Q} ).}$كانت نظرية الأعداد تُعرف سابقًا باسم الحساب، ولكن هذا المصطلح يُستخدم اليوم في الغالب للإشارة إلى العمليات الحسابية . ^{[ 17 ]} يُعتقد أن دراسة الأعداد تعود إلى بابل القديمة ، وربما إلى الصين أيضًا ، لكنها تطورت إلى فرع مستقل في اليونان القديمة . من أبرز علماء نظرية الأعداد الأوائل إقليدس وديوفانتوس الإسكندري . ^{[ 18 ]} يُعزى الفضل في الدراسة الحديثة لنظرية الأعداد في صورتها المجردة إلى حد كبير إلى بيير دي فيرما وليونهارد أويلر . وقد بلغ هذا المجال ذروته مع إسهامات أدريان ماري ليجندر وكارل فريدريش جاوس . ^{[ 19 ]}

تتطلب حلول العديد من مسائل الأعداد البسيطة أساليب متطورة، غالباً من مختلف فروع الرياضيات. ومن الأمثلة البارزة على ذلك نظرية فيرما الأخيرة . صاغ بيير دي فيرما هذه النظرية عام 1637، ولكن لم يتم إثباتها إلا عام 1994 على يد أندرو وايلز ، الذي استخدم أدوات من بينها نظرية المخططات من الهندسة الجبرية ، ونظرية الفئات ، والجبر التماثلي . ^{[ 20 ]} مثال آخر هو حدسية غولدباخ ، التي تنص على أن كل عدد زوجي أكبر من 2 هو مجموع عددين أوليين . صاغها كريستيان غولدباخ عام 1742 ، ولا تزال غير مثبتة رغم الجهود الكبيرة المبذولة. ^{[ 21 ]}

تشمل نظرية الأعداد عدة مجالات فرعية، منها نظرية الأعداد التحليلية ، ونظرية الأعداد الجبرية ، وهندسة الأعداد (الموجهة نحو المنهج)، والتحليل الديوفانتي ، ونظرية التجاوز (الموجهة نحو حل المشكلات). ^{[ 9 ]}

الهندسة هي أحد أقدم فروع الرياضيات. بدأت بوصفات تجريبية تتعلق بالأشكال، مثل الخطوط والزوايا والدوائر ، والتي تم تطويرها بشكل أساسي لتلبية احتياجات المسح والهندسة المعمارية ، ولكنها ازدهرت منذ ذلك الحين لتشمل العديد من المجالات الفرعية الأخرى . ^{[ 22 ]}

كان من الابتكارات الأساسية التي أدخلها الإغريق القدماء مفهوم البراهين ، الذي يشترط إثبات كل ادعاء . فعلى سبيل المثال، لا يكفي التحقق بالقياس من تساوي طولين، بل يجب إثبات تساويهما بالاستدلال من نتائج مقبولة سابقًا ( نظريات ) وبعض العبارات الأساسية. لا تخضع العبارات الأساسية للإثبات لأنها بديهية ( مسلمات )، أو لأنها جزء من تعريف موضوع الدراسة ( مسلمات ). هذا المبدأ، الذي يُعدّ أساسيًا في جميع فروع الرياضيات، وُضِّح لأول مرة في الهندسة، ثم قام إقليدس بتنظيمه في كتابه "الأصول" حوالي عام 300 قبل الميلاد . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

تُعنى الهندسة الإقليدية الناتجة بدراسة الأشكال وترتيباتها المُنشأة من الخطوط والمستويات والدوائر في المستوى الإقليدي ( الهندسة المستوية ) والفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . ^{[ ب ] [ 22 ]}

تطورت الهندسة الإقليدية دون تغيير في أساليبها أو نطاقها حتى القرن السابع عشر، عندما قدم رينيه ديكارت ما يُعرف الآن بالإحداثيات الديكارتية . شكل هذا تحولًا جذريًا في النموذج النظري : فبدلًا من تعريف الأعداد الحقيقية على أنها أطوال قطع مستقيمة (انظر خط الأعداد )، أتاح تمثيل النقاط باستخدام إحداثياتها ، وهي أعداد. وبذلك، أصبح بالإمكان استخدام الجبر (ولاحقًا التفاضل والتكامل) لحل المسائل الهندسية. وانقسمت الهندسة إلى فرعين جديدين: الهندسة التركيبية ، التي تستخدم أساليب هندسية بحتة، والهندسة التحليلية ، التي تستخدم الإحداثيات بشكل منهجي. ^{[ 25 ]}

يُتيح علم الهندسة التحليلية دراسة المنحنيات غير المرتبطة بالدوائر والخطوط. ويمكن تعريف هذه المنحنيات بأنها تمثيل بياني للدوال ، وقد أدت دراستها إلى ظهور الهندسة التفاضلية . كما يمكن تعريفها بأنها معادلات ضمنية ، غالباً ما تكون معادلات متعددة الحدود (التي انبثقت منها الهندسة الجبرية ). وتُمكّن الهندسة التحليلية أيضاً من دراسة الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى من ثلاثة. ^{[ 22 ]}

في القرن التاسع عشر، اكتشف علماء الرياضيات هندسات غير إقليدية ، لا تتبع مسلمة التوازي . وباعتراضهم على صحة هذه المسلمة، نُظر إلى هذا الاكتشاف على أنه يُضاف إلى مفارقة راسل في كشف الأزمة التأسيسية للرياضيات . وقد حُلّ هذا الجانب من الأزمة من خلال تنظيم المنهج البديهي، واعتماد أن صحة البديهيات المختارة ليست مسألة رياضية. ^{[ 26 ] [ 8 ]} وبدوره، يسمح المنهج البديهي بدراسة هندسات متنوعة، إما بتغيير البديهيات أو بالنظر في خصائص لا تتغير تحت تحويلات محددة للفضاء . ^{[ 27 ]}

تشمل المجالات الفرعية للهندسة اليوم ما يلي: ^{[ 9 ]}

• الهندسة الإسقاطية ، التي قدمها جيرار ديزارج في القرن السادس عشر ، توسع الهندسة الإقليدية بإضافة نقاط عند اللانهاية تتقاطع عندها الخطوط المتوازية . وهذا يبسط العديد من جوانب الهندسة الكلاسيكية من خلال توحيد معالجة الخطوط المتقاطعة والمتوازية.
• الهندسة الأفينية ، وهي دراسة الخصائص المتعلقة بالتوازي والمستقلة عن مفهوم الطول.
• الهندسة التفاضلية ، وهي دراسة المنحنيات والأسطح وتعميماتها، والتي يتم تعريفها باستخدام الدوال القابلة للتفاضل .
• نظرية التشعب ، وهي دراسة الأشكال التي لا تكون بالضرورة مضمنة في فضاء أكبر.
• الهندسة الريمانية ، وهي دراسة خصائص المسافة في الفضاءات المنحنية.
• الهندسة الجبرية ، وهي دراسة المنحنيات والأسطح وتعميماتها، والتي يتم تعريفها باستخدام كثيرات الحدود .
• علم الطوبولوجيا ، وهو دراسة الخصائص التي تبقى محفوظة تحت التشوهات المستمرة .
  • الطوبولوجيا الجبرية ، استخدام الطرق الجبرية في الطوبولوجيا، وخاصة الجبر المتجانس .
• الهندسة المنفصلة ، ​​وهي دراسة التكوينات المحدودة في الهندسة.
• الهندسة المحدبة ، وهي دراسة المجموعات المحدبة ، والتي تستمد أهميتها من تطبيقاتها في مجال التحسين .
• الهندسة المركبة ، وهي الهندسة التي يتم الحصول عليها عن طريق استبدال الأعداد الحقيقية بالأعداد المركبة .

الجبر هو فن التعامل مع المعادلات والصيغ. كان ديوفانتوس (القرن الثالث) والخوارزمي (القرن التاسع) من أبرز رواد الجبر. ^{[ 29 ] [ 30 ]} حلّ ديوفانتوس بعض المعادلات التي تتضمن أعدادًا طبيعية مجهولة عن طريق استنتاج علاقات جديدة حتى توصل إلى الحل. ^{[ 31 ]} قدّم الخوارزمي أساليب منهجية لتحويل المعادلات، مثل نقل حد من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر. ^{[ 32 ]} مصطلح الجبر مشتق من الكلمة العربية "الجبر"، والتي تعني "إعادة تجميع الأجزاء المكسورة"، وقد استخدمها الخوارزمي لتسمية إحدى هذه الأساليب في عنوان رسالته الرئيسية . ^{[ 33 ] [ 34 ]}

لم يصبح علم الجبر مجالًا قائمًا بذاته إلا مع فرانسوا فييت (1540-1603)، الذي أدخل استخدام المتغيرات لتمثيل الأعداد المجهولة أو غير المحددة. ^{[ 35 ]} تسمح المتغيرات للرياضيين بوصف العمليات التي يجب إجراؤها على الأعداد المُمثلة باستخدام الصيغ الرياضية . ^{[ 36 ]}

حتى القرن التاسع عشر، كان علم الجبر يقتصر أساسًا على دراسة المعادلات الخطية ( الجبر الخطي حاليًا )، ومعادلات كثيرات الحدود ذات المجهول الواحد ، والتي كانت تُسمى المعادلات الجبرية (وهو مصطلح لا يزال مستخدمًا، وإن كان قد يحمل بعض الغموض). خلال القرن التاسع عشر، بدأ علماء الرياضيات باستخدام المتغيرات لتمثيل أشياء أخرى غير الأعداد (مثل المصفوفات ، والأعداد الصحيحة المعيارية ، والتحويلات الهندسية )، والتي غالبًا ما تكون تعميمات العمليات الحسابية صالحة عليها. ^{[ 37 ]} يتناول مفهوم البنية الجبرية هذا الأمر، إذ يتكون من مجموعة عناصرها غير محددة، وعمليات تُجرى على عناصر هذه المجموعة، وقواعد يجب أن تتبعها هذه العمليات. وهكذا اتسع نطاق علم الجبر ليشمل دراسة البنى الجبرية. وقد أطلق على هذا الكائن من الجبر اسم الجبر الحديث أو الجبر المجرد ، كما تم تحديده من خلال تأثير وأعمال إيمي نوثر ، ^{[ 38 ]} وتم تعميمه من خلال كتاب فان دير واردن Moderne Algebra .

تتمتع بعض أنواع البنى الجبرية بخصائص مفيدة وأساسية في كثير من مجالات الرياضيات. وقد أصبحت دراستها جزءًا مستقلاً من الجبر، وتشمل: ^{[ 9 ]}

• نظرية المجموعات
• نظرية المجال
• الفضاءات المتجهة ، التي تتشابه دراستها بشكل أساسي مع الجبر الخطي
• نظرية الحلقات
• الجبر التبادلي ، وهو دراسة الحلقات التبادلية ، يشمل دراسة كثيرات الحدود ، وهو جزء أساسي من الهندسة الجبرية
• الجبر المتماثل
• جبر لي ونظرية زمر لي
• الجبر البولياني ، الذي يُستخدم على نطاق واسع لدراسة البنية المنطقية لأجهزة الكمبيوتر

يهدف كلٌّ من الجبر الشامل ونظرية الفئات إلى دراسة أنواع البنى الجبرية ككائنات رياضية . ^{[ 39 ]} وتنطبق الأخيرة على جميع البنى الرياضية (وليس الجبرية فقط). وقد طُرحت في الأصل، جنبًا إلى جنب مع الجبر التماثلي، لإتاحة الدراسة الجبرية للكائنات غير الجبرية، مثل الفضاءات الطوبولوجية ؛ ويُطلق على هذا المجال التطبيقي تحديدًا اسم الطوبولوجيا الجبرية . ^{[ 40 ]}

علم التفاضل والتكامل، الذي كان يُعرف سابقًا باسم حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي، طُوِّر بشكل مستقل ومتزامن من قِبَل عالمي الرياضيات نيوتن وليبنيز في القرن السابع عشر . ^{[ 41 ]} وهو في جوهره دراسة العلاقة بين المتغيرات التي تعتمد على بعضها البعض بشكل مستمر. وقد توسّع علم التفاضل والتكامل في القرن الثامن عشر على يد أويلر بإدخال مفهوم الدالة والعديد من النتائج الأخرى. ^{[ 42 ]} في الوقت الحاضر، يُشير مصطلح "التفاضل والتكامل" بشكل رئيسي إلى الجزء الأساسي من هذه النظرية، بينما يُستخدم مصطلح "التحليل" عادةً للأجزاء المتقدمة. ^{[ 43 ]}

ينقسم التحليل إلى قسمين فرعيين: التحليل الحقيقي ، حيث تمثل المتغيرات الأعداد الحقيقية ، والتحليل المركب ، حيث تمثل المتغيرات الأعداد المركبة . ويشمل التحليل العديد من المجالات الفرعية المشتركة مع فروع أخرى من الرياضيات، ومنها: ^{[ 9 ]}

• حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات
• التحليل الوظيفي ، حيث تمثل المتغيرات وظائف متفاوتة
• التكامل ، ونظرية القياس ، ونظرية الكمون ، وكلها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية الاحتمالات على متصل.
• المعادلات التفاضلية العادية
• المعادلات التفاضلية الجزئية
• التحليل العددي ، المخصص بشكل أساسي لحساب حلول المعادلات التفاضلية العادية والجزئية التي تظهر في العديد من التطبيقات

الرياضيات المتقطعة، بشكل عام، هي دراسة الكائنات الرياضية الفردية القابلة للعد . ومن الأمثلة على ذلك مجموعة جميع الأعداد الصحيحة. ^{[ 44 ]} ولأن الكائنات المدروسة هنا متقطعة، فإن أساليب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي لا تنطبق عليها بشكل مباشر. ^{[ ج ]} تلعب الخوارزميات - وخاصة تنفيذها وتعقيدها الحسابي - دورًا رئيسيًا في الرياضيات المتقطعة. ^{[ 45 ]}

كانت نظرية الألوان الأربعة وتعبئة الكرات المثلى من أهم مسائل الرياضيات المتقطعة التي تم حلها في النصف الثاني من القرن العشرين. ^{[ 46 ]} كما أن مسألة P مقابل NP ، التي لا تزال مفتوحة حتى يومنا هذا، مهمة أيضًا للرياضيات المتقطعة، إذ أن حلها قد يؤثر على عدد كبير من المسائل المعقدة حسابيًا . ^{[ 47 ]}

تشمل الرياضيات المتقطعة ما يلي: ^{[ 9 ]}

• علم التوافيق ، هو فن حصر الكائنات الرياضية التي تحقق قيودًا معينة. في الأصل، كانت هذه الكائنات عناصر أو مجموعات جزئية من مجموعة معينة ؛ وقد توسع هذا المفهوم ليشمل كائنات متنوعة، مما يُرسي صلة وثيقة بين علم التوافيق وفروع أخرى من الرياضيات المتقطعة. على سبيل المثال، تشمل الهندسة المتقطعة حصر تكوينات الأشكال الهندسية .
• نظرية الرسم البياني والرسوم البيانية الفائقة
• نظرية الترميز ، بما في ذلك رموز تصحيح الأخطاء ، وهي جزء من علم التشفير.
• نظرية الماترويد
• الهندسة المنفصلة
• توزيعات الاحتمال المنفصلة
• نظرية الألعاب (على الرغم من دراسة الألعاب المستمرة أيضًا، إلا أن معظم الألعاب الشائعة، مثل الشطرنج والبوكر ، هي ألعاب منفصلة)
• التحسين المتقطع ، بما في ذلك التحسين التوافقي ، والبرمجة العددية الصحيحة ، والبرمجة المقيدة

يُعدّ كلٌّ من المنطق الرياضي ونظرية المجموعات من فروع الرياضيات منذ أواخر القرن التاسع عشر. ^{[ 48 ] [ 49 ]} قبل ذلك، لم تكن المجموعات تُعتبر كائنات رياضية، وكان المنطق ، على الرغم من استخدامه في البراهين الرياضية، ينتمي إلى الفلسفة ولم يكن محل دراسة خاصة من قِبل علماء الرياضيات. ^{[ 50 ]}

قبل دراسة كانتور للمجموعات اللانهائية ، كان علماء الرياضيات مترددين في النظر إلى المجموعات اللانهائية فعليًا ، واعتبروا اللانهاية نتيجةً للتعداد اللانهائي . أثار عمل كانتور استياء العديد من علماء الرياضيات ليس فقط لنظره في المجموعات اللانهائية فعليًا ^{[ 51 ]} ، بل أيضًا لإظهاره أن هذا يستلزم أحجامًا مختلفة للانهائية، وفقًا لحجة كانتور القطرية . أدى هذا إلى الجدل حول نظرية كانتور للمجموعات ^{[ 52 ]} . في الفترة نفسها، خلصت مجالات مختلفة من الرياضيات إلى أن التعريفات البديهية السابقة للكائنات الرياضية الأساسية لم تكن كافية لضمان الدقة الرياضية ^{[ 53 ]} .

أصبحت هذه الأزمة أساسًا لعلم الرياضيات. ^{[ 54 ]} وقد حُلّت في نهاية المطاف في الرياضيات السائدة من خلال تنظيم المنهج البديهي ضمن نظرية مجموعات رسمية . وبشكل عام، يُعرَّف كل كائن رياضي بمجموعة جميع الكائنات المشابهة له والخصائص التي يجب أن تتوافر فيها. ^{[ 16 ]} على سبيل المثال، في حساب بيانو ، تُعرَّف الأعداد الطبيعية بأنها "الصفر عدد"، و"لكل عدد لاحق فريد"، و"لكل عدد عدا الصفر سابق فريد"، وبعض قواعد الاستدلال. ^{[ 55 ]} ويتجسد هذا التجريد الرياضي من الواقع في فلسفة الشكلية الحديثة ، التي أسسها ديفيد هيلبرت حوالي عام 1910. ^{[ 56 ]}

إن "طبيعة" الأشياء المُعرَّفة بهذه الطريقة تُعدّ مشكلة فلسفية يتركها علماء الرياضيات للفلاسفة، حتى وإن كان لدى العديد منهم آراء حول هذه الطبيعة، ويستخدمون آراءهم - التي تُسمى أحيانًا "الحدس" - لتوجيه دراستهم وبراهينهم. يسمح هذا النهج بالنظر إلى "المنطق" (أي مجموعات قواعد الاستدلال المسموح بها)، والنظريات، والبراهين، وما إلى ذلك، كأشياء رياضية، وإثبات النظريات المتعلقة بها. على سبيل المثال، تُؤكد نظريات عدم الاكتمال لغودل ، بشكل عام، أنه في كل نظام صوري متسق يحتوي على الأعداد الطبيعية، توجد نظريات صحيحة (أي قابلة للإثبات في نظام أقوى)، ولكنها غير قابلة للإثبات داخل النظام نفسه. ^{[ 57 ]} وقد طُعِن في هذا النهج لأسس الرياضيات خلال النصف الأول من القرن العشرين من قِبَل علماء رياضيات بقيادة براور ، الذين روّجوا للمنطق الحدسي (الذي يفتقر صراحةً إلى قانون الوسط المرفوع ). ^{[ 58 ] [ 59 ]}

أدت هذه المشكلات والنقاشات إلى توسع كبير في المنطق الرياضي، مع فروع فرعية مثل نظرية النماذج (نمذجة بعض النظريات المنطقية داخل نظريات أخرى)، ونظرية البرهان ، ونظرية الأنواع ، ونظرية الحوسبة ، ونظرية التعقيد الحسابي . ^{[ 9 ]} على الرغم من أن هذه الجوانب من المنطق الرياضي ظهرت قبل ظهور الحواسيب ، إلا أن استخدامها في تصميم المترجمات ، والتحقق الرسمي ، وتحليل البرامج ، ومساعدي البرهان ، وجوانب أخرى من علوم الحاسوب ، ساهم بدوره في توسيع هذه النظريات المنطقية. ^{[ 60 ]}

الرياضيات الحسابية هي دراسة المسائل الرياضية التي عادةً ما تكون أكبر من قدرة الحوسبة البشرية على حلها. ^{[ 61 ] [ 62 ]}

يتضمن جزء من الرياضيات الحسابية التحليل العددي ، الذي يُعنى بالحساب باستخدام تقريبات الأعداد الحقيقية ( الحساب ذو الفاصلة العائمة ). يوفر التحليل العددي أساليب لحل مسائل التحليل باستخدام التحليل الوظيفي ونظرية التقريب . يشمل التحليل العددي بشكل عام دراسة التقريب والتقطيع ، مع التركيز بشكل خاص على أخطاء التقريب . ^{[ 63 ]} كما يدرس التحليل العددي، وبشكل أوسع الحوسبة العلمية، مواضيع غير تحليلية في العلوم الرياضية، لا سيما نظرية المصفوفات والرسوم البيانية الخوارزمية .

ومن المجالات الأخرى في الرياضيات الحسابية الجبر الحاسوبي ، والذي يتكون أساسًا من معالجة الصيغ الرياضية على جهاز الكمبيوتر.

يُعد إثبات النظريات الآلي ، والذي يشمل مساعدي البرهان ومدققي البرهان، مجالًا آخر من مجالات الرياضيات الحسابية التي تُستخدم للتحقق الرسمي وتسمح بالإثبات الرسمي لنظريات الرياضيات الصعبة مثل نظرية فيت-تومسون على المجموعات المنتهية .

تعتبر الخوارزميات ، وهي جزء كبير من الرياضيات المتقطعة ، والتشفير بالمفتاح العام، جزءًا من الرياضيات الحسابية.

كلمة "رياضيات" مشتقة من الكلمة اليونانية القديمة máthēma ( μάθημα )، والتي تعني " شيء متعلم، معرفة، رياضيات " ، والتعبير المشتق منها mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη )، والذي يعني " العلم الرياضي " . دخلت هذه الكلمة اللغة الإنجليزية خلال فترة اللغة الإنجليزية الوسطى المتأخرة عبر الفرنسية واللاتينية. ^{[ 64 ]}

تقليديًا، عُرفت إحدى المدرستين الرئيسيتين في الفلسفة الفيثاغورية باسم " الرياضيين " (μαθηματικοί) ، والتي كانت تعني آنذاك "المتعلمين" وليس "الرياضيين" بالمعنى الحديث. ويُرجّح أن الفيثاغوريين كانوا أول من حصر استخدام هذه الكلمة في دراسة الحساب والهندسة فقط. وبحلول زمن أرسطو (384-322  قبل الميلاد)، ترسّخ هذا المعنى تمامًا. ^{[ 65 ]}

في اللاتينية والإنجليزية، وحتى حوالي عام 1700، كان مصطلح الرياضيات يعني في الغالب " التنجيم " (أو أحيانًا " علم الفلك ") بدلاً من "الرياضيات"؛ وتغير المعنى تدريجيًا إلى معناه الحالي بين عامي 1500 و1800 تقريبًا. وقد أدى هذا التغيير إلى العديد من الترجمات الخاطئة: على سبيل المثال، تحذير القديس أوغسطين للمسيحيين من "mathematici "، أي "المنجمين"، يُترجم أحيانًا بشكل خاطئ على أنه إدانة للرياضيين. ^{[ 66 ]}

يعود أصل صيغة الجمع الظاهرة في اللغة الإنجليزية إلى الكلمة اللاتينية " mathematica" ( بحسب شيشرون )، وهي صيغة جمع محايدة، مشتقة من الكلمة اليونانية "ta mathēmatiká " ( τὰ μαθηματικά )، وتعني تقريبًا "كل ما يتعلق بالرياضيات". مع ذلك، من المحتمل أن تكون الإنجليزية قد استعارت الصفة "mathematic(al)" فقط، وشكلت الاسم "mathematics" من جديد، على غرار كلمتي "physics " و "metavisics" الموروثتين من اليونانية. ^{[ 67 ]} في اللغة الإنجليزية، يأخذ الاسم " mathematics" فعلًا مفردًا. وغالبًا ما يُختصر إلى "maths" ^{[ 68 ]} أو "math" في أمريكا الشمالية . ^{[ 69 ]}

إضافةً إلى معرفة كيفية عدّ الأشياء المادية، ربما كان سكان عصور ما قبل التاريخ يعرفون أيضاً كيفية عدّ الكميات المجردة، مثل الوقت - الأيام، والفصول، أو السنوات. ^{[ 70 ] [ 71 ]}

تشير الأدلة الأثرية إلى أن نظام العد المصري القديم نشأ في أفريقيا جنوب الصحراء الكبرى. ^{[ 72 ]} كما وُجدت تصاميم الهندسة الكسورية، المنتشرة على نطاق واسع بين ثقافات أفريقيا جنوب الصحراء الكبرى، في العمارة المصرية والرموز الكونية. [ ^{73 ] ووفقًا} للباحث ألكسندر مارشاك ، ربما أثر عظم إيشانجو على التطور اللاحق للرياضيات في مصر، إذ استخدم الحساب المصري، كما هو الحال في بعض النقوش على عظم إيشانجو، الضرب في 2؛ إلا أن هذا الأمر محل خلاف. ^{[ 74 ]} تضمنت المنشآت الضخمة الموجودة في نبتة بلايا ، بصعيد مصر، علم الفلك ، وترتيبات تقويمية متوافقة مع الشروق الهلالي لنجم الشعرى اليمانية ، ودعمت معايرة التقويم السنوي لفيضان النيل السنوي. ^{[ 75 ]} وضع النوبيون القدماء نظامًا من القواعد الهندسية شكل أساس الساعات الشمسية الأولى . كما مارس النوبيون منهجية حساب المثلثات التي تُضاهي نظرائهم المصريين. ^{[ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]}

لم تظهر أدلة على استخدام الرياضيات الأكثر تعقيدًا إلا حوالي عام 3000 قبل الميلاد ، عندما بدأ البابليون والمصريون باستخدام الحساب والجبر والهندسة في الضرائب والحسابات المالية الأخرى، وفي البناء والتشييد، وفي علم الفلك. ^{[ 80 ]} تعود أقدم النصوص الرياضية من بلاد ما بين النهرين ومصر إلى الفترة ما بين 2000 و1800 قبل الميلاد. ^{[ 81 ]} تشير العديد من النصوص القديمة إلى ثلاثيات فيثاغورس ، وبالتالي ، بالاستدلال، يبدو أن نظرية فيثاغورس هي أقدم مفهوم رياضي وأكثرها انتشارًا بعد الحساب والهندسة الأساسيين. في الرياضيات البابلية، ظهر الحساب الابتدائي ( الجمع والطرح والضرب والقسمة ) لأول مرة في السجل الأثري. كما امتلك البابليون نظامًا للقيمة المكانية واستخدموا نظامًا عدديًا ستينيًا لا يزال مستخدمًا حتى اليوم لقياس الزوايا والوقت . ^{[ 82 ]}  

بحلول القرن الخامس قبل الميلاد، بدأت الرياضيات اليونانية بالظهور كعلم مستقل، ويبدو أن بعض اليونانيين القدماء ، مثل الفيثاغوريين، اعتبروها موضوعًا قائمًا بذاته. ^{[ 83 ]} حوالي عام 300 قبل الميلاد، نظم إقليدس المعرفة الرياضية من خلال المسلمات والمبادئ الأساسية، والتي تطورت إلى المنهج البديهي المستخدم في الرياضيات اليوم، والذي يتألف من التعريف، والمسلمة، والنظرية، والبرهان. ^{[ 84 ]} يتناول كتابه "الأصول " الهندسة ونظرية الأعداد، ويُعتبر على نطاق واسع الكتاب المدرسي الأكثر نجاحًا وتأثيرًا على مر العصور. ^{[ 85 ]} ومن علماء الرياضيات البارزين الآخرين في العصور القديمة أرخميدس السرقوسي ( حوالي 287 - حوالي 212 قبل الميلاد ). ^{[ ٨٦ ]} طوّر طرقًا لحساب مساحة سطح وحجم المجسمات الدورانية ، بما في ذلك استخدام طريقة الاستنفاد لحساب المساحة تحت قوس القطع المكافئ بجمع متسلسلة لانهائية ، بطريقة تُذكّر بحساب التفاضل والتكامل الحديث. ^{[ ٨٧ ]} من الإنجازات البارزة الأخرى للرياضيات اليونانية: القطوع المخروطية ( أبولونيوس البرغي ، القرن الثالث قبل الميلاد)، ^[ ٨٨] وعلم المثلثات ( هيبارخوس النيقاوي ، القرن الثاني قبل الميلاد)، ^{[ ٨٩ ]} وبدايات الجبر ما قبل الحديث (ديوفانتوس، القرن الثالث الميلادي ^{) . [ ٩٠ ]} 

تطور نظام الأرقام الهندية العربية وقواعد استخدام عملياته، المستخدمة في جميع أنحاء العالم اليوم، على مدار الألفية الأولى الميلادية في الهند ، وانتقل إلى العالم الغربي عبر الرياضيات الإسلامية . ^{[ 91 ]} ومن التطورات البارزة الأخرى في الرياضيات الهندية التعريف الحديث والتقريب للجيب وجيب التمام ، وشكل مبكر من المتسلسلات اللانهائية . ^{[ 92 ] [ 93 ]}

خلال العصر الذهبي للإسلام ، ولا سيما في القرنين التاسع والعاشر الميلاديين  ، شهدت الرياضيات العديد من الابتكارات المهمة التي بُنيت على أسس الرياضيات اليونانية. وكان أبرز إنجازات الرياضيات الإسلامية تطوير علم الجبر . ومن الإنجازات الأخرى في العصر الإسلامي التقدم في حساب المثلثات الكروية وإضافة الفاصلة العشرية إلى نظام الأرقام العربية. ^{[ 94 ]} وكان العديد من علماء الرياضيات البارزين في هذه الفترة من الفرس، مثل الخوارزمي وعمر الخيام وشرف الدين الطوسي . ^{[ 95 ]} وقد تُرجمت النصوص الرياضية اليونانية والعربية بدورها إلى اللاتينية خلال العصور الوسطى، وأُتيحت في أوروبا. ^{[ 96 ]}

خلال العصر الحديث المبكر ، شهدت الرياضيات تطورًا متسارعًا في أوروبا الغربية ، مع ابتكارات أحدثت ثورة في هذا المجال، مثل إدخال المتغيرات والرموز الرياضية على يد فرانسوا فييت (1540-1603)، وإدخال اللوغاريتمات على يد جون نابيير عام 1614، مما سهّل العمليات الحسابية بشكل كبير، لا سيما في علم الفلك والملاحة البحرية ، وإدخال الإحداثيات على يد رينيه ديكارت (1596-1650) لاختزال الهندسة إلى الجبر، وتطوير حساب التفاضل والتكامل على يد إسحاق نيوتن (1643-1727) وغوتفريد لايبنتز (1646-1716). وقد وحّد ليونارد أويلر (1707-1783)، أبرز علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر، هذه الابتكارات في مجموعة واحدة بمصطلحات موحدة، وأكملها باكتشاف وإثبات العديد من النظريات.

لعلّ أبرز علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر هو عالم الرياضيات الألماني كارل غاوس ، الذي قدّم إسهاماتٍ عديدة في مجالاتٍ كالجبر والتحليل والهندسة التفاضلية ونظرية المصفوفات ونظرية الأعداد والإحصاء . ^{[ 97 ]} وفي أوائل القرن العشرين، أحدث كورت غودل نقلةً نوعيةً في الرياضيات بنشره نظريات عدم الاكتمال ، التي تُبيّن جزئيًا أن أي نظامٍ بديهي متسق - إذا كان قويًا بما يكفي لوصف الحساب - سيحتوي على قضايا صحيحة لا يمكن إثباتها. ^{[ 57 ]}

شهدت الرياضيات منذ ذلك الحين توسعًا كبيرًا، ونشأ تفاعل مثمر بينها وبين العلوم ، مما أفاد كليهما. ولا تزال الاكتشافات الرياضية تتوالى حتى يومنا هذا. ووفقًا لميخائيل ب. سيفريوك، في  عدد يناير 2006 من نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، "يبلغ عدد الأوراق والكتب المدرجة في قاعدة بيانات المراجعات الرياضية (MR) منذ عام 1940 (السنة الأولى لتشغيلها) أكثر من 1.9  مليون، ويُضاف إليها أكثر من 75  ألف مادة سنويًا. وتحتوي الغالبية العظمى من هذه الأعمال على نظريات رياضية جديدة وبراهينها." ^{[ 98 ]}

قام إسحاق نيوتن (يسار) وجوتفريد فيلهلم لايبنتز بتطوير حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر.

حتى القرن التاسع عشر، لم يكن هناك تمييز واضح بين الرياضيات البحتة والتطبيقية كما هو مفهوم اليوم. ^{[ 116 ]} كان التمييز بين تطوير الرياضيات لذاتها أو لتطبيقاتها غير واضح تمامًا: فقد تم إدخال الأعداد الطبيعية والحساب لتلبية الحاجة إلى العد، بينما استُلهمت الهندسة من المساحة والهندسة المعمارية وعلم الفلك، لكن سرعان ما استقل كلا المجالين بذاتهما. لاحقًا، استخدم إسحاق نيوتن حساب التفاضل والتكامل جزئيًا للمساعدة في تفسير حركة الكواكب وقانون الجاذبية. علاوة على ذلك، منذ العصور القديمة، كان معظم علماء الرياضيات علماء أيضًا، وكان العديد من العلماء علماء رياضيات أيضًا. ^{[ 117 ]} ومع ذلك، فإن التقاليد الغربية للرياضيات البحتة تعود بجذورها إلى اليونان القديمة. ^{[ 118 ]} على سبيل المثال، لم يكن لمسألة تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية ، والتي تعود إلى إقليدس في عام 300 قبل الميلاد، أي تطبيق عملي قبل استخدامها في نظام تشفير RSA ، المستخدم الآن على نطاق واسع لأمن شبكات الحاسوب . ^{[ 119 ]}

في القرن التاسع عشر، ركز علماء الرياضيات، مثل كارل فايرشتراس وريتشارد ديديكيند، أبحاثهم بشكل متزايد على المسائل الداخلية، أي الرياضيات البحتة . ^{[ 116 ] [ 120 ]} وقد أدى ذلك إلى تقسيم الرياضيات إلى رياضيات بحتة ورياضيات تطبيقية ، حيث يُنظر إلى الأخيرة غالبًا على أنها أقل قيمة بين علماء الرياضيات البحتة. ومع ذلك، فإن الحدود الفاصلة بين هذين الفرعين غالبًا ما تكون غير واضحة. ^{[ 121 ]}

أدت تداعيات الحرب العالمية الثانية إلى طفرة في تطوير الرياضيات التطبيقية في الولايات المتحدة وغيرها. ^{[ 122 ] [ 123 ]} وقد وُجد أن العديد من النظريات التي طُوّرت للتطبيقات مثيرة للاهتمام من وجهة نظر الرياضيات البحتة، كما تبيّن أن العديد من نتائج الرياضيات البحتة لها تطبيقات خارج نطاق الرياضيات؛ وبدورها، قد تُسهم دراسة هذه التطبيقات في تقديم رؤى جديدة حول "النظرية البحتة". ^{[ 124 ] [ 125 ]}

من الأمثلة على الحالة الأولى نظرية التوزيعات ، التي قدمها لوران شوارتز للتحقق من صحة الحسابات في ميكانيكا الكم ، والتي سرعان ما أصبحت أداةً مهمةً في التحليل الرياضي (البحت). ^{[ 126 ]} ومن الأمثلة على الحالة الثانية قابلية حسم نظرية الأعداد الحقيقية من الرتبة الأولى ، وهي مسألة في الرياضيات البحتة أثبت صحتها ألفريد تارسكي ، باستخدام خوارزمية يستحيل تطبيقها نظرًا لتعقيدها الحسابي الهائل. ^{[ 127 ]} وللحصول على خوارزمية قابلة للتطبيق وقادرة على حل أنظمة المعادلات والمتباينات متعددة الحدود، قدم جورج كولينز التفكيك الجبري الأسطواني الذي أصبح أداةً أساسيةً في الهندسة الجبرية الحقيقية . ^{[ 128 ]}

في الوقت الحاضر، يُعدّ التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية مسألة تتعلق بأهداف البحث الشخصية للرياضيين أكثر من كونه تقسيمًا للرياضيات إلى مجالات واسعة. ^{[ 129 ] [ 130 ]} يتضمن تصنيف موضوعات الرياضيات قسمًا خاصًا بـ"الرياضيات التطبيقية العامة"، ولكنه لا يذكر "الرياضيات البحتة". ^{[ 9 ]} ومع ذلك، لا تزال هذه المصطلحات مستخدمة في أسماء بعض الأقسام الجامعية ، مثل كلية الرياضيات بجامعة كامبريدج .

إن الفعالية غير المتوقعة للرياضيات ظاهرةٌ أطلق عليها الفيزيائي يوجين ويغنر هذا الاسم وأوضحها لأول مرة . ^{[ 5 ]} وتتمثل هذه الظاهرة في أن العديد من النظريات الرياضية (حتى "الأكثر نقاءً") لها تطبيقات خارج نطاق موضوعها الأصلي. قد تكون هذه التطبيقات خارجة تمامًا عن مجال الرياضيات الأصلي، وقد تتعلق بظواهر فيزيائية كانت مجهولة تمامًا عند ظهور النظرية الرياضية. ^{[ 131 ]} ويمكن إيجاد أمثلة على التطبيقات غير المتوقعة للنظريات الرياضية في العديد من مجالات الرياضيات.

من الأمثلة البارزة على ذلك تحليل الأعداد الطبيعية إلى عواملها الأولية ، والذي اكتُشف قبل أكثر من ألفي عام من شيوع استخدامه في الاتصالات الآمنة عبر الإنترنت من خلال نظام التشفير RSA . ^{[ 132 ]} ومثال تاريخي آخر هو نظرية القطوع الناقصة . درسها علماء الرياضيات اليونانيون القدماء باعتبارها قطوعًا مخروطية (أي تقاطعات المخاريط مع المستويات). وبعد ما يقرب من ألفي عام، اكتشف يوهانس كيبلر أن مسارات الكواكب هي قطوع ناقصة. ^{[ 133 ]}

في القرن التاسع عشر، أدى التطور الداخلي للهندسة (الرياضيات البحتة) إلى تعريف ودراسة الهندسات غير الإقليدية، والفضاءات ذات الأبعاد الأعلى من ثلاثة، والمتشعبات . في ذلك الوقت، بدت هذه المفاهيم منفصلة تمامًا عن الواقع الفيزيائي، ولكن في بداية القرن العشرين، وضع ألبرت أينشتاين نظرية النسبية التي تستخدم هذه المفاهيم بشكل أساسي. على وجه الخصوص، يُعد الزمكان في النسبية الخاصة فضاءً غير إقليدي ذو بُعد أربعة، بينما يُعد الزمكان في النسبية العامة متشعبًا (منحنيًا) ذو بُعد أربعة. ^{[ 134 ] [ 135 ]}

من أبرز جوانب التفاعل بين الرياضيات والفيزياء هو عندما تقود الرياضيات البحث في الفيزياء. ويتضح ذلك من خلال اكتشافات البوزيترون والباريون .${\displaystyle \Omega ^{-}.}$في كلتا الحالتين، كانت معادلات النظريات ذات حلول غير مفسرة، مما أدى إلى التكهن بوجود جسيم مجهول ، والبحث عن هذه الجسيمات. وفي كلتا الحالتين، تم اكتشاف هذه الجسيمات بعد بضع سنوات من خلال تجارب محددة. ^{[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]}

أدت الصلة بين الرياضيات والواقع المادي إلى نقاشات فلسفية منذ عهد فيثاغورس على الأقل . جادل الفيلسوف القديم أفلاطون بأن المفاهيم المجردة التي تعكس الواقع المادي لها واقعها الخاص الموجود خارج نطاق المكان والزمان. ونتيجة لذلك، يُشار غالبًا إلى الرؤية الفلسفية القائلة بأن الكائنات الرياضية موجودة بشكل ما في حد ذاتها في عالم التجريد باسم الأفلاطونية . وبغض النظر عن آرائهم الفلسفية المحتملة، يمكن اعتبار علماء الرياضيات المعاصرين عمومًا أفلاطونيين، لأنهم يفكرون ويتحدثون عن موضوعات دراستهم كأشياء حقيقية. ^{[ 172 ]}

لخص أرماند بوريل هذا الرأي حول حقيقة الرياضيات على النحو التالي، وقدم اقتباسات من جي إتش هاردي ، وتشارلز هيرميت ، وهنري بوانكاريه ، وألبرت أينشتاين تدعم آراءه. ^{[ 136 ]}

يصبح الشيء موضوعيًا (مقابل "ذاتي") حالما نقتنع بوجوده في أذهان الآخرين بنفس صورته في أذهاننا، وبإمكاننا التفكير فيه ومناقشته معًا. ^{[ 173 ]} ولأن لغة الرياضيات دقيقة للغاية، فهي الأنسب لتعريف المفاهيم التي يوجد حولها إجماع. في رأيي، هذا كافٍ ليمنحنا شعورًا بالوجود الموضوعي، بواقعية الرياضيات...

ومع ذلك، فإن الأفلاطونية والآراء المعاصرة حول التجريد لا تفسر الفعالية غير المعقولة للرياضيات (إذ تفترض الأفلاطونية أن الرياضيات موجودة بشكل مستقل، لكنها لا تفسر سبب مطابقتها للواقع). ^{[ 174 ]}

لا يوجد إجماع عام حول تعريف الرياضيات أو وضعها المعرفي ، أي مكانتها ضمن المعرفة . كثير من علماء الرياضيات المحترفين لا يهتمون بتعريف الرياضيات، أو يعتبرونها غير قابلة للتعريف. بل لا يوجد إجماع حتى على ما إذا كانت الرياضيات فنًا أم علمًا. يقول البعض ببساطة: "الرياضيات هي ما يفعله علماء الرياضيات". ^{[ 175 ] [ 176 ]} ويتمثل أحد المناهج الشائعة في تعريف الرياضيات من خلال موضوع دراستها. ^{[ 177 ] [ 178 ] [ 179 ] [ 180 ]}

عرّف أرسطو الرياضيات بأنها "علم الكميات"، وساد هذا التعريف حتى القرن الثامن عشر. مع ذلك، أشار أرسطو أيضًا إلى أن التركيز على الكميات وحدها قد لا يميز الرياضيات عن علوم أخرى كالفيزياء؛ ففي رأيه، التجريد ودراسة الكميات كخاصية "قابلة للفصل فكريًا" عن الواقع هما ما يميز الرياضيات. ^{[ 181 ]} في القرن التاسع عشر، عندما بدأ علماء الرياضيات بمعالجة مواضيع - كالمجموعات اللانهائية - التي لا ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالواقع المادي، ظهرت تعريفات جديدة متنوعة. ^{[ 182 ]} مع ظهور عدد كبير من فروع الرياضيات الجديدة منذ بداية القرن العشرين، أصبح تعريف الرياضيات بناءً على موضوع دراستها أمرًا بالغ الصعوبة. ^{[ 183 ]} ​​على سبيل المثال، بدلًا من التعريف، يلخص سوندرز ماك لين في كتابه "الرياضيات: الشكل والوظيفة" أساسيات عدة فروع من الرياضيات، مؤكدًا على ترابطها، ويلاحظ ما يلي: ^{[ 184 ]}

يُوفر تطور الرياضيات شبكة مترابطة بإحكام من القواعد والمفاهيم والأنظمة الرسمية. وترتبط عقد هذه الشبكة ارتباطًا وثيقًا بالإجراءات المفيدة في الأنشطة البشرية وبالأسئلة التي تُطرح في العلوم. ويسترشد الانتقال من الأنشطة إلى الأنظمة الرياضية الرسمية بمجموعة متنوعة من الأفكار والرؤى العامة.

ثمة نهج آخر لتعريف الرياضيات يتمثل في استخدام مناهجها. فعلى سبيل المثال، يُصنَّف مجالٌ ما من مجالات الدراسة ضمن الرياضيات بمجرد إمكانية إثبات النظريات - وهي عباراتٌ تعتمد صحتها على برهان، أي استنتاج منطقي بحت. ^{[ د ] [ 185 ]}

يتطلب الاستدلال الرياضي دقةً متناهية . وهذا يعني أن تكون التعريفات واضحة لا لبس فيها، وأن تكون البراهين قابلة للاختزال إلى سلسلة من تطبيقات قواعد الاستدلال ، ^{[ هـ ]} دون أي استخدام للأدلة التجريبية أو الحدس . ^{[ و ] [ 186 ]} لا يقتصر الاستدلال الدقيق على الرياضيات فحسب، ولكن في الرياضيات، يكون معيار الدقة أعلى بكثير مما هو عليه في أي مجال آخر. فعلى الرغم من إيجاز الرياضيات ، قد تتطلب البراهين الدقيقة مئات الصفحات للتعبير عنها، مثل نظرية فيت-تومسون التي تبلغ 255 صفحة . ^{[ ز ]} وقد أتاح ظهور البراهين بمساعدة الحاسوب زيادة طول البراهين. ^{[ ح ] [ 187 ]} ونتيجةً لهذا التوجه، ظهرت فلسفة البرهان شبه التجريبي الذي لا يمكن اعتباره معصومًا من الخطأ، ولكنه يحمل احتمالية. ^{[ 8 ]}

يعود مفهوم الدقة في الرياضيات إلى اليونان القديمة، حيث شجع مجتمعها على التفكير المنطقي والاستنتاجي. إلا أن هذا النهج الدقيق كان يميل إلى تثبيط استكشاف مناهج جديدة، كالأعداد غير النسبية ومفاهيم اللانهاية. وقد تحسنت طريقة إثبات البرهان الدقيق في القرن السادس عشر باستخدام الرموز. وفي القرن الثامن عشر، أدى التحول الاجتماعي إلى اعتماد علماء الرياضيات على التدريس كمصدر رزق، مما دفعهم إلى التفكير بشكل أعمق في المفاهيم الأساسية للرياضيات. وقد نتج عن ذلك مناهج أكثر دقة، مع الانتقال من الأساليب الهندسية إلى البراهين الجبرية ثم الحسابية. ^{[ 8 ]}

في نهاية القرن التاسع عشر، بدا أن تعريفات المفاهيم الأساسية للرياضيات لم تكن دقيقة بما يكفي لتجنب المفارقات (كالهندسة غير الإقليدية ودالة فايرشتراس ) والتناقضات (مفارقة راسل). وقد حُلّت هذه المشكلة بإدراج البديهيات ضمن قواعد الاستدلال القطعي للنظريات الرياضية؛ أي إعادة إدخال المنهج البديهي الذي رياده الإغريق القدماء. ^{[ 8 ]} ونتيجةً لذلك، لم يعد مفهوم "الدقة" ذا صلة في الرياضيات، إذ أن البرهان إما صحيح أو خاطئ، و"البرهان الدقيق" ليس إلا حشوًا . ويبرز مفهوم خاص للدقة في الجوانب الاجتماعية للبرهان، حيث يمكن دحضه بشكل قاطع من قِبل رياضيين آخرين. وبعد قبول البرهان لسنوات عديدة أو حتى عقود، يُمكن اعتباره موثوقًا. ^{[ 188 ]}

ومع ذلك، قد يظل مفهوم "الدقة" مفيدًا لتعليم المبتدئين ما هو البرهان الرياضي. ^{[ 189 ]}

تتمتع الرياضيات بقدرةٍ لافتة على تجاوز الحدود الثقافية والفترات الزمنية. وباعتبارها نشاطًا بشريًا ، فإن ممارسة الرياضيات لها جانب اجتماعي يشمل التعليم ، والوظائف ، والتقدير ، والتعميم ، وغير ذلك. في مجال التعليم، تُعدّ الرياضيات جزءًا أساسيًا من المناهج الدراسية، وتشكل عنصرًا هامًا في التخصصات الأكاديمية للعلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات . ومن أبرز الوظائف المتاحة للرياضيين المحترفين: مُدرّس أو أستاذ رياضيات، وإحصائي ، وخبير اكتواري ، ومحلل مالي ، واقتصادي ، ومحاسب ، وتاجر سلع ، ومستشار حاسوب . ^{[ 190 ]}

تشير الأدلة الأثرية إلى أن تدريس الرياضيات بدأ في بابل القديمة منذ الألفية الثانية قبل الميلاد. ^{[ 191 ]} وقد تم الكشف عن أدلة مماثلة لتدريب الكتبة على الرياضيات في الشرق الأدنى القديم ، ثم في العالم اليوناني الروماني بدءًا من حوالي 300 قبل الميلاد. ^{[ 192 ]} يُعدّ بردية ريند ، التي يعود تاريخها إلى حوالي 1650 قبل الميلاد في مصر، أقدم كتاب رياضيات معروف . ^{[ 193 ]} ونظرًا لندرة الكتب، كان يتم نقل تعاليم الرياضيات في الهند القديمة عن طريق التقاليد الشفوية المحفوظة منذ العصر الفيدي ( حوالي 1500 - حوالي 500 قبل الميلاد ). ^{[ 194 ]} وفي الصين الإمبراطورية خلال عهد أسرة تانغ (618-907 ميلادي)، تم اعتماد منهج رياضيات لامتحان الخدمة المدنية للالتحاق بالبيروقراطية الحكومية. ^{[ 195 ]} 

بعد العصور المظلمة ، تولت المدارس الدينية في أوروبا تدريس الرياضيات كجزء من العلوم الأربعة . وبدأ التدريس الرسمي في مجال التربية مع المدارس اليسوعية في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وظلت معظم مناهج الرياضيات في مستوى أساسي وعملي حتى القرن التاسع عشر، حين بدأت بالازدهار في فرنسا وألمانيا. وكانت أقدم مجلة تُعنى بتدريس الرياضيات هي " L'Enseignement Mathématique" (التعليم الرياضي) ، التي بدأت النشر عام ١٨٩٩. ^{[ ١٩٦ ]} وأدت التطورات الغربية في العلوم والتكنولوجيا إلى إنشاء أنظمة تعليمية مركزية في العديد من الدول، حيث شكلت الرياضيات عنصرًا أساسيًا فيها - في البداية لتطبيقاتها العسكرية. ^{[ ١٩٧ ]} وبينما يختلف محتوى المقررات الدراسية، فإن جميع الدول تقريبًا تُدرّس الرياضيات لطلابها لفترات طويلة في الوقت الحاضر. ^{[ ١٩٨ ]}

خلال سنوات الدراسة، ترتبط القدرات الرياضية والتوقعات الإيجابية ارتباطًا وثيقًا بالاهتمام المهني بهذا المجال. ويمكن لعوامل خارجية، مثل التغذية الراجعة التحفيزية من المعلمين والآباء والأقران، أن تؤثر على مستوى الاهتمام بالرياضيات. ^{[ 199 ]} قد يُصاب بعض طلاب الرياضيات بالقلق أو الخوف من أدائهم في هذه المادة. يُعرف هذا بالقلق الرياضي ، ويُعتبر من أبرز الاضطرابات التي تؤثر على الأداء الأكاديمي. قد ينشأ القلق الرياضي نتيجة عوامل مختلفة، مثل مواقف الآباء والمعلمين، والصور النمطية الاجتماعية، والسمات الشخصية. ويمكن التخفيف من هذا القلق من خلال تغيير أساليب التدريس، والتفاعل مع الآباء والمعلمين، وتوفير علاجات مُخصصة لكل طالب. ^{[ 200 ]}

تعتمد صحة النظرية الرياضية فقط على دقة برهانها، والذي يمكن نظريًا إنجازه تلقائيًا بواسطة برنامج حاسوبي . هذا لا يعني عدم وجود مجال للإبداع في العمل الرياضي. بل على العكس، فالعديد من النتائج الرياضية المهمة (النظريات) هي حلول لمسائل عجز رياضيون آخرون عن حلها، وقد يكون ابتكار طريقة لحلها خطوة أساسية في عملية الحل. ^{[ 201 ] [ 202 ]} ومن الأمثلة البارزة على ذلك نظرية أبيري : إذ لم يقدم روجر أبيري سوى أفكار البرهان، ولم يُقدم البرهان الرسمي إلا بعد عدة أشهر على يد ثلاثة رياضيين آخرين. ^{[ 203 ]}

لا يقتصر الجانب النفسي لنشاط علماء الرياضيات على الإبداع والدقة فحسب، بل ينظر بعضهم إلى نشاطهم كلعبة، وتحديدًا كحل ألغاز . ^{[ 204 ]} ويُسلَّط الضوء على هذا الجانب من النشاط الرياضي في الرياضيات الترفيهية .

يجد علماء الرياضيات قيمة جمالية في الرياضيات. ومثل الجمال ، يصعب تعريفها، لكنها ترتبط عادةً بالأناقة ، التي تتضمن صفاتٍ كالبساطة والتناظر والكمال والعمومية. وقد عبّر جي إتش هاردي في كتابه "اعتذار عالم رياضيات" عن اعتقاده بأن الاعتبارات الجمالية كافيةٌ في حد ذاتها لتبرير دراسة الرياضيات البحتة. كما حدد معايير أخرى كالأهمية والمفاجأة والحتمية، التي تُسهم في جماليات الرياضيات. ^{[ 205 ]} وقد عبّر بول إردوش عن هذا الشعور بأسلوبٍ ساخرٍ أكثر، متحدثًا عن "الكتاب"، وهو مجموعةٌ يُفترض أنها إلهيةٌ لأجمل البراهين. وكتاب " براهين من الكتاب " الصادر عام 1998 ، والمستوحى من إردوش، هو مجموعةٌ من الحجج الرياضية الموجزة والكاشفة. ومن أمثلة النتائج الأنيقة التي يتضمنها الكتاب برهان إقليدس على وجود عددٍ لا نهائيٍ من الأعداد الأولية، وتحويل فورييه السريع للتحليل التوافقي . ^{[ 206 ]}

يرى البعض أن اعتبار الرياضيات علمًا يُقلل من شأن فنها وتاريخها في الفنون الليبرالية السبعة التقليدية . ^{[ 207 ]} ويتجلى هذا الاختلاف في وجهات النظر في النقاش الفلسفي حول ما إذا كانت النتائج الرياضية تُخلق (كما في الفن) أم تُكتشف (كما في العلم). ^{[ 136 ]} وتُعد شعبية الرياضيات الترفيهية دليلاً آخر على المتعة التي يجدها الكثيرون في حل المسائل الرياضية.

النغمات التي تبدو متناغمة للأذن الغربية هي تلك التي تتناسب تردداتها الأساسية بنسب بسيطة. على سبيل المثال، يضاعف الأوكتاف التردد، بينما يضاعفه الخُمس التام بمقدار${\textstyle {\frac {3}{2}}}$[ ^{208 ] [ 209 ]​}

يجد البشر، وكذلك بعض الحيوانات الأخرى، الأنماط المتناظرة أكثر جمالاً. ^{[ 210 ]} رياضياً، تُشكّل تناظرات الجسم مجموعة تُعرف باسم مجموعة التناظر . ^{[ 211 ]} على سبيل المثال، المجموعة التي يقوم عليها تناظر المرآة هي المجموعة الدورية لعنصرين.${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$يُعد اختبار رورشاخ شكلاً ثابتاً بفضل هذا التناظر، ^{[ 212 ]} كما هو الحال مع أجسام الفراشات والحيوانات بشكل عام (على الأقل على السطح). ^{[ 213 ]} تتمتع الأمواج على سطح البحر بتناظر انتقالي: فتحريك نقطة الرؤية بالمسافة بين قمم الأمواج لا يُغير من رؤية المرء للبحر. ^{[ 214 ]} تتمتع الأشكال الكسورية بخاصية التشابه الذاتي . ^{[ 215 ] [ 216 ]}

الرياضيات المبسطة هي تقديم الرياضيات دون استخدام المصطلحات التقنية. ^{[ 217 ]} قد يكون تقديم الرياضيات صعبًا نظرًا لأن عامة الناس يعانون من رهبة الرياضيات ، ولأن المفاهيم الرياضية مجردة للغاية. ^{[ 218 ]} ومع ذلك، يمكن للكتابة المبسطة في الرياضيات التغلب على ذلك باستخدام التطبيقات أو الروابط الثقافية. ^{[ 219 ]} على الرغم من ذلك، نادرًا ما تُطرح الرياضيات كموضوع للتبسيط في وسائل الإعلام المطبوعة أو المرئية.

تُعدّ ميدالية فيلدز أرفع جائزة في الرياضيات ، ^{[ 220 ] [ 221 ]} وقد أسسها الكندي جون تشارلز فيلدز عام 1936، وتُمنح كل أربع سنوات (باستثناء فترة الحرب العالمية الثانية ) لأربعة أفراد كحد أقصى. ^{[ 222 ] [ 223 ]} وتُعتبر المعادلة الرياضية لجائزة نوبل . ^{[ 223 ]}

وتشمل الجوائز المرموقة الأخرى في الرياضيات ما يلي: ^{[ 224 ]}

• جائزة أبيل ، التي تم تأسيسها في عام 2002 ^{[ 225 ]} وتم منحها لأول مرة في عام 2003 ^{[ 226 ]}
• ميدالية تشيرن للإنجاز مدى الحياة، والتي تم تقديمها في عام 2009 ^{[ 227 ]} وتم منحها لأول مرة في عام 2010 ^{[ 228 ]}
• جائزة ليروي ب. ستيل التابعة لجمعية الرياضيات الأمريكية ، والتي تُمنح منذ عام 1970 ^{[ 229 ]}
• جائزة وولف في الرياضيات ، وكذلك لإنجازات العمر، ^{[ 230 ]} تم تأسيسها في عام 1978 ^{[ 231 ]}

قام عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت بتجميع قائمة شهيرة تضم 23 مسألة مفتوحة ، تُعرف باسم " مسائل هيلبرت "، عام 1900. ^{[ 232 ]} وقد حظيت هذه القائمة بشهرة واسعة بين علماء الرياضيات، ^{[ 233 ]} وتم حل ما لا يقل عن 13 مسألة منها (بحسب تفسير بعضها). ^{[ 232 ]}

نُشرت في عام 2000 قائمة جديدة تضم سبع مسائل مهمة، بعنوان " مسائل جائزة الألفية ". واحدة منها فقط، وهي فرضية ريمان ، تُكرر إحدى مسائل هيلبرت. يُمنح حلّ أيٍّ من هذه المسائل جائزة قدرها مليون دولار. ^{[ 234 ]} حتى الآن، لم تُحلّ سوى مسألة واحدة منها، وهي حدسية بوانكاريه ، على يد عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان . ^{[ 235 ]}